Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

Ce vei învăța

Recunosc un patrulater convex și aplic suma unghiurilor lui.
Definesc paralelogramul și folosesc proprietățile laturilor și unghiurilor lui.
Folosesc proprietatea diagonalelor paralelogramului care se înjumătățesc.
Aplic teorema liniei mijlocii într-un triunghi.
Recunosc centrul de greutate al unui triunghi și raportul $2:1$ pe fiecare mediană.

Ideea de bază

Un patrulater convex are ambele diagonale în interiorul lui. Suma măsurilor celor patru unghiuri ale oricărui patrulater convex este $360°$

Un paralelogram este un patrulater convex cu laturile opuse paralele două câte două. Din această singură condiție rezultă toate celelalte proprietăți: laturi opuse congruente, unghiuri opuse congruente, unghiuri alăturate suplementare și diagonale care se înjumătățesc.

Patrulaterul convex

Un patrulater $ABCD$ este format din patru puncte $A$ $B$ $C$ $D$ oricare trei necoliniare, și cele patru laturi $AB$ $BC$ $CD$ $DA$

Patrulater convex

Un patrulater este convex dacă ambele lui diagonale sunt cuprinse în interiorul patrulaterului. Echivalent: fiecare unghi interior are măsura mai mică decât $180°$

Dacă cel puțin un unghi interior are măsura mai mare decât $180°$ (un unghi reflex), patrulaterul este neconvex (concav). Cel puțin una dintre diagonale iese atunci din figură.

Patrulaterul

ABCD

este neconvex: unghiul din

C

are măsura mai mare de

180°

iar diagonala

BD

nu este cuprinsă în interiorul figurii.

Cum recunoști rapid convexitatea

Desenează ambele diagonale. Dacă amândouă rămân în interiorul patrulaterului, acesta este convex. Dacă măcar una trece prin exterior, patrulaterul este neconvex.

Suma unghiurilor unui patrulater convex

Într-un patrulater convex $ABCD$ diagonala $AC$ îl împarte în două triunghiuri: $ABC$ și $ACD$ Fiecare triunghi are suma unghiurilor $180°$

Diagonala

AC

împarte patrulaterul convex

ABCD

în triunghiurile

ABC

și

ACD

Unghiul din $A$ al patrulaterului este suma unghiurilor $\angle BAC$ și $\angle CAD$ iar unghiul din $C$ este suma unghiurilor $\angle BCA$ și $\angle ACD$ Unghiurile din $B$ și $D$ rămân neschimbate. Așadar suma $S$ a celor patru unghiuri ale patrulaterului este chiar suma unghiurilor celor două triunghiuri:

\begin{aligned} S &= m(\angle A) + m(\angle B) \\ &\quad + m(\angle C) + m(\angle D) \\ &= 180° + 180° = 360° \end{aligned}

Teoremă

Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este $360°$

Doar pentru patrulatere convexe

Demonstrația de mai sus folosește faptul că diagonala $AC$ este interioară patrulaterului, adevărat doar la patrulaterele convexe. La un patrulater neconvex, unul dintre unghiuri este reflex (mai mare de $180°$ iar împărțirea în cele două triunghiuri nu mai funcționează la fel.

Paralelogramul

Definiție

Un paralelogram este un patrulater convex cu laturile opuse paralele două câte două: $AB \parallel DC$ și $AD \parallel BC$

ABCD

paralelogram:

AB \parallel DC

(o săgeată) și

AD \parallel BC

(două săgeți).

Notăm un paralelogram scriind vârfurile în ordine, ca la orice patrulater: $ABCD$ Ordinea contează, pentru că arată care laturi sunt opuse: $AB$ este opusă lui $DC$ iar $AD$ este opusă lui $BC$

Proprietățile paralelogramului

Din definiție (laturile opuse paralele) rezultă mai multe proprietăți, folosite constant în probleme.

Proprietatea 1: laturile opuse sunt congruente

Într-un paralelogram, laturile opuse au aceeași lungime: $AB \equiv DC$ și $AD \equiv BC$

Laturile opuse ale unui paralelogram sunt congruente:

AB \equiv DC

și

AD \equiv BC

Proprietatea 2: unghiurile opuse sunt congruente

Într-un paralelogram, unghiurile opuse au aceeași măsură: $\angle A \equiv \angle C$ și $\angle B \equiv \angle D$

Proprietatea 3: unghiurile alăturate sunt suplementare

Două unghiuri alăturate (care au o latură comună) ale unui paralelogram au suma măsurilor $180°$ de exemplu $m(\angle A) + m(\angle B) = 180°$ pentru că $AB \parallel DC$ și $AD$ este secantă.

