Organizarea și reprezentarea datelor

Ce vei învăța

Organizezi un set de date într-un tabel cu frecvențe și verifici totalul.
Calculezi ce procent din total reprezintă fiecare categorie.
Construiești un grafic cu bare pornind de la un tabel, cu o scală potrivită.
Citești corect valorile dintr-un grafic, inclusiv între două gradații.
Compari două grupuri de mărimi diferite folosind procente.
Deosebești ce arată datele de ce nu se poate concluziona din ele.

Recomandat înainte: Regula de trei simplă. Procente, Grafice cu bare și cu linii

Ideea de bază

Într-o clasă de $40$ de elevi, $14$ vin pe jos la școală, $12$ cu autobuzul, $6$ cu bicicleta și $8$ cu mașina părinților. Așa scrise, numerele nu spun mare lucru. Puse într-un tabel și apoi într-un grafic, se văd imediat diferențele dintre categorii.

Cum vin elevii la școală (clasă de $40$ de elevi)
Mijloc de transport	Frecvență (elevi)	Procent din total
pe jos	14	$35\%$
autobuz	12	$30\%$
bicicletă	6	$15\%$
mașina părinților	8	$20\%$

pe jos14

autobuz12

bicicletă6

mașina părinților8

număr de elevi

Aceleași date ca în tabel: cum vin elevii la școală

Tabelul dă valorile exacte și procentele, graficul dă imaginea de ansamblu. Un tabel bun și un grafic bun spun același lucru, iar tu verifici mereu că numerele se potrivesc.

De la datele brute la tabel

Din clasa a V-a știi că un set de date se organizează într-un tabel de frecvențe: scrii fiecare valoare o singură dată și notezi de câte ori apare. Aici pornești de la aceeași idee, dar datele pot fi și categorii, nu doar numere: culori, sporturi, mijloace de transport.

Temperaturile maxime înregistrate în $10$ zile consecutive, în grade Celsius, au fost $18, 20, 19, 18, 21, 20, 18, 22, 20, 18$ Le organizezi în tabel.

Temperaturile maxime pe $10$ zile
Temperatură (°C)	Frecvență (zile)
$18$	$4$
$19$	$1$
$20$	$3$
$21$	$1$
$22$	$1$

Prima coloană conține valorile distincte, o singură dată fiecare, în ordine crescătoare.
A doua coloană conține frecvența: de câte ori apare fiecare valoare.
Suma frecvențelor trebuie să fie egală cu numărul total de observații: $4 + 1 + 3 + 1 + 1 = 10$

Valoarea nu este frecvența

Cea mai mare temperatură este $22$ dar cea mai frecventă este $18$ Cea mai frecventă valoare se caută în coloana frecvențelor, nu în coloana valorilor.

Ce procent din total reprezintă o categorie

Frecvența spune câți sunt, dar nu spune cât de mare este partea în raport cu întregul. $14$ elevi dintr-o clasă de $40$ și $14$ elevi dintr-o școală de $700$ sunt situații foarte diferite. De aceea, pe lângă frecvență, se calculează adesea ce parte din total reprezintă fiecare categorie, exprimată în procente.

\text{procent} = \dfrac{f}{N} \cdot 100\%

Aici $f$ este frecvența categoriei, iar $N$ este numărul total de observații, adică suma tuturor frecvențelor.

Formula vine din proporționalitate: întregul $N$ corespunde lui $100\%$ iar partea $f$ corespunde procentului căutat. Este aceeași regulă de trei pe care ai folosit-o la procente.

Regula de trei: totalul și partea
Număr de elevi	Procent
$N = 40$ (totalul)	$100\%$
$f = 14$ (partea)	$x\%$

x = \dfrac{14 \cdot 100}{40}

Regula de trei simplă directă.

x = 35

Deci

14

elevi reprezintă

35\%

din clasă.

Verificarea procentelor

Dacă tabelul acoperă toate categoriile, procentele trebuie să aibă suma $100\%$ la fel cum frecvențele au suma $N$ Dacă nu se potrivesc, ai greșit un calcul sau ai omis o categorie.

Graficul cu bare

Un grafic cu bare reprezintă fiecare categorie printr-o bară. Cu cât valoarea este mai mare, cu atât bara este mai lungă. Un grafic complet are:

câte o bară pentru fiecare categorie din tabel, cu numele categoriei alături;
o scală, adică axa cu gradații egale, care începe de la $0$
valoarea fiecărei categorii, citită pe scală sau scrisă la capătul barei.

nota 85

nota 99

nota 106

număr de elevi

Notele obținute la un test de matematică de

20

de elevi

Lungimea unei bare este direct proporțională cu valoarea pe care o reprezintă. O bară pentru $10$ este de două ori mai lungă decât o bară pentru $5$ Această proporționalitate este corectă doar dacă scala începe de la $0$

Cum citești scala unui grafic

Când valorile nu sunt scrise la capătul barei, le citești de pe scală. Pașii sunt aceiași de fiecare dată.

Uită-te la gradațiile axei și află cât reprezintă un pas, adică diferența dintre două gradații vecine.
Urmărește capătul barei până la axă.
Dacă se oprește chiar pe o gradație, ai valoarea. Dacă se oprește între două gradații, valoarea se află între ele, la o distanță proporțională: la jumătate, la un sfert și așa mai departe.

Andrei

Bianca

Cezar

Dana

kilometri parcurși

Kilometrii parcurși într-o săptămână de patru bicicliști

Gradațiile sunt din $20$ în $20$ Bara lui Bianca se oprește pe gradația $40$ deci $40$ km. Bara lui Cezar se oprește la jumătatea distanței dintre $20$ și $40$ deci $30$ km. Nu spui $40$ doar pentru că este gradația cea mai apropiată.

Atenție la pasul scalei

Nu presupune că gradațiile cresc din $1$ în $1$ Citește mereu numerele scrise pe axă și calculează pasul.

Cum construiești un grafic cu bare din tabel

Ia din tabel categoriile și valorile lor.
Alege scala: începe de la $0$ ia un pas care se împarte bine la valori (de exemplu $2$ $4$ $5$ sau $10$ și oprește axa la prima gradație mai mare sau egală cu cea mai mare valoare.
Desenează câte o bară pentru fiecare categorie, cu lungimea potrivită scalei, toate cu aceeași lățime.
Scrie numele categoriilor, titlul și ce măsoară axa.
Verifică graficul cu tabelul: fiecare bară trebuie să corespundă valorii ei.

Dacă un pas prea mare face barele greu de deosebit, iar unul prea mic umple axa cu numere, alege o scală intermediară. Graficul trebuie să se citească ușor, nu să arate spectaculos.

Cum alegi între tabel și grafic

Tabelul e potrivit când ai nevoie de valori exacte. Graficul e potrivit când vrei să compari repede categoriile. Adesea folosești pe amândouă, cu aceleași date.

Compararea a două grupuri: numere sau procente

Când două grupuri au mărimi diferite, numărul de elevi dintr-o categorie nu este un criteriu bun de comparație. Procentul din total este.

Elevii care vin cu bicicleta în două clase
Clasa	Elevi în total	Vin cu bicicleta	Procent
a VI-a A	$25$	$10$	$40\%$
a VI-a B	$40$	$12$	$30\%$

a VI-a A40%

a VI-a B30%

procent din elevii clasei

Ce procent din elevii fiecărei clase vin cu bicicleta

În clasa B vin cu bicicleta mai mulți elevi $12$ față de $10$ dar în clasa A bicicleta este folosită de o parte mai mare a clasei $40\%$ față de $30\%$ Răspunsul depinde de întrebare: „câți” cere numere, „ce parte din clasă” cere procente.

Ce arată datele și ce nu arată

O concluzie este corectă doar dacă poate fi verificată direct în tabel sau în grafic. Datele spun ce s-a observat la grupul întrebat, nu cauza și nici ce se întâmplă în altă parte.

Se poate concluziona: cea mai mare frecvență, diferența dintre două categorii, totalul, procentul unei categorii, dacă o categorie este mai mare decât alta.
Nu se poate concluziona: motivul pentru care s-au ales aceste răspunsuri, ce se întâmplă în alt grup sau alt an, ce vor alege alți elevi, care variantă este „mai bună”.

Test rapid pentru o concluzie

Întreabă-te: pot indica în tabel sau în grafic numerele pe care se bazează afirmația? Dacă nu pot, afirmația nu este susținută de date.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: organizează un set brut de date

Numărul de goluri marcate de o echipă în $12$ meciuri a fost $2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 4$ Organizează datele într-un tabel de frecvențe și verifică totalul.

Vezi rezolvarea

Valorile distincte, în ordine crescătoare, sunt $0, 1, 2, 3, 4$ Numeri aparițiile fiecăreia, bifând pe măsură ce parcurgi șirul.

Goluri marcate în $12$ meciuri
Goluri într-un meci	Frecvență (meciuri)
$0$	$2$
$1$	$3$
$2$	$5$
$3$	$1$
$4$	$1$

2 + 3 + 5 + 1 + 1 = 12

Suma frecvențelor este egală cu numărul de meciuri.

Interpretare: cel mai des echipa a marcat $2$ goluri într-un meci $5$ meciuri din $12$

Exemplul 2: adaugă procentul din total

În clasa a VI-a C, cei $40$ de elevi vin la școală astfel: $14$ pe jos, $12$ cu autobuzul, $6$ cu bicicleta, $8$ cu mașina părinților. Calculează procentul pentru fiecare categorie.

Vezi rezolvarea

Totalul este $N = 40$ Pentru fiecare categorie calculezi $\dfrac{f}{N} \cdot 100\%$

\dfrac{14}{40} \cdot 100\% = 35\%

Pe jos.

\dfrac{12}{40} \cdot 100\% = 30\%

Autobuz.

\dfrac{6}{40} \cdot 100\% = 15\%

Bicicletă.

\dfrac{8}{40} \cdot 100\% = 20\%

Mașina părinților.

35\% + 30\% + 15\% + 20\% = 100\%

Verificare: suma procentelor este

100\%

Interpretare: mai mult de o treime din clasă $35\%$ vine pe jos, iar doar $15\%$ vin cu bicicleta.

Exemplul 3: completează un tabel cu o valoare lipsă

La un sondaj, $50$ de elevi și-au ales activitatea preferată: fotbal $18$ dans $?$ șah $9$ desen $11$ Află frecvența lipsă și completează procentele.

Vezi rezolvarea

Suma frecvențelor trebuie să fie $50$ Scazi din total frecvențele cunoscute.

18 + 9 + 11 = 38

Frecvențele cunoscute.

50 - 38 = 12

Dansul a fost ales de

12

elevi.

Activitatea preferată, la un sondaj cu $50$ de elevi
Activitate	Frecvență (elevi)	Procent din total
fotbal	$18$	$36\%$
dans	$12$	$24\%$
șah	$9$	$18\%$
desen	$11$	$22\%$

36\% + 24\% + 18\% + 22\% = 100\%

Verificare: procentele au suma

100\%

Interpretare: fotbalul este alegerea cea mai frecventă, dar nici măcar $4$ elevi din $10$ nu l-au ales.

Exemplul 4: citește informația dintr-un tabel

Într-o clasă de $25$ de elevi, într-o lună, $3$ elevi nu au citit nicio carte, $9$ au citit o carte, $8$ au citit $2$ cărți și $5$ au citit $3$ cărți. Organizează datele într-un tabel și răspunde: (a) care este cea mai frecventă valoare? (b) câți elevi au citit cel puțin $2$ cărți? (c) ce procent din clasă a citit cel puțin o carte?

Vezi rezolvarea

Cărți citite într-o lună de cei $25$ de elevi
Cărți citite	Frecvență (elevi)
$0$	$3$
$1$	$9$
$2$	$8$
$3$	$5$

3 + 9 + 8 + 5 = 25

Totalul se potrivește cu numărul de elevi.

(a) Cea mai mare frecvență este $9$ deci cea mai frecventă valoare este $1$ carte.

8 + 5 = 13

(b) Elevii cu

2

sau

3

cărți:

13

elevi.

9 + 8 + 5 = 22

(c) Elevii care au citit cel puțin o carte.

\dfrac{22}{25} \cdot 100\% = 88\%

Interpretare: aproape toată clasa a citit cel puțin o carte, dar doar $5$ elevi din $25$ au citit $3$

Exemplul 5: construiește un grafic cu bare

Construiește graficul cu bare pentru tabelul mijloacelor de transport din clasa a VI-a C: pe jos $14$ autobuz $12$ bicicletă $6$ mașina părinților $8$

Vezi rezolvarea

Cea mai mare valoare este $14$ Alegi o scală care începe de la $0$ cu pasul $4$ și care ajunge până la $16$ prima gradație mai mare decât $14$

pe jos14

autobuz12

bicicletă6

mașina părinților8

număr de elevi

Cum vin la școală elevii clasei a VI-a C

Verificare: bara pentru $12$ se oprește pe gradația $12$ iar bara pentru $6$ se oprește la jumătatea distanței dintre $4$ și $8$ Bara pentru $14$ la jumătatea distanței dintre $12$ și $16$ este cea mai lungă, ca în tabel.

Exemplul 6: citește valorile dintr-un grafic

Graficul cu kilometrii parcurși într-o săptămână de patru bicicliști (cel din secțiunea „Cum citești scala unui grafic”) nu are valorile scrise. Află valorile și răspunde: (a) cu cât a parcurs Dana mai mult decât Cezar? (b) cine a parcurs dublul distanței lui Cezar?

Vezi rezolvarea

Andrei

Bianca

Cezar

Dana

kilometri parcurși

Kilometrii parcurși într-o săptămână de patru bicicliști

Gradațiile sunt din $20$ în $20$ Bara lui Andrei se oprește pe a treia gradație, deci $60$ km. Bara Biancăi se oprește pe a doua, deci $40$ km. Bara lui Cezar se oprește la jumătatea distanței dintre $20$ și $40$ adică $30$ km, iar bara Danei la jumătatea distanței dintre $60$ și $80$ adică $70$ km.

Kilometrii citiți din grafic
Biciclist	Kilometri
Andrei	$60$
Bianca	$40$
Cezar	$30$
Dana	$70$

70 - 30 = 40

(a) Dana a parcurs cu

40

km mai mult decât Cezar.

2 \cdot 30 = 60

(b) Andrei a parcurs de două ori distanța lui Cezar.

Interpretare: bara lui Andrei este de două ori mai lungă decât a lui Cezar, tocmai pentru că $60 = 2 \cdot 30$

Exemplul 7: compară două grupuri cu procente

La un club de șah sunt înscriși $9$ elevi dintr-o clasă cu $30$ de elevi și $12$ elevi dintr-o clasă cu $60$ de elevi. În care clasă este mai răspândit șahul?

Vezi rezolvarea

Clasele au mărimi diferite, deci compari procentele, nu numărul de elevi.

\dfrac{9}{30} \cdot 100\% = 30\%

Prima clasă.

\dfrac{12}{60} \cdot 100\% = 20\%

A doua clasă.

Interpretare: a doua clasă are mai mulți elevi înscriși $12 > 9$ dar în prima clasă șahul este ales de o parte mai mare a elevilor $30\% > 20\%$

Exemplul 8: ce arată datele și ce nu arată

Folosind tabelul mijloacelor de transport din clasa a VI-a C $40$ de elevi: pe jos $14$ autobuz $12$ bicicletă $6$ mașina părinților $8$ decide pentru fiecare afirmație dacă este susținută de date.

Vezi rezolvarea

„Cei mai mulți elevi vin pe jos.” Susținută: $14$ este cea mai mare frecvență.
„Cu $2$ elevi mai mulți vin pe jos decât cu autobuzul.” Susținută: $14 - 12 = 2$
„Aproape jumătate dintre elevi folosesc transportul în comun.” Nesusținută: autobuzul este ales de $30\%$ dintre elevi.
„Elevii vin pe jos pentru că le place mersul pe jos.” Nesusținută: datele nu spun nimic despre motiv.
„În toată școala cei mai mulți elevi vin pe jos.” Nesusținută: datele privesc o singură clasă.

Interpretare: primele două afirmații pot fi verificate în tabel. Celelalte cer informații pe care tabelul nu le conține.

Exemplul 9: problemă cu procente și frecvențe

Într-o clasă, $30\%$ dintre elevi preferă șahul, adică $6$ elevi. Alți $8$ elevi preferă fotbalul, $4$ preferă desenul, iar ceilalți alte activități. Completează tabelul cu frecvențe și procente.

Vezi rezolvarea

Mai întâi află numărul total de elevi: $6$ elevi corespund lui $30\%$ iar totalul corespunde lui $100\%$

N = \dfrac{6 \cdot 100}{30}

N = 20

În clasă sunt

20

de elevi.

6 + 8 + 4 = 18

Elevii cu preferințele cunoscute.

20 - 18 = 2

Ceilalți elevi.

Activitățile preferate într-o clasă de $20$ de elevi
Activitate	Frecvență (elevi)	Procent din total
șah	$6$	$30\%$
fotbal	$8$	$40\%$
desen	$4$	$20\%$
alte activități	$2$	$10\%$

30\% + 40\% + 20\% + 10\% = 100\%

Verificare.

Greșeli frecvente

Cea mai frecventă temperatură este $22$ pentru că este cea mai mare valoare din tabel.
Cea mai frecventă valoare este cea cu frecvența cea mai mare, nu cea mai mare ca număr. Cauți în coloana frecvențelor.
Frecvențele $14, 12, 6, 6$ acoperă o clasă de $40$ de elevi.
$14 + 12 + 6 + 6 = 38$ nu $40$ Suma frecvențelor trebuie să fie exact numărul total de observații. Dacă nu se potrivește, ai greșit o numărare sau ai omis o categorie.
$6$ elevi din $40$ înseamnă $6\%$
Un procent se raportează la total: $\dfrac{6}{40} \cdot 100\% = 15\%$ Numărul de elevi nu este același lucru cu procentul.
Procentele $40\%, 35\%, 20\%$ acoperă toate categoriile unui sondaj.
$40\% + 35\% + 20\% = 95\%$ deci lipsește $5\%$ Când categoriile acoperă tot grupul, procentele au suma $100\%$
Bara se termină între gradațiile $20$ și $40$ deci valoarea este $40$
Valoarea se află între cele două gradații. Dacă bara este la jumătate, valoarea este $30$ Nu rotunji la gradația cea mai apropiată, decât dacă ți se cere.
Într-un grafic scala începe de la $40$ dar barele arată proporțional cu valorile.
Lungimile barelor sunt proporționale cu valorile doar dacă scala începe de la $0$ O scală care începe mai sus face diferențele să pară mai mari decât sunt.
În clasa A sunt $10$ elevi la bicicletă, iar în clasa B $12$ deci în B bicicleta este mai populară.
Clasele au mărimi diferite $25$ și $40$ de elevi). Comparația corectă folosește procentele: $40\%$ în A, $30\%$ în B.
Graficul arată că elevii vin pe jos pentru că este mai sănătos, deci toți elevii ar trebui să vină pe jos.
Datele arată doar cum vin elevii, nu de ce vin așa și nici ce ar fi mai bine. Concluziile trebuie să rămână în limitele datelor.

Exerciții

Ușor

Care este frecvența valorii $5$ în setul $5, 7, 5, 6, 5, 7, 8$
Arată răspunsul
Răspuns: $3$
Un tabel are frecvențele $9, 6, 3, 2$ Câte observații are setul de date?
Arată răspunsul
Răspuns: $20$
$9 + 6 + 3 + 2 = 20$
Construiește tabelul de frecvențe pentru temperaturile $12, 14, 12, 13, 14, 12$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ apare de $3$ ori, $13$ de $1$ dată, $14$ de $2$ ori.
Total: $3 + 1 + 2 = 6$ observații.
Într-o clasă de $20$ de elevi, $7$ poartă ochelari. Ce procent din clasă poartă ochelari?
Arată răspunsul
Răspuns: $35\%$
$\dfrac{7}{20} \cdot 100\% = 35\%$
Într-un grafic cu bare, gradațiile axei sunt din $5$ în $5$ începând de la $0$ Bara pentru baschet se termină exact pe a patra gradație după $0$ Câți elevi au ales baschetul?
Arată răspunsul
Răspuns: $20$
$4 \cdot 5 = 20$

Mediu

La un sondaj cu $60$ de elevi, frecvențele sunt $24, ?, 15, 9$ Află frecvența lipsă și procentul ei din total.
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ elevi, adică $20\%$
$60 - 24 - 15 - 9 = 12$ iar $\dfrac{12}{60} \cdot 100\% = 20\%$
$15\%$ dintre cei $40$ de elevi ai unei clase au ales teatrul. Câți elevi au ales teatrul?
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ elevi
$\dfrac{15 \cdot 40}{100} = 6$
Gradațiile unui grafic sunt din $20$ în $20$ de la $0$ la $100$ O bară se termină la jumătatea distanței dintre $40$ și $60$ Ce valoare reprezintă?
Arată răspunsul
Răspuns: $50$
Graficul arată sportul preferat de $50$ de elevi. Valorile nu sunt scrise, dar le poți citi de pe scală. Câți elevi au ales baschetul și ce procent din total reprezintă ei?
- fotbal: 20
- baschet: 15
- înot: 10
- tenis: 5
Sportul preferat de cei $50$ de elevi
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ elevi, adică $30\%$ din total.
Bara baschetului se oprește la jumătatea distanței dintre $10$ și $20$ deci $15$ elevi. Totalul este $50$ iar $\dfrac{15}{50} \cdot 100\% = 30\%$
La un club sunt înscriși $12$ elevi din $30$ într-o clasă și $15$ elevi din $60$ în altă clasă. În care clasă este mai mare partea elevilor înscriși?
Arată răspunsul
Răspuns: În prima clasă: $40\%$ față de $25\%$
$\dfrac{12}{30} \cdot 100\% = 40\%$ iar $\dfrac{15}{60} \cdot 100\% = 25\%$
La un sondaj cu $20$ de elevi, un elev a calculat procentele $40\%, 35\%, 20\%$ pentru frecvențele $8, 7, 5$ Găsește greșeala și corecteaz-o.
Arată răspunsul
Răspuns: Ultimul procent este greșit: $\dfrac{5}{20} \cdot 100\% = 25\%$ nu $20\%$
Suma procentelor scrise este $95\%$ iar cea corectă este $40\% + 35\% + 25\% = 100\%$
Tabelul arată câte cărți a citit fiecare dintre cei $25$ de elevi într-o lună: $0$ cărți, $3$ elevi; $1$ carte, $9$ elevi; $2$ cărți, $8$ elevi; $3$ cărți, $5$ elevi. Care dintre afirmații sunt susținute de date? (a) Cei mai mulți elevi au citit o carte. (b) Elevii citesc mai mult vara. (c) $13$ elevi au citit cel puțin $2$ cărți.
Arată răspunsul
Răspuns: (a) și (c) sunt susținute. (b) nu este susținută.
(a) $9$ este cea mai mare frecvență. (c) $8 + 5 = 13$ (b) Datele nu spun nimic despre vară.

Provocare

Vrei un grafic cu bare pentru valorile $15, 40, 25, 30$ Bara pentru $40$ are lungimea de $8$ cm. Ce lungime are bara pentru $25$
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ cm
Lungimea este direct proporțională cu valoarea: $\dfrac{8}{40} = \dfrac{x}{25}$ deci $x = \dfrac{8 \cdot 25}{40} = 5$
La un sondaj cu $80$ de elevi, $35\%$ preferă fotbalul, $25\%$ baschetul, iar restul alte sporturi. Câți elevi preferă baschetul și ce procent preferă alte sporturi?
Arată răspunsul
Răspuns: $20$ de elevi preferă baschetul, iar $40\%$ preferă alte sporturi.
$\dfrac{25 \cdot 80}{100} = 20$ iar $100\% - 35\% - 25\% = 40\%$
La un sondaj, $6$ elevi reprezintă $15\%$ dintre cei chestionați. Câți elevi au fost chestionați? Câți ar reprezenta $35\%$
Arată răspunsul
Răspuns: $40$ de elevi au fost chestionați, iar $35\%$ înseamnă $14$ elevi.
$N = \dfrac{6 \cdot 100}{15} = 40$ apoi $\dfrac{35 \cdot 40}{100} = 14$
Școala A are $200$ de elevi, dintre care $30\%$ vin pe jos. Școala B are $150$ de elevi, dintre care $40\%$ vin pe jos. În care școală vin pe jos mai mulți elevi și în care este partea lor mai mare?
Arată răspunsul
Răspuns: Numărul este același, $60$ de elevi în fiecare școală. Partea este mai mare în școala B.
$\dfrac{30 \cdot 200}{100} = 60$ și $\dfrac{40 \cdot 150}{100} = 60$ Procentele sunt $30\%$ și $40\%$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Într-un tabel, valoarea „nota 9” are frecvența $12$ Ce înseamnă asta?
1. Cea mai mare notă din set este $12$
2. Nota 9 reprezintă $12\%$ din toate notele
3. Nota 9 apare de $12$ ori
4. Setul are în total $12$ note
Arată răspunsul
Răspuns: Nota 9 apare de $12$ ori
Frecvența este numărul de apariții ale valorii, nu procentul și nici totalul.
2. Un tabel are frecvențele $14, 9, 7, 10$ Câte observații are setul de date?
Arată răspunsul
Răspuns: $40$
$14 + 9 + 7 + 10 = 40$
3. Ce procent din total reprezintă $18$ elevi dintr-un grup de $24$ de elevi?
Arată răspunsul
Răspuns: $75\%$
$\dfrac{18}{24} \cdot 100\% = 75\%$
4. Gradațiile unui grafic sunt din $20$ în $20$ O bară se termină la jumătatea distanței dintre $20$ și $40$ Ce valoare reprezintă?
1. $25$
2. $30$
3. $35$
4. $40$
Arată răspunsul
Răspuns: $30$
Jumătatea distanței dintre $20$ și $40$ corespunde valorii $30$
5. Două clase au mărimi diferite. Cum compari corect cât de răspândit este un club în fiecare clasă?
1. Aleg clasa cu mai mulți elevi în total
2. Compar doar numărul de elevi înscriși
3. Nu se pot compara, clasele fiind diferite
4. Compar procentele din fiecare clasă
Arată răspunsul
Răspuns: Compar procentele din fiecare clasă
Când totalurile sunt diferite, comparația corectă folosește partea din total, exprimată în procente.
6. Într-o clasă de $20$ de elevi, $9$ vin pe jos și $4$ vin cu bicicleta. Care afirmație NU este susținută de aceste date?
1. $45\%$ dintre elevii clasei vin pe jos
2. Cu $5$ elevi mai mulți vin pe jos decât cu bicicleta
3. Elevii care vin cu bicicleta locuiesc cel mai departe de școală
4. $11$ elevi din clasă nu vin pe jos
Arată răspunsul
Răspuns: Elevii care vin cu bicicleta locuiesc cel mai departe de școală
Celelalte trei afirmații se verifică prin calcul: $\dfrac{9}{20} \cdot 100\% = 45\%$ $9 - 4 = 5$ $20 - 9 = 11$ Datele nu spun nimic despre unde locuiesc elevii.
7. Cât este $40\%$ din $25$ de elevi?
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ elevi
$\dfrac{40 \cdot 25}{100} = 10$
8. Când sunt lungimile barelor dintr-un grafic proporționale cu valorile reprezentate?
1. Când toate barele au aceeași culoare
2. Când scala începe de la $0$
3. Când scala începe de la cea mai mică valoare
4. Întotdeauna, indiferent de scală
Arată răspunsul
Răspuns: Când scala începe de la $0$
Proporționalitatea dintre lungimea barei și valoare apare doar dacă scala pornește de la $0$

Întrebări frecvente

Ce este frecvența unei valori?

Frecvența este numărul de apariții ale unei valori în setul de date. Dacă nota $9$ apare de $12$ ori, frecvența ei este $12$ Ea nu se confundă cu valoarea și nici cu procentul.

Cum verific dacă un tabel este corect?

Aduni frecvențele: suma trebuie să fie egală cu numărul total de observații. Dacă ai adăugat și procente, suma lor trebuie să fie $100\%$ Dacă nu se potrivește, a fost numărată greșit o valoare sau a fost omisă o categorie.

Cum citesc corect un grafic cu bare?

Mai întâi citești ce arată axa și cât reprezintă un pas între gradații. Apoi urmărești capătul barei până la axă. Dacă bara se oprește între două gradații, valoarea se află între ele, proporțional cu poziția barei.

Cum aflu numărul total de observații?

Dintr-un tabel, aduni toate frecvențele. Dacă știi procentul și frecvența unei singure categorii, afli totalul cu regula de trei: frecvența corespunde procentului, iar totalul corespunde lui $100\%$

Pot trage orice concluzie dintr-un grafic?

Nu. Poți spune doar ce se vede în date: care categorie e mai mare, cu cât, ce procent reprezintă. Nu poți spune de ce s-au ales acele răspunsuri, ce se întâmplă în alt grup sau ce va urma. Când o afirmație nu se sprijină pe numere din tabel sau din grafic, ea nu este susținută de date.

Ce vei învăța

Ideea de bază

De la datele brute la tabel

Ce procent din total reprezintă o categorie

Graficul cu bare

Cum citești scala unui grafic

Cum construiești un grafic cu bare din tabel

Compararea a două grupuri: numere sau procente

Ce arată datele și ce nu arată

Exemple rezolvate

Exemplul 1: organizează un set brut de date

Exemplul 2: adaugă procentul din total

Exemplul 3: completează un tabel cu o valoare lipsă

Exemplul 4: citește informația dintr-un tabel

Exemplul 5: construiește un grafic cu bare

Exemplul 6: citește valorile dintr-un grafic

Exemplul 7: compară două grupuri cu procente

Exemplul 8: ce arată datele și ce nu arată

Exemplul 9: problemă cu procente și frecvențe

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VI-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică pentru încredere și reușită. Partea I. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VI-a, Partea I

Matematică. Clasa a VI-a. Exerciții și probleme