Lecția 2 din 3 · Patrulatere

Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

Dreptunghiul, rombul și pătratul sunt paralelograme cu o condiție în plus. În această lecție înveți ce condiție anume, ce proprietăți suplimentare capătă fiecare (mai ales legate de diagonale) și cum recunoști fiecare formă doar din felul în care se comportă diagonalele.

~ 25 min de citit

Ce vei învăța

Definesc dreptunghiul, rombul și pătratul ca paralelograme particulare.
Aplic proprietățile diagonalelor dreptunghiului, rombului și pătratului.
Recunosc un dreptunghi, un romb sau un pătrat pe baza proprietăților diagonalelor.
Calculez laturi și diagonale folosind teorema lui Pitagora.
Deosebesc proprietățile care se transmit de la paralelogram de cele specifice fiecărei forme particulare.

Recomandat înainte: Patrulaterul convex. Paralelogramul. Linia mijlocie în triunghi

Ideea de bază

Dreptunghiul, rombul și pătratul sunt, mai întâi de toate, paralelograme: au toate proprietățile paralelogramului. Fiecare adaugă o singură condiție: dreptunghiul un unghi drept, rombul două laturi alăturate congruente, pătratul pe amândouă.

Condiția în plus schimbă diagonalele: în dreptunghi devin congruente, în romb devin perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor, în pătrat devin și congruente, și perpendiculare.

Dreptunghiul

Definiție

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept.

Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente și unghiurile alăturate sunt suplementare. Dacă un unghi are $90°$ unghiul opus are tot $90°$ iar fiecare unghi alăturat, fiind suplementar cu $90°$ are tot $90°$ Așadar, într-un dreptunghi, toate cele patru unghiuri sunt drepte.

Proprietatea diagonalelor dreptunghiului

Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente (pe lângă faptul că se înjumătățesc, ca la orice paralelogram).

O

este mijlocul comun al celor două diagonale, iar

AC \equiv BD

diagonalele dreptunghiului sunt congruente și se înjumătățesc, deci cele patru jumătăți au aceeași lungime.

Recunoașterea dreptunghiului

Dacă un paralelogram are diagonalele congruente, atunci este dreptunghi.

De ce: în paralelogramul $ABCD$ cu $AC \equiv BD$ triunghiurile $ABD$ și $DCA$ au $AB \equiv DC$ (laturi opuse), $AD$ comună și $BD \equiv CA$ Sunt congruente (cazul latură-latură-latură, LLL), deci $\angle BAD \equiv \angle CDA$ Cele două unghiuri sunt alăturate în paralelogram, deci suplementare. Fiind și congruente, fiecare are $90°$

Rombul

Definiție

Rombul este paralelogramul cu două laturi alăturate congruente.

Într-un paralelogram, laturile opuse sunt deja congruente. Dacă, în plus, două laturi alăturate sunt congruente, atunci toate cele patru laturi ale paralelogramului sunt congruente. Așadar, într-un romb, toate laturile sunt congruente.

Rombul

ABCD

toate laturile sunt congruente, diagonalele

AC

și

BD

sunt perpendiculare, se înjumătățesc în

O

iar diagonala

AC

înjumătățește unghiul din

A

\angle DAC \equiv \angle CAB

Proprietățile diagonalelor rombului

Diagonalele unui romb sunt perpendiculare și fiecare este bisectoarea unghiurilor din vârfurile prin care trece (pe lângă faptul că se înjumătățesc, ca la orice paralelogram).

Recunoașterea rombului

Dacă un paralelogram are diagonalele perpendiculare, atunci este romb.

De ce: în rombul $ABCD$ cu diagonalele care se taie în $O$ triunghiul $ABD$ este isoscel $AB \equiv AD$ iar $AO$ este mediană pe baza $BD$ Într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime, și bisectoare: deci $AC \perp BD$ și $AC$ împarte unghiul din $A$ în două unghiuri congruente. Același raționament funcționează în celelalte vârfuri.

