Lecția 2 din 2 · Segmente proporționale și teorema lui Thales

Teorema lui Thales și reciproca ei

Q: Ce spune teorema lui Thales?

Dacă într-un triunghi ABC o dreaptă paralelă cu BC taie AB în D și AC în E, atunci AD/DB = AE/EC (echivalent, AD/AB = AE/AC).

Q: Ce spune reciproca teoremei lui Thales?

Dacă D ∈ AB, E ∈ AC și AD/DB = AE/EC, atunci DE BC: proporția dată implică paralelismul.

Ai văzut deja, la teorema paralelelor echidistante, că paralelismul unor drepte produce segmente egale pe secante. Teorema lui Thales generalizează ideea la un triunghi: o paralelă la o latură taie proporțional celelalte două. Înveți teorema, reciproca ei (cum arăți că două drepte sunt paralele, pornind de la proporții) și o construcție practică: împărțirea unui segment în părți proporționale cu niște numere date.

~ 25 min de citit

Ce vei învăța

Enunț și aplic teorema lui Thales pentru a calcula lungimi de segmente.
Disting corect raportul „parte la parte” de raportul „parte la întreg” în teorema lui Thales.
Aplic reciproca teoremei lui Thales pentru a demonstra paralelismul a două drepte.
Împart un segment în părți proporționale cu numere date, folosind o construcție cu semidreaptă auxiliară.

Recomandat înainte: Segmente proporționale. Teorema paralelelor echidistante

Ideea de bază

Teorema lui Thales: dacă într-un triunghi $ABC$ o dreaptă paralelă cu latura $BC$ taie laturile $AB$ și $AC$ în punctele $D$ respectiv $E$ atunci $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ (și, echivalent, $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$

Reciproca teoremei lui Thales merge în sens invers: dacă $D \in AB$ $E \in AC$ și $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ atunci $DE \parallel BC$

Teorema lui Thales

Dacă într-un triunghi $ABC$ o dreaptă paralelă cu latura $BC$ taie laturile $AB$ și $AC$ în punctele $D$ respectiv $E$ atunci $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$

D \in AB

E \in AC

DE \parallel BC

exact ipoteza teoremei lui Thales în triunghi.

Ipoteza teoremei are trei părți, toate necesare: un triunghi, o dreaptă paralelă cu una dintre laturi și cele două puncte de intersecție cu celelalte două laturi.

AD = 8

DB = 4

AB = 12

AE = 6

EC = 3

AC = 9

DE = 10

BC = 15

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC} = \dfrac{2}{3}

iar

\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} = 2

Proporția din teoremă se poate scrie și cu rapoarte „parte la întreg”, echivalente cu cea „parte la parte”, pentru că $AB = AD + DB$ și $AC = AE + EC$ (adunăm $1$ la fiecare raport, apoi răsturnăm):

\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} \iff \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}

Pe figura numerică se vede și un al treilea raport egal cu ele, $\dfrac{DE}{BC}$ El nu se obține doar din proporțiile de mai sus: este o consecință a asemănării triunghiurilor $ADE$ și $ABC$ pe care o demonstrăm în lecția despre asemănare. Îl folosim totuși în câteva calcule, ca rezultat cunoscut.

\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}

Parte la parte sau parte la întreg, dar nu amestecat

$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ (parte la parte) și $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ (parte la întreg) sunt AMÂNDOUĂ corecte și echivalente. Ce NU este corect este amestecul lor, de exemplu $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{AC}$ numitorii nu mai corespund (unul e „parte”, celălalt e „întreg”).

De ce este adevărată teorema? Triunghiurile $ADE$ și $ABC$ au unghiul din $A$ comun, iar $DE \parallel BC$ face ca $\angle ADE \equiv \angle ABC$ (unghiuri corespondente). Cele două triunghiuri au aceeași „formă”, doar la scări diferite, iar raportul de scară este exact $\dfrac{AD}{AB}$ valabil pentru toate laturile corespunzătoare. Argumentul complet, cu triunghiuri asemenea, se dezvoltă în modulul următor; aici reținem rezultatul teoremei lui Thales ca atare.

Reciproca teoremei lui Thales

Dacă $D$ este un punct pe latura $AB$ și $E$ este un punct pe latura $AC$ ale triunghiului $ABC$ astfel încât $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ atunci $DE \parallel BC$

MF = 9

FN = 6

MG = 6

GP = 4

\dfrac{MF}{FN} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}

și

\dfrac{MG}{GP} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}

Segmentul

FG

(punctat) este chestiunea de rezolvat: este paralel cu

NP

Diferența dintre teoremă și reciprocă este exact ce este dat și ce se demonstrează: la teoremă, paralelismul este DAT, iar proporția se DEMONSTREAZĂ. La reciprocă, proporția este DATĂ, iar paralelismul se DEMONSTREAZĂ.

Teorema lui Thales versus reciproca ei
Enunț	Ipoteză (ce este dat)	Concluzie (ce se demonstrează)
Teorema (directă)	$DE \parallel BC$	$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$
Reciproca	$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$	$DE \parallel BC$

Reciproca cere punctele PE laturi, în corespondența corectă

Reciproca se aplică doar dacă $D$ este pe $AB$ și $E$ este pe $AC$ (aceeași corespondență ca la teoremă), iar raportul „parte la parte” este calculat cu segmentele corespunzătoare, dinspre același vârf $A$ Cu o corespondență greșită, concluzia $DE \parallel BC$ nu este garantată.

Împărțirea unui segment în părți proporționale

Teorema lui Thales stă la baza unei construcții: împărțirea unui segment dat în părți proporționale cu niște numere date, folosind doar rigla și compasul (fără să măsori direct fiecare parte).

se duce din $A$ o semidreaptă auxiliară $[AX$ diferită de $AB$
pe $[AX$ se marchează, cu compasul, segmente egale, în numărul total de „unități” cerut de raport (de exemplu, pentru raportul $2:3$ se marchează $2 + 3 = 5$ segmente egale: $AP_1 = P_1P_2 = \dots = P_4P_5$
se unește ultimul punct $P_5$ cu $B$
prin punctul corespunzător raportului (aici $P_2$ pentru primele $2$ din cele $5$ unități) se duce paralela la $P_5B$ punctul unde această paralelă taie $AB$ este $M$ punctul căutat.

Semidreapta

[AX

are cinci segmente egale,

AP_1 = P_1P_2 = \dots = P_4P_5

Dreapta

P_5B

și paralela ei prin

P_2

taie

AB

în

M

AM = 8

cm,

MB = 12

cm, deci

AM : MB = 2 : 3

exact ca

AP_2 : P_2P_5 = 2 : 3

De ce funcționează construcția? Aplicăm teorema lui Thales în triunghiul $ABP_5$ cu $M$ pe $AB$ $P_2$ pe $AP_5$ și $MP_2 \parallel BP_5$ rezultă $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AP_2}{P_2P_5}$ Cum $AP_2$ înseamnă $2$ unități, iar $P_2P_5$ înseamnă $3$ unități (din cele $5$ egale), obținem exact $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{2}{3}$

Generalizare

Pentru a împărți un segment în părți proporționale cu $m$ și $n$ se marchează $m + n$ segmente egale pe semidreapta auxiliară, iar paralela se duce prin punctul al $m$ -lea. Pentru trei numere $m:n:p$ se marchează $m+n+p$ segmente egale și se duc DOUĂ paralele (prin punctul al $m$ -lea și prin punctul al $(m+n)$ -lea).

Exemple rezolvate

Exemplul 1: aplicarea directă a teoremei, raport parte la parte

În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ Se știe $AD = 6$ cm, $DB = 4$ cm, $AE = 9$ cm. Calculează $EC$

Vezi rezolvarea

Din teorema lui Thales, $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$

\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{EC}

6 \cdot EC = 4 \cdot 9

6 \cdot EC = 36

EC = 6 \text{ cm}

Exemplul 2: aplicarea teoremei, raport parte la întreg

În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ Se știe $AB = 20$ cm, $AD = 12$ cm, $AC = 15$ cm. Calculează $AE$

Vezi rezolvarea

Folosim raportul parte la întreg: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$

\dfrac{12}{20} = \dfrac{AE}{15}

AE = \dfrac{12 \cdot 15}{20} = \dfrac{180}{20} = 9 \text{ cm}

Exemplul 3: figura numerică a lecției

În figura de la „Teorema lui Thales” $AB = 12$ $AC = 9$ $AD = 8$ $AE = 6$ verifică cele două formulări ale proporției și calculează $DB$ și $EC$

Vezi rezolvarea

DB = AB - AD = 12 - 8 = 4 \text{ cm}

EC = AC - AE = 9 - 6 = 3 \text{ cm}

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}, \qquad \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}

\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{8}{4} = 2, \qquad \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{6}{3} = 2

Ambele formulări confirmă proporționalitatea: $\dfrac{2}{3}$ pentru rapoartele parte la întreg, $2$ pentru rapoartele parte la parte.

Exemplul 4: și lungimea segmentului paralel

Cu aceleași date $AD/AB = 2/3$ și $BC = 21$ cm, calculează $DE$

Vezi rezolvarea

\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2}{3}

DE = \dfrac{2}{3} \cdot 21 = 14 \text{ cm}

Exemplul 5: pornind de la $DB$ și $EC$

În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ cu $DB = 5$ cm, $EC = 7$ cm și $AE = 21$ cm. Calculează $AD$

Vezi rezolvarea

\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}

\dfrac{AD}{5} = \dfrac{21}{7} = 3

AD = 15 \text{ cm}

Exemplul 6: algebră cu teorema lui Thales

În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ cu $AD = x$ $DB = 4$ $AE = x + 3$ $EC = 6$ (cm). Calculează $x$

Vezi rezolvarea

\dfrac{x}{4} = \dfrac{x+3}{6}

6x = 4(x+3)

6x = 4x + 12

2x = 12

x = 6

Verificare: $AD = 6$ $AE = 9$ $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$ și $\dfrac{9}{6} = 1{,}5$

Exemplul 7: recunoașterea unei scrieri greșite

Un elev scrie $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{AC}$ pentru figura teoremei lui Thales. Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. $\dfrac{AD}{DB}$ este un raport „parte la parte”, iar $\dfrac{AE}{AC}$ este „parte la întreg”: numitorii nu corespund. Forma corectă „parte la parte” este $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ iar cea „parte la întreg” este $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$

Exemplul 8: aplicarea reciprocei, verificare

În triunghiul $MNP$ $F \in MN$ $G \in MP$ cu $MF = 9$ cm, $FN = 6$ cm, $MG = 6$ cm, $GP = 4$ cm. Este $FG \parallel NP$

Vezi rezolvarea

\dfrac{MF}{FN} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}

\dfrac{MG}{GP} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}

Rapoartele sunt egale, deci, conform reciprocei teoremei lui Thales, $FG \parallel NP$

Exemplul 9: reciproca, rapoarte inegale

În triunghiul $MNP$ $F \in MN$ $G \in MP$ cu $MF = 8$ cm, $FN = 6$ cm, $MG = 10$ cm, $GP = 9$ cm. Este $FG \parallel NP$

Vezi rezolvarea

\dfrac{MF}{FN} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}

\dfrac{MG}{GP} = \dfrac{10}{9}

$\dfrac{4}{3} \neq \dfrac{10}{9}$ deci reciproca NU se aplică: nu putem afirma că $FG \parallel NP$ (și, în general, nu este).

Exemplul 10: reciproca, formă parte la întreg

În triunghiul $MNP$ $F \in MN$ $G \in MP$ cu $MN = 24$ cm, $MF = 15$ cm, $MP = 16$ cm, $MG = 10$ cm. Este $FG \parallel NP$

Vezi rezolvarea

\dfrac{MF}{MN} = \dfrac{15}{24} = \dfrac{5}{8}

\dfrac{MG}{MP} = \dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8}

Rapoartele parte la întreg sunt egale, deci $FG \parallel NP$ (reciproca teoremei lui Thales, formă echivalentă).

Exemplul 11: împărțirea unui segment în două părți proporționale

Împarte un segment $AB = 35$ cm în părți proporționale cu numerele $3$ și $4$ folosind construcția din lecție. Calculează lungimile celor două părți.

Vezi rezolvarea

Pe semidreapta auxiliară se marchează $3 + 4 = 7$ segmente egale, se unește al șaptelea punct cu $B$ iar prin al treilea punct se duce paralela.

