Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

Ce vei învăța

Identific elementele unui trapez: bazele și laturile neparalele.
Recunosc trapezul dreptunghic și folosesc unghiurile lui drepte.
Aplic teorema liniei mijlocii într-un trapez.
Folosesc proprietățile trapezului isoscel: unghiuri egale la bază și diagonale congruente.
Deosebesc trapezul de paralelogram și trapezul isoscel de trapezul oarecare.

Recomandat înainte: Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat

Ideea de bază

Un trapez este un patrulater convex cu exact o pereche de laturi opuse paralele, numite baze. Celelalte două laturi, neparalele, se numesc laturile trapezului.

Linia mijlocie a trapezului unește mijloacele laturilor neparalele, este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma bazelor. Trapezul isoscel, cu laturile neparalele congruente, are în plus unghiuri egale la fiecare bază și diagonale congruente.

Trapezul și elementele lui

Definiție

Trapezul este patrulaterul convex cu exact o pereche de laturi opuse paralele.

Trapezul

ABCD

AB \parallel DC

AB

este baza mare,

DC

este baza mică, iar

BC

și

AD

sunt laturile neparalele, de lungimi diferite.

bazele: cele două laturi paralele; cea mai lungă se numește baza mare, cealaltă baza mică;
laturile trapezului: cele două laturi neparalele;
înălțimea: distanța dintre cele două baze, adică lungimea perpendicularei duse dintr-un punct al unei baze pe cealaltă bază (toate astfel de perpendiculare au aceeași lungime, pentru că bazele sunt paralele);
linia mijlocie: segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele.

Un paralelogram nu este trapez

Paralelogramul are AMBELE perechi de laturi opuse paralele. Trapezul, așa cum îl definim aici, are EXACT o pereche de laturi paralele. Cele două noțiuni nu se suprapun.

Pentru că bazele sunt paralele, orice latură neparalelă este o secantă a lor. Rezultă că unghiurile alăturate aceleiași laturi neparalele (unul la fiecare bază) sunt suplementare, fiind unghiuri interne de aceeași parte a secantei.

m(\angle A) + m(\angle D) = 180°

m(\angle B) + m(\angle C) = 180°

Trapezul dreptunghic

Definiție

Trapezul dreptunghic este trapezul care are o latură neparalelă perpendiculară pe baze.

Trapezul dreptunghic

ABCD

latura

AD

este perpendiculară pe bazele

AB

și

DC

deci unghiurile din

A

și din

D

sunt drepte.

Latura perpendiculară pe baze formează câte un unghi drept cu fiecare bază, deci trapezul dreptunghic are exact două unghiuri drepte, alăturate acelei laturi. Celelalte două unghiuri nu sunt, în general, drepte.

Linia mijlocie în trapez

Teorema liniei mijlocii în trapez

Linia mijlocie a unui trapez este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma bazelor.

MN = \dfrac{AB + DC}{2}

M

mijlocul lui

AD

N

mijlocul lui

BC

Linia mijlocie

MN \parallel AB \parallel DC

și

MN = \dfrac{AB + DC}{2}

aici

AB = 9

cm,

DC = 6

cm,

MN = 7{,}5

cm.

De ce? Trasăm diagonala $BD$ În triunghiul $ABD$ $M$ este mijlocul lui $AD$ iar dacă notăm cu $P$ mijlocul lui $BD$ atunci $MP$ este linie mijlocie: $MP \parallel AB$ și $MP = \dfrac{AB}{2}$ În triunghiul $BCD$ $N$ este mijlocul lui $BC$ iar $PN$ este linie mijlocie: $PN \parallel DC$ și $PN = \dfrac{DC}{2}$ Cum $AB \parallel DC$ punctele $M$ $P$ $N$ sunt coliniare, deci $MN = MP + PN = \dfrac{AB}{2} + \dfrac{DC}{2} = \dfrac{AB+DC}{2}$

Trapezul isoscel

Definiție

Trapezul isoscel este trapezul cu laturile neparalele congruente.