Invers, dacă diagonalele unui paralelogram sunt perpendiculare, triunghiurile $AOB$ și $AOD$ au $AO$ comună, $OB \equiv OD$ și unghiurile din $O$ drepte. Sunt congruente (latură-unghi-latură, LUL), deci $AB \equiv AD$ două laturi alăturate congruente, adică romb.

Pătratul

Definiție

Pătratul este paralelogramul cu un unghi drept și cu două laturi alăturate congruente. Cu alte cuvinte, pătratul este în același timp dreptunghi și romb.

Pătratul

ABCD

laturi congruente, unghiuri drepte, diagonale congruente

AC \equiv BD

și perpendiculare.

Pătratul moștenește toate proprietățile dreptunghiului (unghiuri drepte, diagonale congruente) și toate proprietățile rombului (laturi congruente, diagonale perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor).

Recunoașterea pătratului

Dacă un paralelogram are diagonalele congruente și perpendiculare, atunci este pătrat.

Comparație: paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat

Proprietățile diagonalelor (bisectoare: împart unghiurile în două unghiuri congruente)
Figura	Diagonalele întotdeauna	Diagonalele nu sunt neapărat
Paralelogram	se înjumătățesc	congruente, perpendiculare, bisectoare
Dreptunghi	se înjumătățesc și sunt congruente	perpendiculare, bisectoare
Romb	se înjumătățesc și sunt perpendiculare și bisectoare	congruente
Pătrat	se înjumătățesc și sunt congruente, perpendiculare și bisectoare	niciuna, toate sunt garantate

O condiție nu le dă pe toate

Diagonale congruente înseamnă dreptunghi, nu neapărat pătrat. Diagonale perpendiculare înseamnă romb, nu neapărat pătrat. Ai nevoie de AMBELE condiții ca să tragi concluzia că este pătrat.

Fiecare pătrat este și dreptunghi, și romb. Dar nu orice dreptunghi este pătrat (doar dacă are și laturile alăturate congruente) și nu orice romb este pătrat (doar dacă are și un unghi drept).

Exemple rezolvate

Exemplul 1: dintr-un unghi drept la toate

Un paralelogram are un unghi de $90°$ Ce fel de paralelogram este și cât măsoară celelalte trei unghiuri?

Vezi rezolvarea

Un paralelogram cu un unghi drept este, prin definiție, dreptunghi.

\text{unghiul opus} = 90°

unghiuri opuse congruente

\text{fiecare unghi alăturat} = 180° - 90° = 90°

unghiuri alăturate suplementare

Toate cele patru unghiuri sunt de $90°$

Exemplul 2: diagonala dreptunghiului cu teorema lui Pitagora

Un dreptunghi are laturile $6$ cm și $8$ cm. Calculează lungimea diagonalei.

Vezi rezolvarea

Diagonala unui dreptunghi este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele egale cu cele două laturi alăturate.

d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

d = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}

Exemplul 3: o latură necunoscută, din diagonală

Un dreptunghi are diagonala $13$ cm și o latură de $5$ cm. Calculează cealaltă latură.

Vezi rezolvarea

l^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144

l = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}

Exemplul 4: recunoașterea dreptunghiului din diagonale

Un paralelogram $ABCD$ are diagonalele $AC = BD = 15$ cm. Ce fel de paralelogram este?

Vezi rezolvarea

Diagonalele sunt congruente, deci $ABCD$ este dreptunghi (criteriul de recunoaștere).

Exemplul 5: latura rombului din diagonale

Un romb are diagonalele $16$ cm și $12$ cm. Calculează lungimea laturii.

Vezi rezolvarea

Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci jumătățile lor, $8$ cm și $6$ cm, sunt catetele unui triunghi dreptunghic a cărui ipotenuză este chiar latura rombului.

l^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100

l = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}

Exemplul 6: o diagonală a rombului din latură și cealaltă diagonală

Un romb are latura $13$ cm și o diagonală de $10$ cm. Calculează cealaltă diagonală.

Vezi rezolvarea

Jumătatea diagonalei date este $5$ cm. Ea și jumătatea diagonalei căutate sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza $13$ cm.

x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144

x = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}

\text{cealaltă diagonală} = 2 \cdot 12 = 24 \text{ cm}

Exemplul 7: recunoașterea rombului din diagonale

Un paralelogram $ABCD$ are diagonalele perpendiculare. Ce fel de paralelogram este? Este neapărat pătrat?

Vezi rezolvarea

Diagonalele perpendiculare fac din $ABCD$ un romb (criteriul de recunoaștere). Nu este neapărat pătrat: pentru pătrat ar trebui ca diagonalele să fie și congruente, condiție care nu este dată aici.

Exemplul 8: diagonala pătratului

Un pătrat are latura $6$ cm. Calculează lungimea diagonalei.

Vezi rezolvarea

Pătratul este și dreptunghi, deci diagonala este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele egale cu latura.

d^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72

d = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm}

Exemplul 9: latura pătratului din diagonală

Un pătrat are diagonala $6\sqrt{2}$ cm. Calculează latura.

Vezi rezolvarea

Este exemplul anterior, citit invers: diagonala $d$ și latura $l$ sunt legate prin $d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$

\left(6\sqrt{2}\right)^2 = 2l^2

\left(6\sqrt{2}\right)^2 = 36 \cdot 2 = 72

72 = 2l^2 \Rightarrow l^2 = 36 \Rightarrow l = 6 \text{ cm}

Exemplul 10: recunoașterea pătratului

Un paralelogram $ABCD$ are diagonalele congruente și perpendiculare. Ce fel de patrulater este $ABCD$

Vezi rezolvarea

Diagonalele congruente arată că este dreptunghi; diagonalele perpendiculare arată că este romb. Fiind și dreptunghi, și romb, $ABCD$ este pătrat.

Exemplul 11: direcția implicației (dreptunghi vs. pătrat)

Adevărat sau fals: „Orice dreptunghi este pătrat.” Justifică.

Vezi rezolvarea

Fals. Un dreptunghi are toate unghiurile drepte, dar laturile alăturate pot avea lungimi diferite (de exemplu $6$ cm și $10$ cm). Devine pătrat doar dacă, în plus, laturile alăturate sunt congruente.

Exemplul 12: recunoașterea rombului din laturi

Un patrulater convex $ABCD$ are toate cele patru laturi congruente. Poți afirma că este romb?

Vezi rezolvarea

Da. Definiția cere ca rombul să fie mai întâi paralelogram, așa că verifici asta întâi. Laturile opuse sunt congruente două câte două (toate sunt congruente între ele), iar un patrulater cu laturile opuse congruente este paralelogram (criteriul din lecția anterioară). Fiind paralelogram cu două laturi alăturate congruente, $ABCD$ este romb.

Exemplul 13: demonstrație scurtă, diagonalele dreptunghiului

Demonstrează că diagonalele unui dreptunghi $ABCD$ sunt congruente.

Vezi rezolvarea

Date: $ABCD$ dreptunghi, deci paralelogram cu $\angle DAB = \angle ADC = 90°$ și $AB \equiv DC$ (laturi opuse). De demonstrat: $AC \equiv BD$

Comparăm triunghiurile $DAB$ și $ADC$ au latura comună $AD$ $AB \equiv DC$ și unghiul cuprins $\angle DAB \equiv \angle ADC$ (amândouă $90°$ Sunt congruente (cazul latură-unghi-latură, LUL).

Din congruența triunghiurilor rezultă că laturile corespunzătoare $BD$ și $AC$ (diagonalele) sunt congruente. Concluzie: $AC \equiv BD$

Exemplul 14: perimetrul rombului din diagonale

Un romb are diagonalele $6$ cm și $8$ cm. Calculează perimetrul rombului.

Vezi rezolvarea

Jumătățile diagonalelor, $3$ cm și $4$ cm, sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza egală cu latura rombului.

l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

P = 4 \cdot 5 = 20 \text{ cm}

Exemplul 15: bisectoarea unghiului în romb

Într-un romb $ABCD$ diagonala $AC$ împarte unghiul din $A$ în două unghiuri egale. Dacă $m(\angle DAB) = 74°$ calculează $m(\angle DAC)$ și $m(\angle CAB)$

Vezi rezolvarea

Diagonala unui romb este bisectoarea unghiului din care pornește, deci împarte unghiul din $A$ în două părți egale.

m(\angle DAC) = m(\angle CAB) = \dfrac{74°}{2} = 37°

Greșeli frecvente

Un paralelogram cu două laturi opuse congruente este romb.
Într-un paralelogram, laturile opuse sunt oricum congruente. Pentru romb trebuie ca două laturi alăturate să fie congruente, adică toate cele patru laturi să fie egale.
Diagonalele dreptunghiului sunt perpendiculare.
Diagonalele dreptunghiului sunt congruente, nu neapărat perpendiculare. Perpendicularitatea este proprietatea diagonalelor rombului.
Diagonalele rombului sunt congruente.
Diagonalele rombului sunt perpendiculare, nu neapărat congruente. Congruența este proprietatea diagonalelor dreptunghiului.
Orice dreptunghi este pătrat.
Un dreptunghi are unghiurile drepte, dar laturile alăturate pot avea lungimi diferite. Devine pătrat doar dacă laturile alăturate sunt și ele congruente.
Orice romb este pătrat.
Un romb are laturile congruente, dar unghiurile pot fi diferite de $90°$ Devine pătrat doar dacă are și un unghi drept.
Diagonale perpendiculare într-un paralelogram înseamnă automat pătrat.
Diagonalele perpendiculare arată doar că paralelogramul este romb. Pentru pătrat, diagonalele trebuie să fie și congruente.
La calculul laturii rombului cu teorema lui Pitagora, se folosesc diagonalele întregi ca și catete.
Se folosesc jumătățile diagonalelor (de la centru la fiecare vârf), pentru că diagonalele se înjumătățesc, iar triunghiul dreptunghic format are ca ipotenuză chiar latura rombului.

Exerciții

Ușor

Definește dreptunghiul.
Arată răspunsul
Răspuns: Paralelogramul cu un unghi drept.
Definește rombul.
Arată răspunsul
Răspuns: Paralelogramul cu două laturi alăturate congruente.
Definește pătratul.
Arată răspunsul
Răspuns: Paralelogramul cu un unghi drept și cu două laturi alăturate congruente.
Cât măsoară fiecare unghi al unui dreptunghi?
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$
Ce se poate spune despre laturile unui romb?
Arată răspunsul
Răspuns: Toate cele patru laturi sunt congruente.
Care dintre dreptunghi, romb, pătrat are diagonalele perpendiculare?
Arată răspunsul
Răspuns: Rombul și pătratul.
Care dintre dreptunghi, romb, pătrat are diagonalele congruente?
Arată răspunsul
Răspuns: Dreptunghiul și pătratul.
Adevărat sau fals: „Diagonalele oricărui paralelogram se înjumătățesc.”
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat.

Mediu

Un dreptunghi are laturile $5$ cm și $12$ cm. Calculează diagonala.
Arată răspunsul
Răspuns: $13$ cm.
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ cm.
Un dreptunghi are diagonala $10$ cm și o latură $6$ cm. Calculează cealaltă latură.
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ cm.
$\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ cm.
Un romb are diagonalele $18$ cm și $80$ cm. Calculează latura.
Arată răspunsul
Răspuns: $41$ cm.
Jumătățile diagonalelor sunt $9$ și $40$ cm; $\sqrt{9^2+40^2}=\sqrt{1681}=41$ cm.
Un romb are latura $17$ cm și o diagonală $16$ cm. Calculează cealaltă diagonală.
Arată răspunsul
Răspuns: $30$ cm.
Jumătatea diagonalei date este $8$ cm; cealaltă jumătate: $\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15$ cm; diagonala întreagă: $30$ cm.
Un pătrat are latura $9$ cm. Calculează diagonala.
Arată răspunsul
Răspuns: $9\sqrt{2}$ cm.
Un pătrat are diagonala $10\sqrt{2}$ cm. Calculează latura.
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ cm.
Un paralelogram $ABCD$ are diagonalele congruente. Ce fel de paralelogram este?
Arată răspunsul
Răspuns: Dreptunghi.
Un paralelogram $ABCD$ are diagonalele perpendiculare. Ce fel de paralelogram este?
Arată răspunsul
Răspuns: Romb.
Adevărat sau fals: „Toate pătratele sunt romburi.”
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat.
Pătratul îndeplinește definiția rombului (paralelogram cu două laturi alăturate congruente).
Adevărat sau fals: „Un romb care are un unghi drept este pătrat.”
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat.
Rombul are laturile alăturate congruente, iar cu un unghi drept este paralelogram cu un unghi drept și laturi alăturate congruente, adică pătrat.

Provocare

Un paralelogram are diagonalele congruente, dar nu sunt perpendiculare. Ce tip de paralelogram poți concluziona că este?
Arată răspunsul
Răspuns: Dreptunghi.
Într-un paralelogram, diagonalele congruente caracterizează dreptunghiul; lipsa perpendicularității exclude pătratul.
Un romb are perimetrul $100$ cm și o diagonală de $14$ cm. Calculează cealaltă diagonală.
Arată răspunsul
Răspuns: $48$ cm.
Latura: $100 : 4 = 25$ cm. Jumătatea diagonalei date: $7$ cm. Cealaltă jumătate: $\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$ cm, deci diagonala întreagă: $48$ cm.
Un dreptunghi are perimetrul $46$ cm și o latură de $15$ cm. Calculează cealaltă latură și diagonala.
Arată răspunsul
Răspuns: Cealaltă latură: $8$ cm; diagonala: $17$ cm.
$2(15+l) = 46 \Rightarrow l = 8$ cm; diagonala $\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17$ cm.
Demonstrează că diagonalele unui dreptunghi $ABCD$ sunt congruente, folosind triunghiurile $DAB$ și $ADC$
Arată răspunsul
Răspuns: $AC \equiv BD$
$AD$ latură comună, $AB \equiv DC$ (laturi opuse), $\angle DAB \equiv \angle ADC$ (amândouă $90°$ triunghiurile sunt congruente (cazul latură-unghi-latură, LUL), deci $BD \equiv AC$
Într-un romb $ABCD$ $m(\angle DAB) = 74°$ Calculează $m(\angle DAC)$ $m(\angle ABC)$ și $m(\angle BCD)$
Arată răspunsul
Răspuns: $m(\angle DAC) = 37°$ $m(\angle ABC) = 106°$ $m(\angle BCD) = 74°$
Diagonala $AC$ bisectează $\angle A$ $74°:2=37°$ $\angle ABC$ este alăturat lui $\angle A$ în paralelogram, deci suplementar: $180°-74°=106°$ $\angle BCD$ este opus lui $\angle A$ deci congruent: $74°$
Un patrulater convex $ABCD$ are toate cele patru laturi congruente. Arată că $ABCD$ este romb.
Arată răspunsul
Răspuns: $ABCD$ este romb.
Laturile opuse sunt congruente două câte două, deci $ABCD$ este paralelogram (criteriul de recunoaștere). Fiind paralelogram cu două laturi alăturate congruente, este romb.
Un pătrat are diagonala $8$ cm. Calculează latura și perimetrul pătratului.
Arată răspunsul
Răspuns: $l = 4\sqrt{2}$ cm, $P = 16\sqrt{2}$ cm.
$d^2 = 2l^2$ deci $64 = 2l^2$ $l^2 = 32$ $l = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm. Perimetrul este $4l = 16\sqrt{2}$ cm.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Dreptunghiul este, prin definiție:
1. paralelogramul cu un unghi drept
2. patrulaterul cu laturile congruente
3. paralelogramul cu diagonale perpendiculare
4. orice patrulater convex
Arată răspunsul
Răspuns: paralelogramul cu un unghi drept
2. Rombul este, prin definiție:
1. paralelogramul cu un unghi drept
2. patrulaterul cu diagonale congruente
3. paralelogramul cu două laturi alăturate congruente
4. orice paralelogram
Arată răspunsul
Răspuns: paralelogramul cu două laturi alăturate congruente
3. Diagonalele unui dreptunghi sunt:
1. perpendiculare
2. bisectoare ale unghiurilor
3. de lungimi mereu diferite
4. congruente
Arată răspunsul
Răspuns: congruente
4. Diagonalele unui romb sunt:
1. congruente, dar nu perpendiculare
2. perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor
3. mereu egale cu laturile
4. paralele între ele
Arată răspunsul
Răspuns: perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor
5. Un dreptunghi are laturile $9$ cm și $12$ cm. Cât este diagonala?
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ cm.
$\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$
6. Un romb are diagonalele $20$ cm și $48$ cm. Cât este latura?
Arată răspunsul
Răspuns: $26$ cm.
Jumătățile diagonalelor, $10$ și $24$ cm, sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza egală cu latura: $\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$ cm.
7. Un paralelogram are un unghi drept și diagonalele perpendiculare. Este:
1. dreptunghi, dar nu neapărat pătrat
2. romb, dar nu neapărat pătrat
3. nu se poate preciza
4. pătrat
Arată răspunsul
Răspuns: pătrat
Un unghi drept îl face dreptunghi, diagonalele perpendiculare îl fac romb; un paralelogram care este și dreptunghi, și romb este pătrat.
8. Adevărat sau fals: „Orice romb este paralelogram.”
1. Adevărat
2. Fals
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat
Rombul este un paralelogram cu toate laturile congruente, deci orice romb este paralelogram (invers nu este adevărat).
9. Adevărat sau fals: „Orice pătrat este romb.”
1. Adevărat
2. Fals
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat
Pătratul îndeplinește definiția rombului: are laturile alăturate congruente.

