Ariile patrulaterelor. Aria unui poligon prin descompunere

Q: De ce unitățile de arie sunt la pătrat?

Pentru că aria numără câte pătrățele de latură 1 (de exemplu 1 cm) încap în figură, iar fiecare astfel de pătrățel are suprafața 1 cm × 1 cm = 1 cm².

Q: Care sunt bazele unui trapez, în formula ariei?

Cele două laturi PARALELE ale trapezului: baza mare B și baza mică b. Laturile oblice (neparalele) nu apar în formula ariei.

Ce vei învăța

Deosebesc perimetrul de aria unei figuri și folosesc unitățile potrivite pentru fiecare.
Identific baza și înălțimea corespunzătoare ei într-un paralelogram, romb, triunghi sau trapez.
Aplic formula ariei paralelogramului și înțeleg de ce funcționează.
Aplic formula ariei triunghiului și înțeleg legătura ei cu paralelogramul.
Aplic formula ariei rombului, atât cu bază și înălțime, cât și cu cele două diagonale.
Aplic formula ariei trapezului și înțeleg de ce funcționează.
Calculez aria unui poligon oarecare, împărțindu-l în figuri cunoscute.

Recomandat înainte: Trapezul. Linia mijlocie în trapez. Trapezul isoscel

Ideea de bază

Perimetrul unei figuri este suma lungimilor laturilor ei: se măsoară în unități de lungime (cm, m) și arată cât de lung este conturul figurii. Aria este măsura suprafeței acoperite de figură: se măsoară în unități de lungime la pătrat (cm², m²) și arată cât de „mare” este interiorul figurii. Sunt două mărimi diferite, care răspund la întrebări diferite.

Pentru fiecare figură din această lecție, aria se calculează cu ajutorul unei baze și al unei înălțimi: înălțimea este segmentul perpendicular dus dintr-un vârf (sau de pe o latură) pe dreapta care conține baza aleasă. Fiecare formulă de arie rezultă din tăierea figurii și rearanjarea ei în figuri a căror arie o știi deja, în primul rând dreptunghiul: $A = \text{lungime} \times \text{lățime}$

Perimetru și arie: două mărimi diferite

Perimetru

Perimetrul este suma lungimilor laturilor unei figuri. Se măsoară în unități de lungime: cm, dm, m.

Arie

Aria este măsura suprafeței interioare a unei figuri. Se măsoară în unități de lungime la pătrat: cm², dm², m².

Două figuri pot avea același perimetru și arii diferite, sau aceeași arie și perimetre diferite. Nu presupune niciodată că, dacă știi una, o știi și pe cealaltă: fiecare cere propriul calcul.

Greșeală frecventă

„Cât este aria dreptunghiului?” nu se răspunde cu suma laturilor, iar „cât este perimetrul?” nu se răspunde cu un produs de laturi. Citește mereu cu atenție ce se cere: conturul (perimetrul) sau suprafața (aria).

Aria paralelogramului

Alegem o latură a paralelogramului drept bază, de exemplu $AB$ Înălțimea corespunzătoare este segmentul perpendicular dus dintr-un punct al laturii opuse $DC$ pe dreapta $AB$

AB

este baza aleasă, iar

DE

este înălțimea corespunzătoare:

DE \perp AB

E

fiind piciorul înălțimii pe dreapta

AB

Aici

AB = 6

cm,

DE = 3

cm.

A = b \cdot h

De ce funcționează formula

Tăiem triunghiul $ADE$ (format de înălțimea $DE$ și îl mutăm lipit de latura $BC$ Triunghiul decupat se potrivește exact acolo, pentru că $AD \equiv BC$ și unghiurile corespunzătoare sunt egale. Rezultă un dreptunghi cu aceeași bază $AB$ și aceeași înălțime $DE$ cu exact aceeași suprafață ca paralelogramul inițial. Aria dreptunghiului este $AB \cdot DE$ deci și aria paralelogramului este $A = b \cdot h$

Latura oblică

AD

(notată

l

și înălțimea

DE

(notată

h

sunt segmente diferite:

AD

nu este perpendiculară pe

AB

doar

DE

este.

Înălțimea nu este latura oblică

$h$ este perpendiculara pe bază, nu latura vecină a paralelogramului. Cele două coincid doar dacă paralelogramul este dreptunghi.

Aria triunghiului

Alegem o latură a triunghiului drept bază. Înălțimea corespunzătoare este segmentul perpendicular dus din vârful opus pe dreapta care conține baza.

AB

este baza aleasă, iar

CD

este înălțimea corespunzătoare:

CD \perp AB

Aici

AB = 8

cm,

CD = 4

cm.

A = \dfrac{b \cdot h}{2}

De ce funcționează formula

Construim un al doilea triunghi, congruent cu primul, rotit cu $180°$ în jurul mijlocului laturii $BC$ Cele două triunghiuri formează împreună un paralelogram cu baza $b$ și înălțimea $h$ deci de arie $b \cdot h$ Triunghiul inițial este jumătate din acest paralelogram, deci aria lui este $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$

Piciorul înălțimii nu cade întotdeauna în interiorul laturii alese ca bază. La un triunghi obtuzunghic, înălțimea dusă dintr-un vârf ascuțit poate cădea în afara triunghiului, pe prelungirea bazei.

Triunghiul

ABC

este obtuzunghic în

A

Înălțimea din

B

pe latura

AC

cade în exteriorul triunghiului: piciorul

D

este pe prelungirea lui

AC

dincolo de

A

Formula

A = \dfrac{AC \cdot BD}{2}

rămâne valabilă.

Formula rămâne aceeași, $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ indiferent unde cade piciorul înălțimii: doar lungimile bazei și înălțimii contează.

Aria rombului

Rombul este un paralelogram, deci prima formulă pentru aria lui este aceeași ca la orice paralelogram, cu latura ca bază.

A = l \cdot h

Pentru romb există și o a doua formulă, mai rapidă atunci când cunoști diagonalele: diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice congruente.

Diagonalele rombului

ABCD

sunt perpendiculare

AC \perp BD

și se înjumătățesc în

O

AC = 6

cm (diagonala mică),

BD = 8

cm (diagonala mare).

A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}

De ce funcționează formula cu diagonale

Notăm cu $d_1$ și $d_2$ lungimile diagonalelor. Fiecare dintre cele patru triunghiuri dreptunghice are catetele $\dfrac{d_1}{2}$ și $\dfrac{d_2}{2}$ deci aria $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{d_1}{2} \cdot \dfrac{d_2}{2}$ Cu patru triunghiuri: $A = 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{d_1}{2} \cdot \dfrac{d_2}{2} = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$

Ambele formule dau același rezultat

Pentru rombul din figură, cu $d_1 = 6$ cm și $d_2 = 8$ cm: $A = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24 \text{ cm}^2$ Latura lui este $l = 5$ cm (din teorema lui Pitagora, cu catetele $3$ și $4$ cm). Cu formula bază-înălțime, $A = l \cdot h = 24 \Rightarrow h = \dfrac{24}{5} = 4{,}8$ cm. Cele două formule descriu aceeași suprafață, în două moduri diferite.

Aria trapezului

Înălțimea trapezului este perpendiculara dintre cele două baze (paralele), dusă din orice punct al uneia pe dreapta celeilalte. Toate perpendicularele dintre cele două baze au aceeași lungime, tocmai pentru că bazele sunt paralele. Notăm cu $B$ lungimea bazei mari și cu $b$ lungimea bazei mici (în figură, $B = AB$ și $b = DC$ lungimea $B$ nu trebuie confundată cu vârful $B$

Înălțimea trapezului

DE

(sau

CF

este perpendiculara comună dintre baza mare

AB

și baza mică

DC

AB = 10

cm,

DC = 5

cm,

h = 4

cm.

