Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

Q: Când sunt patru segmente proporționale?

Când, luate într-o anumită ordine, AB, CD, MN, PQ satisfac AB/CD = MN/PQ. Ordinea termenilor contează.

Ce vei învăța

Scriu și calculez raportul a două segmente.
Recunosc și verific dacă patru segmente sunt proporționale, respectând ordinea termenilor.
Aplic proprietățile proporției (produsul mezilor egal cu produsul extremilor) la segmente.
Enunț și aplic teorema paralelelor echidistante.

Ideea de bază

Raportul a două segmente $AB$ și $CD$ este raportul lungimilor lor, $\dfrac{AB}{CD}$ calculat în aceeași unitate de măsură. Patru segmente $AB$ $CD$ $MN$ $PQ$ luate în această ordine, sunt proporționale dacă $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$

Teorema paralelelor echidistante spune că drepte paralele care taie segmente egale pe o secantă taie segmente egale pe orice altă secantă. Este primul rezultat din care se construiește, în lecția următoare, teorema lui Thales.

Raportul a două segmente

Raportul a două segmente $AB$ și $CD$ este raportul numerelor care exprimă lungimile lor, măsurate în aceeași unitate de lungime.

\dfrac{AB}{CD}

AB = 6

cm,

CD = 4

cm, deci

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}

Aceeași unitate de măsură

Raportul a două segmente are sens doar dacă ambele lungimi sunt exprimate în aceeași unitate. $\dfrac{AB}{CD}$ cu $AB$ în centimetri și $CD$ în milimetri NU este raportul segmentelor, ci trebuie mai întâi transformată o lungime în unitatea celeilalte.

Raportul a două segmente este un număr (de obicei o fracție), fără unitate de măsură: el arată de câte ori încape un segment în celălalt, sau ce parte este unul din celălalt.

Segmente proporționale

Definiție

Patru segmente $AB$ $CD$ $MN$ $PQ$ luate în această ordine, se numesc proporționale dacă $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$ Scriem atunci $AB, CD, MN, PQ$ proporționale sau $AB : CD = MN : PQ$

AB = 8

CD = 6

MN = 12

PQ = 9

(cm).

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}

și

\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}

rapoartele sunt egale, deci

AB

CD

MN

PQ

sunt patru segmente proporționale, luate în această ordine.

Ca la orice proporție de numere, $AB$ și $PQ$ se numesc extremii proporției, iar $CD$ și $MN$ se numesc mezii. Proprietatea fundamentală a proporțiilor rămâne valabilă: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

AB \cdot PQ = CD \cdot MN

Ordinea contează

$AB, CD, MN, PQ$ proporționale NU este același lucru cu $AB, CD, PQ, MN$ proporționale. Ordinea termenilor arată ce corespunde cu ce; schimbând ordinea, schimbi și proporția (și, de obicei, egalitatea nu mai este adevărată).

Ca la orice proporție, dintr-o proporție de segmente se pot obține altele echivalente, de exemplu prin inversarea ambelor rapoarte sau prin schimbarea mezilor între ei, atât timp cât toate rapoartele rămân scrise cu aceleași segmente.

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ} \iff \dfrac{CD}{AB} = \dfrac{PQ}{MN}

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ} \iff \dfrac{AB}{MN} = \dfrac{CD}{PQ}

Teorema paralelelor echidistante

Trei sau mai multe drepte paralele se numesc echidistante dacă distanțele dintre oricare două drepte consecutive sunt egale. Teorema de mai jos arată ce se întâmplă pe secante.

Teorema paralelelor echidistante

Dacă mai multe drepte paralele taie segmente egale pe o secantă, atunci ele taie segmente egale pe orice altă secantă. Ipoteza este egalitatea segmentelor de pe prima secantă; concluzia este egalitatea segmentelor de pe a doua.

Dreptele paralele

d_1

d_2

d_3

sunt tăiate de secantele

AC

și

A_1C_1

Pe prima secantă,

AB = BC

teorema paralelelor echidistante spune că atunci și pe a doua secantă

A_1B_1 = B_1C_1

În figura de mai sus, dreptele paralele $d_1 \parallel d_2 \parallel d_3$ taie pe secanta $AC$ segmentele $AB$ și $BC$ egale $AB = BC$ adică $B$ este mijlocul lui $AC$ Pe cealaltă secantă, $A_1C_1$ aceleași drepte taie segmentele $A_1B_1$ și $B_1C_1$ la fel de egale între ele $B_1$ este mijlocul lui $A_1C_1$ deși cele două secante au direcții diferite.