Unghiurile opuse sunt congruente:

\angle A \equiv \angle C

și

\angle B \equiv \angle D

Unghiurile alăturate (de exemplu

\angle A

și

\angle B

sunt suplementare.

Proprietatea 4: diagonalele se înjumătățesc

Diagonalele unui paralelogram se intersectează într-un punct care este mijlocul fiecăreia dintre ele.

Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc:

O

este mijlocul lui

AC

și, în același timp, mijlocul lui

BD

De ce sunt adevărate aceste proprietăți? Diagonala $BD$ împarte paralelogramul în triunghiurile $ABD$ și $CDB$ Pentru că $AB \parallel DC$ unghiurile alterne interne $\angle ABD$ și $\angle BDC$ sunt congruente; pentru că $AD \parallel BC$ unghiurile alterne interne $\angle ADB$ și $\angle DBC$ sunt congruente. Cu latura comună $BD$ triunghiurile $ABD$ și $CDB$ sunt congruente (cazul unghi-latură-unghi, ULU). De aici rezultă $AB \equiv DC$ $AD \equiv BC$ și $\angle A \equiv \angle C$

Recunoașterea unui paralelogram

Proprietățile de mai sus pornesc de la „dacă este paralelogram, atunci …”. Pentru recunoaștere, întrebarea este inversă: „dacă un patrulater are …, atunci este paralelogram?”

dacă laturile opuse sunt paralele două câte două (definiția), atunci este paralelogram;
dacă laturile opuse sunt congruente două câte două, atunci este paralelogram;
dacă diagonalele se înjumătățesc, atunci este paralelogram;
dacă o pereche de laturi opuse este și paralelă, și congruentă, atunci este paralelogram;
dacă unghiurile opuse sunt congruente două câte două, atunci este paralelogram.

Nu confunda proprietatea cu condiția suficientă

„Laturile opuse paralele” este definiția. Celelalte patru condiții de mai sus sunt criterii de recunoaștere: fiecare, luată separat, este suficientă ca să tragi concluzia că patrulaterul este paralelogram. Dar o singură pereche de laturi opuse paralele, fără nimic altceva, nu este suficientă: patrulaterul poate fi trapez.

Linia mijlocie în triunghi

Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie a triunghiului.

Teorema liniei mijlocii

Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.

M

mijlocul lui

AB

N

mijlocul lui

AC

Linia mijlocie

MN \parallel BC

și

MN = \dfrac{BC}{2}

aici

BC = 8

cm,

MN = 4

cm.

Un triunghi are trei linii mijlocii, câte una pentru fiecare pereche de laturi. Fiecare este paralelă cu latura rămasă și are lungimea jumătate din a ei.

De ce este adevărată teorema

Prelungește $MN$ dincolo de $N$ cu un segment $NP \equiv MN$ Diagonalele $AC$ și $MP$ ale patrulaterului $AMCP$ se înjumătățesc în $N$ deci $AMCP$ este paralelogram. Rezultă $CP \parallel AM$ și $CP \equiv AM \equiv MB$ Atunci $MBCP$ are laturile opuse $MB$ și $CP$ paralele și congruente, deci este paralelogram, iar $MP \parallel BC$ și $MP \equiv BC$ Cum $MN = \dfrac{MP}{2}$ obții $MN \parallel BC$ și $MN = \dfrac{BC}{2}$

Centrul de greutate al triunghiului

O mediană a unui triunghi unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Un triunghi are trei mediane.

Centrul de greutate

Cele trei mediane ale unui triunghi sunt concurente într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului, notat de obicei $G$ Centrul de greutate se află întotdeauna în interiorul triunghiului.

Cele trei mediane

AM_a

BM_b

CM_c

se întâlnesc în centrul de greutate

G

Pe mediana

AM_a

AG = 4

cm,

GM_a = 2

cm, deci

AG = 2 \cdot GM_a

Raportul 2:1

Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ măsurat dinspre vârf: distanța de la vârf la $G$ este de două ori distanța de la $G$ la mijlocul laturii opuse.

\begin{aligned} AG &= 2 \cdot GM_a \\ BG &= 2 \cdot GM_b \\ CG &= 2 \cdot GM_c \end{aligned}

În figura de mai sus, pe mediana $AM_a$ $AM_a = 6$ cm, $AG = 4$ cm și $GM_a = 2$ cm. Într-adevăr, $4 = 2 \cdot 2$ și $4 + 2 = 6$

Exemple rezolvate

Exemplul 1: convex sau neconvex?

Dintre cele două patrulatere din figurile de mai sus (secțiunea „Patrulaterul convex”), care este convex și care nu? Justifică.

Vezi rezolvarea

Primul patrulater este convex: ambele diagonale, $AC$ și $BD$ rămân în interiorul figurii.

Al doilea, în formă de săgeată, este neconvex: unghiul din $C$ este reflex (mai mare de $180°$ iar diagonala $BD$ iese din figură.

Exemplul 2: suma unghiurilor

Un patrulater convex are trei unghiuri de $80°$ $95°$ și $110°$ Cât măsoară al patrulea unghi?

Vezi rezolvarea

80° + 95° + 110° = 285°

suma primelor trei unghiuri

m(\angle 4) = 360° - 285° = 75°

suma tuturor este

360°

Exemplul 3: laturi opuse congruente

În paralelogramul $ABCD$ $AB = 9$ cm și $BC = 6{,}4$ cm. Calculează $CD$ și $AD$

Vezi rezolvarea

Laturile opuse ale unui paralelogram sunt congruente: $CD \equiv AB$ și $AD \equiv BC$

CD = 9 \text{ cm}, \qquad AD = 6{,}4 \text{ cm}

Exemplul 4: unghiuri opuse și alăturate

În paralelogramul $ABCD$ $m(\angle A) = 72°$ Calculează $m(\angle B)$ $m(\angle C)$ și $m(\angle D)$

Vezi rezolvarea

m(\angle C) = m(\angle A) = 72°

unghiuri opuse congruente

m(\angle B) = 180° - 72° = 108°

\angle A

și

\angle B

sunt alăturate, deci suplementare

m(\angle D) = m(\angle B) = 108°

unghiuri opuse congruente

Verificare: $72° + 108° + 72° + 108° = 360°$

Exemplul 5: diagonalele se înjumătățesc

În paralelogramul $ABCD$ diagonalele se intersectează în $O$ Dacă $AC = 14$ cm, cât este $AO$ Dacă $OB = 5{,}2$ cm, cât este $BD$

Vezi rezolvarea

$O$ este mijlocul lui $AC$ deci $AO = \dfrac{AC}{2}$ $O$ este și mijlocul lui $BD$ deci $BD = 2 \cdot OB$

AO = \dfrac{14}{2} = 7 \text{ cm}

BD = 2 \cdot 5{,}2 = 10{,}4 \text{ cm}

Exemplul 6: algebră cu diagonalele

În paralelogramul $ABCD$ diagonalele se intersectează în $O$ iar $OA = 3x + 2$ și $OC = 5x - 4$ (în centimetri). Calculează $x$ și lungimea diagonalei $AC$

Vezi rezolvarea

$O$ fiind mijlocul lui $AC$ avem $OA = OC$

3x + 2 = 5x - 4

2 + 4 = 5x - 3x

6 = 2x

x = 3

OA = 3 \cdot 3 + 2 = 11 \text{ cm}

AC = 2 \cdot 11 = 22 \text{ cm}

Exemplul 7: recunoaștere, direcția implicației

Un patrulater $ABCD$ are $AB \parallel CD$ dar nu se știe nimic despre $AD$ și $BC$ Este $ABCD$ neapărat paralelogram?

Vezi rezolvarea

Nu. Definiția paralelogramului cere ca ambele perechi de laturi opuse să fie paralele. O singură pereche de laturi paralele nu este suficientă: patrulaterul poate fi un trapez, cu $AD$ și $BC$ neparalele.

Exemplul 8: recunoaștere cu criteriu valid

Patrulaterul $ABCD$ are $AB \parallel CD$ și $AB \equiv CD$ Este $ABCD$ paralelogram?

Vezi rezolvarea

Da. O pereche de laturi opuse care sunt deopotrivă paralele și congruente este un criteriu suficient de recunoaștere a paralelogramului. Diagonala $BD$ formează cu $AB \parallel CD$ unghiuri alterne interne congruente, deci triunghiurile $ABD$ și $CDB$ sunt congruente (cazul latură-unghi-latură, LUL, cu latura comună $BD$ De aici rezultă $AD \equiv BC$ și, din unghiurile alterne interne egale ale celor două triunghiuri, $AD \parallel BC$ și cealaltă pereche de laturi este paralelă.

Exemplul 9: algebră cu unghiuri alăturate

În paralelogramul $ABCD$ $m(\angle A) = 2x + 10°$ și $m(\angle B) = 3x - 20°$ Calculează $x$ și măsurile celor patru unghiuri.

Vezi rezolvarea

$\angle A$ și $\angle B$ sunt alăturate, deci suplementare.

(2x + 10°) + (3x - 20°) = 180°

5x - 10° = 180°

5x = 190°

x = 38°

m(\angle A) = 2 \cdot 38° + 10° = 86°

m(\angle B) = 3 \cdot 38° - 20° = 94°

m(\angle C) = m(\angle A) = 86°

m(\angle D) = m(\angle B) = 94°

Verificare: $86° + 94° + 86° + 94° = 360°$

Exemplul 10: perimetrul paralelogramului

Într-un paralelogram, $AB = x + 3$ (cm) și $BC = 2x$ (cm), iar perimetrul este $36$ cm. Calculează $x$ și lungimile laturilor.

Vezi rezolvarea

Perimetrul unui paralelogram cu laturile alăturate $AB$ și $BC$ este $2 \cdot (AB + BC)$

2 \cdot \big[(x + 3) + 2x\big] = 36

2 \cdot (3x + 3) = 36

3x + 3 = 18

3x = 15

x = 5

AB = 5 + 3 = 8 \text{ cm}

BC = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm}

Verificare: $2 \cdot (8 + 10) = 36$ cm.

Exemplul 11: linia mijlocie, o singură mărime cunoscută

Într-un triunghi, latura $BC = 17{,}8$ cm, iar $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ respectiv $AC$ Calculează $MN$

Vezi rezolvarea

MN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{17{,}8}{2} = 8{,}9 \text{ cm}

Exemplul 12: linia mijlocie, invers

Linia mijlocie a unui triunghi are $6{,}5$ cm. Cât măsoară latura cu care este paralelă?

Vezi rezolvarea

BC = 2 \cdot MN = 2 \cdot 6{,}5 = 13 \text{ cm}

Exemplul 13: perimetrul triunghiului median

Un triunghi are laturile $10$ cm, $12$ cm și $14$ cm. Unind mijloacele laturilor lui se obține un nou triunghi (triunghiul median). Calculează perimetrul triunghiului median.

Vezi rezolvarea

Fiecare latură a triunghiului median este o linie mijlocie a triunghiului inițial, deci are lungimea jumătate din latura corespunzătoare.

\dfrac{10}{2} + \dfrac{12}{2} + \dfrac{14}{2} = 5 + 6 + 7 = 18 \text{ cm}

La fel de simplu: perimetrul triunghiului median este jumătate din perimetrul triunghiului inițial, $\dfrac{10 + 12 + 14}{2} = 18$ cm.

Exemplul 14: centrul de greutate și raportul 2:1

Mediana dusă dintr-un vârf al unui triunghi are lungimea $18$ cm. La ce distanță de vârf se află centrul de greutate?

Vezi rezolvarea

Centrul de greutate împarte mediana în raportul $2:1$ dinspre vârf, deci distanța de la vârf la $G$ este $\dfrac{2}{3}$ din lungimea medianei.

AG = \dfrac{2}{3} \cdot 18 = 12 \text{ cm}

GM_a = 18 - 12 = 6 \text{ cm}

Exemplul 15: sinteza, patrulaterul mijloacelor

Fie $ABCD$ un patrulater oarecare (convex) și $M$ $N$ $P$ $Q$ mijloacele laturilor $AB$ $BC$ $CD$ respectiv $DA$ Arată că $MNPQ$ este paralelogram.

Vezi rezolvarea

Date: $M$ $Q$ $N$ $P$ sunt mijloacele laturilor $AB$ $DA$ $BC$ $CD$ De demonstrat: $MNPQ$ este paralelogram.

Trasăm diagonala $BD$ În triunghiul $ABD$ $M$ este mijlocul lui $AB$ și $Q$ este mijlocul lui $AD$ deci $MQ$ este linie mijlocie: $MQ \parallel BD$ și $MQ = \dfrac{BD}{2}$

În triunghiul $CBD$ $N$ este mijlocul lui $BC$ și $P$ este mijlocul lui $CD$ deci $NP$ este linie mijlocie: $NP \parallel BD$ și $NP = \dfrac{BD}{2}$

Din $MQ \parallel BD$ și $NP \parallel BD$ rezultă $MQ \parallel NP$ Din $MQ = \dfrac{BD}{2}$ și $NP = \dfrac{BD}{2}$ rezultă $MQ \equiv NP$

Concluzie: $MNPQ$ are o pereche de laturi opuse $MQ$ și $NP$ deopotrivă paralele și congruente, deci $MNPQ$ este paralelogram (criteriul de recunoaștere din secțiunea anterioară).

Greșeli frecvente

Un patrulater este convex dacă „arată rotunjit”, fără altă verificare.
Convexitatea se verifică exact: ambele diagonale trebuie să fie interioare patrulaterului (echivalent, toate unghiurile sub $180°$ nu doar „aspectul” figurii.
Suma unghiurilor unui patrulater oarecare este $360°$ inclusiv la cele neconvexe, calculată la fel ca la cele convexe.
Teorema demonstrată la clasă (împărțirea cu o diagonală în două triunghiuri) este pentru patrulatere convexe, unde diagonala este interioară.
O pereche de laturi opuse paralele este suficientă ca patrulaterul să fie paralelogram.
Definiția cere ambele perechi de laturi opuse paralele. Cu o singură pereche paralelă, patrulaterul poate fi trapez.
Unghiurile alăturate ale unui paralelogram sunt congruente.
Unghiurile opuse sunt congruente. Unghiurile alăturate (vecine) sunt suplementare, adică suma lor este $180°$
Diagonalele unui paralelogram sunt congruente între ele.
Fiecare diagonală este înjumătățită de cealaltă (au același mijloc), dar lungimile celor două diagonale pot fi diferite. Diagonalele congruente sunt o proprietate a dreptunghiului, nu a oricărui paralelogram.
Linia mijlocie a triunghiului este orice segment care unește două puncte de pe laturi.
Linia mijlocie unește exact mijloacele a două laturi. Doar în acest caz este paralelă cu a treia latură și are lungimea jumătate din a ei.
Centrul de greutate împarte mediana în două părți egale.
Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ măsurat dinspre vârf, nu în părți egale (asta ar fi mijlocul medianei).
Centrul de greutate poate cădea în afara triunghiului, la triunghiuri „ciudate”.
Centrul de greutate este întotdeauna în interiorul triunghiului, indiferent de forma acestuia, pentru că medianele sunt segmente care pornesc dintr-un vârf și ajung pe latura opusă, deci trec prin interior.

Exerciții

Ușor

Ce înseamnă că un patrulater este convex?
Arată răspunsul
Răspuns: Ambele diagonale ale lui sunt interioare patrulaterului (echivalent, toate unghiurile au măsura mai mică de $180°$
Este convex patrulaterul $ABCD$ din figură? Justifică verificând diagonalele.
Arată răspunsul
Răspuns: Da, este convex.
Diagonalele $AC$ și $BD$ rămân amândouă în interiorul patrulaterului, iar toate unghiurile lui sunt mai mici de $180°$
Cât este suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex?
Arată răspunsul
Răspuns: $360°$
Un patrulater convex are unghiurile $90°$ $90°$ $90°$ și $x$ Calculează $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 90°$
$360° - 90° - 90° - 90° = 90°$
Definește paralelogramul.
Arată răspunsul
Răspuns: Un patrulater convex cu laturile opuse paralele două câte două.
În paralelogramul $ABCD$ $AB = 8$ cm. Cât este $CD$
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ cm.
Laturile opuse ale paralelogramului sunt congruente.
În paralelogramul $ABCD$ $BC = 5{,}5$ cm. Cât este $AD$
Arată răspunsul
Răspuns: $5{,}5$ cm.
Ce proprietate au diagonalele unui paralelogram?
Arată răspunsul
Răspuns: Se intersectează într-un punct care este mijlocul fiecăreia dintre ele (se înjumătățesc).
Enunță teorema liniei mijlocii într-un triunghi.
Arată răspunsul
Răspuns: Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.
Ce este centrul de greutate al unui triunghi?
Arată răspunsul
Răspuns: Punctul de intersecție al celor trei mediane ale triunghiului.

Mediu

Un patrulater convex are unghiurile $75°$ $100°$ $95°$ și $x$ Calculează $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 90°$
$360° - 75° - 100° - 95° = 90°$
În paralelogramul $ABCD$ $m(\angle A) = 64°$ Calculează $m(\angle B)$ $m(\angle C)$ și $m(\angle D)$
Arată răspunsul
Răspuns: $m(\angle B) = 116°$ $m(\angle C) = 64°$ $m(\angle D) = 116°$
$\angle C \equiv \angle A$ (opuse), $\angle B$ suplementar cu $\angle A$ $180° - 64° = 116°$ $\angle D \equiv \angle B$
În paralelogramul $ABCD$ $m(\angle B) = 3x$ și $m(\angle C) = 2x$ Sunt $\angle B$ și $\angle C$ alăturate sau opuse? Calculează $x$
Arată răspunsul
Răspuns: Alăturate; $x = 36°$
$\angle B$ și $\angle C$ sunt alăturate (vecine, cu latura $BC$ comună), deci suplementare: $3x + 2x = 180°$ $5x = 180°$ $x = 36°$
În paralelogramul $ABCD$ diagonalele se intersectează în $O$ iar $OA = 4{,}5$ cm. Calculează $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $AC = 9$ cm.
În paralelogramul $ABCD$ diagonalele se intersectează în $O$ cu $OA = 2x + 1$ și $OC = 3x - 2$ (cm). Calculează $x$ și $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 3$ $AC = 14$ cm.
$2x + 1 = 3x - 2 \Rightarrow x = 3$ $OA = 7$ cm, $AC = 14$ cm.
Un paralelogram are laturile alăturate $7$ cm și $4{,}3$ cm. Calculează perimetrul.
Arată răspunsul
Răspuns: $22{,}6$ cm.
$P = 2 \cdot (7 + 4{,}3) = 22{,}6$ cm.
Într-un paralelogram, $AB=x+2$ cm, $BC=3x$ cm, iar perimetrul este $44$ cm. Calculează $x$ $AB$ și $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=5$ $AB=7$ cm, $BC=15$ cm.
$2[(x+2)+3x]=44 \Rightarrow 4x+2=22 \Rightarrow x=5$
Un triunghi are $BC = 20$ cm. $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $AC$ Calculează $MN$
Arată răspunsul
Răspuns: $MN = 10$ cm.
Linia mijlocie a unui triunghi are $6{,}4$ cm. Calculează lungimea laturii cu care este paralelă.
Arată răspunsul
Răspuns: $12{,}8$ cm.
Adevărat sau fals: „Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt suplementare.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Unghiurile opuse sunt congruente, nu suplementare; suplementare sunt unghiurile alăturate.
Un patrulater $ABCD$ are $AB \parallel CD$ și $AD \parallel BC$ Este $ABCD$ paralelogram? Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Are ambele perechi de laturi opuse paralele, exact definiția paralelogramului.
Patrulaterul $ABCD$ are diagonalele care se înjumătățesc. Este $ABCD$ paralelogram? Justifică pe scurt.
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Diagonalele care se înjumătățesc formează un criteriu suficient de recunoaștere a paralelogramului.

Provocare

În paralelogramul $ABCD$ $m(\angle A)=3x+5°$ și $m(\angle B)=2x+25°$ Calculează $x$ și toate unghiurile.
Arată răspunsul
Răspuns: $x=30$ $\angle A=\angle C=95°$ $\angle B=\angle D=85°$
$(3x+5°)+(2x+25°)=180° \Rightarrow 5x+30°=180° \Rightarrow x=30$
Într-un paralelogram, suma diagonalelor este $34$ cm, iar diferența lor este $6$ cm. Calculează lungimile diagonalelor și distanțele de la punctul de intersecție la câte un capăt al fiecăreia.
Arată răspunsul
Răspuns: $AC = 20$ cm, $BD = 14$ cm; $OA = OC = 10$ cm, $OB = OD = 7$ cm.
Din $AC + BD = 34$ și $AC - BD = 6$ rezultă $AC = 20$ $BD = 14$ $O$ este mijlocul fiecărei diagonale.
În paralelogramul $ABCD$ bisectoarea unghiului $A$ intersectează latura $BC$ în $E$ Arată că $BE \equiv AB$
Arată răspunsul
Răspuns: Triunghiul $ABE$ este isoscel, cu $BE \equiv AB$
Din $AE$ bisectoare, $\angle BAE \equiv \angle EAD$ Din $AD \parallel BC$ cu secanta $AE$ unghiurile alterne interne $\angle EAD$ și $\angle AEB$ sunt congruente. Rezultă $\angle BAE \equiv \angle AEB$ deci triunghiul $ABE$ este isoscel cu baza $AE$ adică $BE \equiv AB$
Un triunghi are laturile $11$ cm, $13$ cm și $16$ cm. Calculează perimetrul triunghiului format de mijloacele laturilor lui.
Arată răspunsul
Răspuns: $20$ cm.
Perimetrul triunghiului median este jumătate din perimetrul triunghiului inițial: $\dfrac{11+13+16}{2} = 20$ cm.
Mediana dintr-un vârf al unui triunghi are $15$ cm. Calculează distanțele de la vârf la centrul de greutate și de la centrul de greutate la mijlocul laturii opuse.
Arată răspunsul
Răspuns: $AG = 10$ cm, $GM_a = 5$ cm.
$AG:GM_a = 2:1$ și $AG + GM_a = 15$ deci $AG = 10$ cm, $GM_a = 5$ cm.
Distanța de la un vârf al unui triunghi la centrul de greutate este $14$ cm. Calculează lungimea întreagă a medianei și distanța de la centrul de greutate la mijlocul laturii opuse.
Arată răspunsul
Răspuns: Mediana are $21$ cm, iar $GM_a = 7$ cm.
$AG$ reprezintă $\dfrac{2}{3}$ din mediană: mediana $= \dfrac{3}{2} \cdot 14 = 21$ cm, iar $GM_a = 21 - 14 = 7$ cm.
Adevărat sau fals, cu justificare: „Centrul de greutate al unui triunghi se află întotdeauna în interiorul triunghiului.”
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat.
Centrul de greutate este intersecția celor trei mediane, segmente interioare triunghiului, deci se află mereu în interior, indiferent de forma triunghiului.
Un paralelogram are un unghi drept $90°$ Ce poți spune despre celelalte trei unghiuri? Justifică folosind proprietățile unghiurilor paralelogramului.
Arată răspunsul
Răspuns: Toate cele trei unghiuri sunt tot de $90°$
Unghiul opus celui drept este congruent cu el, deci tot $90°$ Fiecare dintre celelalte două este alăturat unui unghi de $90°$ deci suplementar cu $90°$ adică tot $90°$
Într-un triunghi $ABC$ punctele $M$ $N$ $P$ sunt mijloacele laturilor $AB$ $AC$ respectiv $BC$ Arată că $AMPN$ este paralelogram.
Arată răspunsul
Răspuns: $AMPN$ este paralelogram.
$MP$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$ (mijloacele laturilor $AB$ și $BC$ deci $MP \parallel AC$ adică $MP \parallel AN$ $NP$ este linie mijlocie (mijloacele laturilor $AC$ și $BC$ deci $NP \parallel AB$ adică $NP \parallel AM$ Ambele perechi de laturi opuse ale patrulaterului $AMPN$ sunt paralele, deci este paralelogram.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Un patrulater este convex dacă:
1. ambele diagonale sunt interioare patrulaterului
2. are patru laturi egale
3. are cel puțin un unghi drept
4. arată simetric
Arată răspunsul
Răspuns: ambele diagonale sunt interioare patrulaterului
2. Un patrulater convex are trei unghiuri de $68°$ $104°$ și $118°$ Cât măsoară al patrulea?
Arată răspunsul
Răspuns: $70°$
Suma unghiurilor este $360°$ $360° - (68° + 104° + 118°) = 360° - 290° = 70°$
3. Un paralelogram este, prin definiție, un patrulater convex cu:
1. o pereche de laturi opuse paralele
2. ambele perechi de laturi opuse paralele
3. toate laturile congruente
4. diagonalele congruente
Arată răspunsul
Răspuns: ambele perechi de laturi opuse paralele
4. În paralelogramul $ABCD$ $\angle A = 63°$ Cât este $\angle C$
1. $117°$
2. $27°$
3. $63°$
4. $126°$
Arată răspunsul
Răspuns: $63°$
$\angle A$ și $\angle C$ sunt unghiuri opuse, deci congruente: $\angle C = 63°$ Unghiurile consecutive, ca $\angle B$ au $117°$
5. Într-un paralelogram, unghiurile alăturate (vecine) sunt:
1. congruente
2. complementare
3. suplementare
4. egale cu $90°$
Arată răspunsul
Răspuns: suplementare
6. În paralelogramul $ABCD$ diagonalele se intersectează în $O$ și $OA = 6$ cm. Cât este $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ cm.
$O$ este mijlocul lui $AC$
7. Diagonalele patrulaterului $ABCD$ se intersectează în $O$ cu $OA = OC$ dar $OB \neq OD$ Este $ABCD$ neapărat paralelogram?
1. da, întotdeauna
2. nu: diagonalele trebuie să se înjumătățească reciproc
3. da, dacă este convex
4. nu, pentru că un paralelogram nu are diagonale
Arată răspunsul
Răspuns: nu: diagonalele trebuie să se înjumătățească reciproc
Criteriul cere ca $O$ să fie mijlocul ambelor diagonale. Aici $O$ este mijlocul lui $AC$ dar nu și al lui $BD$
8. Linia mijlocie a unui triunghi:
1. unește un vârf cu mijlocul laturii opuse
2. este perpendiculară pe o latură, dusă din vârful opus
3. unește mijloacele a două laturi și este paralelă cu a treia, cu lungimea jumătate din a ei
4. împarte unghiul în două părți egale
Arată răspunsul
Răspuns: unește mijloacele a două laturi și este paralelă cu a treia, cu lungimea jumătate din a ei
9. O mediană a unui triunghi are $9$ cm. Cât este distanța de la vârf la centrul de greutate?
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ cm.
$AG$ reprezintă $\dfrac{2}{3}$ din mediană: $\dfrac{2}{3} \cdot 9 = 6$
10. Centrul de greutate al unui triunghi se află:
1. întotdeauna în interiorul triunghiului
2. uneori în exterior
3. întotdeauna pe o latură
4. în vârful cel mai apropiat de bază
Arată răspunsul
Răspuns: întotdeauna în interiorul triunghiului

Întrebări frecvente

Ce este un patrulater convex?

Un patrulater ale cărui diagonale sunt amândouă interioare lui (echivalent, toate unghiurile lui sunt sub $180°$ Suma unghiurilor unui patrulater convex este $360°$

Ce este un paralelogram și ce proprietăți are?

Un patrulater convex cu laturile opuse paralele două câte două. Din definiție rezultă: laturi opuse congruente, unghiuri opuse congruente, unghiuri alăturate suplementare și diagonale care se înjumătățesc.

Cum recunosc un paralelogram fără să verific paralelismul direct?

Este suficient oricare dintre: laturile opuse congruente două câte două; diagonalele care se înjumătățesc; o pereche de laturi opuse deopotrivă paralele și congruente; unghiurile opuse congruente două câte două.

Ce este linia mijlocie a unui triunghi?

Segmentul care unește mijloacele a două laturi. Este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.

Ce este centrul de greutate al unui triunghi?

Punctul în care se intersectează cele trei mediane. Se află întotdeauna în interiorul triunghiului și împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ măsurat dinspre vârf.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Patrulaterul convex

Suma unghiurilor unui patrulater convex

Paralelogramul

Proprietățile paralelogramului

Recunoașterea unui paralelogram

Linia mijlocie în triunghi

Centrul de greutate al triunghiului

Exemple rezolvate

Exemplul 1: convex sau neconvex?

Exemplul 2: suma unghiurilor

Exemplul 3: laturi opuse congruente

Exemplul 4: unghiuri opuse și alăturate

Exemplul 5: diagonalele se înjumătățesc

Exemplul 6: algebră cu diagonalele

Exemplul 7: recunoaștere, direcția implicației

Exemplul 8: recunoaștere cu criteriu valid

Exemplul 9: algebră cu unghiuri alăturate

Exemplul 10: perimetrul paralelogramului

Exemplul 11: linia mijlocie, o singură mărime cunoscută

Exemplul 12: linia mijlocie, invers

Exemplul 13: perimetrul triunghiului median

Exemplul 14: centrul de greutate și raportul 2:1

Exemplul 15: sinteza, patrulaterul mijloacelor

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Geometrie. După noua programă de gimnaziu. Clasa a VII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VII-a

Matematică. Clasa a VII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită