Proprietățile triunghiului dreptunghic

Q: Ce spune proprietatea unghiului de 30°?

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză.

Ce vei învăța

Recunosc catetele, ipotenuza și cateta opusă unui unghi ascuțit.
Aplic proprietatea catetei opuse unghiului de $30°$ și reciproca ei.
Aplic proprietatea medianei corespunzătoare ipotenuzei $AM = BM = CM$ și reciproca ei.
Aleg proprietatea potrivită și verific dacă ipoteza ei este îndeplinită.

Recomandat înainte: Triunghiul isoscel și triunghiul echilateral

Ideea de bază

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $30°$ cateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză. Mediana dusă din vârful unghiului drept este și ea jumătate din ipotenuză.

Reciprocele pornesc de la „jumătate”: o catetă egală cu jumătate din ipotenuză dă un unghi de $30°$ iar o mediană egală cu jumătate din latura pe care cade dă un unghi drept.

Recapitulare: catete, ipotenuză

Un triunghi dreptunghic are un unghi de $90°$ Laturile unghiului drept sunt catetele; latura opusă unghiului drept este ipotenuza, cea mai lungă latură. Celelalte două unghiuri sunt ascuțite și împreună au $90°$

Catetele

AB

AC

formează unghiul drept; ipotenuza

BC

este opusă lui și este cea mai lungă latură.

Cateta opusă unui unghi ascuțit este cateta care NU face parte din acel unghi. În figură, cateta opusă lui $\angle B$ este $AC$ iar cateta opusă lui $\angle C$ este $AB$

Folosești criteriul CC (Catetă – Catetă) din congruența triunghiurilor dreptunghice și proprietățile triunghiului isoscel și echilateral din lecția anterioară.

Cateta opusă unghiului de 30°

Teoremă

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de $30°$ este jumătate din ipotenuză. Dacă $\angle A = 90°$ și $\angle B = 30°$ atunci $AC = \frac{BC}{2}$

\angle A = 90°

\angle B = 30°

cateta opusă lui

\angle B

este

AC

deci

AC = \frac{BC}{2}

Exemplu: dacă ipotenuza are $10\text{ cm}$ cateta opusă unghiului de $30°$ are $5\text{ cm}$ Unghiul de $60°$ nu are această proprietate: cateta opusă lui, $AB$ este mai lungă decât jumătatea ipotenuzei.

Demonstrația. Prelungim $CA$ dincolo de $A$ cu $AD = AC$ și unim $B$ cu $D$ Comparăm $\triangle ABC$ cu $\triangle ABD$ apoi folosim triunghiul echilateral.

Date: $\triangle ABC$ este dreptunghic în $A$ cu $\angle ABC = 30°$
construcție: $D$ pe prelungirea lui $CA$ cu $AD = AC$
$BA \perp CD$ cu $A$ pe $CD$
$A$ este mijlocul segmentului $CD$
De demonstrat: $AC = \frac{BC}{2}$

Demonstrație

Pasul 1. Considerăm triunghiurile $\triangle ABC$ și $\triangle ABD$ . Avem:

$AC = AD$ ( $A$ este mijlocul lui $CD$ )
$\angle BAC = \angle BAD$ (unghiuri drepte)
$AB = AB$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul CC (Catetă – Catetă), rezultă $\triangle ABC \equiv \triangle ABD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow B$ $C \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $BC = BD$ , $\angle ABC = \angle ABD$ .

Pasul 2. Continuăm fără congruențe:

$\angle ABD = \angle ABC = 30°$ (din congruență), deci $\angle CBD = 30° + 30° = 60°$
În $\triangle ABC$ $\angle ACB = 180° - 90° - 30° = 60°$ (suma unghiurilor).
$\triangle BCD$ are $BC = BD$ (pasul 1), deci este isoscel, și are un unghi de $60°$ este echilateral (lecția despre triunghiul isoscel). Deci $CD = BC$
$A$ este mijlocul lui $CD$ deci $AC = \frac{CD}{2} = \frac{BC}{2}$

Concluzie

Deci $AC = \frac{BC}{2}$ .

Reciproca: o catetă jumătate din ipotenuză

Teorema reciprocă

Dacă într-un triunghi dreptunghic o catetă este jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus acestei catete are $30°$ Dacă $\angle A = 90°$ și $AC = \frac{BC}{2}$ atunci $\angle B = 30°$

Aceeași construcție, alt drum: acum știm lungimile și aflăm unghiul. Nu folosim teorema directă, pentru că ea pornește de la unghiul de $30°$ adică de la ce vrem să obținem.

Date: $\triangle ABC$ este dreptunghic în $A$ cu $AC = \frac{BC}{2}$
construcție: $D$ pe prelungirea lui $CA$ cu $AD = AC$
$BA \perp CD$ cu $A$ pe $CD$
$A$ este mijlocul segmentului $CD$
De demonstrat: $\angle ABC = 30°$

Demonstrație

Pasul 1. Considerăm triunghiurile $\triangle ABC$ și $\triangle ABD$ . Avem:

$AC = AD$ ( $A$ este mijlocul lui $CD$ )
$\angle BAC = \angle BAD$ (unghiuri drepte)
$AB = AB$ (latură comună)

Din aceste egalități, prin criteriul CC (Catetă – Catetă), rezultă $\triangle ABC \equiv \triangle ABD$ .

Corespondența vârfurilor: $A \leftrightarrow A$ $B \leftrightarrow B$ $C \leftrightarrow D$ .

Elementele corespunzătoare sunt egale: $BC = BD$ , $\angle ABC = \angle ABD$ .

Pasul 2. Continuăm fără congruențe:

$A$ este mijlocul lui $CD$ deci $CD = 2 \cdot AC = BC$ (ipoteza $AC = \frac{BC}{2}$
Rezultă $BC = BD = CD$ $\triangle BCD$ este echilateral, deci $\angle BCD = 60°$
În $\triangle ABC$ $\angle ABC = 180° - 90° - 60° = 30°$

Concluzie

Deci $\angle ABC = 30°$ .

Mediana corespunzătoare ipotenuzei

Teoremă

Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză. Dacă $\angle A = 90°$ și $M$ este mijlocul lui $BC$ atunci $AM = BM = CM = \frac{BC}{2}$

M

este mijlocul ipotenuzei

BC

AM = BM = CM

Mediana corespunzătoare ipotenuzei pleacă din vârful unghiului drept și ajunge în mijlocul ipotenuzei. Consecință: $M$ este la aceeași distanță de $A$ $B$ și $C$ deci triunghiurile $ABM$ și $ACM$ sunt isoscele.

Demonstrația. Construim pe $BC$ punctul $N$ pentru care $\angle BAN = \angle ABC$ (există, pentru că $\angle ABC$ este mai mic decât $\angle BAC = 90°$

În $\triangle ABN$ $\angle NAB = \angle NBA$ deci $NA = NB$ (reciproca unghiurilor de la bază).
$\angle NAC = 90° - \angle BAN = 90° - \angle B$ iar $\angle C = 90° - \angle B$ (unghiurile ascuțite ale triunghiului dreptunghic au împreună $90°$ Deci $\angle NAC = \angle NCA$
În $\triangle ACN$ $\angle NAC = \angle NCA$ deci $NA = NC$ (aceeași reciprocă).
Din $NB = NA = NC$ $N$ este mijlocul lui $BC$ adică $N = M$ Deci $AM = BM = CM = \frac{BC}{2}$

Reciproca: mediana egală cu jumătate din latură

Teorema reciprocă

Dacă într-un triunghi mediana corespunzătoare unei laturi este jumătate din acea latură, atunci triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus acelei laturi. Dacă $M$ este mijlocul lui $BC$ și $AM = \frac{BC}{2}$ atunci $\angle BAC = 90°$

$AM = \frac{BC}{2} = BM = CM$ $M$ mijlocul lui $BC$
$\triangle ABM$ are $MA = MB$ deci $\angle MAB = \angle MBA$ (unghiurile de la bază).
$\triangle ACM$ are $MA = MC$ deci $\angle MAC = \angle MCA$
$\angle BAC = \angle MAB + \angle MAC = \angle B + \angle C$
În $\triangle ABC$ $\angle BAC + \angle B + \angle C = 180°$ deci $2 \cdot \angle BAC = 180°$ și $\angle BAC = 90°$

Condiția exactă

Mediana trebuie comparată cu latura pe care cade (la mijlocul căreia ajunge), nu cu o altă latură. Unghiul drept iese în vârful din care pleacă mediana.

Direct și reciproc, pe scurt

Proprietatea directă: „dacă ipoteza, atunci concluzia”. Reciproca: concluzia directei devine ipoteză și se obține ipoteza inițială.

Proprietatea	Ipoteza (dacă …)	Concluzia (atunci …)
30°, directă	$\angle A = 90°$ $\angle B = 30°$	$AC = \frac{BC}{2}$
30°, reciprocă	$\angle A = 90°$ $AC = \frac{BC}{2}$	$\angle B = 30°$
mediana, directă	$\angle A = 90°$ $M$ mijlocul lui $BC$	$AM = \frac{BC}{2}$
mediana, reciprocă	$M$ mijlocul lui $BC$ $AM = \frac{BC}{2}$	$\angle A = 90°$

La reciproca de $30°$ triunghiul trebuie să fie deja dreptunghic. La reciproca medianei, nu: tocmai unghiul drept este concluzia.

Când proprietățile NU se aplică

Cateta este jumătate din cealaltă catetă, nu din ipotenuză. $AC = 3$ $AB = 6$ nu rezultă niciun unghi de $30°$ Reciproca vorbește despre ipotenuză.

Unghi de $30°$ într-un triunghi care nu este dreptunghic: proprietatea nu se aplică. Aici $AC$ nu este jumătate din $BC$

O mediană într-un triunghi oarecare: $AM$ nu este jumătate din $BC$ iar triunghiul nu este dreptunghic. Reciproca cere exact $AM = \frac{BC}{2}$

Un segment din $A$ spre ipotenuză, dar nu spre mijlocul ei, nu este mediană. Înălțimea $AH$ este mai scurtă decât $\frac{BC}{2}$

Un unghi care „pare drept” nu este o dovadă. Aici $\angle A = 88°$ niciuna dintre proprietăți nu se aplică. Unghiul drept trebuie să fie dat sau demonstrat.

Recapitulare

Dreptunghic + $30°$ ⇒ cateta opusă lui $30°$ = ipotenuza : $2$
Dreptunghic + o catetă = ipotenuza : $2$ ⇒ unghiul opus ei are $30°$
Dreptunghic ⇒ mediana din vârful unghiului drept = ipotenuza : $2$ adică $AM = BM = CM$
O mediană = jumătate din latura pe care cade ⇒ unghiul opus acelei laturi este drept.
Verifică întâi ipoteza: unghiul drept, unghiul de $30°$ mijlocul laturii.

Exemple rezolvate

Din ipotenuză, cateta

În $\triangle ABC$ $\angle A = 90°$ $\angle B = 30°$ și $BC = 10\text{ cm}$ Află $AC$

Vezi rezolvarea

$AC$ este cateta opusă unghiului de $30°$ deci $AC = \frac{10}{2} = 5\text{ cm}$

Din catetă, ipotenuza

În $\triangle ABC$ $\angle A = 90°$ $\angle B = 30°$ și $AC = 4\text{ cm}$ Află $BC$

Vezi rezolvarea

$AC$ este opusă lui $\angle B = 30°$ deci $AC = \frac{BC}{2}$ și $BC = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm}$

Care catetă este opusă?

În $\triangle ABC$ $\angle A = 90°$ $\angle C = 30°$ și $BC = 14\text{ cm}$ Care catetă este jumătate din ipotenuză? Cât are?

Vezi rezolvarea

Unghiul de $30°$ este în $C$ Cateta opusă lui este cea care nu trece prin $C$ $AB$ Deci $AB = 14 : 2 = 7\text{ cm}$ Cateta $AC$ nu este jumătate din ipotenuză.

Reciproca: aflăm unghiurile

În $\triangle ABC$ $\angle A = 90°$ $AC = 6\text{ cm}$ și $BC = 12\text{ cm}$ Află $\angle B$ și $\angle C$

Vezi rezolvarea

$AC = \frac{BC}{2}$ și triunghiul este dreptunghic, deci unghiul opus lui $AC$ adică $\angle B$ are $30°$ (reciproca). Atunci $\angle C = 90° - 30° = 60°$

Alege proprietatea

În $\triangle ABC$ $\angle A = 90°$ $\angle C = 60°$ și $BC = 14\text{ cm}$ Ce latură poți afla doar cu proprietățile din lecție?

Vezi rezolvarea

$\angle B = 90° - 60° = 30°$ Cateta opusă lui $\angle B$ este $AC$ deci $AC = 7\text{ cm}$ Cateta $AB$ opusă unghiului de $60°$ nu se află cu această proprietate (ai nevoie de teorema lui Pitagora).

Mediana ipotenuzei

În $\triangle ABC$ $\angle A = 90°$ $M$ este mijlocul lui $BC$ și $BC = 10\text{ cm}$ Află $AM$ $BM$ și $CM$

Vezi rezolvarea

BC = 10\text{ cm}

Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: $AM = BM = CM = 5\text{ cm}$

Din mediană, ipotenuza

În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ mediana $AM$ are $4\text{ cm}$ Cât are ipotenuza?

Vezi rezolvarea

$AM = \frac{BC}{2}$ deci $BC = 8\text{ cm}$

Reciproca medianei

În $\triangle ABC$ $M$ este mijlocul lui $BC$ și $MA = MB = MC = 5\text{ cm}$ Ce fel de triunghi este $ABC$

Vezi rezolvarea

Mediana $AM$ este jumătate din latura $BC$ $BC = 10\text{ cm}$ deci triunghiul este dreptunghic în $A$ vârful din care pleacă mediana (reciproca).

Două proprietăți împreună

În $\triangle ABC$ $\angle A = 90°$ $\angle B = 30°$ $BC = 12\text{ cm}$ iar $M$ este mijlocul lui $BC$ Arată că $\triangle AMC$ este echilateral și află perimetrul lui.

Vezi rezolvarea

BC = 12\text{ cm}

$AC = 6\text{ cm}$ (opusă lui $30°$ $AM = CM = 6\text{ cm}$ (mediana ipotenuzei). Deci $AM = MC = CA$ echilateral, cu perimetrul $18\text{ cm}$

Problemă în trei pași

În $\triangle ABC$ $\angle A = 90°$ $\angle B = 30°$ $BC = 16\text{ cm}$ iar $AD \perp BC$ $D$ pe $BC$ Află $DC$ și $BD$

Vezi rezolvarea

BC = 16\text{ cm}

$AC = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}$ (opusă lui $\angle B = 30°$ în $\triangle ABC$
În $\triangle ADC$ dreptunghic în $D$ $\angle C = 60°$ deci $\angle DAC = 30°$ Cateta opusă lui este $DC = \frac{AC}{2} = 4\text{ cm}$
$BD = 16 - 4 = 12\text{ cm}$

Mediana și un unghi

În $\triangle ABC$ $\angle A = 90°$ $\angle B = 35°$ și $M$ este mijlocul lui $BC$ Află $\angle AMC$

Vezi rezolvarea

$MA = MB$ (mediana ipotenuzei), deci $\triangle ABM$ este isoscel și $\angle BAM = \angle B = 35°$ $\angle AMC$ este unghi exterior lui $\triangle ABM$ $35° + 35° = 70°$

Afirmația greșită: cateta și cealaltă catetă

Radu scrie: „În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ $AC = 3\text{ cm}$ și $AB = 6\text{ cm}$ deci $\angle B = 30°$ Are dreptate?

Vezi rezolvarea

Nu. $AC$ este jumătate din cateta $AB$ nu din ipotenuză. Reciproca cere $AC = \frac{BC}{2}$ iar $BC$ este mai lungă decât $AB$ deci $\frac{BC}{2} > 3\text{ cm}$ Unghiul $B$ este mai mic de $30°$

Afirmația greșită: fără unghi drept

Ioana spune: „În $\triangle ABC$ $\angle B = 30°$ deci $AC = \frac{BC}{2}$ Ce lipsește?

Vezi rezolvarea

Lipsește unghiul drept. Proprietatea este doar pentru triunghiul dreptunghic, iar $BC$ trebuie să fie ipotenuza (unghiul drept în $A$ În figură $\angle A$ este obtuz și $AC \ne \frac{BC}{2}$

Direct sau reciproc?

Pentru fiecare raționament, spune dacă folosești proprietatea directă sau reciproca: a) $\angle A = 90°$ $M$ mijlocul lui $BC$ deci $AM = \frac{BC}{2}$ b) $M$ mijlocul lui $BC$ și $AM = \frac{BC}{2}$ deci $\angle A = 90°$ c) $\angle A = 90°$ $AB = \frac{BC}{2}$ deci $\angle C = 30°$

Vezi rezolvarea

a) directă (mediana); b) reciprocă (mediana); c) reciprocă (unghiul de $30°$ $AB$ este opusă lui $\angle C$

Greșeli frecvente

Iei jumătate din ipotenuză pentru cateta alăturată unghiului de $30°$
Doar cateta opusă unghiului de $30°$ (cea care nu trece prin vârful lui) este jumătate din ipotenuză.
Aplici proprietatea de $30°$ într-un triunghi fără unghi drept.
Proprietatea cere un triunghi dreptunghic. Fără unghi drept nu se aplică.
„O catetă este jumătate din cealaltă catetă, deci un unghi are $30°$
Reciproca cere o catetă egală cu jumătate din ipotenuză.
Folosești mediana din alt vârf (de exemplu din $B$ ca și cum ar fi jumătate din ipotenuză.
Proprietatea este pentru mediana dusă din vârful unghiului drept la ipotenuză.
Consideri „mediană” orice segment din $A$ până pe $BC$
Mediana ajunge exact în mijlocul lui $BC$ Înălțimea pe ipotenuză, de exemplu, nu este mediană.
Compari mediana cu altă latură decât cea pe care cade.
Reciproca medianei cere $AM = \frac{BC}{2}$ unde $M$ este mijlocul lui $BC$
„Unghiul pare drept pe desen, deci aplic proprietățile.”
Unghiul drept trebuie să fie dat sau demonstrat, nu citit de pe desen.
Demonstrezi reciproca folosind teorema directă.
Directa pornește de la concluzia reciprocei. Reciproca are demonstrația ei.

Exerciții

Ușor

În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ scrie catetele și ipotenuza.
Arată răspunsul
Răspuns: catetele $AB$ și $AC$ ipotenuza $BC$
În figură, $\angle B = 90°$ și $\angle A = 30°$ Care este ipotenuza? Care catetă este jumătate din ipotenuză?
Arată răspunsul
Răspuns: ipotenuza $AC$ cateta $BC$
Unghiul drept este în $B$ deci ipotenuza este $AC$ Cateta opusă unghiului de $30°$ din $A$ este cea care nu trece prin $A$ $BC$
$\angle A = 90°$ și $\angle B = 30°$ Cât măsoară $\angle C$
Arată răspunsul
Răspuns: $60°$
Într-un triunghi dreptunghic, un unghi ascuțit măsoară $30°$ Cât măsoară celălalt unghi ascuțit?
Arată răspunsul
Răspuns: $60°$
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de $18\text{ cm}$ și un unghi de $30°$ Cât are cateta opusă acestui unghi?
Arată răspunsul
Răspuns: $9\text{ cm}$
În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ $M$ este mijlocul ipotenuzei și $BC = 15\text{ cm}$ Află $AM$
Arată răspunsul
Răspuns: $7{,}5\text{ cm}$
Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: $AM = 15 : 2 = 7{,}5\text{ cm}$
În $\triangle PQR$ dreptunghic în $P$ $S$ este mijlocul ipotenuzei $QR$ și $PS = 6{,}5\text{ cm}$ Află $SR$ și $QR$
Arată răspunsul
Răspuns: $SR = 6{,}5\text{ cm}$ $QR = 13\text{ cm}$
Mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de cele trei vârfuri: $SR = SQ = SP = 6{,}5\text{ cm}$ deci $QR = 2 \cdot 6{,}5 = 13\text{ cm}$
În $\triangle DEF$ din figură, $\angle E = 90°$ $\angle F = 30°$ și $DF = 9\text{ cm}$ Care catetă are $4{,}5\text{ cm}$
Arată răspunsul
Răspuns: $DE$
Unghiul de $30°$ este în $F$ Cateta opusă lui este cea care nu trece prin $F$ $DE = 9 : 2 = 4{,}5\text{ cm}$

Mediu

În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ $AC = 6\text{ cm}$ și $BC = 12\text{ cm}$ Calculează raportul $\dfrac{AC}{BC}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{6}{12}=\dfrac12$
$\angle A = 90°$ $AB = 5\text{ cm}$ $BC = 10\text{ cm}$ Care unghi are $30°$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle C$
$AB$ este opusă lui $\angle C$
$N$ este mijlocul lui $AC$ și $NA = NB = NC = 4\text{ cm}$ Află $\angle ABC$ și lungimea lui $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle ABC = 90°$ $AC = 8\text{ cm}$
Mediana $BN$ este jumătate din latura $AC$ $AC = 2 \cdot 4 = 8\text{ cm}$ deci triunghiul este dreptunghic în $B$ vârful din care pleacă mediana (reciproca).
În $\triangle ABC$ $M$ este mijlocul lui $BC$ $BC = 12\text{ cm}$ și $AM = 6\text{ cm}$ Este triunghiul dreptunghic? În ce vârf?
Arată răspunsul
Răspuns: da, în $A$
În $\triangle ABC$ $M$ este mijlocul lui $BC$ $BC = 12\text{ cm}$ și $AM = 7\text{ cm}$ Poate $\angle A$ să fie drept?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu: dacă ar fi drept, mediana ar avea exact $6\text{ cm}$
Triunghiul $PQR$ din figură este dreptunghic în $P$ iar $QR = 9\text{ cm}$ Unde se află centrul cercului circumscris? Cât este raza lui?
Arată răspunsul
Răspuns: la mijlocul ipotenuzei $QR$ raza $4{,}5\text{ cm}$
Mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de $P$ $Q$ și $R$ (mediana ipotenuzei este jumătate din ea), deci este centrul cercului circumscris. Raza este $9 : 2 = 4{,}5\text{ cm}$
$\angle A = 90°$ $\angle C = 60°$ $BC = 20\text{ cm}$ Află $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $10\text{ cm}$
$\angle B = 30°$ iar $AC$ este opusă lui $\angle B$
Scrie reciproca: „Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.”
Arată răspunsul
Răspuns: Dacă într-un triunghi mediana corespunzătoare unei laturi este jumătate din acea latură, atunci triunghiul este dreptunghic (unghiul drept este opus acelei laturi).
În figură, $\angle A = 90°$ $AB = 4\text{ cm}$ și $BC = 8\text{ cm}$ Radu spune: $AB$ este jumătate din ipotenuză, deci $\angle B = 30°$ Are dreptate?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu: $AB$ este opusă lui $\angle C$ deci $\angle C = 30°$ iar $\angle B = 60°$
Reciproca spune că unghiul de $30°$ este cel opus catetei care este jumătate din ipotenuză. $AB$ nu trece prin $C$ deci este opusă lui $\angle C$ Atunci $\angle B = 90° - 30° = 60°$

Provocare

$\angle A = 90°$ $\angle C = 30°$ $BC = 14\text{ cm}$ $M$ mijlocul lui $BC$ Arată că $\triangle AMB$ este echilateral și află perimetrul lui.
Arată răspunsul
Răspuns: $21\text{ cm}$
$AB = 14 : 2 = 7\text{ cm}$ (opusă unghiului de $30°$ din $C$ $AM = MB = 7\text{ cm}$ (mediana ipotenuzei). Toate laturile lui $\triangle AMB$ au $7\text{ cm}$ este echilateral, cu perimetrul $21\text{ cm}$
$\angle A = 90°$ $\angle C = 30°$ $AB = 6\text{ cm}$ $AD \perp BC$ $D$ pe $BC$ Află $BC$ $BD$ și $DC$
Arată răspunsul
Răspuns: $BC = 12\text{ cm}$ $BD = 3\text{ cm}$ $DC = 9\text{ cm}$
$AB$ este opusă unghiului de $30°$ deci $BC = 2 \cdot 6 = 12\text{ cm}$ $\angle B = 60°$ iar în $\triangle ABD$ (drept în $D$ $\angle BAD = 90° - 60° = 30°$ deci $BD = \frac{AB}{2} = 3\text{ cm}$ $DC = 12 - 3 = 9\text{ cm}$
În $\triangle ABC$ $\angle A = 90°$ $\angle B = 30°$ $AC = 5\text{ cm}$ $AB$ are aproximativ $8{,}7\text{ cm}$ și $M$ este mijlocul lui $BC$ Află $AM$ Ce dată nu îți trebuie?
Arată răspunsul
Răspuns: $AM = 5\text{ cm}$ $AB$ nu trebuie
$BC = 10$ (30°), $AM = 5$ (mediana ipotenuzei).
Demonstrează reciproca medianei: $M$ mijlocul lui $BC$ și $AM = \frac{BC}{2}$ implică $\angle A = 90°$ Scrie pașii cu justificări.
Arată răspunsul
Răspuns: $MA = MB = MC$ $\angle MAB = \angle B$ $\angle MAC = \angle C$ (isoscele); $\angle A = \angle B + \angle C$ $2\angle A = 180°$ $\angle A = 90°$
Găsește greșeala: „În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ $AH \perp BC$ deci $AH = \frac{BC}{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $AH$ este înălțime, nu mediană $H$ nu este mijlocul lui $BC$ Doar mediana $AM$ este jumătate din ipotenuză.
Găsește greșeala: „Unghiul $A$ pare drept, deci $AM = \frac{BC}{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: Desenul nu este dovadă: aici $\angle A = 88°$ Unghiul drept trebuie dat sau demonstrat.
În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ ipotenuza are $20\text{ cm}$ iar mediana $AM$ este egală cu $AC$ Află $\angle B$
Arată răspunsul
Răspuns: $30°$
$AM = 10$ deci $AC = 10 = \frac{BC}{2}$ reciproca de $30°$ dă $\angle B = 30°$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. În figură, $\angle M = 90°$ și $\angle K = 30°$ Ce latură este jumătate din $KL$
1. $KM$
2. $LM$
3. $KL$
4. niciuna
Arată răspunsul
Răspuns: $LM$
$KL$ este ipotenuza. Cateta opusă unghiului de $30°$ din $K$ este $LM$ deci $LM = \frac{KL}{2}$
2. Ipotenuza are $30\text{ cm}$ iar un unghi ascuțit are $30°$ Cateta opusă lui are:
1. $10\text{ cm}$
2. $15\text{ cm}$
3. $60\text{ cm}$
4. nu se poate afla
Arată răspunsul
Răspuns: $15\text{ cm}$
Cateta opusă unghiului de $30°$ este jumătate din ipotenuză: $30 : 2 = 15\text{ cm}$
3. $\angle Q = 90°$ $QR = 20\text{ cm}$ $PR = 40\text{ cm}$ (figura). Cât este $\angle R$
1. $30°$
2. $45°$
3. $60°$
4. $90°$
Arată răspunsul
Răspuns: $60°$
Reciproca: cateta $QR$ este jumătate din ipotenuza $PR$ deci unghiul opus ei, $\angle P$ are $30°$ Atunci $\angle R = 90° - 30° = 60°$
4. În $\triangle EFG$ dreptunghic în $E$ $FG = 17\text{ cm}$ și $N$ este mijlocul lui $FG$ $EN$ =
1. $17\text{ cm}$
2. $8{,}5\text{ cm}$
3. $4{,}25\text{ cm}$
4. nu se poate afla
Arată răspunsul
Răspuns: $8{,}5\text{ cm}$
Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză: $EN = 17 : 2 = 8{,}5\text{ cm}$
5. $M$ este mijlocul lui $BC$ și $AM = \frac{BC}{2}$ Ce rezultă?
1. $\angle A = 90°$
2. $\angle B = 90°$
3. $\angle A = 30°$
4. nimic
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle A = 90°$
6. $\angle A = 90°$ $AC = \frac{BC}{2}$ deci $\angle B = 30°$ folosește:
1. teorema lui Pitagora
2. mediana ipotenuzei
3. proprietatea directă
4. reciproca proprietății de $30°$
Arată răspunsul
Răspuns: reciproca proprietății de $30°$
7. Triunghiul $STU$ este dreptunghic în $S$ iar $ST = SU$ (figura). Are vreun unghi de $30°$
1. da, $\angle T$
2. da, $\angle U$
3. nu, ambele unghiuri ascuțite au câte $45°$
4. nu se poate ști
Arată răspunsul
Răspuns: nu, ambele unghiuri ascuțite au câte $45°$
$ST = SU$ deci $\angle T = \angle U$ iar împreună au $180° - 90° = 90°$ fiecare are $45°$ Nicio catetă nu este jumătate din ipotenuză.
8. Care segment din $A$ este jumătate din ipotenuză, într-un triunghi dreptunghic în $A$
1. înălțimea
2. bisectoarea
3. mediana
4. oricare
Arată răspunsul
Răspuns: mediana
9. În $\triangle ABC$ $\angle B = 30°$ și $\angle A = 110°$ Este $AC = \frac{BC}{2}$
1. da, mereu
2. da, pentru că $\angle B = 30°$
3. doar dacă $AB = AC$
4. nu neapărat: triunghiul nu este dreptunghic
Arată răspunsul
Răspuns: nu neapărat: triunghiul nu este dreptunghic
10. $\angle A = 90°$ $\angle C = 30°$ $BC = 22\text{ cm}$ $M$ mijlocul lui $BC$ Cât este perimetrul $\triangle AMB$ (în cm)?
Arată răspunsul
Răspuns: $33$
$AB$ este opusă unghiului de $30°$ deci $AB = 11$ Mediana ipotenuzei: $AM = MB = 11$ Perimetrul este $11 + 11 + 11 = 33$

Întrebări frecvente

Ce spune proprietatea unghiului de 30°?

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de $30°$ este jumătate din ipotenuză.

Care este reciproca ei?

Dacă într-un triunghi dreptunghic o catetă este jumătate din ipotenuză, atunci unghiul opus acelei catete are $30°$

Cât este mediana dusă la ipotenuză?

Jumătate din ipotenuză. Mijlocul ipotenuzei este la aceeași distanță de toate cele trei vârfuri: $AM = BM = CM$

Cum arăt că un triunghi este dreptunghic cu mediana?

Arăți că mediana corespunzătoare unei laturi este jumătate din acea latură. Atunci unghiul opus laturii este drept.

Se aplică proprietatea de 30° în orice triunghi?

Nu. Doar în triunghiul dreptunghic și doar pentru cateta opusă unghiului de $30°$

Ce vei învăța

Ideea de bază

Recapitulare: catete, ipotenuză

Cateta opusă unghiului de 30°

Reciproca: o catetă jumătate din ipotenuză

Mediana corespunzătoare ipotenuzei

Reciproca: mediana egală cu jumătate din latură

Direct și reciproc, pe scurt

Când proprietățile NU se aplică

Recapitulare

Exemple rezolvate

Din ipotenuză, cateta

Din catetă, ipotenuza

Care catetă este opusă?

Reciproca: aflăm unghiurile

Alege proprietatea

Mediana ipotenuzei

Din mediană, ipotenuza

Reciproca medianei

Două proprietăți împreună

Problemă în trei pași

Mediana și un unghi

Afirmația greșită: cateta și cealaltă catetă

Afirmația greșită: fără unghi drept

Direct sau reciproc?

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VI-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VI-a

Matematică pentru încredere și reușită. Partea a II-a. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea a II-a