AM = \dfrac{3}{7} \cdot 35 = 15 \text{ cm}

MB = \dfrac{4}{7} \cdot 35 = 20 \text{ cm}

Verificare: $15 + 20 = 35$ cm și $15 : 20 = 3 : 4$

Exemplul 12: figura din lecție, verificare directă

În construcția din secțiunea „Împărțirea unui segment” $AB = 20$ cm, $5$ segmente egale pe semidreaptă, paralela prin $P_2$ verifică raportul $AM : MB$

Vezi rezolvarea

AM = 8 \text{ cm}, \qquad MB = 20 - 8 = 12 \text{ cm}

AM : MB = 8 : 12 = 2 : 3

Exact raportul dintre numărul de unități până la $P_2$ (adică $2$ și numărul rămas până la $P_5$ (adică $3$

Exemplul 13: împărțire în trei părți proporționale

O sumă de $180$ lei trebuie împărțită între trei persoane proporțional cu numerele $2$ $3$ și $4$ (aceeași idee ca la împărțirea unui segment în părți proporționale). Calculează sumele.

Vezi rezolvarea

Numărul total de „unități” este $2 + 3 + 4 = 9$ iar o unitate valorează $180 : 9 = 20$ lei.

2 \cdot 20 = 40 \text{ lei}

3 \cdot 20 = 60 \text{ lei}

4 \cdot 20 = 80 \text{ lei}

Verificare: $40 + 60 + 80 = 180$ lei, iar $40 : 60 : 80 = 2 : 3 : 4$

Greșeli frecvente

Scriu $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{AC}$ amestecând un raport parte la parte cu unul parte la întreg.
Rămân în ACEEAȘI formă pe tot parcursul unui calcul: fie parte la parte $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ fie parte la întreg $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ niciodată amestecate.
Aplic teorema lui Thales fără să verific mai întâi că dreapta $DE$ este paralelă cu $BC$
Teorema (forma directă) are nevoie de paralelism DAT. Fără paralelism confirmat (prin enunț sau prin marcaje pe figură), nu pot scrie proporția direct: ar trebui mai întâi să stabilesc paralelismul, sau să folosesc alte date.
Aplic reciproca după ce am calculat un singur raport, sau compar un raport parte la parte cu unul parte la întreg.
Reciproca cere DOUĂ rapoarte, calculate în aceeași formă (ambele parte la parte sau ambele parte la întreg), cu segmentele luate dinspre același vârf $A$ Abia când sunt egale poți afirma paralelismul.
Consider că, dacă segmentul $DE$ „arată” paralel cu $BC$ pe desen, este suficient, fără să calculez rapoartele.
Un desen nu este o demonstrație. Paralelismul se stabilește fie din enunț (dat direct), fie prin reciproca teoremei lui Thales, calculând și comparând rapoartele.
La împărțirea unui segment în părți proporționale cu $m$ și $n$ marchez pe semidreapta auxiliară un număr arbitrar de segmente egale.
Numărul de segmente egale marcate pe semidreaptă trebuie să fie exact $m + n$ (suma numerelor date), iar paralela se duce prin punctul al $m$ -lea.
Scriu $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{EC}{AE}$ adică răstorn un raport și pe celălalt nu.
Cele două rapoarte trebuie scrise în aceeași ordine: partea de lângă vârful $A$ la numărător în amândouă. Corect este $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ (sau, răsturnând ambele, $\dfrac{DB}{AD} = \dfrac{EC}{AE}$
Cred că teorema lui Thales cere neapărat un triunghi dreptunghic.
Teorema lui Thales este valabilă în orice triunghi. Figura din lecție este dreptunghică doar pentru claritatea numerelor; ideea funcționează la fel în orice triunghi cu o paralelă la o latură.

Exerciții

Ușor

Enunță teorema lui Thales.
Arată răspunsul
Răspuns: Dacă într-un triunghi $ABC$ o dreaptă paralelă cu $BC$ taie $AB$ în $D$ și $AC$ în $E$ atunci $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$
În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ cu $AD = 4$ cm, $DB = 6$ cm, $AE = 6$ cm. Calculează $EC$
Arată răspunsul
Răspuns: $EC = 9$ cm.
$\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{EC} \Rightarrow EC = 9$
În aceleași condiții, $AD = 10$ cm, $AB = 15$ cm, $AC = 12$ cm. Calculează $AE$
Arată răspunsul
Răspuns: $AE = 8$ cm.
$\dfrac{10}{15} = \dfrac{AE}{12} \Rightarrow AE = 8$
Enunță reciproca teoremei lui Thales.
Arată răspunsul
Răspuns: Dacă $D \in AB$ $E \in AC$ și $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ atunci $DE \parallel BC$
Care este diferența dintre teorema lui Thales și reciproca ei?
Arată răspunsul
Răspuns: La teoremă, paralelismul este dat și se demonstrează proporția; la reciprocă, proporția este dată și se demonstrează paralelismul.
În triunghiul $MNP$ $F \in MN$ $G \in MP$ cu $\dfrac{MF}{FN} = \dfrac{MG}{GP} = \dfrac{5}{3}$ Este $FG \parallel NP$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Rapoartele parte la parte sunt egale, deci reciproca teoremei lui Thales se aplică.
Câte segmente egale se marchează pe semidreapta auxiliară pentru a împărți un segment în părți proporționale cu $2$ și $5$
Arată răspunsul
Răspuns: $7$ segmente egale.
Un segment de $40$ cm se împarte proporțional cu $3$ și $5$ Calculează cele două părți.
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ cm și $25$ cm.
$40 : 8 = 5$ cm o unitate; $3 \cdot 5 = 15$ $5 \cdot 5 = 25$

Mediu

În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ cu $DB = 5$ cm, $EC = 8$ cm, $AD = 10$ cm. Calculează $AE$
Arată răspunsul
Răspuns: $AE = 16$ cm.
$\dfrac{10}{5} = \dfrac{AE}{8} \Rightarrow AE = 16$
În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ cu $AB = 18$ cm, $AC = 24$ cm, $AD = 12$ cm. Calculează $AE$ $DB$ și $EC$
Arată răspunsul
Răspuns: $AE = 16$ cm, $DB = 6$ cm, $EC = 8$ cm.
$\dfrac{12}{18} = \dfrac{AE}{24} \Rightarrow AE = 16$ $DB = 18-12=6$ $EC = 24-16=8$
Cu datele figurii principale $AD=8$ $DB=4$ $AE=6$ $EC=3$ $BC=15$ calculează $DE$
Arată răspunsul
Răspuns: $DE = 10$ cm.
$\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow DE = \dfrac{2}{3} \cdot 15 = 10$
În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ cu $AD = x$ $DB = 3$ $AE = 2x - 1$ $EC = 5$ (cm). Calculează $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 3$ cm.
$\dfrac{x}{3} = \dfrac{2x-1}{5} \Rightarrow 5x = 3(2x-1) \Rightarrow 5x = 6x - 3 \Rightarrow x = 3$
În triunghiul $MNP$ $F \in MN$ $G \in MP$ cu $MF = 12$ cm, $MN = 20$ cm, $MG = 9$ cm, $MP = 15$ cm. Este $FG \parallel NP$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$ și $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$ rapoartele parte la întreg sunt egale.
În triunghiul $MNP$ $F \in MN$ $G \in MP$ cu $MF = 6$ cm, $FN = 9$ cm, $MG = 8$ cm, $GP = 10$ cm. Este $FG \parallel NP$ Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ iar $\dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$ rapoartele nu sunt egale, deci reciproca nu confirmă paralelismul.
Un segment de $54$ cm se împarte proporțional cu $4$ și $5$ Calculează cele două părți.
Arată răspunsul
Răspuns: $24$ cm și $30$ cm.
$54 : 9 = 6$ $4 \cdot 6 = 24$ $5 \cdot 6 = 30$
Un segment de $72$ cm se împarte proporțional cu $2$ $3$ și $4$ Calculează cele trei părți.
Arată răspunsul
Răspuns: $16$ cm, $24$ cm, $32$ cm.
$72 : 9 = 8$ $2\cdot8=16$ $3\cdot8=24$ $4\cdot8=32$
În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ cu $AD = 2x$ $AB = 5x$ $AE = 14$ cm. Calculează $AC$ (răspunsul nu trebuie să conțină $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $AC = 35$ cm.
$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2x}{5x} = \dfrac{2}{5}$ (pentru orice $x \neq 0$ $\dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{AC} \Rightarrow AC = 35$
Explică de ce $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{AC}$ este, în general, o scriere greșită a teoremei lui Thales.
Arată răspunsul
Răspuns: Amestecă un raport parte la parte $AD/DB$ cu unul parte la întreg $AE/AC$ formele corecte sunt $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ sau $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$
În triunghiul $ABC$ $DE \parallel BC$ cu $D \in AB$ $E \in AC$ Se știe $AB = 27$ cm, $AD = 18$ cm, $BC = 24$ cm. Calculează $DE$
Arată răspunsul
Răspuns: $DE = 16$ cm.
$\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{18}{27} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow DE = \dfrac{2}{3}\cdot 24 = 16$
Câte paralele trebuie duse pentru a împărți un segment în părți proporționale cu trei numere date?
Arată răspunsul
Răspuns: Două paralele.

Provocare

În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ Se știe $AD = 2x + 1$ $DB = x + 2$ $AE = 15$ $EC = 9$ (cm). Calculează $x$ și lungimea $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 7$ $AB = 24$ cm.
$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$ $\dfrac{2x+1}{x+2} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow 3(2x+1) = 5(x+2) \Rightarrow 6x+3 = 5x+10 \Rightarrow x = 7$ Atunci $AD = 15$ $DB = 9$ $AB = 24$ cm; verificare: $\dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$
Segmentul $AB = 63$ cm se împarte proporțional cu $2$ $3$ și $4$ folosind construcția din lecție. Câte segmente egale se marchează pe semidreapta auxiliară, prin ce puncte se duc paralelele și cât măsoară fiecare parte?
Arată răspunsul
Răspuns: $9$ segmente egale, paralele prin al doilea și al cincilea punct; părțile sunt $14$ cm, $21$ cm, $28$ cm.
$2+3+4=9$ o unitate $= 63:9=7$ cm; $2\cdot7=14$ $3\cdot7=21$ $4\cdot7=28$ $14+21+28=63$
În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ cu $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{3}{7}$ și $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{3}{7}$ Este $DE \parallel BC$ Dacă $BC = 28$ cm, calculează $DE$
Arată răspunsul
Răspuns: Da, $DE \parallel BC$ $DE = 12$ cm.
Rapoartele parte la întreg sunt egale, deci reciproca teoremei lui Thales dă $DE \parallel BC$ $DE = \dfrac{3}{7}\cdot 28 = 12$
Demonstrează, folosind reciproca teoremei lui Thales, că, dacă $M$ este mijlocul lui $AB$ și $N$ este mijlocul lui $AC$ într-un triunghi $ABC$ atunci $MN \parallel BC$ (teorema liniei mijlocii, deja cunoscută, dedusă acum din reciprocă).
Arată răspunsul
Răspuns: $MN \parallel BC$
Date: $M$ mijlocul lui $AB$ deci $AM = MB$ adică $\dfrac{AM}{MB} = 1$ $N$ mijlocul lui $AC$ deci $AN = NC$ adică $\dfrac{AN}{NC} = 1$ Rapoartele parte la parte sunt egale $1 = 1$ deci, conform reciprocei teoremei lui Thales, $MN \parallel BC$
Un teren triunghiular $ABC$ are $AB = 90$ m și $AC = 75$ m. Se dorește trasarea unui gard $DE \parallel BC$ cu $D$ pe $AB$ astfel încât $AD$ să fie $60$ m. Calculează $AE$ și explică, folosind teorema lui Thales, de ce gardul chiar este paralel cu $BC$ dacă respectă acest calcul.
Arată răspunsul
Răspuns: $AE = 50$ m.
$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{60}{90} = \dfrac{2}{3}$ pentru ca $DE \parallel BC$ trebuie $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{2}{3}$ deci $AE = \dfrac{2}{3} \cdot 75 = 50$ m. Invers, dacă respectăm acest calcul, rapoartele parte la întreg devin egale, iar reciproca teoremei lui Thales garantează paralelismul.
Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă $D \in AB$ și $E \in AC$ cu $AD = AE$ atunci $DE \parallel BC$
Arată răspunsul
Răspuns: Fals, în general.
Egalitatea $AD = AE$ nu spune nimic despre rapoartele $\dfrac{AD}{DB}$ și $\dfrac{AE}{EC}$ (sau $\dfrac{AD}{AB}$ și $\dfrac{AE}{AC}$ decât dacă și $AB = AC$ Reciproca teoremei lui Thales cere egalitatea RAPOARTELOR, nu egalitatea segmentelor $AD$ și $AE$ luate separat.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Teorema lui Thales se aplică atunci când:
1. o dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi taie celelalte două laturi
2. un triunghi are un unghi drept
3. două drepte oarecare se intersectează
4. un patrulater are diagonalele perpendiculare
Arată răspunsul
Răspuns: o dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi taie celelalte două laturi
2. În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ cu $AD = 9$ $DB = 3$ $AE = 12$ (cm). Cât este $EC$
Arată răspunsul
Răspuns: $4$ cm.
Din teorema lui Thales, $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ adică $\dfrac{9}{3} = \dfrac{12}{EC} \Rightarrow 9 \cdot EC = 36 \Rightarrow EC = 4$
3. Care dintre scrierile de mai jos este o formă CORECTĂ a teoremei lui Thales?
1. $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{AC}$
2. $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$
3. $\dfrac{AD}{EC} = \dfrac{AE}{DB}$
4. $\dfrac{DB}{AD} = \dfrac{AE}{EC}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$
4. Reciproca teoremei lui Thales pornește de la:
1. paralelism dat, pentru a demonstra o proporție
2. o proporție dată, pentru a demonstra paralelismul
3. unghiuri congruente, pentru a demonstra congruența triunghiurilor
4. lungimi egale, pentru a demonstra un unghi drept
Arată răspunsul
Răspuns: o proporție dată, pentru a demonstra paralelismul
5. În triunghiul $MNP$ $F \in MN$ $G \in MP$ cu $MF = 8$ $FN = 4$ $MG = 10$ $GP = 5$ (cm). Este $FG \parallel NP$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$\dfrac{8}{4} = 2$ și $\dfrac{10}{5} = 2$ rapoartele sunt egale.
6. Pentru a împărți un segment în părți proporționale cu $3$ și $7$ pe semidreapta auxiliară se marchează:
1. $3$ segmente egale
2. $7$ segmente egale
3. $10$ segmente egale
4. $21$ segmente egale
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ segmente egale
7. Un segment de $48$ cm se împarte proporțional cu $1$ și $5$ Cât este partea mai mică?
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ cm.
$48 : 6 = 8$ cm o unitate; partea mai mică are $1$ unitate.
8. În triunghiul $MNP$ $F \in MN$ $G \in MP$ și $\dfrac{MF}{FN} = \dfrac{MG}{GP}$ Ce concluzie corectă rezultă?
1. $FG \perp NP$
2. $MF = MG$
3. $FG \parallel NP$
4. triunghiul $MNP$ este isoscel
Arată răspunsul
Răspuns: $FG \parallel NP$

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Thales?

Dacă într-un triunghi $ABC$ o dreaptă paralelă cu $BC$ taie $AB$ în $D$ și $AC$ în $E$ atunci $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ (echivalent, $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$

Ce spune reciproca teoremei lui Thales?

Dacă $D \in AB$ $E \in AC$ și $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ atunci $DE \parallel BC$ proporția dată implică paralelismul.

Cum împart un segment în părți proporționale cu niște numere date?

Trasez o semidreaptă auxiliară din același capăt, marchez pe ea un număr de segmente egale cu suma numerelor date, unesc ultimul punct cu celălalt capăt al segmentului și duc paralele prin punctele corespunzătoare fiecărui număr.

Care este diferența dintre teorema lui Thales și teorema paralelelor echidistante?

Teorema paralelelor echidistante lucrează cu drepte paralele și două secante oarecare (fără triunghi). Teorema lui Thales este specifică unui triunghi cu o paralelă la una dintre laturi.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Teorema lui Thales și reciproca ei

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VII-a

Teorema lui Thales și reciproca ei

Ce vei învăța

Ideea de bază

Teorema lui Thales

Reciproca teoremei lui Thales

Împărțirea unui segment în părți proporționale

Exemple rezolvate

Exemplul 1: aplicarea directă a teoremei, raport parte la parte