A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}

De ce funcționează formula

În figură, înălțimile $DE$ și $CF$ cad pe baza mare și împart trapezul $ABCD$ în dreptunghiul $DEFC$ (baza $b = DC$ înălțimea $h$ și cele două triunghiuri dreptunghice $ADE$ și $BCF$ cu înălțimea comună $h$ și bazele $AE$ și $FB$ care însumate dau $AE + FB = AB - DC = B - b$ Aria totală este suma celor trei bucăți: $A = b \cdot h + \dfrac{(B - b) \cdot h}{2} = \dfrac{2bh + Bh - bh}{2} = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$

Bazele trapezului, nu laturile oblice

$B$ și $b$ sunt cele două laturi PARALELE (baza mare și baza mică), nu laturile oblice. Confundarea lor este o greșeală frecventă.

Aria unui poligon prin descompunere

Formulele de mai sus se aplică direct doar figurilor cunoscute. Pentru un poligon oarecare, cu formă neregulată, strategia este alta: împarți poligonul în bucăți pentru care ai deja o formulă (dreptunghiuri, triunghiuri, paralelograme, trapeze), calculezi aria fiecărei bucăți și le aduni.

Poligonul

ABCDEF

(formă de L) se împarte, prin segmentul punctat

GD

(orizontal, la înălțimea lui

D

în două dreptunghiuri:

ABCG

(jos,

6 \times 2

și

GDEF

(sus,

3 \times 3

A_{ABCG} = 6 \cdot 2 = 12 \text{ cm}^2

dreptunghiul de jos

A_{GDEF} = 3 \cdot 3 = 9 \text{ cm}^2

dreptunghiul de sus

A_{ABCDEF} = 12 + 9 = 21 \text{ cm}^2

aria totală, suma bucăților

Cum alegi liniile de descompunere

Prelungește laturile figurii sau trasează segmente convenabile (de obicei paralele cu laturile existente), până obții doar dreptunghiuri, triunghiuri sau alte figuri pentru care ai formulă. Nu există o singură împărțire corectă: orice descompunere validă, fără suprapuneri și fără goluri, dă același rezultat.

Fără suprapuneri, fără goluri

La descompunere, fiecare punct din interiorul poligonului trebuie acoperit de exact o bucată. Dacă două bucăți se suprapun, aria calculată este mai mare decât cea reală; dacă rămâne un gol neacoperit, aria este mai mică.

Rezumat: formulele ariilor

Formulele ariilor din această lecție
Figura	Formula ariei	Notații
Dreptunghi	$A = L \cdot l$	$L$ lungime, $l$ lățime (recapitulare)
Pătrat	$A = l^2 = \dfrac{d^2}{2}$	$l$ latură, $d$ diagonala (pătratul este un romb cu diagonale egale)
Paralelogram	$A = b \cdot h$	$b$ bază, $h$ înălțimea corespunzătoare
Triunghi	$A = \dfrac{b \cdot h}{2}$	$b$ bază, $h$ înălțimea corespunzătoare
Romb	$A = l \cdot h = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$	$l$ latură, $h$ înălțime, $d_1$ și $d_2$ diagonalele
Trapez	$A = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$	$B$ baza mare, $b$ baza mică, $h$ înălțimea

Exemple rezolvate

Exemplul 1: aria paralelogramului, calcul direct

Un paralelogram are baza $12$ cm și înălțimea corespunzătoare $5$ cm. Calculează aria.

Vezi rezolvarea

A = 12 \cdot 5 = 60 \text{ cm}^2

Exemplul 2: aria paralelogramului, invers

Un paralelogram are aria $45$ cm² și baza $9$ cm. Calculează înălțimea corespunzătoare.

Vezi rezolvarea

45 = 9 \cdot h

h = 5 \text{ cm}

Exemplul 3: perimetru vs. arie, la același paralelogram

Un paralelogram are laturile alăturate $8$ cm și $6$ cm, iar înălțimea corespunzătoare laturii de $8$ cm este $4{,}5$ cm. Calculează perimetrul și aria.