Întrebări frecvente

Ce este dreptunghiul?

Paralelogramul cu un unghi drept. Rezultă că toate cele patru unghiuri sunt drepte, iar diagonalele sunt congruente.

Ce este rombul?

Paralelogramul cu două laturi alăturate congruente. Rezultă că toate cele patru laturi sunt congruente, iar diagonalele sunt perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor.

Ce este pătratul?

Paralelogramul care este în același timp dreptunghi și romb: are un unghi drept și laturile alăturate congruente. Diagonalele sunt și congruente, și perpendiculare.

Cum recunosc dreptunghiul, rombul sau pătratul din diagonale?

Diagonale congruente înseamnă dreptunghi. Diagonale perpendiculare înseamnă romb. Diagonale congruente și perpendiculare împreună înseamnă pătrat.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VII-a

Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

Ce vei învăța

Ideea de bază

Dreptunghiul

Rombul

Pătratul

Comparație: paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat

Exemple rezolvate

Exemplul 1: dintr-un unghi drept la toate

Exemplul 2: diagonala dreptunghiului cu teorema lui Pitagora

Exemplul 3: o latură necunoscută, din diagonală

Exemplul 4: recunoașterea dreptunghiului din diagonale

Exemplul 5: latura rombului din diagonale

Exemplul 6: o diagonală a rombului din latură și cealaltă diagonală

Exemplul 7: recunoașterea rombului din diagonale

Exemplul 8: diagonala pătratului

Exemplul 9: latura pătratului din diagonală

Exemplul 10: recunoașterea pătratului

Exemplul 11: direcția implicației (dreptunghi vs. pătrat)

Exemplul 12: recunoașterea rombului din laturi

Exemplul 13: demonstrație scurtă, diagonalele dreptunghiului

Exemplul 14: perimetrul rombului din diagonale

Exemplul 15: bisectoarea unghiului în romb

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Geometrie. După noua programă de gimnaziu. Clasa a VII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VII-a

Matematică. Clasa a VII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită