Drepte perpendiculare, distanța punct–dreaptă, mediatoarea și simetria

Ce vei învăța

Definesc dreptele perpendiculare și folosesc corect notația $a \perp b$
Deosebesc dreptele perpendiculare de cele oblice și de cele paralele.
Construiesc cu echerul perpendiculara dintr-un punct pe o dreaptă și determin distanța de la punct la dreaptă.
Definesc și construiesc cu rigla și compasul mediatoarea unui segment.
Construiesc simetricul unui punct și al unei figuri față de o dreaptă.

Recomandat înainte: Drepte paralele. Axioma paralelelor. Criterii de paralelism

Ideea de bază

Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează și formează un unghi drept, adică un unghi de $90°$ Scriem $a \perp b$ și citim $a$ este perpendiculară pe $b$

Cu perpendiculara definim trei noțiuni noi: distanța de la un punct la o dreaptă, mediatoarea unui segment și simetricul unui punct față de o dreaptă. Și aici desenul nu este dovadă: unghiul drept se stabilește din marcaj sau din date, nu din cum arată figura.

Drepte perpendiculare

Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează formând un unghi drept.

a \perp b

Careul mic din

O

este marcajul de unghi drept.

Notația $a \perp b$ se citește „dreapta $a$ este perpendiculară pe dreapta $b$ Relația merge în ambele sensuri: dacă $a \perp b$ atunci și $b \perp a$ Punctul $O$ în care se intersectează se numește piciorul perpendicularei.

Ajunge un singur unghi drept. Cele patru unghiuri formate în $O$ sunt atunci toate drepte: unghiul opus la vârf are tot $90°$ iar fiecare unghi alăturat are $180° - 90° = 90°$

m \perp n

Dreptele perpendiculare nu trebuie să fie orizontală și verticală; contează doar unghiul de

90°

dintre ele.

O dreaptă care intersectează dreapta $d$ fără să fie perpendiculară pe ea se numește oblică față de $d$

Paralel sau perpendicular

Simbolurile $\parallel$ și $\perp$ se confundă ușor, dar spun lucruri opuse despre punctele comune:

a \parallel b

dreptele nu se intersectează.

c \perp d

dreptele se intersectează și formează un unghi de

90°

Poziția	Puncte comune	Notație
paralele	niciunul	$a \parallel b$
perpendiculare	exact unul, unghi de $90°$	$c \perp d$
oblice	exact unul, unghi diferit de $90°$	fără simbol

Cum le ții minte

$\parallel$ are două bare care nu se ating, ca două drepte paralele. $\perp$ are o bară care cade drept pe alta, ca două drepte perpendiculare.

Unghiul drept și marcajul lui

Un unghi drept are $90°$ În figuri, unghiul drept se marchează cu un careu mic în vârf, nu cu un arc. Arcul se folosește pentru unghiuri oarecare.

Perpendicularitatea se citește din marcaj sau din date. Priviți cele două figuri de mai jos: arată aproape la fel.

Fără marcaj și fără date nu putem scrie

m \perp n

Aici, de fapt, unghiul dintre ele are

87°

Careul de unghi drept din

P

ne dă informația:

m \perp n

Desenul nu este dovadă

O dreaptă care pare perpendiculară nu este automat perpendiculară. Un punct care pare mijlocul unui segment nu este automat mijloc. Două segmente care par egale nu sunt automat egale. Concluziile vin din date, din marcaje (careul de unghi drept, liniuțele pe segmente) și din proprietăți cunoscute.

Perpendiculara dintr-un punct pe o dreaptă

Printr-un punct $P$ se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă $d$ fie că $P$ este pe dreaptă, fie că este în afara ei. Punctul $H$ în care perpendiculara taie dreapta $d$ se numește piciorul perpendicularei.

Construcția cu echerul, când $P$ nu este pe $d$

Așază o latură a unghiului drept al echerului de-a lungul dreptei $d$
Glisează echerul pe $d$ până când cealaltă latură a unghiului drept trece prin $P$
Trage cu creionul de-a lungul acestei laturi, de la $P$ până la $d$ Notează cu $H$ punctul în care ajungi pe $d$
Marchează unghiul drept din $H$ Ai obținut $PH \perp d$

Perpendiculara din

P

pe

d

PH \perp d

iar

H

este piciorul perpendicularei.

Distanța de la un punct la o dreaptă

Definiție

Distanța de la un punct $P$ la o dreaptă $d$ este lungimea segmentului $PH$ unde $PH \perp d$ și $H$ este pe $d$

Pentru a găsi distanța duci perpendiculara din $P$ pe $d$ și măsori $PH$ cu rigla gradată. Dacă $P$ este chiar pe dreapta $d$ distanța este $0$

Un segment $PA$ cu $A$ pe $d$ și $A$ diferit de $H$ se numește oblică dusă din $P$ pe $d$ Lungimea unei oblice NU este distanța de la $P$ la $d$

Figura este la scară. Distanța de la

P

la

d

este

PH = 3\text{ cm}

Oblica

PA

are

5\text{ cm}

deci este mai lungă.

Oricum ai alege punctul $A$ pe $d$ diferit de $H$ oblica $PA$ iese mai lungă decât $PH$ Perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă, de aceea lungimea ei se numește distanță. Vei demonstra acest fapt mai târziu, la triunghiul dreptunghic.

Mediatoarea unui segment

Definiție

Mediatoarea unui segment $AB$ este dreapta perpendiculară pe $AB$ care trece prin mijlocul segmentului $AB$

Sunt două condiții și trebuie îndeplinite amândouă: dreapta trece prin mijlocul $M$ al lui $AB$ și este perpendiculară pe $AB$ Fiecare segment are o singură mediatoare.

d

este mediatoarea lui

AB

liniuțele arată

AM = MB

iar careul arată

d \perp AB

Dacă lipsește una dintre condiții, dreapta nu este mediatoarea:

e

trece prin mijlocul

M

dar nu este perpendiculară pe

AB

Nu este mediatoarea.

f \perp AB

dar trece prin

N

nu prin mijlocul

M

Nu este mediatoarea.

Bisectoare sau mediatoare
Aspect	Bisectoarea	Mediatoarea
Ce este	o semidreaptă	o dreaptă
Pentru ce figură	pentru un unghi	pentru un segment
Unde pornește / pe unde trece	pornește din vârful unghiului	trece prin mijlocul segmentului
Ce face	împarte unghiul în două unghiuri egale	este perpendiculară pe segment

Construcția mediatoarei cu rigla și compasul

Deschide compasul mai mult decât jumătate din lungimea lui $AB$
Cu vârful compasului în $A$ trage un arc deasupra segmentului și unul dedesubt.
Cu aceeași deschidere, cu vârful în $B$ trage două arce care le taie pe primele. Notează cu $P$ (sus) și $Q$ (jos) punctele în care se taie arcele.
Trasează cu rigla dreapta $PQ$ Ea este mediatoarea lui $AB$ iar punctul $M$ în care taie segmentul $AB$ este mijlocul lui $AB$

Arcele au aceeași rază. Dreapta

PQ

este mediatoarea lui

AB

PQ \perp AB

și

AM = MB

Dacă deschiderea compasului este mai mică decât jumătate din $AB$ arcele din $A$ și din $B$ nu se întâlnesc. De ce construcția dă exact mediatoarea vei vedea la triunghiurile congruente.

O altă metodă, cu rigla gradată și echerul: măsori $AB$ marchezi mijlocul $M$ la jumătatea lungimii, apoi duci cu echerul perpendiculara pe $AB$ în $M$

Simetria față de o dreaptă

Definiție

Punctele $P$ și $P'$ sunt simetrice față de dreapta $d$ dacă $d$ este mediatoarea segmentului $PP'$ adică $PP' \perp d$ și $d$ trece prin mijlocul lui $PP'$ Dreapta $d$ se numește axă de simetrie.

P

și

P'

sunt simetrice față de

d

PP' \perp d

și

PH = HP'

Dreapta

d

este mediatoarea segmentului

PP'

Cu $H$ punctul în care $PP'$ taie axa: $PH = HP'$ deci $P$ și $P'$ sunt la aceeași distanță de axă, de o parte și de alta a ei. Un punct aflat chiar pe axă este propriul lui simetric.

Construcția simetricului unui punct $P$ față de dreapta $d$

Duci cu echerul perpendiculara din $P$ pe $d$ și notezi cu $H$ piciorul ei.
Prelungești segmentul $PH$ dincolo de dreapta $d$
Pe prelungire, marchezi punctul $P'$ astfel încât $HP' = PH$ (cu rigla gradată sau cu compasul, cu vârful în $H$ și deschiderea $HP$

Simetricul unei figuri se obține construind simetricul fiecărui vârf și unind punctele obținute în aceeași ordine. Dacă îndoi foaia după axa $d$ figura și simetrica ei se suprapun, deci au laturile și unghiurile egale.

Triunghiul

A'B'C'

este simetricul triunghiului

ABC

față de

d

fiecare vârf are simetricul lui (segmentele punctate sunt perpendiculare pe

d

și au mijlocul pe

d

iar

A'B' = AB

B'C' = BC

A'C' = AC

Exemple rezolvate

Exemplul 1: ce drepte sunt perpendiculare?

În figură, care drepte sunt date ca perpendiculare?

Vezi rezolvarea

În $O$ este marcat unghiul drept, deci $a \perp b$ În $K$ nu există marcaj și nu avem date, deci nu putem afirma că $c \perp a$ chiar dacă $c$ pare aproape verticală.

Exemplul 2: un unghi în interiorul unghiului drept

Semidreptele $OA$ și $OB$ sunt perpendiculare, iar $OC$ este în interiorul unghiului $AOB$ cu $m(\angle AOC) = 35°$ Calculează $m(\angle COB)$

Vezi rezolvarea

$OA \perp OB$ deci $m(\angle AOB) = 90°$ Unghiurile $AOC$ și $COB$ sunt adiacente și formează împreună unghiul $AOB$

m(\angle COB) = 90° - 35° = 55°

Exemplul 3: care segment este distanța?

În figură, $A$ $H$ și $B$ sunt pe dreapta $d$ Care segment are lungimea egală cu distanța de la $P$ la $d$

Vezi rezolvarea

Distanța este lungimea segmentului perpendicular pe $d$ Careul de unghi drept este în $H$ deci $PH \perp d$ iar distanța de la $P$ la $d$ este $PH$ Segmentele $PA$ și $PB$ sunt oblice.

Exemplul 4: distanța, când ai mai multe lungimi

Punctele $H$ $A$ $B$ sunt pe dreapta $d$ $PH \perp d$ $PH = 4\text{ cm}$ $PA = 5\text{ cm}$ $PB = 6\text{ cm}$ Cât este distanța de la $P$ la $d$

Vezi rezolvarea

Distanța este lungimea perpendicularei, nu a unei oblice: $4\text{ cm}$ Ca verificare, perpendiculara este cel mai scurt segment, iar $4\text{ cm}$ este cea mai mică dintre lungimi.

Exemplul 5: distanța, pe o figură la scară

În figură, $PH \perp d$ $PH = 5\text{ cm}$ și $PA = 7\text{ cm}$ cu $A$ pe $d$ Care este distanța de la $P$ la $d$

Vezi rezolvarea

$PH \perp d$ deci distanța de la $P$ la $d$ este $PH = 5\text{ cm}$ Lungimea $PA = 7\text{ cm}$ este a unei oblice și nu contează aici.

Exemplul 6: este dreapta mediatoarea?

Dreapta $e$ trece prin mijlocul $M$ al segmentului $AB$ și formează cu $AB$ un unghi de $70°$ Este $e$ mediatoarea lui $AB$

Vezi rezolvarea

Nu. Prima condiție este îndeplinită $e$ trece prin $M$ dar a doua nu: unghiul dintre $e$ și $AB$ are $70°$ nu $90°$ Mediatoarea trebuie să fie și perpendiculară pe segment.

Exemplul 7: calcul cu mijlocul

Dreapta $d$ este mediatoarea segmentului $AB$ și îl taie în $M$ a) Dacă $AB = 14\text{ cm}$ cât este $AM$ b) Dacă $MB = 4{,}5\text{ cm}$ cât este $AB$ c) Ce măsură are unghiul dintre $d$ și $AB$

Vezi rezolvarea

Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului, deci $M$ este mijlocul lui $AB$ și $AM = MB = AB : 2$

\text{a) } AM = 14 : 2 = 7\text{ cm}

\text{b) } AB = 2 \cdot 4{,}5 = 9\text{ cm}

c) Mediatoarea este perpendiculară pe segment, deci unghiul are $90°$

Exemplul 8: simetricul unui punct

Punctul $P$ este la $2\text{ cm}$ de dreapta $d$ iar $P'$ este simetricul lui $P$ față de $d$ Segmentul $PP'$ taie $d$ în $H$ Calculează $HP'$ și $PP'$

Vezi rezolvarea

$d$ este mediatoarea lui $PP'$ deci $PP' \perp d$ și $H$ este mijlocul lui $PP'$ Pentru că $PH \perp d$ distanța de la $P$ la $d$ este $PH = 2\text{ cm}$

HP' = PH = 2\text{ cm}, \quad PP' = 2 \cdot 2 = 4\text{ cm}

Exemplul 9: construcția mediatoarei unui segment de 6 cm

Construiește mediatoarea unui segment $AB$ cu $AB = 6\text{ cm}$

Vezi rezolvarea

Desenează cu rigla gradată segmentul $AB$ de $6\text{ cm}$
Deschide compasul mai mult decât $3\text{ cm}$ de exemplu $4\text{ cm}$
Cu vârful în $A$ trage un arc deasupra lui $AB$ și unul dedesubt. Cu aceeași deschidere, vârful în $B$ trage încă două arce. Notează cu $P$ și $Q$ punctele în care se taie arcele.
Trasează dreapta $PQ$ și notează cu $M$ intersecția ei cu $AB$ Verificare: $AM = MB = 3\text{ cm}$ iar echerul se potrivește exact în unghiul din $M$

Exemplul 10: puncte simetrice, distanța până la axă

Punctele $A$ și $B$ sunt simetrice față de dreapta $d$ iar $AB = 10\text{ cm}$ Segmentul $AB$ taie $d$ în $M$ Ce măsură are unghiul dintre $AB$ și $d$ Cât este distanța de la $A$ la $d$

Vezi rezolvarea

$A$ și $B$ sunt simetrice față de $d$ deci $d$ este mediatoarea lui $AB$ $AB \perp d$ (unghiul are $90°$ și $M$ este mijlocul lui $AB$
$AM = 10 : 2 = 5\text{ cm}$
$AM \perp d$ și $M$ este pe $d$ deci distanța de la $A$ la $d$ este $AM = 5\text{ cm}$

Exemplul 11: găsește greșeala

Un elev scrie: „Punctul $M$ este mijlocul lui $AB$ și dreapta $d$ trece prin $M$ Deci $d$ este mediatoarea lui $AB$ Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Raționamentul verifică doar o condiție. Prin $M$ trec o infinitate de drepte, dar numai una dintre ele este perpendiculară pe $AB$ Ca să spunem că $d$ este mediatoarea, trebuie să știm și că $d \perp AB$

Greșeli frecvente

Două drepte care par să formeze un unghi drept pe desen sunt perpendiculare.
Sunt perpendiculare doar dacă unghiul drept este marcat (careul) sau dat. Un unghi de $87°$ arată aproape la fel ca unul de $90°$
Orice segment de la $P$ la dreapta $d$ arată distanța de la $P$ la $d$
Distanța este lungimea segmentului perpendicular $PH$ cu $PH \perp d$ Celelalte segmente sunt oblice și sunt mai lungi.
Mediatoarea este orice dreaptă care împarte segmentul în două părți egale.
Mediatoarea trece prin mijlocul segmentului ȘI este perpendiculară pe el. Prin mijloc trec multe drepte, dar doar una este mediatoarea.
Mediatoarea și bisectoarea sunt același lucru.
Bisectoarea este o semidreaptă care împarte un unghi în două unghiuri egale. Mediatoarea este o dreaptă perpendiculară pe un segment, prin mijlocul lui.
Mijlocul unui segment se vede din desen.
Mijlocul se stabilește din date, din marcaje (aceleași liniuțe pe cele două jumătăți) sau prin măsurare, nu după cum arată figura.
Scriu $a \parallel b$ pentru drepte care se intersectează în unghi drept.
Pentru drepte perpendiculare se scrie $a \perp b$ Simbolul $\parallel$ înseamnă paralele, adică drepte fără niciun punct comun.
Două puncte simetrice față de o dreaptă pot fi la distanțe diferite de ea.
Punctele simetrice sunt la aceeași distanță de axă: axa trece prin mijlocul segmentului care le unește.
Pentru simetric, unesc punctul cu axa printr-un segment oarecare și îl prelungesc cu aceeași lungime.
Segmentul trebuie să fie perpendicular pe axă. Axa de simetrie este mediatoarea segmentului $PP'$ deci $PP' \perp d$

Exerciții

Ușor

Completează definiția: două drepte sunt perpendiculare dacă …
Arată răspunsul
Răspuns: se intersectează și formează un unghi drept $90°$
Cum se citește $m \perp n$ Dar $m \parallel n$
Arată răspunsul
Răspuns: $m$ este perpendiculară pe $n$ $m$ este paralelă cu $n$
În figură, ce drepte sunt date ca perpendiculare?
Arată răspunsul
Răspuns: $m \perp n$
Doar în $A$ este marcat unghiul drept. Dreapta $p$ este oblică față de $m$
Două drepte sunt perpendiculare. Câte unghiuri drepte formează ele în punctul de intersecție?
Arată răspunsul
Răspuns: Patru.
Unghiul opus la vârf are tot $90°$ iar fiecare unghi alăturat are $180° - 90° = 90°$
Completează: mediatoarea unui segment este dreapta … pe segment, care trece prin … segmentului.
Arată răspunsul
Răspuns: perpendiculară; mijlocul.
Adevărat sau fals: „Orice dreaptă care trece prin mijlocul unui segment este mediatoarea lui.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Mediatoarea trebuie să fie și perpendiculară pe segment.
Punctul $P$ este chiar pe dreapta $d$ Care este simetricul lui $P$ față de $d$ Cât este distanța de la $P$ la $d$
Arată răspunsul
Răspuns: Simetricul este chiar $P$ distanța este $0$

Mediu

Punctele $A$ $H$ $B$ sunt pe dreapta $d$ Care segment arată distanța de la $P$ la $d$
Arată răspunsul
Răspuns: $PH$
Doar $PH$ este perpendicular pe $d$ (careul din $H$ $PA$ și $PB$ sunt oblice.
$PH \perp d$ cu $H$ pe $d$ $PH = 6\text{ cm}$ iar $A$ este un alt punct al lui $d$ cu $PA = 10\text{ cm}$ Cât este distanța de la $P$ la $d$
Arată răspunsul
Răspuns: $6\text{ cm}$
Distanța este lungimea perpendicularei $PH$ $PA$ este o oblică.
$OA \perp OB$ iar semidreapta $OC$ este în interiorul unghiului $AOB$ cu $m(\angle AOC) = 48°$ Calculează $m(\angle COB)$
Arată răspunsul
Răspuns: $m(\angle COB) = 42°$
$m(\angle AOB) = 90°$ deci $m(\angle COB) = 90° - 48° = 42°$
Dreapta $d$ este mediatoarea segmentului $AB$ cu $AB = 9\text{ cm}$ și îl taie în $M$ Calculează $AM$
Arată răspunsul
Răspuns: $AM = 4{,}5\text{ cm}$
$M$ este mijlocul lui $AB$ $AM = 9 : 2 = 4{,}5\text{ cm}$
Mediatoarea segmentului $AB$ îl taie în $M$ iar $AM = 3{,}5\text{ cm}$ Calculează $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $AB = 7\text{ cm}$
$AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 3{,}5 = 7\text{ cm}$
$P'$ este simetricul lui $P$ față de dreapta $d$ iar $PP' = 12\text{ cm}$ Cât este distanța de la $P$ la $d$
Arată răspunsul
Răspuns: $6\text{ cm}$
$d$ este mediatoarea lui $PP'$ și îl taie în mijlocul $H$ cu $PH \perp d$ Distanța este $PH = 12 : 2 = 6\text{ cm}$
$P$ și $P'$ sunt simetrice față de $d$ Ce unghi formează dreapta $PP'$ cu dreapta $d$
Arată răspunsul
Răspuns: Un unghi drept $90°$
Axa de simetrie este mediatoarea lui $PP'$ deci este perpendiculară pe $PP'$
În figură, liniuțele arată că $M$ este mijlocul lui $AB$ Este dreapta $e$ mediatoarea lui $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu putem afirma că este.
$e$ trece prin mijlocul $M$ dar lipsește marcajul de unghi drept și nu avem date despre unghi. Fără $e \perp AB$ nu putem spune că $e$ este mediatoarea. (Pe desen, unghiul are de fapt $84°$
Pune în ordine pașii construcției mediatoarei lui $AB$ (1) trasezi dreapta $PQ$ (2) cu vârful în $B$ cu aceeași deschidere, tragi două arce; (3) deschizi compasul mai mult decât jumătate din $AB$ (4) cu vârful în $A$ tragi un arc deasupra și unul dedesubtul lui $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: (3), (4), (2), (1).
Pe o foaie cu pătrățele, dreapta $d$ este o linie verticală a caietului. Punctul $P$ este pe un nod al rețelei, la $4$ pătrățele în stânga lui $d$ Unde se află simetricul $P'$
Arată răspunsul
Răspuns: Pe același rând, la $4$ pătrățele în dreapta lui $d$
Liniile orizontale ale caietului sunt perpendiculare pe $d$ deci $PP'$ merge pe rândul lui $P$ iar $P'$ este la aceeași distanță de $d$ de partea cealaltă.

Provocare

Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, iar dreapta $c$ este perpendiculară pe $a$ în $A$ și o taie pe $b$ în $B$ Ce măsură are unghiul dintre $c$ și $b$
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$ deci $c \perp b$
$c$ este secantă pentru paralelele $a$ și $b$ Unghiul din $A$ are $90°$ iar unghiul corespondent din $B$ este egal cu el, deci are tot $90°$ O dreaptă perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă.
Distanța de la punctul $P$ la dreapta $d$ este $5\text{ cm}$ Poate exista pe $d$ un punct $A$ cu $PA = 4\text{ cm}$ Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Distanța, $5\text{ cm}$ este lungimea perpendicularei, cel mai scurt segment de la $P$ la $d$ Orice alt segment $PA$ are cel puțin $5\text{ cm}$
Un elev scrie: $A$ este pe $d$ și $PA = 7\text{ cm}$ deci distanța de la $P$ la $d$ este $7\text{ cm}$ Unde greșește?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu știm dacă $PA \perp d$
Distanța este lungimea perpendicularei. Dacă $PA$ nu este perpendicular pe $d$ este o oblică, iar distanța este mai mică de $7\text{ cm}$
Dreapta $d$ este perpendiculară pe $AB$ în $M$ iar $AM = MB$ Un coleg spune că $d$ este „bisectoarea segmentului $AB$ Corectează-l.
Arată răspunsul
Răspuns: $d$ este mediatoarea segmentului $AB$
Un segment are mediatoare, nu bisectoare. Bisectoarea este o semidreaptă care împarte un unghi în două unghiuri egale.
Triunghiul $A'B'C'$ este simetricul triunghiului $ABC$ față de dreapta $d$ Dacă $AB = 5\text{ cm}$ și distanța de la $C$ la $d$ este $2\text{ cm}$ calculează $A'B'$ și $CC'$
Arată răspunsul
Răspuns: $A'B' = 5\text{ cm}$ $CC' = 4\text{ cm}$
Figura și simetrica ei se suprapun prin îndoire după $d$ deci $A'B' = AB = 5\text{ cm}$ $C$ și $C'$ sunt la câte $2\text{ cm}$ de $d$ de o parte și de alta, pe o perpendiculară pe $d$ $CC' = 2 + 2 = 4\text{ cm}$
$OA \perp OB$ iar semidreapta $OC$ este în interiorul unghiului $AOB$ cu $m(\angle AOC) = 3x$ și $m(\angle COB) = 2x$ Calculează $x$ și măsurile celor două unghiuri.
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 18°$ $m(\angle AOC) = 54°$ $m(\angle COB) = 36°$
$3x + 2x = 90°$ deci $5x = 90°$ și $x = 18°$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Notația $a \perp b$ înseamnă:
1. dreptele $a$ și $b$ sunt paralele
2. dreptele $a$ și $b$ se intersectează formând un unghi drept
3. dreptele $a$ și $b$ nu au niciun punct comun
4. dreapta $a$ trece prin mijlocul lui $b$
Arată răspunsul
Răspuns: dreptele $a$ și $b$ se intersectează formând un unghi drept
2. În figură, $M$ $H$ și $N$ sunt pe dreapta $d$ Care este distanța de la $P$ la $d$
1. $10\text{ cm}$
2. $6\text{ cm}$
3. $7{,}5\text{ cm}$
4. $23{,}5\text{ cm}$
Arată răspunsul
Răspuns: $6\text{ cm}$
Distanța este lungimea perpendicularei: doar $PH$ are careu de unghi drept, deci distanța este $PH = 6\text{ cm}$ $PM$ și $PN$ sunt oblice.
3. $PH \perp d$ cu $H$ pe $d$ $PH = 8\text{ cm}$ iar $A$ pe $d$ cu $PA = 10\text{ cm}$ Cât este distanța de la $P$ la $d$
Arată răspunsul
Răspuns: $8\text{ cm}$
Distanța este lungimea perpendicularei, nu a oblicei.
4. Mediatoarea segmentului $AB$ este:
1. orice dreaptă care trece prin mijlocul lui $AB$
2. orice dreaptă perpendiculară pe $AB$
3. dreapta perpendiculară pe $AB$ care trece prin mijlocul lui $AB$
4. semidreapta care împarte unghiul în două unghiuri egale
Arată răspunsul
Răspuns: dreapta perpendiculară pe $AB$ care trece prin mijlocul lui $AB$
Sunt necesare ambele condiții. Ultima variantă descrie bisectoarea unui unghi.
5. În figură, $AM = MB$ Este $f$ mediatoarea lui $AB$
1. da, pentru că $f \perp AB$
2. nu, pentru că $f$ nu trece prin mijlocul $M$
3. da, pentru că $AM = MB$
4. nu, pentru că $f$ este verticală
Arată răspunsul
Răspuns: nu, pentru că $f$ nu trece prin mijlocul $M$
$f$ este perpendiculară pe $AB$ dar în $N$ nu în mijlocul $M$
6. Dreapta $d$ este mediatoarea segmentului $AB$ cu $AB = 12\text{ cm}$ și îl taie în $M$ Cât este $AM$
Arată răspunsul
Răspuns: $6\text{ cm}$
7. Două drepte par perpendiculare pe desen, dar nu au marcaj de unghi drept și nu ai nicio dată. Ce poți afirma?
1. sunt perpendiculare
2. sunt paralele
3. nu poți afirma că sunt perpendiculare
4. sunt perpendiculare doar dacă una este orizontală
Arată răspunsul
Răspuns: nu poți afirma că sunt perpendiculare
Desenul nu este dovadă; perpendicularitatea se stabilește din marcaje sau din date.
8. $P'$ este simetricul lui $P$ față de dreapta $d$ iar distanța de la $P$ la $d$ este $4\text{ cm}$ Cât este $PP'$
Arată răspunsul
Răspuns: $8\text{ cm}$
$P$ și $P'$ sunt la câte $4\text{ cm}$ de $d$ de o parte și de alta a ei.
9. Care este simetricul unui punct $P$ aflat chiar pe axa de simetrie $d$
1. nu are simetric
2. chiar punctul $P$
3. orice punct de pe $d$
4. un punct la distanța $1\text{ cm}$ de $d$
Arată răspunsul
Răspuns: chiar punctul $P$
10. $OA \perp OB$ iar $OC$ este în interiorul unghiului $AOB$ cu $m(\angle AOC) = 27°$ Cât este $m(\angle COB)$
Arată răspunsul
Răspuns: $63°$
$90° - 27° = 63°$

Întrebări frecvente

Ce sunt dreptele perpendiculare?

Două drepte care se intersectează formând un unghi drept, adică de $90°$ Se notează $a \perp b$

Ce este distanța de la un punct la o dreaptă?

Lungimea segmentului perpendicular dus din punct pe dreaptă. Dacă $PH \perp d$ și $H$ este pe $d$ distanța de la $P$ la $d$ este $PH$

Ce este mediatoarea unui segment?

Dreapta perpendiculară pe segment care trece prin mijlocul lui. Se construiește cu rigla și compasul, cu arce de aceeași rază din cele două capete ale segmentului.

Care este diferența dintre bisectoare și mediatoare?

Bisectoarea este o semidreaptă care împarte un unghi în două unghiuri egale. Mediatoarea este o dreaptă perpendiculară pe un segment, prin mijlocul lui.

Cum construiesc simetricul unui punct față de o dreaptă?

Duci cu echerul perpendiculara din punct pe dreaptă, cu piciorul $H$ o prelungești dincolo de dreaptă și marchezi pe ea punctul $P'$ cu $HP' = PH$

Drepte perpendiculare. Distanța de la un punct la o dreaptă. Mediatoarea. Simetria față de o dreaptă

Ce vei învăța

Ideea de bază

Drepte perpendiculare

Paralel sau perpendicular

Unghiul drept și marcajul lui

Perpendiculara dintr-un punct pe o dreaptă

Distanța de la un punct la o dreaptă

Mediatoarea unui segment

Construcția mediatoarei cu rigla și compasul

Simetria față de o dreaptă

Exemple rezolvate

Exemplul 1: ce drepte sunt perpendiculare?

Exemplul 2: un unghi în interiorul unghiului drept

Exemplul 3: care segment este distanța?

Exemplul 4: distanța, când ai mai multe lungimi

Exemplul 5: distanța, pe o figură la scară

Exemplul 6: este dreapta mediatoarea?

Exemplul 7: calcul cu mijlocul

Exemplul 8: simetricul unui punct

Exemplul 9: construcția mediatoarei unui segment de 6 cm

Exemplul 10: puncte simetrice, distanța până la axă

Exemplul 11: găsește greșeala

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VI-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VI-a

Matematică pentru încredere și reușită. Partea a II-a. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea a II-a