Un caz special deja cunoscut

Într-un triunghi $ABC$ ia trei drepte paralele cu $BC$ cea care trece prin $A$ dreapta $BC$ și cea care trece prin mijlocul $M$ al lui $AB$ Pe secanta $AB$ ele taie segmente egale $AM = MB$ deci taie segmente egale și pe secanta $AC$ paralela prin $M$ trece prin mijlocul lui $AC$ Este linia mijlocie, pe care o cunoști deja.

Aplicație: împărțirea unei distanțe în părți egale

Teorema paralelelor echidistante stă la baza unei construcții practice: împărțirea unui segment (sau a unei distanțe pe teren) într-un număr dat de părți egale, folosind doar rigla și echerul (sau un caroiaj / o hârtie liniată).

Patru drepte paralele echidistante (aceeași „distanță” între ele) taie secanta

P_0P_3

în segmente egale:

P_0P_1 = P_1P_2 = P_2P_3

se desenează o rețea de drepte paralele echidistante (de exemplu, liniile unei foi de caiet);
se așază secanta (segmentul de împărțit) peste rețea, cu un capăt pe prima dreaptă;
punctele în care secanta taie dreptele paralele împart segmentul în părți egale, conform teoremei.

Metoda funcționează indiferent de unghiul sub care este așezată secanta peste rețeaua de drepte paralele: contează doar ca dreptele să rămână echidistante.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: raportul a două segmente

$AB = 15$ cm și $CD = 9$ cm. Calculează $\dfrac{AB}{CD}$ sub formă de fracție ireductibilă.

Vezi rezolvarea

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}

Exemplul 2: aceeași unitate de măsură

$MN = 2$ m și $PQ = 60$ cm. Calculează $\dfrac{MN}{PQ}$

Vezi rezolvarea

Cele două lungimi trebuie exprimate în aceeași unitate. Transformăm $MN$ în centimetri.

MN = 2 \text{ m} = 200 \text{ cm}

\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{200}{60} = \dfrac{10}{3}

Exemplul 3: verificarea proporționalității

Sunt segmentele $AB = 10$ cm, $CD = 4$ cm, $MN = 15$ cm, $PQ = 6$ cm proporționale, în această ordine?

Vezi rezolvarea

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}

\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2}

Cele două rapoarte sunt egale, deci segmentele sunt proporționale, în ordinea dată.

Exemplul 4: proporție falsă din cauza ordinii

Cu aceleași segmente ca mai sus $AB = 10$ $CD = 4$ $MN = 15$ $PQ = 6$ cm), sunt $AB, CD, PQ, MN$ proporționale, în această ordine?

Vezi rezolvarea

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}

\dfrac{PQ}{MN} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}

$\dfrac{5}{2} \neq \dfrac{2}{5}$ deci $AB, CD, PQ, MN$ NU sunt proporționale în această ordine, deși cu ordinea inițială $AB, CD, MN, PQ$ erau. Ordinea termenilor contează.

Exemplul 5: aflarea unui termen necunoscut

Segmentele $AB = 8$ cm, $CD = 6$ cm, $MN = 20$ cm și $PQ = x$ sunt proporționale, în această ordine. Calculează $x$

Vezi rezolvarea

Din proporționalitate, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

AB \cdot PQ = CD \cdot MN

8 \cdot x = 6 \cdot 20

8x = 120

x = 15

Verificare: $\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ și $\dfrac{20}{15} = \dfrac{4}{3}$

Exemplul 6: termen necunoscut, poziție de meză

Segmentele $AB = 12$ cm, $CD = y$ $MN = 10$ cm și $PQ = 4$ cm sunt proporționale, în această ordine. Calculează $y$

Vezi rezolvarea

AB \cdot PQ = CD \cdot MN

12 \cdot 4 = y \cdot 10

48 = 10y

y = 4{,}8

y = 4{,}8 \text{ cm}

Exemplul 7: proporție cu rapoarte zecimale

$AB = 3{,}5$ cm și $CD = 1{,}4$ cm. Calculează $\dfrac{AB}{CD}$

Vezi rezolvarea

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{3{,}5}{1{,}4} = \dfrac{35}{14} = \dfrac{5}{2}

Exemplul 8: enunțarea teoremei paralelelor echidistante

Enunță teorema paralelelor echidistante și precizează ce anume trebuie să fie date egale, și ce rezultă egal.

Vezi rezolvarea

Dacă drepte paralele taie segmente egale pe o secantă, atunci ele taie segmente egale pe orice altă secantă. Ipoteza este egalitatea segmentelor pe PRIMA secantă (și paralelismul dreptelor); concluzia este egalitatea segmentelor pe A DOUA secantă.

Exemplul 9: aplicarea directă a teoremei

În figura teoremei paralelelor echidistante (secțiunea de mai sus), pe secanta $AC$ avem $AB = BC = 7$ cm. Pe secanta $A_1C_1$ $A_1B_1 = 9$ cm. Calculează $B_1C_1$ și $A_1C_1$

Vezi rezolvarea

Conform teoremei, dreptele paralele taie segmente egale pe a doua secantă la fel ca pe prima: $A_1B_1 = B_1C_1$

B_1C_1 = A_1B_1 = 9 \text{ cm}

A_1C_1 = A_1B_1 + B_1C_1 = 9 + 9 = 18 \text{ cm}

Exemplul 10: patru drepte paralele echidistante

Patru drepte paralele echidistante taie pe o secantă segmentele $P_0P_1$ $P_1P_2$ $P_2P_3$ toate egale cu $4$ cm. Pe altă secantă, $Q_0Q_1 = 5$ cm. Calculează $Q_1Q_2$ $Q_2Q_3$ și distanța totală $Q_0Q_3$

Vezi rezolvarea

Segmentele fiind egale pe prima secantă, teorema dă segmente egale pe a doua.

Q_1Q_2 = Q_2Q_3 = Q_0Q_1 = 5 \text{ cm}

Q_0Q_3 = 5 + 5 + 5 = 15 \text{ cm}

Exemplul 11: aplicație practică, împărțirea unui gard în părți egale

O fâșie de teren lungă de $24$ m trebuie împărțită în $6$ parcele egale. Se întind $7$ fire paralele echidistante, iar fâșia (o secantă) este tăiată de ele în $6$ segmente. Explică de ce segmentele sunt egale și calculează lungimea fiecărei parcele, știind că pe o secantă perpendiculară pe fire cele $6$ segmente însumează $24$ m.

Vezi rezolvarea

Firele sunt drepte paralele echidistante, deci taie segmente egale pe orice secantă, oricare ar fi unghiul sub care este așezată fâșia. Cele $6$ segmente egale însumează $24$ m.

24 : 6 = 4 \text{ m fiecare parcelă}

Exemplul 12: recunoașterea unei proporții greșite

Un elev scrie: din $AB = 6$ $CD = 3$ $MN = 8$ $PQ = 5$ (cm) rezultă că $AB, CD, MN, PQ$ sunt proporționale, pentru că „ambele rapoarte sunt mai mari decât $1$ Este raționamentul corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Pentru proporționalitate trebuie ca cele DOUĂ rapoarte să fie EGALE între ele, nu doar să arate asemănător.

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{6}{3} = 2

\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6

$2 \neq 1{,}6$ deci segmentele NU sunt proporționale.

Greșeli frecvente

Calculez raportul a două segmente exprimate în unități diferite, fără să le aduc la aceeași unitate.
Înainte de a calcula $\dfrac{AB}{CD}$ transform ambele lungimi în aceeași unitate de măsură.
$AB, CD, MN, PQ$ proporționale” înseamnă același lucru ca $AB, CD, PQ, MN$ proporționale”.
Ordinea termenilor arată corespondența exactă dintre rapoarte. Schimbând ordinea se obține, în general, o altă proporție, adesea falsă.
Cred că patru segmente sunt proporționale doar pentru că fiecare raport, calculat separat, iese un număr „frumos” sau pentru că ambele rapoarte sunt mai mari decât $1$
Segmentele sunt proporționale doar dacă cele două rapoarte sunt EGALE între ele, nu doar „simple” fiecare în parte.
La aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție de segmente, înmulțesc termenii oricum, fără să respect care sunt extremii și care sunt mezii.
Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor, respectând poziția fiecărui termen în proporția scrisă (primul cu al patrulea, al doilea cu al treilea).
Confund teorema paralelelor echidistante cu teorema lui Thales, folosind un triunghi cu o paralelă la o latură.
Teorema paralelelor echidistante lucrează cu drepte paralele și DOUĂ secante oarecare, fără triunghi. Teorema lui Thales (lecția următoare) este un rezultat separat, despre un triunghi cu o paralelă la o latură.
Cred că „echidistante” înseamnă doar „paralele”.
„Echidistante” înseamnă paralele ȘI cu distanțe egale între oricare două drepte consecutive. Toate dreptele echidistante sunt paralele, dar nu orice drepte paralele sunt echidistante.

Exerciții

Ușor

$AB = 12$ cm, $CD = 4$ cm. Calculează $\dfrac{AB}{CD}$
Arată răspunsul
Răspuns: $3$
$MN = 20$ cm, $PQ = 8$ cm. Calculează $\dfrac{MN}{PQ}$ sub formă de fracție ireductibilă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5}{2}$
$AB = 1$ m, $CD = 40$ cm. Calculează $\dfrac{AB}{CD}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{5}{2}$
$AB = 100$ cm, deci $\dfrac{100}{40} = \dfrac{5}{2}$
Ce înseamnă că segmentele $AB$ $CD$ $MN$ $PQ$ în această ordine, sunt proporționale?
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$
În proporția $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$ care segmente sunt extremii și care sunt mezii?
Arată răspunsul
Răspuns: Extremii sunt $AB$ și $PQ$ mezii sunt $CD$ și $MN$
Enunță teorema paralelelor echidistante.
Arată răspunsul
Răspuns: Dacă drepte paralele taie segmente egale pe o secantă, atunci taie segmente egale pe orice altă secantă.
Trei drepte paralele echidistante taie pe o secantă segmentele $AB = BC = 5$ cm. Pe altă secantă, $A_1B_1 = 6$ cm. Cât este $B_1C_1$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ cm.
Ce înseamnă că mai multe drepte paralele sunt echidistante?
Arată răspunsul
Răspuns: Distanțele dintre oricare două drepte paralele consecutive sunt egale.

Mediu

$AB = 2{,}4$ cm, $CD = 0{,}8$ cm. Calculează $\dfrac{AB}{CD}$
Arată răspunsul
Răspuns: $3$
Sunt segmentele $AB = 9$ cm, $CD = 6$ cm, $MN = 15$ cm, $PQ = 10$ cm proporționale, în această ordine?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$ și $\dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}$ rapoartele sunt egale.
Sunt segmentele $AB = 5$ cm, $CD = 8$ cm, $MN = 10$ cm, $PQ = 15$ cm proporționale, în această ordine?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$\dfrac{5}{8} = 0{,}625$ iar $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$ rapoartele nu sunt egale.
$AB = 6$ cm, $CD = 9$ cm, $MN = 8$ cm, $PQ = x$ sunt proporționale, în această ordine. Calculează $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 12$ cm.
$6 \cdot x = 9 \cdot 8 \Rightarrow 6x = 72 \Rightarrow x = 12$
$AB = 10$ cm, $CD = y$ $MN = 15$ cm, $PQ = 9$ cm sunt proporționale, în această ordine. Calculează $y$
Arată răspunsul
Răspuns: $y = 6$ cm.
$10 \cdot 9 = y \cdot 15 \Rightarrow 15y = 90 \Rightarrow y = 6$
$AB = x$ $CD = 4$ cm, $MN = 21$ cm, $PQ = 12$ cm sunt proporționale, în această ordine. Calculează $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 7$ cm.
$x \cdot 12 = 4 \cdot 21 \Rightarrow 12x = 84 \Rightarrow x = 7$
Patru drepte paralele echidistante taie pe o secantă segmentele $P_0P_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = 3{,}5$ cm. Calculează $P_0P_3$
Arată răspunsul
Răspuns: $10{,}5$ cm.
Trei drepte paralele echidistante taie pe secanta $d$ segmentele $AB = BC$ Se știe $AC = 22$ cm. Cât este $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $11$ cm.
$AB = BC$ și $AB + BC = AC$ deci $AB = \dfrac{22}{2} = 11$ cm.
Un elev scrie proporția $AB, CD, MN, PQ$ ca $\dfrac{AB}{MN} = \dfrac{CD}{PQ}$ Este echivalentă cu $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Este obținută prin schimbarea mezilor între ei, o proporție derivată echivalentă cu cea inițială.
$AB = 3$ m și $CD = 150$ cm. Sunt $AB$ și $CD$ proporționale cu $MN = 4$ m și $PQ = 2$ m, în această ordine?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{300}{150} = 2$ și $\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{4}{2} = 2$ rapoartele sunt egale.
Trei drepte care NU sunt paralele taie o secantă în segmente egale $AB = BC$ Poți concluziona, cu teorema paralelelor echidistante, că taie segmente egale și pe o altă secantă?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Teorema cere ca dreptele să fie paralele. Fără paralelism, dreptele nu păstrează același „pas” pe alte secante.
Adevărat sau fals: „Dacă $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$ atunci și $\dfrac{CD}{AB} = \dfrac{PQ}{MN}$
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat.
Inversarea ambelor rapoarte dintr-o proporție păstrează egalitatea.
O secantă taie patru drepte paralele echidistante în punctele $A$ $B$ $C$ $D$ Se știe $AB = 2{,}5$ cm. Calculează $AD$
Arată răspunsul
Răspuns: $7{,}5$ cm.
$AB = BC = CD = 2{,}5$ cm, deci $AD = 3 \cdot 2{,}5 = 7{,}5$ cm.

Provocare

Segmentele $AB$ $CD$ $MN$ $PQ$ sunt proporționale, în această ordine, cu $AB = 3k$ $CD = 5k$ $MN = 9$ cm, $PQ = 15$ cm, unde $k > 0$ Arată că egalitatea are loc pentru orice $k$ și explică de ce.
Arată răspunsul
Răspuns: Rapoartele sunt mereu egale, indiferent de $k$
$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{3k}{5k} = \dfrac{3}{5}$ (pentru $k \neq 0$ se simplifică) și $\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$ rapoartele sunt egale pentru orice $k > 0$ pentru că $k$ se simplifică.
$AB = 2x + 1$ $CD = x + 2$ $MN = 15$ cm, $PQ = 9$ cm sunt proporționale, în această ordine (toate în cm). Calculează $x$ și lungimile $AB$ $CD$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 7$ $AB = 15$ cm, $CD = 9$ cm.
$(2x+1) \cdot 9 = (x+2) \cdot 15 \Rightarrow 18x + 9 = 15x + 30 \Rightarrow 3x = 21 \Rightarrow x = 7$ Atunci $AB = 15$ cm, $CD = 9$ cm; verificare: $\dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$ și $\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$
Cinci drepte paralele echidistante taie pe o secantă un segment total de $36$ cm, împărțit în patru părți egale de către cele cinci drepte. Calculează lungimea fiecărei părți și, pe o a doua secantă, lungimea segmentului total, știind că prima parte de pe a doua secantă este $9{,}5$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: Fiecare parte de pe prima secantă are $9$ cm; segmentul total de pe a doua secantă are $38$ cm.
$36 : 4 = 9$ cm fiecare parte; pe a doua secantă toate cele patru părți sunt egale cu $9{,}5$ cm (teorema), deci total $4 \cdot 9{,}5 = 38$ cm.
Un teren în formă de fâșie lungă de $63$ m trebuie împărțit în $7$ loturi egale, folosind o rețea de drepte paralele echidistante, ca în aplicația din lecție. Ce distanță trebuie să fie între oricare două drepte consecutive ale rețelei, dacă fâșia este așezată exact perpendicular pe drepte?
Arată răspunsul
Răspuns: $9$ m.
$63 : 7 = 9$ m; când secanta este perpendiculară pe drepte, distanța dintre drepte este chiar lungimea fiecărui segment tăiat.
Fie triunghiul $ABC$ și $M$ mijlocul lui $AB$ Dreapta prin $M$ paralelă cu $BC$ taie $AC$ în $N$ Demonstrează, cu teorema paralelelor echidistante, că $N$ este mijlocul lui $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $AN = NC$ deci $N$ este mijlocul lui $AC$
Considerăm trei drepte paralele: paralela prin $A$ la $BC$ dreapta $MN$ și dreapta $BC$ Pe secanta $AB$ ele taie segmentele $AM$ și $MB$ egale (ipoteză). Conform teoremei, pe secanta $AC$ ele taie segmente egale: $AN = NC$
Segmentele $AB$ $CD$ $MN$ $PQ$ sunt proporționale, în această ordine, cu raportul comun $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{3}{2}$ Se știe $AB + CD = 25$ cm și $MN = 18$ cm. Calculează $AB$ $CD$ și $PQ$
Arată răspunsul
Răspuns: $AB = 15$ cm, $CD = 10$ cm, $PQ = 12$ cm.
$AB = \dfrac{3}{2} CD$ deci $\dfrac{3}{2} CD + CD = 25 \Rightarrow \dfrac{5}{2} CD = 25 \Rightarrow CD = 10$ și $AB = 15$ Din $\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{3}{2}$ $PQ = \dfrac{2}{3} \cdot 18 = 12$ cm.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. $AB = 18$ cm, $CD = 6$ cm. Cât este $\dfrac{AB}{CD}$
Arată răspunsul
Răspuns: $3$
2. Raportul a două segmente are sens doar dacă:
1. segmentele sunt paralele
2. lungimile sunt exprimate în aceeași unitate de măsură
3. segmentele au aceeași lungime
4. segmentele pornesc din același punct
Arată răspunsul
Răspuns: lungimile sunt exprimate în aceeași unitate de măsură
3. Ce înseamnă $AB, CD, MN, PQ$ proporționale”, în această ordine?
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$
4. În proporția de segmente $\dfrac{EF}{GH} = \dfrac{KL}{RS}$ extremii sunt:
1. $EF$ și $RS$
2. $GH$ și $KL$
3. $EF$ și $KL$
4. $GH$ și $RS$
Arată răspunsul
Răspuns: $EF$ și $RS$
Extremii sunt primul și ultimul termen: $EF$ și $RS$ Mezii sunt $GH$ și $KL$
5. $AB = 5$ cm, $CD = 8$ cm, $MN = 20$ cm, $PQ = x$ sunt proporționale, în această ordine. Cât este $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $32$ cm.
$5 \cdot x = 8 \cdot 20 \Rightarrow 5x = 160 \Rightarrow x = 32$
6. Teorema paralelelor echidistante spune că, dacă drepte paralele taie segmente egale pe o secantă:
1. taie segmente egale pe orice altă secantă
2. sunt neapărat perpendiculare pe secantă
3. taie segmente egale doar dacă secanta este perpendiculară
4. formează un triunghi echilateral
Arată răspunsul
Răspuns: taie segmente egale pe orice altă secantă
7. Trei drepte paralele $a$ $b$ $c$ în această ordine: distanța dintre $a$ și $b$ este $3$ cm, iar dintre $b$ și $c$ este $3{,}5$ cm. Sunt echidistante?
1. da, pentru că sunt paralele
2. nu, distanțele dintre dreptele consecutive nu sunt egale
3. da, diferența este mică
4. nu se poate ști
Arată răspunsul
Răspuns: nu, distanțele dintre dreptele consecutive nu sunt egale
Echidistante înseamnă distanțe egale între oricare două drepte consecutive; $3 \neq 3{,}5$
8. Trei drepte paralele echidistante taie pe o secantă $AB = BC = 4{,}5$ cm. Pe altă secantă, $A_1B_1 = 7$ cm. Cât este $B_1C_1$
Arată răspunsul
Răspuns: $7$ cm.
Segmentele egale pe prima secantă dau segmente egale pe a doua, conform teoremei.

Întrebări frecvente

Ce este raportul a două segmente?

Raportul lungimilor lor, măsurate în aceeași unitate de lungime: $\dfrac{AB}{CD}$

Când sunt patru segmente proporționale?

Când, luate într-o anumită ordine, $AB$ $CD$ $MN$ $PQ$ satisfac $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{MN}{PQ}$ Ordinea termenilor contează.

Ce spune teorema paralelelor echidistante?

Dacă drepte paralele taie segmente egale pe o secantă, atunci taie segmente egale pe orice altă secantă.

Este teorema paralelelor echidistante același lucru cu teorema lui Thales?

Nu. Teorema paralelelor echidistante lucrează cu drepte paralele și două secante oarecare. Teorema lui Thales, din lecția următoare, este despre un triunghi cu o paralelă la o latură.

Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

Ce vei învăța

Ideea de bază

Raportul a două segmente

Segmente proporționale

Teorema paralelelor echidistante

Aplicație: împărțirea unei distanțe în părți egale

Exemple rezolvate

Exemplul 1: raportul a două segmente

Exemplul 2: aceeași unitate de măsură

Exemplul 3: verificarea proporționalității

Exemplul 4: proporție falsă din cauza ordinii

Exemplul 5: aflarea unui termen necunoscut

Exemplul 6: termen necunoscut, poziție de meză

Exemplul 7: proporție cu rapoarte zecimale

Exemplul 8: enunțarea teoremei paralelelor echidistante

Exemplul 9: aplicarea directă a teoremei

Exemplul 10: patru drepte paralele echidistante

Exemplul 11: aplicație practică, împărțirea unui gard în părți egale

Exemplul 12: recunoașterea unei proporții greșite

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Geometrie. După noua programă de gimnaziu. Clasa a VII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VII-a

Matematică. Clasa a VII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită