Lecția 2 din 2 · Unghiuri

Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

Un unghi poate fi împărțit în două unghiuri egale de o singură semidreaptă specială: bisectoarea. În această lecție înveți ce este bisectoarea unui unghi, cum o recunoști, cum calculezi măsurile unghiurilor formate de ea și cum o construiești cu rigla și compasul.

~ 20 min de citit

Ce vei învăța

  • Definesc bisectoarea unui unghi și recunosc semidreapta bisectoare într-o figură.
  • Folosesc relația m(∢AOC)=m(∢COB)=m(∢AOB):2m(\angle AOC) = m(\angle COB) = m(\angle AOB) : 2 în calcule.
  • Calculez unghiul total dintr-o jumătate dată de bisectoare.
  • Decid, pe baza datelor sau a marcajelor, dacă o semidreaptă este sau nu bisectoare.
  • Construiesc bisectoarea unui unghi cu rigla și compasul.

Recomandat înainte: Unghiuri opuse la vârf, în jurul unui punct, complementare, suplementare, adiacente

Ideea de bază

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care îl împarte în două unghiuri cu aceeași măsură.

Dacă OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, atunci OCOC pornește din OO și trece prin interiorul unghiului, astfel încât m(∢AOC)=m(∢COB)m(\angle AOC) = m(\angle COB).

Ce este bisectoarea unui unghi

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte unghiul în două unghiuri cu măsuri egale.

O
AA
CC
BB
40°40°
40°40°
OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB: m(∢AOC)=m(∢COB)=40°m(\angle AOC) = m(\angle COB) = 40°. Cele două arce au aceeași culoare pentru că unghiurile sunt egale.

Notația unghiului: vârful e mereu la mijloc

În ∢AOC\angle AOC și în ∢COB\angle COB, litera OO este mereu la mijloc, pentru că OO este vârful comun al ambelor unghiuri.

Relația dintre bisectoare și măsura unghiului

Dacă OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, cele două unghiuri formate sunt egale, iar suma lor este unghiul întreg:

m(∢AOC)=m(∢COB)=m(∢AOB)2m(\angle AOC) = m(\angle COB) = \dfrac{m(\angle AOB)}{2}

Echivalent, unghiul întreg este dublul unei jumătăți:

m(∢AOB)=m(∢AOC)+m(∢COB)=2⋅m(∢AOC)\begin{aligned}m(\angle AOB) &= m(\angle AOC) + m(\angle COB) \\ &= 2 \cdot m(\angle AOC)\end{aligned}
O
AA
CC
BB
36°36°
36°36°
m(∢AOB)=72°m(\angle AOB) = 72°, deci m(∢AOC)=m(∢COB)=72°:2=36°m(\angle AOC) = m(\angle COB) = 72° : 2 = 36°.

Bisectoarea și unghiurile adiacente

Cele două unghiuri formate de bisectoare, ∢AOC\angle AOC și ∢COB\angle COB, au același vârf OO și latura comună OCOC, iar interioarele lor nu se suprapun. Sunt deci unghiuri adiacente, la fel ca în lecția anterioară, dar cu o proprietate în plus: au măsuri egale.

Bisectoarea nu e doar „la mijloc” pe desen

Orice semidreaptă din interiorul unui unghi împarte unghiul în două unghiuri adiacente. Bisectoarea este semidreapta care le împarte în două unghiuri EGALE, nu orice semidreaptă desenată aproximativ la mijloc.

Cum recunoști dacă o semidreaptă este bisectoare

O semidreaptă din interiorul unui unghi este bisectoare doar dacă știi sigur, din măsuri sau din marcaje, că împarte unghiul în două părți egale. Faptul că pare desenată la mijloc NU este suficient.

O
AA
DD
BB
30°30°
60°60°
m(∢AOD)=30°m(\angle AOD) = 30° și m(∢DOB)=60°m(\angle DOB) = 60°. Măsurile sunt diferite, deci ODOD NU este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, deși pare aproape la mijloc.

Desenul nu este dovadă

Faptul că o semidreaptă pare desenată la mijlocul unui unghi nu demonstrează că este bisectoare. Bisectoarea se stabilește din informația dată: măsuri egale sau marcaje geometrice clare (arce identice pe figură), niciodată din aspectul desenului.

Construcția bisectoarei cu rigla și compasul

Bisectoarea unui unghi ∢AOB\angle AOB se construiește exact, fără raportor, folosind doar rigla și compasul:

  1. Cu vârful compasului în OO, trasezi un arc de cerc care intersectează latura OAOA într-un punct MM și latura OBOB într-un punct NN.
  2. Cu vârful compasului în MM, trasezi un arc de cerc în interiorul unghiului, cu o rază oarecare (aceeași la pasul următor).
  3. Cu aceeași rază, cu vârful compasului în NN, trasezi un alt arc de cerc, care intersectează arcul precedent într-un punct PP.
  4. Trasezi cu rigla semidreapta OPOP. Aceasta este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB.

Construcția funcționează pentru că OM=ONOM = ON (aceeași rază la pasul 1) și PM=PNPM = PN (aceeași rază la pașii 2 și 3), deci OO și PP sunt egal depărtate de MM și de NN. Aceasta garantează că OPOP împarte unghiul în două unghiuri egale, fără să fie nevoie de nicio măsurătoare cu raportorul.

O
AA
CC
BB
40°40°
40°40°
Rezultatul construcției: semidreapta OCOC este bisectoarea lui ∢AOB\angle AOB, cu m(∢AOC)=m(∢COB)=40°m(\angle AOC) = m(\angle COB) = 40°.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identifici bisectoarea dintr-o figură

În figura de mai jos, OCOC împarte unghiul ∢AOB\angle AOB. Este OCOC bisectoarea lui ∢AOB\angle AOB?

Vezi rezolvarea
O
AA
CC
BB
50°50°
50°50°

m(∢AOC)=50°m(\angle AOC) = 50° și m(∢COB)=50°m(\angle COB) = 50°. Cele două măsuri sunt egale.

Da, OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB.

Exemplul 2: calcul din unghiul total

OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, iar m(∢AOB)=96°m(\angle AOB) = 96°. Calculează m(∢AOC)m(\angle AOC) și m(∢COB)m(\angle COB).

Vezi rezolvarea
m(∢AOC)=m(∢COB)=m(∢AOB)2m(\angle AOC) = m(\angle COB) = \dfrac{m(\angle AOB)}{2}
m(∢AOC)=m(∢COB)=96°2=48°m(\angle AOC) = m(\angle COB) = \dfrac{96°}{2} = 48°

m(∢AOC)=m(∢COB)=48°m(\angle AOC) = m(\angle COB) = 48°.

Exemplul 3: calcul din jumătate

OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, iar m(∢AOC)=27°m(\angle AOC) = 27°. Calculează m(∢COB)m(\angle COB) și m(∢AOB)m(\angle AOB).

Vezi rezolvarea
O
AA
CC
BB
27°27°
xx

Pentru că OCOC este bisectoare, cele două unghiuri sunt egale: m(∢COB)=m(∢AOC)=27°m(\angle COB) = m(\angle AOC) = 27°.

m(∢AOB)=m(∢AOC)+m(∢COB)=27°+27°=54°m(\angle AOB) = m(\angle AOC) + m(\angle COB) = 27° + 27° = 54°

m(∢COB)=27°m(\angle COB) = 27° și m(∢AOB)=54°m(\angle AOB) = 54°.

Exemplul 4: măsură lipsă

OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB. Se știe că m(∢AOC)=34°m(\angle AOC) = 34°. Calculează m(∢AOB)m(\angle AOB).

Vezi rezolvarea

Unghiul total este dublul unei jumătăți formate de bisectoare.

m(∢AOB)=2⋅m(∢AOC)=2⋅34°=68°m(\angle AOB) = 2 \cdot m(\angle AOC) = 2 \cdot 34° = 68°

m(∢AOB)=68°m(\angle AOB) = 68°.

Exemplul 5: recunoaștere din diagramă (nu este bisectoare)

În figura de mai jos, este ODOD bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB?

Vezi rezolvarea
O
AA
DD
BB
20°20°
70°70°

m(∢AOD)=20°m(\angle AOD) = 20° și m(∢DOB)=70°m(\angle DOB) = 70°. Măsurile nu sunt egale.

Nu, ODOD nu este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB.

Exemplul 6: informație insuficientă

Semidreapta OCOC este desenată în interiorul unghiului ∢AOB\angle AOB, fără nicio măsură dată. Poți spune dacă OCOC este bisectoare?

Vezi rezolvarea

Nu. Fără măsuri sau marcaje care să arate că m(∢AOC)=m(∢COB)m(\angle AOC) = m(\angle COB), nu poți decide doar din poziția aparentă a semidreptei pe desen.

Ai nevoie fie de măsurile celor două unghiuri, fie de un marcaj explicit (arce identice) care să arate egalitatea.

Exemplul 7: problemă cu necunoscută

OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB. m(∢AOC)=x+5°m(\angle AOC) = x + 5° și m(∢COB)=2x−10°m(\angle COB) = 2x - 10°. Calculează xx și măsura unghiului ∢AOB\angle AOB.

Vezi rezolvarea

Pentru că OCOC este bisectoare, cele două unghiuri sunt egale.

x+5°=2x−10°x + 5° = 2x - 10°
5°+10°=2x−x5° + 10° = 2x - x
x=15°x = 15°
m(∢AOC)=x+5°=15°+5°=20°m(\angle AOC) = x + 5° = 15° + 5° = 20°
m(∢AOB)=2⋅20°=40°m(\angle AOB) = 2 \cdot 20° = 40°

x=15°x = 15°, iar m(∢AOB)=40°m(\angle AOB) = 40°.

Exemplul 8: construcția bisectoarei

Cum construiești bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB folosind doar rigla și compasul?

Vezi rezolvarea
  1. Cu vârful compasului în OO, tai laturile OAOA și OBOB în punctele MM, respectiv NN, cu același arc de cerc.
  2. Cu aceeași rază, trasezi câte un arc din MM și din NN, în interiorul unghiului. Arcele se intersectează în punctul PP.
  3. Semidreapta OPOP este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB.

Construcția este exactă: OM=ONOM = ON și PM=PNPM = PN, deci OPOP împarte unghiul în două unghiuri egale, fără măsurare cu raportorul.

Greșeli frecvente

  • Cred că orice semidreaptă din interiorul unui unghi este bisectoare.

    O semidreaptă din interior este bisectoare doar dacă împarte unghiul în două unghiuri EGALE. Altfel este doar o semidreaptă oarecare din interiorul unghiului.

  • Cred că bisectoarea împarte unghiul în două părți doar aproximativ egale.

    Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri exact egale, nu aproximativ egale.

  • Dacă unghiul are 80°80°, cred că fiecare parte formată de bisectoare are tot 80°80°.

    Fiecare parte are jumătate din unghiul total: 80°:2=40°80° : 2 = 40°, nu 80°80°.

  • Dacă o jumătate are 35°35°, cred că unghiul total are tot 35°35°.

    Unghiul total este dublul unei jumătăți: 2⋅35°=70°2 \cdot 35° = 70°, nu 35°35°.

  • Ghicesc dacă o semidreaptă este bisectoare doar din cum arată desenul.

    Bisectoarea se stabilește din măsuri sau din marcaje geometrice clare, niciodată din aspectul aproximativ al desenului.

  • Denumesc greșit unghiul, punând vârful OO altundeva decât la mijloc.

    Vârful unghiului este mereu litera din mijloc: ∢AOC\angle AOC, nu ∢OAC\angle OAC sau ∢ACO\angle ACO.

Exerciții

Ușor

  1. Ce este bisectoarea unui unghi? Dă definiția completă.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte unghiul în două unghiuri cu măsuri egale.

  2. OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, iar m(∢AOB)=60°m(\angle AOB) = 60°. Calculează m(∢AOC)m(\angle AOC).

    Arată răspunsul

    Răspuns: 30°30°.

    60°:2=30°60° : 2 = 30°.

  3. OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, iar m(∢AOB)=110°m(\angle AOB) = 110°. Calculează m(∢COB)m(\angle COB).

    Arată răspunsul

    Răspuns: 55°55°.

    110°:2=55°110° : 2 = 55°.

  4. OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, iar m(∢AOC)=42°m(\angle AOC) = 42°. Calculează m(∢COB)m(\angle COB).

    Arată răspunsul

    Răspuns: 42°42°.

    Bisectoarea formează unghiuri egale, deci m(∢COB)=m(∢AOC)=42°m(\angle COB) = m(\angle AOC) = 42°.

  5. Care este vârful unghiului ∢MNP\angle MNP?

    Arată răspunsul

    Răspuns: NN, pentru că litera din mijloc este vârful.

Mediu

  1. OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, iar m(∢AOC)=39°m(\angle AOC) = 39°. Calculează m(∢AOB)m(\angle AOB).

    Arată răspunsul

    Răspuns: 78°78°.

    m(∢AOB)=2⋅39°=78°m(\angle AOB) = 2 \cdot 39° = 78°.

  2. Un unghi de 128°128° este împărțit de bisectoarea sa. Calculează măsura fiecărei jumătăți.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 64°64° fiecare.

    128°:2=64°128° : 2 = 64°.

  3. ODOD împarte unghiul ∢AOB\angle AOB în ∢AOD=44°\angle AOD = 44° și ∢DOB=46°\angle DOB = 46°. Este ODOD bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB? Motivează.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu, pentru că 44°≠46°44° \ne 46°.

    Bisectoarea cere unghiuri egale; aici măsurile sunt diferite.

  4. OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB. m(∢AOC)=3xm(\angle AOC) = 3x și m(∢COB)=x+18°m(\angle COB) = x + 18°. Calculează xx.

    Arată răspunsul

    Răspuns: x=9°x = 9°.

    3x=x+18°⇒2x=18°⇒x=9°3x = x + 18° \Rightarrow 2x = 18° \Rightarrow x = 9°.

  5. Descrie, în trei pași, cum construiești bisectoarea unui unghi cu rigla și compasul.

    Arată răspunsul

    Răspuns: 1) Arc din vârf, care taie ambele laturi. 2) Din cele două puncte obținute, arce de aceeași rază, care se intersectează în interior. 3) Semidreapta din vârf prin punctul de intersecție este bisectoarea.

  6. OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, iar m(∢COB)=51°m(\angle COB) = 51°. Calculează m(∢AOB)m(\angle AOB).

    Arată răspunsul

    Răspuns: 102°102°.

    m(∢AOB)=2⋅51°=102°m(\angle AOB) = 2 \cdot 51° = 102°.

  7. Pe o figură, unghiul ∢AOB\angle AOB pare împărțit „la mijloc” de OCOC, dar nu ai nicio măsură. Poți afirma că OCOC este bisectoare? Explică.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu, fără măsuri sau marcaje nu poți afirma acest lucru.

    Desenul nu este dovadă; ai nevoie de măsuri egale sau de marcaje explicite.

Provocare

  1. OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB. m(∢AOC)=2x+4°m(\angle AOC) = 2x + 4° și m(∢COB)=3x−11°m(\angle COB) = 3x - 11°. Calculează xx și m(∢AOB)m(\angle AOB).

    Arată răspunsul

    Răspuns: x=15°x = 15°, m(∢AOB)=68°m(\angle AOB) = 68°.

    2x+4°=3x−11°⇒15°=x⇒m(∢AOC)=2⋅15°+4°=34°2x+4° = 3x-11° \Rightarrow 15° = x \Rightarrow m(\angle AOC) = 2 \cdot 15° + 4° = 34°, deci m(∢AOB)=68°m(\angle AOB) = 68°.

  2. Un elev afirmă: „dacă unghiul are 90°90°, atunci fiecare parte formată de bisectoare are tot 90°90°”. Explică de ce greșește și calculează măsura corectă.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Greșește: fiecare parte are 45°45°, nu 90°90°.

    Bisectoarea împarte unghiul în jumătate, nu îl copiază. 90°:2=45°90° : 2 = 45°.

  3. Unghiul ∢AOB\angle AOB are 130°130°. Semidreapta OCOC din interior formează ∢AOC=65°\angle AOC = 65°. Este OCOC bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB?

    Arată răspunsul

    Răspuns: Da.

    ∢COB=130°−65°=65°=∢AOC\angle COB = 130° - 65° = 65° = \angle AOC, deci cele două unghiuri sunt egale și OCOC este bisectoare.

  4. Explică, folosind egalitatea razelor arcelor, de ce construcția cu compasul dă exact bisectoarea, nu o semidreaptă aproximativă.

    Arată răspunsul

    Răspuns: Din construcție, OM=ONOM = ON (același arc din OO) și PM=PNPM = PN (arce cu aceeași rază din MM și din NN). Fiecare dintre punctele OO și PP este egal depărtat de MM și de NN, așa că figura este simetrică față de dreapta OPOP: la plierea pe OPOP, punctul MM ajunge exact peste NN, iar ∢MOP\angle MOP se suprapune peste ∢NOP\angle NOP. Deci [OP[OP este exact bisectoarea. Demonstrația completă se face mai târziu, cu triunghiuri congruente.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

  1. 1. Bisectoarea unui unghi este:

    1. semidreapta din vârf care împarte unghiul în două unghiuri egale
    2. orice semidreaptă din interiorul unghiului
    3. dreapta perpendiculară pe una dintre laturi
    4. segmentul care unește cele două laturi
    Arată răspunsul

    Răspuns: semidreapta din vârf care împarte unghiul în două unghiuri egale

    Bisectoarea este semidreapta din vârf care formează două unghiuri de măsuri egale.

  2. 2. OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, iar m(∢AOB)=84°m(\angle AOB) = 84°. Cât este m(∢AOC)m(\angle AOC)?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 42°42°.

    84°:2=42°84° : 2 = 42°.

  3. 3. OCOC este bisectoarea unghiului ∢AOB\angle AOB, iar m(∢COB)=19°m(\angle COB) = 19°. Cât este m(∢AOB)m(\angle AOB)?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 38°38°.

    2⋅19°=38°2 \cdot 19° = 38°.

  4. 4. În notația ∢AOC\angle AOC, litera vârfului este:

    1. AA
    2. OO
    3. CC
    4. oricare dintre ele
    Arată răspunsul

    Răspuns: OO

    Vârful unghiului este mereu litera din mijloc.

  5. 5. Semidreapta [OC[OC este în interiorul unghiului ∢AOB\angle AOB, iar m(∢AOC)=33°m(\angle AOC) = 33° și m(∢COB)=37°m(\angle COB) = 37°. Este [OC[OC bisectoarea lui ∢AOB\angle AOB?

    1. Da, pentru că este în interiorul unghiului
    2. Nu, pentru că cele două unghiuri nu sunt egale
    3. Da, pentru că diferența este mică
    4. Nu se poate ști
    Arată răspunsul

    Răspuns: Nu, pentru că cele două unghiuri nu sunt egale

    Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri egale. 33°≠37°33° \neq 37°, deci [OC[OC nu este bisectoare, chiar dacă pe desen pare aproape de mijloc.

  6. 6. Dacă ∢AOB=150°\angle AOB = 150°, cât are fiecare din cele două unghiuri formate de bisectoarea sa?

    Arată răspunsul

    Răspuns: 75°75°.

    150°:2=75°150° : 2 = 75°, nu 150°150° fiecare.

  7. 7. Radu construiește bisectoarea cu compasul, dar trasează arcele din MM și din NN cu raze diferite. Ce se întâmplă?

    1. Obține tot bisectoarea
    2. Punctul în care se taie arcele nu mai este, în general, pe bisectoare
    3. Arcele nu se pot intersecta niciodată
    4. Obține o perpendiculară pe OAOA
    Arată răspunsul

    Răspuns: Punctul în care se taie arcele nu mai este, în general, pe bisectoare

    Construcția funcționează pentru că punctul PP este la aceeași distanță de MM și de NN. Cu raze diferite, PM≠PNPM \neq PN, iar OPOP nu mai împarte unghiul în două unghiuri egale.

Întrebări frecvente

Ce este bisectoarea unui unghi?

Semidreapta cu originea în vârful unghiului, care îl împarte în două unghiuri cu măsuri egale.

Cum calculez măsurile formate de bisectoare?

Împarți măsura unghiului total la 22: m(∢AOC)=m(∢COB)=m(∢AOB):2m(\angle AOC) = m(\angle COB) = m(\angle AOB) : 2.

Cum știu dacă o semidreaptă este bisectoare?

Doar din măsuri egale sau din marcaje geometrice clare, niciodată doar din aspectul desenului.

Cum se construiește bisectoarea unui unghi cu rigla și compasul?

Tragi un arc din vârf care taie ambele laturi, apoi din cele două puncte obținute tragi arce de aceeași rază, care se intersectează în interior. Semidreapta din vârf prin acel punct este bisectoarea.

Ai terminat lecția

Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VI-a

Preferințe cookies

Alege ce stocare opțională permiți. Detalii în Politica de cookies.

Necesare

Mereu active

Păstrează în browserul tău alegerea făcută aici (stocare locală, nu cookie). Fără ea, bannerul ar apărea la fiecare vizită.

Analiză

Ne ajută să înțelegem cum este folosit site-ul (ce pagini sunt vizitate, de pe ce tip de dispozitiv), ca să îmbunătățim conținutul. Folosește Google Analytics, doar dacă îl activezi.

Conținut extern

Videoclipurile din lecții sunt furnizate de YouTube, iar unele previzualizări de documente de Google Drive. Încărcarea lor trimite furnizorului informații tehnice, precum adresa IP. Conținutul extern nu se încarcă până nu îl permiți.