Unghiul înscris în cerc. Coarde și arce. Tangente dintr-un punct exterior

Un unghi înscris în cerc are vârful pe cerc și laturile trecând prin alte două puncte ale cercului (adică laturile conțin coarde). Măsura lui este exact jumătate din măsura unghiului la centru care subîntinde același arc.

Din această relație unică decurg toate proprietățile din lecție: unghiurile înscrise pe același arc sunt congruente, unghiul înscris într-un semicerc este drept, iar tangentele dintr-un punct exterior sunt legate de raze prin unghiuri drepte.

Un unghi înscris în cerc este un unghi cu vârful pe cerc, ale cărui laturi trec prin alte două puncte ale cercului. Dacă vârful este $C$ și laturile trec prin $A$ și $B$, unghiul $\angle ACB$ este unghi înscris, iar coardele $CA$ și $CB$ sunt laturile lui.

Nu orice unghi cu vârful pe cerc este unghi înscris: laturile trebuie să fie coarde, adică să treacă prin alte puncte ale cercului, nu prin puncte oarecare.

Teoremă. Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura unghiului la centru care subîntinde același arc.

Ideea teoremei: unghiul la centru „vede” tot arcul dintr-o singură dată, din centru. Unghiul înscris vede același arc de pe cerc, dintr-un alt punct, și de aceea măsoară doar jumătate. Poți verifica relația în orice exemplu: dacă știi una dintre măsuri, o afli pe cealaltă înmulțind sau împărțind la $2$.

De ce? Cazul în care o latură a unghiului trece prin centru: fie $CB$ un diametru și $A$ un punct al cercului. Triunghiul $OAC$ este isoscel ($OA = OC = R$), deci $\angle OAC = \angle OCA$. Unghiul $\angle AOB$ este exterior triunghiului $OAC$, deci este egal cu suma celor două unghiuri neadiacente lui: $\angle AOB = \angle OAC + \angle OCA = 2 \cdot \angle ACB$. În celelalte cazuri se duce diametrul prin $C$ și se aplică același raționament pe fiecare parte.

Consecință. Dacă două unghiuri înscrise subîntind același arc, ele sunt congruente, pentru că fiecare este jumătate din același unghi la centru.

Caz special. Dacă un unghi înscris subîntinde un semicerc, adică laturile lui trec prin capetele unui diametru, unghiul este drept. Motivul: un semicerc are $180°$, iar unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru corespunzător, $\dfrac{180°}{2} = 90°$.

Reciproca este utilă în practică: dacă un unghi înscris este drept, latura care unește capetele lui este diametru.

Într-un cerc, o coardă și arcul ei mic sunt strâns legate: coarde egale au arce egale, iar arce egale au coarde egale.

Dacă arcele nu sunt egale, nici coardele nu sunt egale: cu cât arcul (până la $180°$) este mai mare, cu atât coarda este mai lungă.

Fie $AB$ o coardă a cercului de centru $O$ și $CD$ un diametru perpendicular pe $AB$. Diametrul taie coarda în punctul $M$, care este piciorul perpendicularei duse din centrul $O$ pe coardă.

Teoremă. Diametrul perpendicular pe o coardă împarte coarda în două segmente egale: $AM = MB$. El împarte în două și arcul coardei: $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{DB}$.

De ce este adevărat: $OA = OB$ (raze), deci triunghiul $OAB$ este isoscel cu baza $AB$. Segmentul $OM$ este înălțimea dusă pe bază, iar în triunghiul isoscel înălțimea din vârf este și mediană, și bisectoare. Ca mediană, ea dă $AM = MB$. Ca bisectoare, dă $\angle AOD = \angle DOB$, adică unghiuri la centru egale, deci arce egale.

Distanța de la centrul $O$ la o coardă $AB$ este lungimea perpendicularei $OM$ duse din $O$ pe coardă. După teorema de mai sus, $M$ este chiar mijlocul coardei.

Teoremă. Într-un cerc, două coarde egal depărtate de centru sunt congruente. Și reciproc: două coarde congruente sunt egal depărtate de centru.

De ce este adevărat: triunghiurile $OMA$ și $ONC$ sunt dreptunghice (în $M$ și $N$), cu ipotenuzele $OA = OC = r$. Dacă $OM = ON$, ele sunt congruente prin criteriul ipotenuză-catetă (IC), deci $AM = CN$. Cum $M$ și $N$ sunt mijloacele coardelor, $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot CN = CD$. Pentru reciprocă, pornești de la $AM = CN$ (jumătăți de coarde egale) și aplici tot IC, cu cateta $AM = CN$: rezultă $OM = ON$.

Din clasa a VI-a știi că o dreaptă este tangentă la un cerc atunci când distanța de la centru la dreaptă este egală cu raza. Acum formulăm proprietatea ca teoremă, cu punctul de tangență.

Teoremă. Raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă.

De ce este adevărat: distanța de la $O$ la dreapta $a$ se măsoară pe perpendiculara din $O$ pe $a$. Cum $a$ este tangentă, această distanță este chiar $r$, iar singurul punct al lui $a$ aflat la distanța $r$ de $O$ este punctul de tangență $T$. Așadar piciorul perpendicularei din $O$ pe $a$ este chiar $T$, deci $OT \perp a$.

Dintr-un punct $P$ aflat în exteriorul unui cerc se pot duce exact două tangente la cerc, cu punctele de tangență $T_1$ și $T_2$.

Teoremă. Cele două segmente tangente duse dintr-un punct exterior au lungimi egale: $PT_1 = PT_2$. În plus, $OP$ este bisectoarea unghiului $\angle T_1 O T_2$ (dintre raze) și a unghiului $\angle T_1 P T_2$ (dintre tangente).

De ce este adevărat: triunghiurile $OT_1P$ și $OT_2P$ au $OT_1 = OT_2 = r$ (raze), unghiurile din $T_1$ și din $T_2$ drepte (proprietatea tangentei) și ipotenuza comună $OP$. Sunt congruente prin criteriul ipotenuză-catetă (IC), folosit deja la triunghiurile dreptunghice. De aici rezultă $PT_1 = PT_2$ (laturile corespunzătoare) și $\angle T_1OP = \angle T_2OP$, $\angle T_1PO = \angle T_2PO$ (unghiurile corespunzătoare), adică exact bisectoarele.