Trapezul isoscel

ABCD

laturile neparalele

AD \equiv BC

unghiurile de la baza mare sunt congruente

\angle A \equiv \angle B

iar diagonalele sunt congruente

AC \equiv BD

Proprietățile trapezului isoscel

Unghiurile de la aceeași bază sunt congruente $\angle A \equiv \angle B$ și $\angle C \equiv \angle D$ iar diagonalele sunt congruente $AC \equiv BD$ Trapezul isoscel are o axă de simetrie, perpendiculară pe baze, prin mijloacele lor.

De ce? Ducem din $D$ și din $C$ înălțimile $DE$ și $CF$ pe $AB$ Triunghiurile dreptunghice $ADE$ și $BCF$ au ipotenuzele $AD \equiv BC$ și catetele $DE \equiv CF$ (distanța dintre bazele paralele), deci sunt congruente prin criteriul ipotenuză-catetă. Rezultă $\angle A \equiv \angle B$ iar din suplementaritate $\angle D = 180° - \angle A = 180° - \angle B = \angle C$ Triunghiurile $ABD$ și $BAC$ au latura $AB$ comună, $AD \equiv BC$ și $\angle A \equiv \angle B$ deci sunt congruente prin criteriul latură-unghi-latură, de unde $BD \equiv AC$

Recunoașterea trapezului isoscel

Un trapez cu unghiurile de la aceeași bază congruente este isoscel. La fel, un trapez cu diagonalele congruente este isoscel.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: elementele unui trapez

În trapezul $ABCD$ cu $AB \parallel DC$ și $AB = 9$ cm, $DC = 6$ cm, numește bazele și laturile trapezului.

Vezi rezolvarea

Bazele sunt $AB$ (baza mare, $9$ cm) și $DC$ (baza mică, $6$ cm). Laturile trapezului (neparalele) sunt $BC$ și $AD$

Exemplul 2: linia mijlocie, calcul direct

Un trapez are bazele $12$ cm și $8$ cm. Calculează linia mijlocie.

Vezi rezolvarea

MN = \dfrac{12 + 8}{2} = 10 \text{ cm}

Exemplul 3: linia mijlocie, invers

Linia mijlocie a unui trapez este $9$ cm, iar o bază este $14$ cm. Calculează cealaltă bază.

Vezi rezolvarea

9 = \dfrac{14 + x}{2}

18 = 14 + x

x = 4 \text{ cm}

Exemplul 4: algebră cu bazele

Un trapez are bazele $4x$ și $2x$ (cm), iar linia mijlocie este $9$ cm. Calculează $x$ și lungimile bazelor.

Vezi rezolvarea

\dfrac{4x + 2x}{2} = 9

6x = 18

x = 3

\text{bazele: } 4 \cdot 3 = 12 \text{ cm și } 2 \cdot 3 = 6 \text{ cm}

Exemplul 5: unghiurile trapezului isoscel

Un trapez isoscel are un unghi de la baza mare de $72°$ Calculează toate cele patru unghiuri.

Vezi rezolvarea

\text{celălalt unghi de la baza mare} = 72°

unghiuri egale la aceeași bază

\text{fiecare unghi de la baza mică} = 180° - 72° = 108°

unghiuri alăturate aceleiași laturi neparalele, suplementare

Verificare: $72° + 72° + 108° + 108° = 360°$

Exemplul 6: diagonalele trapezului isoscel

Un trapez isoscel are diagonala $AC = 12{,}6$ cm. Calculează diagonala $BD$

Vezi rezolvarea

Diagonalele trapezului isoscel sunt congruente.

BD = AC = 12{,}6 \text{ cm}

Exemplul 7: trapezul dreptunghic

Un trapez dreptunghic are un unghi ascuțit de $55°$ Calculează celelalte trei unghiuri.

Vezi rezolvarea

\text{cele două unghiuri drepte} = 90° \text{ și } 90°

latura perpendiculară pe baze

\text{ultimul unghi} = 180° - 55° = 125°

alăturat laturii oblice împreună cu unghiul de

55°

deci suplementar cu el

Verificare: $90° + 90° + 55° + 125° = 360°$

Exemplul 8: latura trapezului isoscel din înălțime

Un trapez isoscel are bazele $14$ cm și $8$ cm, iar înălțimea $3$ cm. Calculează lungimea laturii neparalele.

Vezi rezolvarea

Ducem înălțimile din capetele bazei mici. Ele formează un dreptunghi și două triunghiuri dreptunghice congruente, deci cele două segmente rămase pe baza mare sunt egale. Diferența bazelor este $14 - 8 = 6$ cm, împărțită egal: fiecare latură „iese” cu $3$ cm față de baza mică.

l^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18

l = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ cm}

Exemplul 9: aceeași metodă, alte numere

Un trapez isoscel are bazele $20$ cm și $12$ cm, iar înălțimea $8$ cm. Calculează latura neparalelă.

Vezi rezolvarea

Diferența bazelor: $20 - 12 = 8$ cm, împărțită egal: $4$ cm pe fiecare parte.

l^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80

l = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ cm}

Exemplul 10: perimetrul trapezului isoscel

Un trapez isoscel are bazele $18$ cm și $10$ cm, iar laturile neparalele $8{,}5$ cm fiecare. Calculează perimetrul.

Vezi rezolvarea

P = 18 + 10 + 8{,}5 + 8{,}5 = 45 \text{ cm}

Exemplul 11: recunoașterea trapezului isoscel din diagonale

Un trapez $ABCD$ (cu $AB \parallel DC$ are diagonalele congruente, $AC \equiv BD$ Ce fel de trapez este?

Vezi rezolvarea

Este trapez isoscel, pentru că diagonalele congruente sunt un criteriu suficient de recunoaștere a trapezului isoscel.

Exemplul 12: demonstrație scurtă, simetria trapezului isoscel

Într-un trapez isoscel $ABCD$ $AB \parallel DC$ $AD \equiv BC$ diagonalele se intersectează în $O$ Explică de ce $OA \equiv OB$

Vezi rezolvarea

Date: $ABCD$ trapez isoscel, deci are o axă de simetrie perpendiculară pe baze, prin mijloacele lor. Prin această simetrie, $A$ corespunde lui $B$ iar $D$ corespunde lui $C$

Diagonala $AC$ corespunde, prin simetrie, diagonalei $BD$ deci cele două diagonale sunt imagini una a celeilalte. Punctul lor de intersecție $O$ se află pe axa de simetrie, deci este propriul lui corespondent.

Cum $A$ corespunde lui $B$ și $O$ rămâne pe loc, distanța $OA$ corespunde distanței $OB$ deci $OA \equiv OB$ Analog, $OC \equiv OD$

Exemplul 13: un unghi drept atrage încă unul

Un trapez are un unghi de $90°$ Câte unghiuri drepte are, în total, acest trapez?

Vezi rezolvarea

Exact două: unghiul dat, de $90°$ și cel alăturat lui pe aceeași latură neparalelă, care este suplementar cu el, deci $180° - 90° = 90°$ Celelalte două unghiuri, de pe cealaltă latură neparalelă, nu sunt drepte: altfel patrulaterul ar avea ambele perechi de laturi paralele și ar fi dreptunghi, nu trapez.

Exemplul 14: direcția implicației

Un trapez are laturile neparalele congruente. Este neapărat isoscel? Dar dacă are doar unghiurile de la o bază congruente?

Vezi rezolvarea

Laturile neparalele congruente este chiar definiția trapezului isoscel, deci da. Unghiurile de la o bază congruente sunt un criteriu de recunoaștere valid, deci și în acest caz trapezul este isoscel.

Exemplul 15: generalizare cu linia mijlocie

Într-un trapez $ABCD$ $AB \parallel DC$ $AB$ baza mare), $AB = 2 \cdot DC$ Exprimă linia mijlocie $MN$ în funcție de $DC$

Vezi rezolvarea

MN = \dfrac{AB + DC}{2} = \dfrac{2 \cdot DC + DC}{2} = \dfrac{3 \cdot DC}{2}

Așadar $MN = \dfrac{3}{2} \cdot DC$ adică linia mijlocie este de $1{,}5$ ori baza mică.

Greșeli frecvente

Un paralelogram este un caz particular de trapez.
În definiția folosită aici, trapezul are exact o pereche de laturi paralele. Paralelogramul, cu ambele perechi paralele, nu este trapez.
Linia mijlocie a trapezului este egală cu suma bazelor.
Linia mijlocie este egală cu SEMISUMA bazelor, adică suma împărțită la doi: $MN = \dfrac{AB+DC}{2}$
Laturile neparalele ale oricărui trapez sunt congruente.
Doar la trapezul isoscel. La un trapez oarecare, laturile neparalele pot avea lungimi diferite.
Un trapez dreptunghic are toate cele patru unghiuri drepte.
Trapezul dreptunghic are exact două unghiuri drepte, alăturate laturii perpendiculare pe baze. Celelalte două unghiuri nu sunt, în general, drepte.
Unghiurile alăturate aceleiași laturi neparalele sunt congruente.
Sunt SUPLEMENTARE (suma $180°$ nu congruente, pentru că sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei față de cele două baze paralele.
Diagonalele oricărui trapez sunt congruente.
Doar la trapezul isoscel. La un trapez oarecare, diagonalele pot avea lungimi diferite.
La calculul laturii unui trapez isoscel din înălțime, se scade direct diferența bazelor.
Diferența bazelor se împarte la doi (jumătate pe fiecare parte), iar acea jumătate este o catetă a triunghiului dreptunghic format cu înălțimea; latura este ipotenuza.

Exerciții

Ușor

Definește trapezul.
Arată răspunsul
Răspuns: Patrulaterul convex cu exact o pereche de laturi opuse paralele.
Cum se numesc laturile paralele ale unui trapez?
Arată răspunsul
Răspuns: Bazele (baza mare și baza mică).
Definește trapezul isoscel.
Arată răspunsul
Răspuns: Trapezul cu laturile neparalele congruente.
Definește trapezul dreptunghic.
Arată răspunsul
Răspuns: Trapezul care are o latură neparalelă perpendiculară pe baze.
Enunță teorema liniei mijlocii în trapez.
Arată răspunsul
Răspuns: Linia mijlocie a unui trapez este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu semisuma bazelor.
Un trapez are bazele $14$ cm și $6$ cm. Calculează linia mijlocie.
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ cm.
Este un paralelogram un trapez, conform definiției din această lecție?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Ce se poate spune despre diagonalele unui trapez isoscel?
Arată răspunsul
Răspuns: Sunt congruente.

Mediu

Un trapez are bazele $16$ cm și $10$ cm. Calculează linia mijlocie.
Arată răspunsul
Răspuns: $13$ cm.
Linia mijlocie a unui trapez este $11$ cm, iar o bază este $15$ cm. Calculează cealaltă bază.
Arată răspunsul
Răspuns: $7$ cm.
$2 \cdot 11 - 15 = 7$ cm.
Un trapez are bazele $5x$ și $3x$ cm, iar linia mijlocie este $16$ cm. Calculează $x$ și lungimile bazelor.
Arată răspunsul
Răspuns: $x=4$ bazele sunt $20$ cm și $12$ cm.
$\dfrac{5x+3x}{2}=16 \Rightarrow 4x=16 \Rightarrow x=4$
Un trapez isoscel are un unghi de la baza mare de $65°$ Calculează celelalte trei unghiuri.
Arată răspunsul
Răspuns: $65°$ $115°$ $115°$
Unghiurile de la aceeași bază sunt egale, iar unghiurile de pe aceeași latură neparalelă sunt suplementare.
Un trapez isoscel are diagonala $AC=15{,}4$ cm. Calculează diagonala $BD$
Arată răspunsul
Răspuns: $15{,}4$ cm.
Un trapez dreptunghic are un unghi ascuțit de $50°$ Calculează celălalt unghi alăturat laturii oblice.
Arată răspunsul
Răspuns: $130°$
Cele două unghiuri alăturate laturii oblice sunt suplementare: $180° - 50° = 130°$
Un trapez are unghiurile $90°$ $90°$ $x$ și $115°$ Calculează $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 65°$
$360° - 90° - 90° - 115° = 65°$
Adevărat sau fals: „Toate trapezele au diagonalele congruente.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Doar trapezul isoscel are diagonalele congruente.
Adevărat sau fals: „Un trapez dreptunghic are exact două unghiuri drepte.”
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat.
Un trapez isoscel are bazele $16$ cm și $8$ cm, iar laturile neparalele au câte $7$ cm. Calculează perimetrul.
Arată răspunsul
Răspuns: $38$ cm.
$P=16+8+7+7=38$ cm.

Provocare

Un trapez isoscel are bazele $18$ cm și $10$ cm, iar înălțimea $6$ cm. Calculează lungimea laturii neparalele.
Arată răspunsul
Răspuns: $2\sqrt{13}$ cm.
Jumătatea diferenței bazelor este $4$ cm; latura este $\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ cm.
Un trapez isoscel are bazele $16$ cm și $10$ cm, iar înălțimea $4$ cm. Calculează lungimea laturii neparalele.
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ cm.
Jumătatea diferenței bazelor este $3$ cm; latura este $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
Explică, folosind axa de simetrie a trapezului isoscel $ABCD$ $AB \parallel DC$ de ce punctul de intersecție $O$ al diagonalelor verifică $OA \equiv OB$ și $OC \equiv OD$
Arată răspunsul
Răspuns: $OA \equiv OB$ $OC \equiv OD$
Axa de simetrie duce $A$ în $B$ și $D$ în $C$ deci duce diagonala $AC$ în diagonala $BD$ Punctul $O$ aflat pe axă, este propriul corespondent, deci distanțele de la $O$ la $A$ și la $B$ (corespondente prin simetrie) sunt egale, la fel cele de la $O$ la $C$ și la $D$
Într-un trapez $ABCD$ $AB \parallel DC$ și $AB=3\cdot DC$ Exprimă linia mijlocie $MN$ în funcție de $DC$
Arată răspunsul
Răspuns: $MN=2\cdot DC$
$MN=\dfrac{AB+DC}{2}=\dfrac{3DC+DC}{2}=2DC$
Un trapez $ABCD$ $AB \parallel DC$ are $AC \equiv BD$ Demonstrează că $AD \equiv BC$ deci că trapezul este isoscel.
Arată răspunsul
Răspuns: $AD \equiv BC$ deci trapezul este isoscel.
Ducem înălțimile $DE$ și $CF$ pe $AB$ Triunghiurile dreptunghice $ACF$ și $BDE$ au ipotenuzele $AC \equiv BD$ și catetele $CF \equiv DE$ deci sunt congruente prin ipotenuză-catetă și $AF \equiv BE$ Cum $EF$ este comun, $AE \equiv BF$ Triunghiurile $ADE$ și $BCF$ au catetele $AE \equiv BF$ și $DE \equiv CF$ deci sunt congruente și $AD \equiv BC$
Un trapez isoscel are unghiul de la baza mică de $108°$ și baza mare $16$ cm, baza mică $8$ cm. Calculează linia mijlocie și unghiurile de la baza mare.
Arată răspunsul
Răspuns: $MN = 12$ cm; unghiurile de la baza mare sunt de $72°$ fiecare.
$MN = \dfrac{16+8}{2}=12$ cm; unghiul de la baza mare, alăturat celui de $108°$ este suplementar: $180°-108°=72°$ iar celălalt unghi de la baza mare este congruent cu el.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Trapezul este, prin definiție:
1. patrulaterul cu toate laturile congruente
2. orice patrulater convex
3. patrulaterul convex cu ambele perechi de laturi opuse paralele
4. patrulaterul convex cu exact o pereche de laturi opuse paralele
Arată răspunsul
Răspuns: patrulaterul convex cu exact o pereche de laturi opuse paralele
2. Trapezul $MNPQ$ are $MN \parallel PQ$ Ce sunt $MN$ și $PQ$ pentru trapez, și ce sunt $NP$ și $QM$
Arată răspunsul
Răspuns: $MN$ și $PQ$ sunt bazele; $NP$ și $QM$ sunt laturile neparalele.
Bazele sunt laturile paralele, oricum ar fi desenate sau notate.
3. Un trapez are bazele $15$ cm și $9$ cm. Cât este linia mijlocie?
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ cm.
$\dfrac{15+9}{2}=12$
4. Trapezul isoscel are:
1. toate laturile congruente
2. diagonalele perpendiculare
3. laturile neparalele congruente și diagonale congruente
4. un singur unghi drept
Arată răspunsul
Răspuns: laturile neparalele congruente și diagonale congruente
5. Un trapez dreptunghic are un unghi ascuțit de $64°$ Cât măsoară unghiul obtuz?
1. $26°$
2. $64°$
3. $116°$
4. $90°$
Arată răspunsul
Răspuns: $116°$
Unghiul ascuțit și cel obtuz sunt alăturate aceleiași laturi neparalele, deci sunt suplementare: $180° - 64° = 116°$
6. Un patrulater are o singură pereche de laturi paralele, iar celelalte două laturi sunt congruente. Ce este?
1. paralelogram
2. trapez isoscel
3. romb
4. dreptunghi
Arată răspunsul
Răspuns: trapez isoscel
O singură pereche de laturi paralele înseamnă trapez; laturile neparalele congruente îl fac trapez isoscel.
7. Unghiurile alăturate aceleiași laturi neparalele a unui trapez sunt:
1. congruente
2. complementare
3. fără nicio relație
4. suplementare
Arată răspunsul
Răspuns: suplementare
8. Un trapez isoscel are un unghi de la baza mare de $58°$ Cât este unghiul de la baza mică, alăturat lui?
Arată răspunsul
Răspuns: $122°$
$180° - 58° = 122°$ unghiuri suplementare pe aceeași latură neparalelă.
9. Trapezul $ABCD$ $AB \parallel CD$ are $AD \equiv BC$ și $AC = 9{,}8$ cm. Cât este $BD$
Arată răspunsul
Răspuns: $9{,}8$ cm.
Laturile neparalele sunt congruente, deci trapezul este isoscel și are diagonalele congruente: $BD = AC = 9{,}8$ cm.

Întrebări frecvente

Ce este un trapez?

Un patrulater convex cu exact o pereche de laturi opuse paralele, numite baze. Un paralelogram, cu ambele perechi paralele, nu este trapez.

Ce este linia mijlocie a trapezului și cum se calculează?

Segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele. Este paralel cu bazele și are lungimea egală cu semisuma bazelor: $MN = \dfrac{AB+DC}{2}$

Ce este un trapez isoscel?

Trapezul cu laturile neparalele congruente. Are, în plus, unghiuri egale la fiecare bază și diagonale congruente.

Ce este un trapez dreptunghic?

Trapezul care are o latură neparalelă perpendiculară pe baze, deci exact două unghiuri drepte.

Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

Ce vei învăța

Ideea de bază

Trapezul și elementele lui

Trapezul dreptunghic

Linia mijlocie în trapez

Trapezul isoscel

Exemple rezolvate

Exemplul 1: elementele unui trapez

Exemplul 2: linia mijlocie, calcul direct

Exemplul 3: linia mijlocie, invers

Exemplul 4: algebră cu bazele

Exemplul 5: unghiurile trapezului isoscel

Exemplul 6: diagonalele trapezului isoscel

Exemplul 7: trapezul dreptunghic

Exemplul 8: latura trapezului isoscel din înălțime

Exemplul 9: aceeași metodă, alte numere

Exemplul 10: perimetrul trapezului isoscel

Exemplul 11: recunoașterea trapezului isoscel din diagonale

Exemplul 12: demonstrație scurtă, simetria trapezului isoscel

Exemplul 13: un unghi drept atrage încă unul

Exemplul 14: direcția implicației

Exemplul 15: generalizare cu linia mijlocie

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Geometrie. După noua programă de gimnaziu. Clasa a VII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VII-a

Matematică. Clasa a VII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită