Congruența triunghiurilor dreptunghice: CC, IC, CU, IU

Ce vei învăța

Recunosc catetele și ipotenuza unui triunghi dreptunghic, oricum ar fi desenat.
Știu ce înseamnă CC, IC, CU și IU și ce date cere fiecare criteriu.
Aleg criteriul potrivit pentru două triunghiuri dreptunghice și scriu congruența în ordinea corectă.
Recunosc când un criteriu este folosit greșit: triunghiuri nedreptunghice, ipotenuză confundată cu o catetă, date insuficiente.
Deduc elemente corespunzătoare din congruența a două triunghiuri dreptunghice.

Recomandat înainte: Criteriile de congruență a triunghiurilor (LUL, ULU, LLL)

Ideea de bază

Literele criteriilor spun ce elemente sunt egale: C înseamnă catetă, I înseamnă ipotenuză, U înseamnă un unghi ascuțit. Unghiul drept nu apare în prescurtare, pentru că este egal în ambele triunghiuri $90°$

Înainte să alegi criteriul, găsește unghiul drept. Din el afli care laturi sunt catete și care este ipotenuza. Abia apoi traduci marcajele în cuvinte și alegi prescurtarea.

Recapitulare: catetele și ipotenuza

Catetele sunt laturile care formează unghiul drept.
Ipotenuza este latura opusă unghiului drept.
Ipotenuza este cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic.

Catetele

AB

și

AC

formează unghiul drept. Ipotenuza

BC

este opusă unghiului drept și este cea mai lungă latură.

Dacă triunghiul este dreptunghic în $A$ catetele pornesc din $A$ $AB$ și $AC$ Ipotenuza este latura care nu trece prin $A$ $BC$

Aici ipotenuza

BC

este orizontală. Ipotenuza este mereu latura din fața unghiului drept, oricum ar fi desenat triunghiul.

Ce înseamnă literele C, I și U

Cele trei litere folosite în criterii
Litera	Înseamnă	Unde o găsești
C	catetă	o latură a unghiului drept
I	ipotenuză	latura din fața unghiului drept
U	unghi ascuțit	unul dintre cele două unghiuri care nu sunt drepte

Fiecare criteriu are două litere, adică două perechi de elemente egale. A treia pereche este mereu cea a unghiurilor drepte. Elementele trebuie să fie corespunzătoare: o catetă se compară cu o catetă, ipotenuza cu ipotenuza, un unghi cu unghiul corespunzător.

Criteriul CC (Catetă – Catetă)

CC = Catetă – Catetă. Datele sunt cele două catete.

Criteriul CC

Dacă două triunghiuri dreptunghice au catetele corespunzătoare egale, atunci sunt congruente. Pentru $\angle A = \angle D = 90°$ $AB = DE$ și $AC = DF$ implică $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

\angle A = \angle D = 90°

AB = DE

AC = DF

două catete. Criteriul CC:

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

De ce merge: unghiul drept este chiar unghiul cuprins între cele două catete. CC este criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură), în care unghiul este cel drept.

Criteriul IC (Ipotenuză – Catetă)

IC = Ipotenuză – Catetă. Datele sunt ipotenuza și o catetă.

Criteriul IC

Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele egale și câte o catetă corespunzătoare egală, atunci sunt congruente. Pentru $\angle A = \angle D = 90°$ $BC = EF$ și $AB = DE$ implică $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

BC = EF

(ipotenuzele) și

AB = DE

(câte o catetă). Criteriul IC:

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

Cateta poate fi oricare dintre cele două, dar trebuie să fie corespunzătoare: dacă în primul triunghi ai $AB$ în al doilea este cateta care corespunde lui $AB$ Criteriul IC se folosește fără demonstrație.

Criteriul CU (Catetă – Unghi)

CU = Catetă – Unghi. Datele sunt o catetă și un unghi ascuțit.

Criteriul CU

Dacă două triunghiuri dreptunghice au câte o catetă corespunzătoare egală și câte un unghi ascuțit corespunzător egal, atunci sunt congruente. Pentru $\angle A = \angle D = 90°$ $AC = DF$ și $\angle C = \angle F$ implică $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

AC = DF

și

\angle C = \angle F

unghiul ascuțit alăturat catetei. Criteriul CU:

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

Unghiul este ascuțit, pentru că unghiul drept este deja egal în ambele triunghiuri. El poate fi alăturat catetei (ca $\angle C$ lângă $AC$ mai sus) sau opus ei (ca $\angle C$ în fața lui $AB$ mai jos). Contează ca în ambele triunghiuri să fie la fel așezat: unghiul corespunzător, față de cateta corespunzătoare.

AB = DE

și

\angle C = \angle F

unghiul ascuțit opus catetei. Tot criteriul CU:

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

De ce merge: cu unghiul alăturat ai ULU (Unghi – Latură – Unghi), cu unghiul drept la celălalt capăt al catetei. Cu unghiul opus, afli întâi celălalt unghi ascuțit: $90° - \angle C$ în ambele triunghiuri, apoi tot ULU.

Criteriul IU (Ipotenuză – Unghi)

IU = Ipotenuză – Unghi. Datele sunt ipotenuza și un unghi ascuțit.

Criteriul IU

Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele egale și câte un unghi ascuțit corespunzător egal, atunci sunt congruente. Pentru $\angle A = \angle D = 90°$ $BC = EF$ și $\angle B = \angle E$ implică $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

BC = EF

(ipotenuzele) și

\angle B = \angle E

(un unghi ascuțit). Criteriul IU:

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

De ce merge: unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic au suma $90°$ Din $\angle B = \angle E$ rezultă $\angle C = 90° - \angle B = 90° - \angle E = \angle F$ Ipotenuza $BC$ este între $\angle B$ și $\angle C$ iar $EF$ între $\angle E$ și $\angle F$ deci ai ULU (Unghi – Latură – Unghi).

Cele patru criterii, comparate

Cele patru criterii pentru triunghiuri dreptunghice
Criteriu	Denumire completă	Date necesare (pe lângă unghiul drept)
CC	Catetă – Catetă	cele 2 catete
IC	Ipotenuză – Catetă	ipotenuza + o catetă corespunzătoare
CU	Catetă – Unghi	o catetă + un unghi ascuțit corespunzător
IU	Ipotenuză – Unghi	ipotenuza + un unghi ascuțit corespunzător

Criteriile LUL, ULU și LLL (Latură – Latură – Latură) rămân valabile și pentru triunghiurile dreptunghice. CC, IC, CU și IU sunt doar mai scurte: unghiul drept este deja dat.

Cum alegi criteriul

Confirmă că ambele triunghiuri sunt dreptunghice (careu sau unghi de $90°$ dat) și că unghiurile drepte își corespund.
Identifică ipotenuza: latura din fața unghiului drept.
Identifică catetele: laturile unghiului drept.
Observă ce elemente sunt marcate egale.
Tradu datele în cuvinte: „două catete”, „ipotenuza și o catetă”, „o catetă și un unghi ascuțit”, „ipotenuza și un unghi ascuțit”.
Abia apoi alege prescurtarea: CC, IC, CU sau IU.

Exemplu

„Avem ipotenuzele egale și câte o catetă egală.” Ipotenuză + catetă înseamnă criteriul IC (Ipotenuză – Catetă).

Unghiurile drepte sunt în

A

și

D

deci ipotenuzele sunt

BC

și

EF

ipotenuză + catetă, criteriul IC.

Când criteriul NU se aplică

Criteriile CC, IC, CU, IU sunt doar pentru triunghiuri dreptunghice. Mai jos sunt două laturi egale, ca la CC, dar triunghiurile nu au unghi drept.

Două perechi de laturi egale, dar triunghiurile nu sunt dreptunghice: CC nu se aplică. Și chiar nu sunt congruente.

Elementele trebuie să fie corespunzătoare. O ipotenuză egală cu o catetă din celălalt triunghi nu înseamnă nimic pentru IC.

BC = DE

dar

BC

este ipotenuză, iar

DE

este catetă. Elementele nu sunt corespunzătoare: nu este IC.

Un singur element (în afară de unghiul drept) nu ajunge. Cu doar ipotenuzele egale, triunghiurile pot fi diferite.

Doar ipotenuzele sunt egale: date insuficiente. Triunghiurile nu sunt congruente.

Alte capcane

Dacă sunt date două catete, criteriul este CC, nu IC: la IC una dintre laturi trebuie să fie ipotenuza. La CU și IU, unghiul este un unghi ascuțit, niciodată unghiul drept (acela este deja egal).

Ce afli după ce știi că triunghiurile sunt congruente

Ca la orice triunghiuri congruente, toate elementele corespunzătoare sunt egale. Aici, din IC afli și cealaltă catetă, fără niciun calcul.

IC:

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

deci

DF = AC = 8\text{ cm}

Recapitulare: prescurtările

CC = Catetă – Catetă: cele două catete.
IC = Ipotenuză – Catetă: ipotenuza și o catetă corespunzătoare.
CU = Catetă – Unghi: o catetă și un unghi ascuțit corespunzător.
IU = Ipotenuză – Unghi: ipotenuza și un unghi ascuțit corespunzător.
În toate patru, unghiurile drepte sunt deja egale și își corespund.

Exemple rezolvate

Catetele și ipotenuza

În figură, triunghiul este dreptunghic în $A$ Care sunt catetele și care este ipotenuza?

Vezi rezolvarea

Careul este în $A$ deci catetele sunt laturile din $A$ $AB$ și $AC$ Ipotenuza este latura din fața lui $A$ $BC$ chiar dacă este desenată orizontal, jos.

CC, pas cu pas

Ce este marcat egal în figură și ce criteriu se aplică?

Vezi rezolvarea

Ambele triunghiuri sunt dreptunghice, în $A$ și în $D$ Marcate: $AB = DE$ și $AC = DF$ Ambele sunt laturi ale unghiului drept, deci catete.

În cuvinte: două catete. Criteriul CC (Catetă – Catetă): $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

IC, pas cu pas

Al doilea triunghi este întors. Ce criteriu se aplică?

Vezi rezolvarea

Unghiurile drepte: $A$ și $D$ $BC$ nu trece prin $A$ deci este ipotenuză; la fel $EF$ $AB$ și $DE$ trec prin vârful unghiului drept, deci sunt catete.

În cuvinte: ipotenuza și o catetă. Criteriul IC (Ipotenuză – Catetă): $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

CU cu unghiul alăturat catetei

Ce date sunt marcate? Ce criteriu se aplică?

Vezi rezolvarea

$AC = DF$ sunt catete. $\angle C = \angle F$ sunt unghiuri ascuțite, în capătul catetelor marcate.

În cuvinte: o catetă și un unghi ascuțit corespunzător. Criteriul CU (Catetă – Unghi).

CU cu unghiul opus catetei

Aici unghiul marcat nu este lângă cateta marcată. Se aplică tot CU?

Vezi rezolvarea

Da. $AB = DE$ sunt catete, iar $\angle C = \angle F$ sunt unghiuri ascuțite, fiecare în fața catetei marcate. În ambele triunghiuri unghiul este la fel așezat, deci elementele sunt corespunzătoare.

Criteriul CU (Catetă – Unghi): $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

IU și unghiurile ascuțite

$\angle A = \angle D = 90°$ $BC = EF$ și $\angle B = \angle E = 55°$ Ce criteriu se aplică? Cât este $\angle F$

Vezi rezolvarea

Ipotenuzele și un unghi ascuțit: criteriul IU (Ipotenuză – Unghi), $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

$C \leftrightarrow F$ iar $\angle C = 90° - 55° = 35°$ deci $\angle F = 35°$

Alege criteriul, fără figură

$\triangle ABC$ și $\triangle DEF$ sunt dreptunghice în $A$ și $D$ Spune criteriul: a) $AB = DE$ $AC = DF$ b) $BC = EF$ $AC = DF$ c) $AB = DE$ $\angle B = \angle E$ d) $BC = EF$ $\angle C = \angle F$

Vezi rezolvarea

Ipotenuzele sunt $BC$ și $EF$ catetele sunt $AB$ $AC$ și $DE$ $DF$

a) două catete: CC. b) ipotenuza și o catetă: IC. c) o catetă și un unghi ascuțit: CU. d) ipotenuza și un unghi ascuțit: IU.

Ipotenuza desenată orizontal

Maria spune că pe figură sunt marcate „două catete”, pentru că $BC$ este desenată orizontal, jos, ca o bază, și nu poate fi ipotenuză. Are dreptate?

Vezi rezolvarea

Nu. Careurile sunt în $A$ și $D$ deci ipotenuzele sunt $BC$ și $EF$ laturile din fața unghiurilor drepte. Marcate sunt ipotenuzele și catetele $AC$ $DF$

Criteriul este IC (Ipotenuză – Catetă), nu CC.

CC pe triunghiuri care nu sunt dreptunghice

Radu vede două perechi de laturi egale și scrie „CC”. Ce greșește?

Vezi rezolvarea

Triunghiurile nu au unghi drept, deci nu au catete: CC nu se aplică. Cu două laturi ar trebui și unghiul cuprins egal (LUL), dar $\angle A \neq \angle D$

Elemente care nu sunt corespunzătoare

Pe figură, $BC = DE$ și $AB = DF$ Ioana spune: „ipotenuză și catetă, deci IC”. Are dreptate?

Vezi rezolvarea

Nu. $BC$ este ipotenuza lui $\triangle ABC$ dar $DE$ este o catetă a lui $\triangle DEF$ (trece prin $D$ La IC trebuie ipotenuză cu ipotenuză și catetă cu catetă.

Date insuficiente

Două triunghiuri dreptunghice au doar ipotenuzele egale. Sunt congruente?

Vezi rezolvarea

Nu neapărat. Pe lângă unghiul drept, fiecare criteriu cere două elemente. Figura arată două triunghiuri cu aceeași ipotenuză, dar cu catete diferite.

Deducerea unei catete

$\angle A = \angle D = 90°$ $BC = EF = 10\text{ cm}$ $AB = DE = 6\text{ cm}$ și $AC = 8\text{ cm}$ Află $DF$

Vezi rezolvarea

Ipotenuza și o catetă: IC, deci $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ $DF$ corespunde lui $AC$ deci $DF = 8\text{ cm}$

Orientări și litere diferite

Al doilea triunghi, $MNP$ este dreptunghic în $M$ în oglindă și rotit. Ce criteriu se aplică și cum scrii congruența?

Vezi rezolvarea

$AB = MN$ catete (trec prin $A$ respectiv $M$ $\angle B = \angle N$ unghiuri ascuțite. Criteriul CU (Catetă – Unghi).

$A \leftrightarrow M$ $B \leftrightarrow N$ deci $C \leftrightarrow P$ $\triangle ABC \equiv \triangle MNP$

Un element ascuns: latura comună

În figură, $AB \perp BC$ $DC \perp BC$ și $AB = CD$ Sunt congruente triunghiurile $ABC$ și $DCB$

Vezi rezolvarea

Ambele sunt dreptunghice: $\triangle ABC$ în $B$ $\triangle DCB$ în $C$ Catete: $AB$ și $BC$ respectiv $DC$ și $CB$

$AB = DC$ (marcate), iar $BC$ este latură comună, deci egală cu ea însăși. Două catete: CC, $\triangle ABC \equiv \triangle DCB$

Greșeli frecvente

„CC” pentru două triunghiuri care nu sunt dreptunghice.
CC, IC, CU și IU sunt doar pentru triunghiuri dreptunghice. Întâi verifică unghiurile drepte.
Ipotenuza găsită după poziție („latura înclinată”, „latura de jos”).
Ipotenuza este latura din fața unghiului drept, oricum ar fi desenat triunghiul.
„IC” când sunt date două catete.
Două catete înseamnă CC (Catetă – Catetă). La IC una dintre laturi este ipotenuza.
La CU sau IU, folosirea unghiului drept ca „U”.
U este un unghi ascuțit. Unghiul drept este deja egal și nu se mai numără.
Ipotenuza unui triunghi comparată cu o catetă a celuilalt.
Elementele trebuie să fie corespunzătoare: ipotenuză cu ipotenuză, catetă cu catetă.
„Au unghiurile ascuțite egale, deci sunt congruente.”
Unghiuri egale dau aceeași formă, nu aceeași mărime: un triunghi poate fi o mărire a celuilalt. Pentru congruență trebuie cel puțin o latură corespunzătoare egală (CU, IU).
„Au ipotenuzele egale, deci sunt congruente.”
Mai trebuie un element: o catetă (IC) sau un unghi ascuțit (IU).
Scrierea prescurtării fără a ști ce înseamnă.
Spune datele în cuvinte întâi („ipotenuza și un unghi ascuțit”), apoi prescurtarea (IU = Ipotenuză – Unghi).

Exerciții

Ușor

Scrie în cuvinte ce înseamnă CC, IC, CU și IU.
Arată răspunsul
Răspuns: CC = Catetă – Catetă; IC = Ipotenuză – Catetă; CU = Catetă – Unghi; IU = Ipotenuză – Unghi
În prescurtările CC, IC, CU, IU, ce fel de unghi este U?
Arată răspunsul
Răspuns: un unghi ascuțit
Unghiul drept este deja egal în ambele triunghiuri.
$\triangle MNP$ este dreptunghic în $N$ Care sunt catetele și care este ipotenuza?
Arată răspunsul
Răspuns: catetele $NM$ și $NP$ ipotenuza $MP$
Triunghiul $PQR$ din figură este desenat înclinat. Care este ipotenuza lui? Care sunt catetele?
Arată răspunsul
Răspuns: ipotenuza $PQ$ catetele $RP$ și $RQ$
Careul este în $R$ Catetele pornesc din $R$ $RP$ și $RQ$ Ipotenuza este latura din fața lui $R$ $PQ$ oricum ar fi înclinată.
Ce criteriu se aplică pentru triunghiurile $KLM$ și $XYZ$ din figură? Scrie congruența.
Arată răspunsul
Răspuns: CC (Catetă – Catetă); $\triangle KLM \equiv \triangle XYZ$
Unghiurile drepte sunt în $L$ și $Y$ $KL = XY$ și $LM = YZ$ pornesc din vârfurile unghiurilor drepte, deci sunt două perechi de catete.
Ce criteriu se aplică pe figură? Cât măsoară $\angle Y$
Arată răspunsul
Răspuns: IU (Ipotenuză – Unghi); $\angle Y = 50°$
$LM$ și $YZ$ sunt în fața unghiurilor drepte $K$ și $X$ (ipotenuze), iar $\angle M = \angle Z$ este un unghi ascuțit: IU. $L \leftrightarrow Y$ și $\angle L = 90° - 40° = 50°$ deci $\angle Y = 50°$
Două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele egale și câte o catetă egală. Ce criteriu folosești?
Arată răspunsul
Răspuns: IC (Ipotenuză – Catetă)
Care este cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic?
Arată răspunsul
Răspuns: ipotenuza

Mediu

Ce criteriu se aplică pe figură? Justifică în cuvinte.
Arată răspunsul
Răspuns: IC (Ipotenuză – Catetă)
Unghiurile drepte sunt în $P$ și $E$ $QR$ și $FD$ sunt în fața lor (ipotenuze); $PR$ și $ED$ pornesc din vârfurile unghiurilor drepte (catete). Ipotenuza și o catetă: IC.
Al doilea triunghi, $XYZ$ este în oglindă și rotit. Ce criteriu se aplică pe figură și cum scrii congruența?
Arată răspunsul
Răspuns: CU; $\triangle PQR \equiv \triangle ZXY$
$QR = XY$ catete (pornesc din $Q$ respectiv $X$ $\angle R = \angle Y$ unghiuri ascuțite. CU (Catetă – Unghi). $Q \leftrightarrow X$ $R \leftrightarrow Y$ deci $P \leftrightarrow Z$
Ce criteriu se aplică pe figură? Unghiul marcat este alăturat sau opus catetei marcate? Scrie congruența.
Arată răspunsul
Răspuns: CU; $\angle N$ este opus catetei $MP$ $\triangle MNP \equiv \triangle RST$
$MP = RT$ sunt catete (pornesc din vârfurile unghiurilor drepte $M$ și $R$ $\angle N$ nu este în capătul lui $MP$ ci în fața ei; la fel $\angle S$ față de $RT$ CU se aplică și cu unghiul opus, dacă este așezat la fel în ambele triunghiuri.
$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ ambele dreptunghice în $A$ și $D$ Ce latură corespunde ipotenuzei $BC$ Ce unghi corespunde lui $\angle C$
Arată răspunsul
Răspuns: $EF$ $\angle F$
$\angle A = \angle D = 90°$ $AB = DE$ și $\angle B = \angle E = 40°$ Scrie criteriul și află $\angle F$
Arată răspunsul
Răspuns: CU; $\angle F = 50°$
O catetă și un unghi ascuțit: CU. $\angle F = \angle C = 90° - 40° = 50°$
$\angle A = \angle D = 90°$ și $BC = EF$ Ce element mai trebuie ca să aplici IU? Dar ca să aplici IC?
Arată răspunsul
Răspuns: IU: un unghi ascuțit, de exemplu $\angle B = \angle E$ IC: o catetă, de exemplu $AB = DE$
În figură, unghiurile corespunzătoare sunt egale: $\angle A = \angle D = 90°$ $\angle B = \angle E$ $\angle C = \angle F$ Sunt triunghiurile congruente?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu neapărat: mai trebuie o latură corespunzătoare egală (CU sau IU).
Trei unghiuri egale dau doar aceeași formă. Triunghiul $DEF$ este mai mare decât $ABC$ deci laturile nu sunt egale.
Explică, fără prescurtare, ce date cere criteriul IC și de ce cateta trebuie să fie „corespunzătoare”.
Arată răspunsul
Răspuns: Ipotenuzele egale și câte o catetă egală; cateta dintr-un triunghi se compară cu cateta care îi corespunde în celălalt, nu cu ipotenuza.
Pe figură, ce criteriu se aplică? (Atenție la poziția unghiului drept.)
Arată răspunsul
Răspuns: IU (Ipotenuză – Unghi)
Careurile sunt în $L$ și $Y$ deci ipotenuzele sunt $KM$ și $XZ$ chiar dacă $KM$ este desenată jos, orizontal. Ipotenuzele și un unghi ascuțit, $\angle K = \angle X$ IU.

Provocare

În figură, $\angle BAD = \angle BCD = 90°$ și $AB = CB$ Ce criteriu arată că $\triangle ABD \equiv \triangle CBD$ Ce element nu este marcat, dar este egal?
Arată răspunsul
Răspuns: IC; latura comună $BD$ ipotenuza ambelor triunghiuri
Unghiurile drepte sunt în $A$ și $C$ deci $BD$ este în fața lor: ipotenuza ambelor triunghiuri, comună, egală cu ea însăși. $AB = CB$ sunt catete. Ipotenuza și o catetă: IC (Ipotenuză – Catetă).
Pe figură sunt marcate ipotenuzele și ambele catete. Ce criterii poți folosi?
Arată răspunsul
Răspuns: CC (cu $AB$ $AC$ IC (cu $BC$ și o catetă) sau LLL
Datele sunt mai multe decât trebuie; oricare dintre aceste criterii ajunge.
Radu scrie: $AB = DE$ $AC = DF$ deci IC.” Triunghiurile sunt dreptunghice în $A$ și $D$ Corectează-l.
Arată răspunsul
Răspuns: CC, nu IC: $AB$ și $AC$ sunt ambele catete.
Pe figură, $QR = XY$ și $PQ = XZ$ Andrei spune: „ipotenuză și catetă, deci IC.” Găsește greșeala.
Arată răspunsul
Răspuns: $QR$ este ipotenuză, dar $XY$ este catetă (pornește din $X$ vârful unghiului drept): elementele nu sunt corespunzătoare.
La IC trebuie ipotenuză cu ipotenuză și catetă cu catetă. Ipotenuza lui $\triangle XYZ$ este $YZ$ care nu este marcată. Figura arată chiar că triunghiurile au forme diferite.
Andrei spune: $\angle A = \angle D = 90°$ și $AB = DE$ deci CU, cu unghiul drept ca U.” Are dreptate?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. U este un unghi ascuțit; unghiul drept era deja dat. Cu o singură catetă datele sunt insuficiente.
Două triunghiuri dreptunghice au doar câte o catetă egală, $AB = DE$ Mihai spune că sunt congruente. Ce răspunzi?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu neapărat: mai trebuie cealaltă catetă (CC), ipotenuza (IC) sau un unghi ascuțit (CU).
Pe lângă unghiul drept, fiecare criteriu cere două elemente. Figura arată două triunghiuri cu $AB = DE$ dar cu $AC \neq DF$
$\angle A = \angle D = 90°$ $BC = EF = 13\text{ cm}$ $AC = DF = 5\text{ cm}$ iar $AB = 12\text{ cm}$ Află perimetrul triunghiului $DEF$
Arată răspunsul
Răspuns: $30\text{ cm}$
IC: $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ deci $DE = AB = 12\text{ cm}$ Perimetrul: $12 + 5 + 13 = 30\text{ cm}$
Scrie un set de date pentru fiecare criteriu (CC, IC, CU, IU) pentru triunghiurile dreptunghice $ABC$ și $DEF$ cu unghiurile drepte în $A$ și $D$
Arată răspunsul
Răspuns: de exemplu: CC: $AB = DE$ $AC = DF$ IC: $BC = EF$ $AB = DE$ CU: $AC = DF$ $\angle C = \angle F$ IU: $BC = EF$ $\angle B = \angle E$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce înseamnă CC?
1. Catetă – Catetă
2. Cerc – Catetă
3. Catetă – Cuprins
4. Congruent – Congruent
Arată răspunsul
Răspuns: Catetă – Catetă
Cele două catete.
2. Ce înseamnă IC?
1. Ipotenuză – Cerc
2. Înălțime – Catetă
3. Ipotenuză – Catetă
4. Ipotenuză – Cuprins
Arată răspunsul
Răspuns: Ipotenuză – Catetă
Ipotenuza și o catetă.
3. Ce înseamnă CU?
1. Catetă – Unghi drept
2. Catetă – Unghi (ascuțit)
3. Cerc – Unghi
4. Catetă – Unghi cuprins între catete
Arată răspunsul
Răspuns: Catetă – Unghi (ascuțit)
O catetă și un unghi ascuțit corespunzător.
4. Ce înseamnă IU?
1. Ipotenuză – Unghi (ascuțit)
2. Ipotenuză – Unghi drept
3. Înălțime – Unghi
4. Ipotenuză – Unghi obtuz
Arată răspunsul
Răspuns: Ipotenuză – Unghi (ascuțit)
Ipotenuza și un unghi ascuțit corespunzător.
5. Ce criteriu se aplică pe figură?
1. CC
2. IC
3. CU
4. IU
Arată răspunsul
Răspuns: IC
Unghiurile drepte sunt în $H$ și $U$ deci $GK$ și $VW$ sunt ipotenuzele, iar $HK$ și $UW$ sunt catete: ipotenuză și catetă, criteriul IC.
6. Care este ipotenuza triunghiului $MNP$ din figură?
1. nu are ipotenuză
2. $MN$
3. $NP$
4. $MP$
Arată răspunsul
Răspuns: $MP$
Unghiul drept este în $N$ ipotenuza este latura din fața lui, $MP$ chiar dacă este desenată vertical.
7. Triunghiurile sunt dreptunghice în $A$ și $D$ iar $AB = DE$ $AC = DF$ Ce criteriu se aplică?
1. IC, pentru că sunt două laturi
2. CC, pentru că sunt două catete
3. IU
4. niciunul
Arată răspunsul
Răspuns: CC, pentru că sunt două catete
$AB$ și $AC$ trec prin vârful unghiului drept, deci sunt catete: criteriul CC.
8. Pe figură, triunghiurile sunt dreptunghice în $A$ și $D$ $AB = DE$ și $\angle B = \angle F$ Se aplică CU?
1. nu: $\angle B$ este alăturat catetei $AB$ iar $\angle F$ este opus catetei $DE$
2. da
3. da, la CU poate fi orice unghi ascuțit
4. nu: CU cere două catete
Arată răspunsul
Răspuns: nu: $\angle B$ este alăturat catetei $AB$ iar $\angle F$ este opus catetei $DE$
La CU, unghiul trebuie să fie în aceeași poziție față de catetă în ambele triunghiuri: alăturat cu alăturat sau opus cu opus. $\angle B$ și $\angle F$ nu sunt elemente corespunzătoare.
9. $\triangle ABC \equiv \triangle MNP$ dreptunghice în $A$ și $M$ iar $NP = 9\text{ cm}$ Cât este $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $9\text{ cm}$
$B \leftrightarrow N$ $C \leftrightarrow P$ $BC$ și $NP$ sunt ipotenuzele corespunzătoare.
10. La criteriul IU, unghiul U poate fi unghiul drept?
1. da
2. doar dacă ipotenuza este orizontală
3. doar la CU
4. nu, este un unghi ascuțit
Arată răspunsul
Răspuns: nu, este un unghi ascuțit
Unghiul drept este deja egal în ambele triunghiuri; U este mereu un unghi ascuțit.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă CC, IC, CU și IU?

Sunt criteriile de congruență pentru triunghiuri dreptunghice: CC = Catetă – Catetă, IC = Ipotenuză – Catetă, CU = Catetă – Unghi, IU = Ipotenuză – Unghi. U este un unghi ascuțit.

De ce triunghiurile dreptunghice au nevoie doar de două elemente?

Pentru că al treilea element egal este deja cunoscut: unghiurile drepte, de $90°$ în vârfuri corespondente.

Cum recunosc ipotenuza?

Este latura din fața unghiului drept și cea mai lungă latură. Nu contează dacă este desenată orizontal, vertical sau înclinat.

La CU, unghiul trebuie să fie lângă cateta dată?

Nu. Poate fi alăturat catetei sau opus ei, dar în ambele triunghiuri trebuie să fie la fel așezat față de cateta corespunzătoare.

Pot folosi LUL, ULU sau LLL pentru triunghiuri dreptunghice?

Da. Sunt valabile pentru orice triunghiuri. CC, IC, CU și IU sunt doar mai scurte, pentru că unghiul drept este deja dat.

Două triunghiuri dreptunghice cu unghiurile egale sunt congruente?

Nu neapărat. Unghiurile egale dau aceeași formă, dar triunghiurile pot avea dimensiuni diferite. Mai trebuie o latură corespunzătoare egală.

Două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuzele egale sunt congruente?

Nu neapărat. Mai trebuie o catetă corespunzătoare (IC) sau un unghi ascuțit corespunzător (IU).

Ce vei învăța

Ideea de bază

Recapitulare: catetele și ipotenuza

Ce înseamnă literele C, I și U

Criteriul CC (Catetă – Catetă)

Criteriul IC (Ipotenuză – Catetă)

Criteriul CU (Catetă – Unghi)

Criteriul IU (Ipotenuză – Unghi)

Cele patru criterii, comparate

Cum alegi criteriul

Când criteriul NU se aplică

Ce afli după ce știi că triunghiurile sunt congruente

Recapitulare: prescurtările

Exemple rezolvate

Catetele și ipotenuza

CC, pas cu pas

IC, pas cu pas

CU cu unghiul alăturat catetei

CU cu unghiul opus catetei

IU și unghiurile ascuțite

Alege criteriul, fără figură

Ipotenuza desenată orizontal

CC pe triunghiuri care nu sunt dreptunghice

Elemente care nu sunt corespunzătoare

Date insuficiente

Deducerea unei catete

Orientări și litere diferite

Un element ascuns: latura comună

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VI-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VI-a

Matematică pentru încredere și reușită. Partea a II-a. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea a II-a