Vezi rezolvarea

Perimetrul folosește laturile, aria folosește baza și înălțimea.

P = 2 \cdot (8 + 6) = 28 \text{ cm}

A = 8 \cdot 4{,}5 = 36 \text{ cm}^2

Exemplul 4: aria triunghiului, calcul direct

Un triunghi are baza $10$ cm și înălțimea corespunzătoare $6$ cm. Calculează aria.

Vezi rezolvarea

A = \dfrac{10 \cdot 6}{2} = 30 \text{ cm}^2

Exemplul 5: aria triunghiului, invers

Un triunghi are aria $24$ cm² și baza $8$ cm. Calculează înălțimea corespunzătoare.

Vezi rezolvarea

24 = \dfrac{8 \cdot h}{2}

24 = 4h

h = 6 \text{ cm}

Exemplul 6: unități amestecate

Un triunghi are baza $150$ cm și înălțimea $0{,}8$ m. Calculează aria, în m².

Vezi rezolvarea

Convertim baza în metri înainte de calcul: $150 \text{ cm} = 1{,}5 \text{ m}$

A = \dfrac{1{,}5 \cdot 0{,}8}{2} = \dfrac{1{,}2}{2} = 0{,}6 \text{ m}^2

Exemplul 7: aria rombului din diagonale

Un romb are diagonalele $10$ cm și $14$ cm. Calculează aria.

Vezi rezolvarea

A = \dfrac{10 \cdot 14}{2} = 70 \text{ cm}^2

Exemplul 8: aria rombului, o diagonală necunoscută

Un romb are aria $48$ cm² și o diagonală de $12$ cm. Calculează cealaltă diagonală.

Vezi rezolvarea

48 = \dfrac{12 \cdot d}{2}

48 = 6d

d = 8 \text{ cm}

Exemplul 9: aria rombului, latură și înălțime

Un romb are latura $7$ cm și înălțimea corespunzătoare $4$ cm. Calculează aria.

Vezi rezolvarea

A = 7 \cdot 4 = 28 \text{ cm}^2

Exemplul 10: aria trapezului, calcul direct

Un trapez are bazele $14$ cm și $8$ cm, iar înălțimea $5$ cm. Calculează aria.

Vezi rezolvarea

A = \dfrac{(14 + 8) \cdot 5}{2} = \dfrac{22 \cdot 5}{2} = 55 \text{ cm}^2

Exemplul 11: aria trapezului, o bază necunoscută

Un trapez are aria $36$ cm², baza mare $10$ cm și înălțimea $4$ cm. Calculează baza mică.

Vezi rezolvarea

36 = \dfrac{(10 + b) \cdot 4}{2}

36 = (10 + b) \cdot 2

18 = 10 + b

b = 8 \text{ cm}

Exemplul 12: alege corect ce se cere (perimetru sau arie)

Un teren dreptunghiular are $30$ m lungime și $18$ m lățime. (a) Câți metri de gard sunt necesari pentru împrejmuire? (b) Câte m² are terenul, pentru însămânțare?

Vezi rezolvarea

(a) Gardul urmărește conturul terenului, deci se cere perimetrul.

P = 2 \cdot (30 + 18) = 96 \text{ m}

(b) Însămânțarea acoperă suprafața terenului, deci se cere aria.

A = 30 \cdot 18 = 540 \text{ m}^2

Exemplul 13: aria unui poligon prin descompunere

Un teren în formă de L este format din două dreptunghiuri alipite pe o latură comună de $4$ m: unul de $10$ m $\times$ $4$ m și altul de $4$ m $\times$ $5$ m. Calculează aria terenului.

Vezi rezolvarea

Cele două dreptunghiuri nu se suprapun și acoperă tot terenul, deci aria terenului este suma ariilor lor.

A_1 = 10 \cdot 4 = 40 \text{ m}^2

A_2 = 4 \cdot 5 = 20 \text{ m}^2

A = 40 + 20 = 60 \text{ m}^2

Exemplul 14: descompunere în triunghi și dreptunghi

O grădină are forma unei case stilizate: un dreptunghi de $6$ m $\times$ $4$ m, cu un triunghi deasupra (acoperișul), cu baza $6$ m și înălțimea $3$ m. Calculează aria totală a grădinii.

Vezi rezolvarea

A_{\text{dreptunghi}} = 6 \cdot 4 = 24 \text{ m}^2

A_{\text{triunghi}} = \dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9 \text{ m}^2

A = 24 + 9 = 33 \text{ m}^2

Exemplul 15: aria unei figuri prin scădere

Dintr-un dreptunghi de $10$ cm $\times$ $8$ cm se decupează, dintr-un colț, un dreptunghi mic de $3$ cm $\times$ $2$ cm. Calculează aria figurii rămase.

Vezi rezolvarea

Uneori descompunerea înseamnă scădere: aria figurii mari, minus aria bucății lipsă.

A_{\text{mare}} = 10 \cdot 8 = 80 \text{ cm}^2

A_{\text{decupat}} = 3 \cdot 2 = 6 \text{ cm}^2

A = 80 - 6 = 74 \text{ cm}^2

Greșeli frecvente

Aria unui paralelogram (sau trapez) se calculează cu suma laturilor.
Suma laturilor este perimetrul. Aria folosește o bază și înălțimea corespunzătoare ei, nu toate laturile adunate.
Aria se exprimă în aceleași unități ca lungimea (cm, m), fără pătrat.
Aria se exprimă în unități de lungime LA PĂTRAT: cm², m² etc. Uitarea exponentului $2$ este o greșeală frecventă.
Înălțimea unui paralelogram sau a unui romb este chiar latura oblică vecină bazei.
Înălțimea este segmentul PERPENDICULAR pe bază, dus din vârful opus. Latura oblică este mai lungă decât înălțimea, cu excepția cazului particular al dreptunghiului.
Aria triunghiului (sau a trapezului) se calculează fără să împarți la $2$
Formulele ariei triunghiului și trapezului au un $\div 2$ $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ respectiv $A = \dfrac{(B+b) \cdot h}{2}$ Omiterea împărțirii la $2$ dublează greșit rezultatul.
La trapez, $B$ și $b$ sunt oricare două laturi opuse.
$B$ și $b$ sunt EXACT bazele trapezului, adică laturile paralele. Laturile oblice (neparalele) nu intră în formula ariei.
Aria rombului cu formula diagonalelor se calculează fără să împarți la $2$ $A = d_1 \cdot d_2$
Formula corectă este $A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$ Fără împărțirea la $2$ rezultatul este dublul ariei reale.
La descompunerea unui poligon, se pot alege bucăți care se suprapun parțial, fără să afecteze rezultatul.
Bucățile trebuie să acopere exact poligonul, fără suprapuneri și fără goluri. O suprapunere face aria calculată mai mare decât cea reală.
Dacă baza este dată în metri și înălțimea în centimetri, se înmulțesc direct numerele, fără conversie.
Înainte de calcul, ambele dimensiuni trebuie aduse la aceeași unitate de lungime. Altfel rezultatul nu are sens ca arie.

Exerciții

Ușor

Ce este perimetrul unei figuri?
Arată răspunsul
Răspuns: Suma lungimilor laturilor ei.
Ce este aria unei figuri și în ce unități se măsoară?
Arată răspunsul
Răspuns: Măsura suprafeței interioare a figurii, în unități de lungime la pătrat (cm², m² etc.).
Enunță formula ariei paralelogramului.
Arată răspunsul
Răspuns: $A = b \cdot h$ unde $b$ este baza și $h$ este înălțimea corespunzătoare.
Enunță formula ariei triunghiului.
Arată răspunsul
Răspuns: $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$
Enunță formula ariei trapezului.
Arată răspunsul
Răspuns: $A = \dfrac{(B+b) \cdot h}{2}$ unde $B$ și $b$ sunt bazele.
Un paralelogram are baza $10$ cm și înălțimea $4$ cm. Calculează aria.
Arată răspunsul
Răspuns: $40$ cm².
Un triunghi are baza $6$ cm și înălțimea $5$ cm. Calculează aria.
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ cm².
Un romb are diagonalele $8$ cm și $6$ cm. Calculează aria cu formula diagonalelor.
Arată răspunsul
Răspuns: $24$ cm².

Mediu

Un paralelogram are aria $54$ cm² și înălțimea $6$ cm. Calculează baza corespunzătoare.
Arată răspunsul
Răspuns: $9$ cm.
$54 = b \cdot 6 \Rightarrow b = 9$ cm.
Un triunghi are aria $42$ cm² și baza $12$ cm. Calculează înălțimea corespunzătoare.
Arată răspunsul
Răspuns: $7$ cm.
$42 = \dfrac{12 \cdot h}{2} \Rightarrow 42 = 6h \Rightarrow h = 7$ cm.
Un trapez are bazele $16$ cm și $9$ cm, iar înălțimea $6$ cm. Calculează aria.
Arată răspunsul
Răspuns: $75$ cm².
$A = \dfrac{(16+9)\cdot 6}{2} = 75$ cm².
Un trapez are aria $60$ cm², baza mare $13$ cm și baza mică $7$ cm. Calculează înălțimea.
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ cm.
$60 = \dfrac{(13+7)\cdot h}{2} \Rightarrow 60 = 10h \Rightarrow h = 6$ cm.
Un romb are aria $40$ cm² și o diagonală de $8$ cm. Calculează cealaltă diagonală.
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ cm.
$40 = \dfrac{8 \cdot d}{2} \Rightarrow 40 = 4d \Rightarrow d = 10$ cm.
Un romb are latura $6$ cm și înălțimea corespunzătoare $4{,}5$ cm. Calculează aria.
Arată răspunsul
Răspuns: $27$ cm².
Un teren dreptunghiular are lungimea $40$ m și lățimea $25$ m. Calculează perimetrul și aria terenului.
Arată răspunsul
Răspuns: $P = 130$ m, $A = 1000$ m².
Un triunghi are baza $2400$ cm și înălțimea $6$ m. Calculează aria, în m².
Arată răspunsul
Răspuns: $72$ m².
Baza convertită: $2400$ cm $= 24$ m; $A = \dfrac{24 \cdot 6}{2} = 72$ m².
Un paralelogram are laturile alăturate $9$ cm și $5$ cm, iar înălțimea corespunzătoare laturii de $9$ cm este $3$ cm. Calculează perimetrul și aria.
Arată răspunsul
Răspuns: $P = 28$ cm, $A = 27$ cm².
Adevărat sau fals: „Aria unui romb se poate calcula fie cu latura și înălțimea, fie cu cele două diagonale.”
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat.
Adevărat sau fals: „Într-un trapez, $B$ și $b$ din formula ariei sunt laturile neparalele.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
$B$ și $b$ sunt bazele (laturile paralele), nu laturile neparalele.
Un dreptunghi de $12$ m $\times$ $7$ m are, într-un colț, decupat un pătrat cu latura $2$ m. Calculează aria figurii rămase.
Arată răspunsul
Răspuns: $80$ m².
$12 \cdot 7 - 2^2 = 84 - 4 = 80$ m².
O grădină în formă de L are un dreptunghi mare de $8 \times 3$ m și, lipit de el, un dreptunghi mic de $2 \times 4$ m. Calculează aria totală.
Arată răspunsul
Răspuns: $32$ m².
$8 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 24 + 8 = 32$ m².

Provocare

Un paralelogram are aria $A$ constantă. Dacă baza se dublează, iar înălțimea corespunzătoare se înjumătățește, cum se schimbă aria?
Arată răspunsul
Răspuns: Rămâne aceeași.
$A' = (2b) \cdot \dfrac{h}{2} = b \cdot h = A$
Un romb are perimetrul $52$ cm și o diagonală de $24$ cm. Calculează aria rombului.
Arată răspunsul
Răspuns: $120$ cm².
Latura: $52 : 4 = 13$ cm. Jumătatea diagonalei date: $12$ cm. Cealaltă jumătate de diagonală, din Pitagora: $\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$ cm, deci a doua diagonală $= 10$ cm. $A = \dfrac{24 \cdot 10}{2} = 120$ cm².
Un trapez are bazele $x$ și $2x$ (cm), înălțimea $4$ cm, iar aria este $36$ cm². Calculează $x$ și lungimile bazelor.
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 6$ bazele: $6$ cm și $12$ cm.
$36 = \dfrac{(x+2x)\cdot 4}{2} = 6x \Rightarrow x = 6$
Un triunghi și un paralelogram au aceeași bază și aceeași înălțime. Paralelogramul are aria $48$ cm². Calculează aria triunghiului.
Arată răspunsul
Răspuns: $24$ cm².
Triunghiul cu aceeași bază și înălțime are exact jumătate din aria paralelogramului.
Un teren are forma unui trapez cu baza mare $18$ m, baza mică $10$ m și înălțimea $5$ m. Din el se decupează un triunghi cu baza $4$ m și înălțimea $5$ m, situat în întregime în interiorul trapezului. Calculează aria rămasă.
Arată răspunsul
Răspuns: $60$ m².
$A_{\text{trapez}} = \dfrac{(18+10)\cdot 5}{2} = 70$ m²; $A_{\text{triunghi}} = \dfrac{4\cdot 5}{2} = 10$ m²; $70 - 10 = 60$ m².
Explică, folosind descompunerea în triunghiuri dreptunghice congruente, de ce formula $A = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$ pentru aria rombului este echivalentă cu $A = l \cdot h$
Arată răspunsul
Răspuns: Ambele exprimă aceeași arie a rombului, calculată în două moduri diferite.
Diagonalele împart rombul în $4$ triunghiuri dreptunghice congruente, de catete $d_1/2$ și $d_2/2$ cu suma ariilor $\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}$ Aceeași suprafață, calculată cu latura și înălțimea ca la orice paralelogram, dă $l \cdot h$ Fiind aceeași figură, cele două rezultate sunt egale.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Perimetrul unei figuri se măsoară în:
1. unități de lungime (cm, m)
2. unități de lungime la pătrat (cm², m²)
3. grade
4. nu se măsoară
Arată răspunsul
Răspuns: unități de lungime (cm, m)
2. Un paralelogram are aria $56$ cm² și baza $7$ cm. Cât este înălțimea corespunzătoare?
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ cm.
$A = b \cdot h$ deci $h = 56 : 7 = 8$ cm.
3. Un triunghi are aria $39$ cm² și baza $13$ cm. Cât este înălțimea corespunzătoare?
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ cm.
$A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ deci $13 \cdot h = 78$ și $h = 6$ cm.
4. Un paralelogram are baza $8$ cm și înălțimea $5$ cm. Cât este aria?
Arată răspunsul
Răspuns: $40$ cm².
$A = 8 \cdot 5 = 40$
5. Un triunghi are baza $14$ cm și înălțimea $4$ cm. Cât este aria?
Arată răspunsul
Răspuns: $28$ cm².
$A = \dfrac{14 \cdot 4}{2} = 28$
6. Într-un trapez cu bazele $B$ și $b$ și înălțimea $h$ aria este:
1. $\dfrac{(B+b) \cdot h}{2}$
2. $(B+b) \cdot h$
3. $\dfrac{B \cdot b}{h}$
4. $B \cdot b \cdot h$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{(B+b) \cdot h}{2}$
7. Aria unui romb cu diagonalele $d_1$ și $d_2$ este:
1. $\dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$
2. $d_1 \cdot d_2$
3. $d_1 + d_2$
4. $\dfrac{d_1+d_2}{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$
8. Înălțimea unui paralelogram, corespunzătoare unei baze, este:
1. chiar latura vecină bazei
2. diagonala paralelogramului
3. jumătate din bază
4. segmentul perpendicular dus din latura opusă pe dreapta bazei
Arată răspunsul
Răspuns: segmentul perpendicular dus din latura opusă pe dreapta bazei
9. Un teren dreptunghiular are $20$ m lungime și $15$ m lățime. Câți metri de gard sunt necesari pentru împrejmuire?
Arată răspunsul
Răspuns: $70$ m.
Se cere perimetrul: $P = 2 \cdot (20+15) = 70$ m.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre perimetru și arie?

Perimetrul este suma lungimilor laturilor (se măsoară în cm, m). Aria este măsura suprafeței interioare (se măsoară în cm², m²). Sunt mărimi diferite, calculate diferit.

De ce aria triunghiului se împarte la

2

Pentru că orice triunghi este jumătate dintr-un paralelogram cu aceeași bază și înălțime: două triunghiuri congruente, așezate potrivit, formează un paralelogram de arie $b \cdot h$

Poate fi orice latură folosită ca bază?

Da, la paralelogram, romb și triunghi poți alege orice latură drept bază, dar atunci trebuie să folosești înălțimea corespunzătoare EXACT acelei baze, nu una calculată pentru altă latură. La trapez, bazele sunt cele două laturi paralele.

Latura oblică a unui paralelogram sau a unui romb este înălțimea?

Nu, decât în cazul particular al dreptunghiului. Înălțimea este perpendiculara pe bază, de obicei mai scurtă decât latura oblică.

De ce unitățile de arie sunt la pătrat?

Pentru că aria numără câte pătrățele de latură $1$ (de exemplu $1$ cm) încap în figură, iar fiecare astfel de pătrățel are suprafața $1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} = 1 \text{ cm}^2$

Care sunt bazele unui trapez, în formula ariei?

Cele două laturi PARALELE ale trapezului: baza mare $B$ și baza mică $b$ Laturile oblice (neparalele) nu apar în formula ariei.

Cum aleg cum să împart un poligon complicat pentru a-i calcula aria?

Caută să obții doar dreptunghiuri și triunghiuri (sau alte figuri cu formulă cunoscută), trasând segmente convenabile. Orice împărțire validă, fără suprapuneri și fără goluri, dă aceeași arie totală.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Perimetru și arie: două mărimi diferite

Aria paralelogramului

Aria triunghiului

Aria rombului

Aria trapezului

Aria unui poligon prin descompunere

Rezumat: formulele ariilor

Exemple rezolvate

Exemplul 1: aria paralelogramului, calcul direct

Exemplul 2: aria paralelogramului, invers

Exemplul 3: perimetru vs. arie, la același paralelogram

Exemplul 4: aria triunghiului, calcul direct

Exemplul 5: aria triunghiului, invers

Exemplul 6: unități amestecate

Exemplul 7: aria rombului din diagonale

Exemplul 8: aria rombului, o diagonală necunoscută

Exemplul 9: aria rombului, latură și înălțime

Exemplul 10: aria trapezului, calcul direct

Exemplul 11: aria trapezului, o bază necunoscută

Exemplul 12: alege corect ce se cere (perimetru sau arie)

Exemplul 13: aria unui poligon prin descompunere

Exemplul 14: descompunere în triunghi și dreptunghi

Exemplul 15: aria unei figuri prin scădere

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Geometrie. După noua programă de gimnaziu. Clasa a VII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VII-a

Matematică. Clasa a VII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită