Lecția 1 din 1 · Dependențe funcționale și date

Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

Aici reiei tabelul de frecvențe, înveți când alegi o diagramă și când alegi un grafic, ce înseamnă ca o mărime să depindă de alta și cum construiești și citești poligonul frecvențelor, o reprezentare proprie, diferită de un grafic obișnuit cu linii.

~ 22 min de citit

Ce vei învăța

Organizezi un set de date brute într-un tabel de frecvențe și verifici totalul.
Alegi între diagramă (categorii) și grafic (ordine, evoluție) pentru un set de date.
Construiești și citești un tabel și un grafic pentru o dependență funcțională dintre două mărimi.
Recunoști dependența funcțională: fiecărei valori de intrare îi corespunde o singură valoare de ieșire.
Construiești poligonul frecvențelor pornind de la un tabel de frecvențe.
Interpretezi un poligon al frecvențelor: valoarea cea mai frecventă, forma distribuției.

Recomandat înainte: Sistemul de axe ortogonale. Puncte în plan. Distanța dintre două puncte

Ideea de bază

Un tabel spune valorile exacte. O reprezentare vizuală (diagramă, grafic) spune dintr-o privire cum stau lucrurile unele față de altele. Alegerea reprezentării potrivite depinde de tipul datelor: categorii fără ordine, o mărime care depinde de alta, sau o distribuție de frecvențe.

Câți frați are fiecare dintre cei $20$ de elevi ai unei clase
Număr de frați	Frecvență (elevi)
$0$	$5$
$1$	$8$
$2$	$4$
$3$	$2$
$4$	$1$

Poligonul frecvențelor pentru datele din tabelul de mai sus.

Aceleași date din tabel apar și în acest poligon al frecvențelor: fiecare vârf corespunde exact unei linii din tabel, iar capetele coboară la frecvența $0$

Recapitulare: tabelul de frecvențe

Din clasele anterioare știi să organizezi un set de date brute într-un tabel de frecvențe: scrii fiecare valoare distinctă o singură dată, iar frecvența ei arată de câte ori apare în set.

Notele obținute de $15$ elevi la un test au fost $7, 8, 9, 7, 10, 8, 9, 9, 7, 8, 8, 9, 10, 8, 9$ Le organizezi în tabel.

Notele a $15$ elevi la un test
Nota	Frecvență (elevi)
$7$	$3$
$8$	$5$
$9$	$5$
$10$	$2$

Verificarea rămâne aceeași

Suma frecvențelor trebuie să fie exact numărul de observații: $3 + 5 + 5 + 2 = 15$ Dacă suma nu se potrivește, o valoare a fost numărată greșit sau omisă.

Diagramă sau grafic: cum alegi

O diagramă cu bare reprezintă categorii care nu au o ordine obligatorie între ele (sporturi preferate, culori, mijloace de transport). Fiecare bară stă singură, iar ordinea categoriilor pe orizontală poate fi schimbată fără să se piardă nimic din informație.

Sportul preferat al

30

de elevi dintr-o clasă.

Un grafic cu linii unește punctele în ordinea datelor, pentru că această ordine chiar contează: momente succesive în timp, sau valori crescătoare ale unei mărimi de la care pornești. Liniile dintre puncte arată o evoluție sau o dependență, nu doar o comparație între categorii separate.

Diagramă (bare): categorii fără ordine obligatorie. Poți schimba ordinea categoriilor fără să pierzi informație.
Grafic (linii): valori într-o ordine care contează (timp, o mărime care crește). Schimbarea ordinii ar strica sensul liniilor.

Nu unești bare cu linii la întâmplare

A uni vârfurile unor categorii fără ordine (de exemplu fotbal, baschet, tenis, înot) printr-o linie sugerează greșit o evoluție între ele, deși nu există niciuna. Linia se folosește doar când ordinea de pe orizontală are sens real.

Dependența funcțională dintre două mărimi

Multe seturi de date arată cum depinde o mărime de alta: costul închirierii unei biciclete depinde de numărul de ore, distanța parcursă depinde de timp, prețul unui bilet depinde de numărul de bilete cumpărate. Spunem că o astfel de dependență este funcțională atunci când fiecărei valori de intrare îi corespunde o singură valoare de ieșire.

La un centru de închiriat biciclete, costul are o parte fixă de $5$ lei și o parte de $3$ lei pentru fiecare oră.

Costul închirierii unei biciclete, în funcție de numărul de ore
Ore	Cost (lei)
$1$	$8$
$2$	$11$
$3$	$14$
$4$	$17$
$5$	$20$

Fiecărui număr de ore îi corespunde exact un cost: la $3$ ore corespunde întotdeauna $14$ lei, niciodată altă valoare. Aceasta este chiar condiția dependenței funcționale: fiecare valoare de intrare are o singură valoare de ieșire asociată.

Graficul dependenței dintre numărul de ore și cost.

Fiecare punct al graficului este o pereche ordonată (ore, cost), exact ca perechile $(x, y)$ dintr-un sistem de axe ortogonale: numărul de ore este abscisa, costul este ordonata. Punctele urcă de la stânga la dreapta, pentru că, pe măsură ce numărul de ore crește, costul crește și el.

Citirea unui grafic de dependență

Pentru a afla costul la un anumit număr de ore, cauți pe orizontală valoarea orelor, urci până la linie, apoi citești pe verticală. Pentru a afla la câte ore corespunde un anumit cost, faci drumul invers: pornești de pe verticală.

Poligonul frecvențelor

Poligonul frecvențelor este o reprezentare proprie pentru un tabel de frecvențe, diferită de un grafic obișnuit cu linii. Se construiește pornind chiar de la diagrama cu bare a frecvențelor.

Construiești diagrama cu bare a frecvențelor: valorile pe orizontală, frecvențele pe verticală.
Marchezi câte un punct exact la mijlocul vârfului fiecărei bare (adică deasupra fiecărei valori, la înălțimea frecvenței ei).
Adaugi câte un punct de frecvență $0$ unul cu o unitate înainte de cea mai mică valoare, unul cu o unitate după cea mai mare valoare.
Unești toate punctele, în ordinea valorilor, prin segmente.

Diagrama cu bare a datelor din tabelul de frați.

Poligonul frecvențelor obținut din aceeași diagramă cu bare.

Poligonul frecvențelor nu este orice grafic cu linii

Diferența este regula de construcție: punctele stau exact deasupra valorilor din tabelul de frecvențe, la înălțimea frecvenței lor, iar capetele coboară obligatoriu la $0$ Un grafic obișnuit cu linii (ca cel de la dependența funcțională) nu are această regulă a capetelor la $0$

Punctele de frecvență $0$ sunt doar capete care închid poligonul. Punctul de la valoarea $-1$ nu înseamnă că cineva are $-1$ frați: arată că, înainte de $0$ nu mai există nicio observație.

Vârful cel mai înalt al poligonului arată valoarea cu frecvența cea mai mare. În exemplul de mai sus, vârful cel mai înalt este la valoarea $1$ (frecvență $8$ deci cei mai mulți elevi au exact $1$ frate.

Interpretarea poligonului frecvențelor

Din forma poligonului frecvențelor citești rapid informații care, în tabel, ar cere să compari mai multe numere.

Valoarea cu frecvența cea mai mare este cea cu vârful cel mai înalt.
Dacă poligonul urcă și apoi coboară aproape simetric, distribuția este apropiată de simetrică.
Dacă poligonul urcă lent și coboară brusc (sau invers), distribuția este asimetrică.
Capetele la $0$ arată clar unde încep și unde se termină valorile din tabel.

În exemplul cu numărul de frați, poligonul urcă repede până la valoarea $1$ apoi coboară mai lent: majoritatea elevilor au $0$ sau $1$ frate, iar valorile mari $3$ $4$ sunt rare.

Poligonul frecvențelor se citește ca și tabelul

Orice afirmație citită dintr-un poligon al frecvențelor trebuie să se potrivească exact cu tabelul de frecvențe din care a fost construit. Dacă nu se potrivește, fie poligonul, fie citirea lui, conține o greșeală.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: construiește tabelul de frecvențe

Numărul de cărți împrumutate într-o zi de $18$ elevi la biblioteca școlii a fost $1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 4$ Organizează datele într-un tabel de frecvențe.

Vezi rezolvarea

Valorile distincte sunt $1, 2, 3, 4$ Numeri de câte ori apare fiecare.

Numărul de cărți împrumutate de cei $18$ elevi
Cărți împrumutate	Frecvență (elevi)
$1$	$6$
$2$	$7$
$3$	$3$
$4$	$2$

6 + 7 + 3 + 2 = 18

Suma frecvențelor se potrivește cu numărul de elevi.

Exemplul 2: diagramă sau grafic?

Pentru fiecare set de date, stabilește dacă alegi o diagramă cu bare sau un grafic cu linii: (a) numărul de vizitatori ai unui muzeu în fiecare lună a anului; (b) numărul de elevi din fiecare clasă a unei școli.

Vezi rezolvarea

(a) Lunile au o ordine naturală fixă (ianuarie, februarie, …), iar succesiunea lor contează: alegi un grafic cu linii.

(b) Clasele (a V-a A, a V-a B, …) sunt categorii fără o ordine care să conteze pentru comparație: alegi o diagramă cu bare.

Exemplul 3: verifică o dependență funcțională

Un tabel arată: la $2$ kg de mere corespund $10$ lei, iar la $3$ kg corespund $15$ lei sau $16$ lei (apar amândouă valorile pentru $3$ kg, la clienți diferiți). Este aceasta o dependență funcțională a costului în funcție de kilograme?

Vezi rezolvarea

Nu. Pentru aceeași valoare de intrare $3$ kg) apar două valori de ieșire diferite $15$ lei și $16$ lei). Dependența funcțională cere ca fiecărei valori de intrare să îi corespundă o singură valoare de ieșire.

Exemplul 4: citește un grafic de dependență

Folosind graficul costului închirierii bicicletei din lecție, află costul pentru $4$ ore și numărul de ore pentru care costul este $17$ lei.

Vezi rezolvarea

Pentru $4$ ore, citesc pe verticală, în dreptul valorii $4$ de pe orizontală: costul este $17$ lei.

Pentru costul $17$ lei, fac drumul invers: pe verticală caut $17$ apoi cobor la valoarea corespunzătoare de pe orizontală: $4$ ore. Cele două întrebări au același răspuns, citit din direcții opuse.

Exemplul 5: scrie regula unei dependențe

La același centru de închiriat biciclete, exprimă costul $C$ în funcție de numărul de ore $h$ folosind partea fixă de $5$ lei și $3$ lei pe oră.

Vezi rezolvarea

C = 5 + 3 \cdot h

Verific pe o valoare din tabel: la $h = 3$ $C = 5 + 3 \cdot 3 = 5 + 9 = 14$ lei, exact ca în tabel.

Exemplul 6: completează un tabel de dependență

Folosind regula $C = 5 + 3 \cdot h$ află costul pentru $6$ ore și pentru $8$ ore.

Vezi rezolvarea

C(6) = 5 + 3 \cdot 6 = 5 + 18 = 23

6

ore.

C(8) = 5 + 3 \cdot 8 = 5 + 24 = 29

8

ore.

Exemplul 7: construiește poligonul frecvențelor

Un tabel de frecvențe are valorile $2, 3, 4, 5$ cu frecvențele $3, 7, 6, 2$ Descrie punctele poligonului frecvențelor, incluzând capetele.

Vezi rezolvarea

Punctele de deasupra valorilor din tabel sunt $(2,3)$ $(3,7)$ $(4,6)$ $(5,2)$ Adaug câte un punct de frecvență $0$ la o unitate înainte de $2$ și la o unitate după $5$

(1,0),\; (2,3),\; (3,7),\; (4,6),\; (5,2),\; (6,0)

Unesc aceste $6$ puncte, în ordinea valorilor, prin segmente.

Exemplul 8: citește valoarea cea mai frecventă dintr-un poligon

Din poligonul frecvențelor din exemplul anterior, care este valoarea cu frecvența cea mai mare?

Vezi rezolvarea

Vârful cel mai înalt este la valoarea $3$ cu frecvența $7$ Aceasta este valoarea cea mai frecventă.

Exemplul 9: diferența dintre grafic și poligonul frecvențelor

Explică de ce graficul dependenței cost-ore nu se construiește ca un poligon al frecvențelor.

Vezi rezolvarea

Poligonul frecvențelor se construiește dintr-un tabel de frecvențe: înălțimea unui punct arată câte observații are o valoare, iar capetele la $0$ arată că în afara valorilor din tabel nu există observații. Graficul cost-ore nu este o distribuție de frecvențe: înălțimea unui punct este costul, nu o frecvență. Un capăt „la cost $0$ ar fi chiar fals, pentru că regula $C = 5 + 3h$ dă $5$ lei la $0$ ore, nu $0$ lei.

Exemplul 10: alege reprezentarea potrivită pentru trei situații

Stabilește reprezentarea potrivită pentru: (a) temperatura înregistrată din oră în oră; (b) notele obținute de o clasă la un test; (c) culorile preferate ale $25$ de elevi.

Vezi rezolvarea

(a) Ora are o ordine care contează pentru evoluția temperaturii: grafic cu linii.

(b) Notele formează un tabel de frecvențe pe care îl poți reprezenta prin poligonul frecvențelor, pentru a vedea nota cea mai frecventă și forma distribuției.

Exemplul 11: verifică un poligon al frecvențelor propus greșit

Un elev desenează poligonul frecvențelor pentru tabelul cu valorile $1, 2, 3$ și frecvențele $4, 6, 2$ dar unește direct punctele $(1,4)$ $(2,6)$ $(3,2)$ fără capete la $0$ Ce lipsește?

Vezi rezolvarea

Lipsesc cele două puncte de frecvență $0$ unul înainte de $1$ (la valoarea $0$ și unul după $3$ (la valoarea $4$ Fără ele, desenul este doar un grafic cu linii al frecvențelor, nu poligonul frecvențelor complet.

Exemplul 12: dependența funcțională într-un tabel cu date lipsă

Un tabel de dependență are perechile $(1, 4)$ $(2, 7)$ $(3, ?)$ $(4, 13)$ iar regula este $y = 3x + 1$ Completează valoarea lipsă și verifică celelalte perechi.

Vezi rezolvarea

y(1) = 3 \cdot 1 + 1 = 4

Se potrivește.

y(2) = 3 \cdot 2 + 1 = 7

Se potrivește.

y(3) = 3 \cdot 3 + 1 = 10

Valoarea lipsă.

y(4) = 3 \cdot 4 + 1 = 13

Se potrivește.

Greșeli frecvente

Unesc vârfurile unei diagrame cu bare pentru categorii fără ordine (sporturi, culori) printr-o linie, ca să arate „mai clar”.
Linia are sens doar când ordinea de pe orizontală contează cu adevărat (timp, valori crescătoare). Pentru categorii fără ordine, unirea prin linie sugerează o evoluție inexistentă.
Cred că orice tabel cu perechi de valori este o dependență funcțională.
Dependența este funcțională doar dacă fiecărei valori de intrare îi corespunde o singură valoare de ieșire. Dacă aceeași valoare de intrare apare cu două valori de ieșire diferite, nu este o dependență funcțională.
Confund poligonul frecvențelor cu un grafic obișnuit cu linii, fără capetele la $0$
Poligonul frecvențelor are o regulă proprie: punctele stau deasupra valorilor din tabelul de frecvențe, iar capetele coboară obligatoriu la frecvența $0$ cu o unitate înainte de prima valoare și după ultima.
Pun punctele poligonului frecvențelor la mijlocul distanței dintre bare, nu deasupra valorilor.
Fiecare punct al poligonului stă exact deasupra valorii din tabel, la înălțimea frecvenței ei, adică exact în vârful bării corespunzătoare din diagramă.
La graficul dependenței cost-ore, citesc costul pentru $4$ ore uitându-mă la valoarea $5$ de pe orizontală.
Citirea unui grafic de dependență pornește exact de la valoarea cerută pe orizontală, nu de la cea mai apropiată gradație. Pentru $4$ ore, cauți exact $4$ nu $5$
Cred că vârful cel mai înalt al poligonului frecvențelor arată cea mai mare valoare din tabel.
Vârful cel mai înalt arată valoarea cu frecvența cea mai mare, adică cea mai des întâlnită, nu neapărat cea mai mare ca număr.
Amestec categoriile unei diagrame cu valorile unui tabel de frecvențe și încerc să fac un poligon al frecvențelor din sporturi preferate.
Poligonul frecvențelor se construiește doar pentru un tabel de frecvențe numeric, unde valorile au o ordine naturală (pot fi așezate crescător). Categoriile fără ordine (sporturi, culori) rămân la diagrama cu bare.

Exerciții

Ușor

Care este frecvența valorii $3$ în setul $3, 5, 3, 4, 3, 5$
Arată răspunsul
Răspuns: $3$
Un tabel de frecvențe are frecvențele $6, 4, 5, 3$ Câte observații are setul de date?
Arată răspunsul
Răspuns: $18$
$6 + 4 + 5 + 3 = 18$
Numărul de elevi dintr-un club de șah, an de an, sau numărul de elevi din fiecare clasă a unei școli: pentru care dintre acestea alegi un grafic cu linii?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru numărul de elevi an de an.
Anii au o ordine naturală care contează. Clasele sunt categorii fără ordine obligatorie.
Într-un tabel de dependență, valoarea de intrare $5$ are o singură valoare de ieșire, $12$ Este posibil ca aceasta să fie o dependență funcțională?
Arată răspunsul
Răspuns: Da, condiția este îndeplinită pentru această valoare.
Un tabel de frecvențe are valorile $4, 5, 6, 7$ cu frecvențele $1, 3, 5, 2$ Ce puncte de frecvență $0$ adaugi la poligonul frecvențelor?
Arată răspunsul
Răspuns: $(3, 0)$ și $(8, 0)$
O unitate înainte de $4$ și o unitate după $7$
Într-un poligon al frecvențelor, vârful cel mai înalt este la valoarea $6$ Ce arată acest lucru?
Arată răspunsul
Răspuns: Valoarea $6$ are frecvența cea mai mare.

Mediu

Organizează într-un tabel de frecvențe setul $2, 4, 2, 3, 4, 4, 2, 3$ și verifică totalul.
Arată răspunsul
Răspuns: $2$ apare de $3$ ori, $3$ de $2$ ori, $4$ de $3$ ori.
$3 + 2 + 3 = 8$ exact numărul de valori din set.
Un centru de copiere percepe $2$ lei fix plus $0{,}5$ lei pentru fiecare pagină. Scrie regula costului $C$ în funcție de numărul de pagini $p$
Arată răspunsul
Răspuns: $C = 2 + 0{,}5 \cdot p$
Folosind regula $C = 2 + 0{,}5 \cdot p$ calculează costul pentru $10$ pagini.
Arată răspunsul
Răspuns: $7$ lei
$C = 2 + 0{,}5 \cdot 10 = 2 + 5 = 7$
Un tabel de dependență are perechile $(1,3)$ $(2,3)$ $(2,5)$ Este o dependență funcțională? Explică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Valoarea de intrare $2$ are două valori de ieșire diferite, $3$ și $5$
Un tabel de frecvențe are valorile $10, 11, 12, 13$ cu frecvențele $2, 5, 4, 1$ Care este valoarea cu frecvența cea mai mare?
Arată răspunsul
Răspuns: $11$ cu frecvența $5$
Pentru tabelul de la exercițiul anterior, scrie toate punctele poligonului frecvențelor, inclusiv capetele.
Arată răspunsul
Răspuns: $(9,0)$ $(10,2)$ $(11,5)$ $(12,4)$ $(13,1)$ $(14,0)$
Explică de ce, la o diagramă cu bare pentru mijloacele de transport ale elevilor, ordinea categoriilor pe orizontală nu schimbă informația.
Arată răspunsul
Răspuns: Fiecare bară reprezintă o categorie independentă; schimbarea ordinii categoriilor nu modifică frecvența niciuneia dintre ele.
Un grafic arată distanța parcursă de un ciclist: la $1$ h sunt $12$ km, la $2$ h sunt $24$ km, la $3$ h sunt $36$ km. Scrie regula dependenței și calculează distanța la $5$ h.
Arată răspunsul
Răspuns: $d = 12 \cdot h$ la $5$ h, $d = 60$ km.
$d(5) = 12 \cdot 5 = 60$
Poligonul frecvențelor pentru notele unei clase are vârful cel mai înalt la nota $8$ și scade mult mai lent spre notele mici decât spre notele mari. Ce spune asta despre distribuția notelor?
Arată răspunsul
Răspuns: Distribuția este asimetrică: multe note apropiate de $8$ în jos, puține note mari.
Un tabel de frecvențe are $5$ valori distincte cu suma frecvențelor $40$ Frecvențele a $4$ dintre valori sunt $9, 11, 8, 7$ Află frecvența lipsă.
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
$40 - 9 - 11 - 8 - 7 = 5$
Pentru dependența $C = 5 + 3 \cdot h$ din lecție, la ce număr de ore corespunde costul $26$ lei?
Arată răspunsul
Răspuns: $7$ ore
$26 = 5 + 3h \Rightarrow 3h = 21 \Rightarrow h = 7$

Provocare

Un tabel de dependență arată perechile $(0,4)$ $(1,7)$ $(2,10)$ $(3,13)$ Găsește regula $y$ în funcție de $x$ și verific-o pe toate perechile.
Arată răspunsul
Răspuns: $y = 3x + 4$
Diferența dintre valorile consecutive ale lui $y$ este constantă, $3$ la $x=0$ $y=4$ Verificare: $y(2)=3\cdot2+4=10$ se potrivește.
Un tabel de frecvențe are valorile $2, 3, 4, 5, 6$ cu frecvențele $4, 9, 12, 7, 3$ Construiește poligonul frecvențelor (scrie punctele) și spune care este valoarea cea mai frecventă.
Arată răspunsul
Răspuns: Puncte: $(1,0)$ $(2,4)$ $(3,9)$ $(4,12)$ $(5,7)$ $(6,3)$ $(7,0)$ Valoarea cea mai frecventă este $4$
Punctele de deasupra valorilor sunt $(2,4)$ $(3,9)$ $(4,12)$ $(5,7)$ $(6,3)$ Adaug capetele $(1,0)$ și $(7,0)$ Cea mai mare frecvență este $12$ la valoarea $4$
Explică de ce un tabel cu perechile $(1,5), (2,8), (3,11)$ poate reprezenta o dependență funcțională, dar tabelul $(1,5), (1,8), (3,11)$ nu poate.
Arată răspunsul
Răspuns: În al doilea tabel, valoarea de intrare $1$ are două valori de ieșire diferite $5$ și $8$ ceea ce încalcă definiția dependenței funcționale.
În primul tabel, valorile de intrare $1, 2, 3$ au fiecare o singură valoare de ieșire $5$ $8$ $11$ În al doilea, intrarea $1$ apare cu $5$ și cu $8$
Un poligon al frecvențelor complet (cu capete) are $7$ puncte. Câte valori distincte are tabelul de frecvențe din care a fost construit?
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ valori distincte.
Din cele $7$ puncte, $2$ sunt capetele de frecvență $0$ adăugate, restul de $5$ corespund valorilor din tabel.
Un centru de închiriat trotinete percepe o parte fixă și o parte pe oră. Se știe că la $2$ ore costul este $9$ lei, iar la $5$ ore costul este $18$ lei. Află partea fixă și costul pe oră.
Arată răspunsul
Răspuns: Parte fixă $3$ lei, cost $3$ lei pe oră.
Diferența $18-9=9$ lei corespunde la $5-2=3$ ore, deci $9:3=3$ lei pe oră. Parte fixă: $9-2\cdot3=3$ lei.
Compară un grafic de dependență și un poligon al frecvențelor: în care dintre ele capetele coboară obligatoriu la $0$
Arată răspunsul
Răspuns: Doar în poligonul frecvențelor.
Graficul unei dependențe funcționale urmează regula dependenței (nu neapărat $0$ la capete), pe când poligonul frecvențelor are ca regulă fixă coborârea la frecvența $0$ la ambele capete.
Un tabel de frecvențe cu $4$ valori distincte are frecvențele $a, a+2, a+2, a$ (simetric), iar suma frecvențelor este $28$ Află $a$
Arată răspunsul
Răspuns: $a = 6$
$a + (a+2) + (a+2) + a = 4a+4 = 28 \Rightarrow a = 6$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Când alegi o diagramă cu bare, nu un grafic cu linii?
1. Când valorile sunt momente succesive în timp
2. Când vrei să arăți o dependență funcțională
3. Când categoriile nu au o ordine obligatorie
4. Întotdeauna, nu contează datele
Arată răspunsul
Răspuns: Când categoriile nu au o ordine obligatorie
Diagrama cu bare e potrivită pentru categorii independente, fără o ordine care să conteze.
2. Ce condiție face ca o dependență dintre două mărimi să fie funcțională?
1. Fiecare valoare de intrare are o singură valoare de ieșire
2. Valorile de intrare sunt mereu numere întregi
3. Graficul este mereu o linie dreaptă
4. Toate valorile de ieșire sunt distincte
Arată răspunsul
Răspuns: Fiecare valoare de intrare are o singură valoare de ieșire
Definiția dependenței funcționale: unei valori de intrare îi corespunde o singură valoare de ieșire.
3. Un tabel de frecvențe are frecvențele $12, 9, 7, 4$ Câte observații are setul de date?
Arată răspunsul
Răspuns: $32$
$12 + 9 + 7 + 4 = 32$
4. Ce puncte se adaugă la construcția poligonului frecvențelor, pe lângă punctele de deasupra valorilor din tabel?
1. Punctele medii dintre bare
2. Câte un punct de frecvență $0$ înainte de prima valoare și după ultima
3. Punctul de frecvență maximă, dublat
4. Niciun punct suplimentar
Arată răspunsul
Răspuns: Câte un punct de frecvență $0$ înainte de prima valoare și după ultima
Capetele poligonului frecvențelor coboară obligatoriu la frecvența $0$ cu o unitate în afara intervalului valorilor.
5. Tabelul $(2,6), (3,6), (4,9)$ reprezintă o dependență funcțională?
1. Nu, pentru că două valori de ieșire sunt egale
2. Nu, pentru că valorile de intrare nu sunt consecutive
3. Nu se poate determina
4. Da, fiecare valoare de intrare are o singură valoare de ieșire
Arată răspunsul
Răspuns: Da, fiecare valoare de intrare are o singură valoare de ieșire
Valorile de ieșire pot coincide; condiția privește doar valorile de intrare: fiecare are o singură valoare de ieșire.
6. Într-un poligon al frecvențelor, vârful cel mai înalt este la valoarea $7$ cu frecvența $10$ Care este valoarea cea mai frecventă din tabel?
Arată răspunsul
Răspuns: $7$
Frecvența cea mai mare corespunde vârfului cel mai înalt al poligonului.
7. Pentru costul $C = 4 + 2h$ cât este $C$ la $h = 5$
1. $9$
2. $10$
3. $14$
4. $20$
Arată răspunsul
Răspuns: $14$
$C = 4 + 2 \cdot 5 = 4 + 10 = 14$
8. Ce diferență există între un grafic obișnuit cu linii și poligonul frecvențelor?
1. Niciuna, sunt aceeași reprezentare
2. Poligonul frecvențelor are capetele obligatoriu la frecvența $0$ graficul obișnuit nu
3. Graficul obișnuit se folosește doar pentru numere negative
4. Poligonul frecvențelor nu poate avea mai mult de $3$ puncte
Arată răspunsul
Răspuns: Poligonul frecvențelor are capetele obligatoriu la frecvența $0$ graficul obișnuit nu
Regula capetelor la $0$ este specifică poligonului frecvențelor, construit dintr-un tabel de frecvențe.
9. Un tabel de frecvențe are $3$ valori distincte. Câte puncte are poligonul frecvențelor complet, cu capete?
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
$3$ puncte deasupra valorilor plus $2$ capete de frecvență $0$

Întrebări frecvente

Ce este o dependență funcțională?

Este o legătură dintre două mărimi în care fiecărei valori de intrare îi corespunde o singură valoare de ieșire. Dacă aceeași valoare de intrare ar avea două valori de ieșire diferite, dependența nu ar mai fi funcțională.

Cum aleg între diagramă și grafic pentru un set de date?

Alegi diagrama cu bare pentru categorii fără o ordine care contează (sporturi, culori, clase). Alegi graficul cu linii atunci când ordinea de pe orizontală chiar contează, de obicei timpul sau o mărime care crește (ore, ani, cantitate).

Ce este poligonul frecvențelor și cu ce se deosebește de un grafic obișnuit?

Poligonul frecvențelor se construiește pornind de la un tabel de frecvențe: pui câte un punct deasupra fiecărei valori, la înălțimea frecvenței ei, apoi adaugi câte un punct de frecvență $0$ înainte de prima valoare și după ultima, și unești totul prin segmente. Regula capetelor la $0$ nu apare la un grafic obișnuit cu linii, de exemplu la graficul unei dependențe funcționale.

De ce se adaugă exact două puncte de frecvență

0

la poligonul frecvențelor?

Ca să arate clar unde încep și unde se termină valorile din tabel, poligonul „coboară” la $0$ cu o unitate înainte de prima valoare și cu o unitate după ultima. Fără aceste capete, forma poligonului ar părea să continue la infinit în ambele direcții.

Cum citesc valoarea cea mai frecventă dintr-un poligon al frecvențelor?

Cauți vârful cel mai înalt al poligonului. Valoarea de pe orizontală, aflată exact sub acel vârf, este valoarea cu frecvența cea mai mare.

Un tabel cu perechi de valori este mereu o dependență funcțională?

Nu. Dacă aceeași valoare de intrare apare în tabel cu două valori de ieșire diferite, tabelul nu descrie o dependență funcțională, chiar dacă toate perechile individuale par corecte.

Ce legătură are dependența funcțională cu sistemul de axe ortogonale?

Fiecare pereche (valoare de intrare, valoare de ieșire) dintr-un tabel de dependență este o pereche ordonată, exact ca perechea $(x, y)$ a unui punct din planul cu axe ortogonale. Graficul unei dependențe este format din aceste puncte, unite în ordinea valorilor de intrare.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VII-a

Reprezentarea datelor. Tabele, diagrame, grafice. Poligonul frecvențelor

Ce vei învăța

Ideea de bază

Recapitulare: tabelul de frecvențe

Diagramă sau grafic: cum alegi

Dependența funcțională dintre două mărimi

Poligonul frecvențelor

Interpretarea poligonului frecvențelor

Exemple rezolvate

Exemplul 1: construiește tabelul de frecvențe

Exemplul 2: diagramă sau grafic?

Exemplul 3: verifică o dependență funcțională

Exemplul 4: citește un grafic de dependență

Exemplul 5: scrie regula unei dependențe

Exemplul 6: completează un tabel de dependență

Exemplul 7: construiește poligonul frecvențelor

Exemplul 8: citește valoarea cea mai frecventă dintr-un poligon

Exemplul 9: diferența dintre grafic și poligonul frecvențelor

Exemplul 10: alege reprezentarea potrivită pentru trei situații

Exemplul 11: verifică un poligon al frecvențelor propus greșit

Exemplul 12: dependența funcțională într-un tabel cu date lipsă

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VII-a, Partea I

Matematică. Clasa a VII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor