Lecția 1 din 2 · Asemănarea triunghiurilor

Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

Q: Ce este raportul de asemănare?

Numărul k prin care se înmulțesc toate laturile unui triunghi pentru a obține laturile corespunzătoare ale triunghiului asemenea. Perimetrul scalează la fel, tot cu k; aria scalează cu k² (vezi lecția următoare).

Ai văzut la teorema lui Thales că o paralelă la o latură a unui triunghi taie proporțional celelalte două laturi. Motivul mai adânc este că paralela „decupează” un triunghi mai mic cu exact aceeași formă ca cel mare: triunghiuri asemenea. Aici înveți ce înseamnă riguros „aceeași formă”, cum scrii corect corespondența vârfurilor și cele trei criterii cu care demonstrezi că două triunghiuri sunt asemenea fără să măsori direct toate elementele.

~ 28 min de citit

Ce vei învăța

Explic ce înseamnă două triunghiuri asemenea și scriu corect corespondența vârfurilor.
Aplic teorema fundamentală a asemănării, legând-o de teorema lui Thales.
Recunosc și aplic criteriile de asemănare UU, LUL și LLL.
Disting o CONDIȚIE suficientă pentru asemănare (criteriu) de o CONSECINȚĂ a asemănării (proporția laturilor).

Recomandat înainte: Teorema lui Thales și reciproca ei

Ideea de bază

Două triunghiuri sunt ASEMENEA dacă au unghiurile corespunzătoare congruente și laturile corespunzătoare proporționale (același raport $k$ pentru toate trei perechile). Notăm $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ iar corespondența $A \leftrightarrow D$ $B \leftrightarrow E$ $C \leftrightarrow F$ se citește direct din ordinea literelor.

Cele trei criterii de asemănare, UU (Unghi – Unghi), LUL (Latură – Unghi – Latură) și LLL (Latură – Latură – Latură), spun ce este SUFICIENT să verifici pentru a fi sigur că două triunghiuri sunt asemenea, fără să calculezi toate cele șase elemente.

Triunghiuri asemenea. Corespondența vârfurilor

Triunghiuri asemenea

Triunghiurile $ABC$ și $DEF$ sunt ASEMENEA (notăm $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ dacă $\angle A \equiv \angle D$ $\angle B \equiv \angle E$ $\angle C \equiv \angle F$ și $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{FD}{CA}$ (același raport $k$ numit raportul de asemănare).

\triangle ABC \sim \triangle DEF

A \leftrightarrow D

B \leftrightarrow E

C \leftrightarrow F

Unghiurile corespunzătoare (același număr de arce) sunt congruente, iar

\triangle DEF

este triunghiul

\triangle ABC

mărit de

1{,}5

ori, rotit. Observă că poziția lui

D

pe desen (sus-dreapta) NU seamănă cu poziția lui

A

(jos-stânga): corespondența se citește din NOTAȚIE, nu din desen.

Corespondența vârfurilor este esențială: notația $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ spune exact care unghiuri sunt congruente și care laturi sunt proporționale, indiferent cum arată desenul. Nu presupune niciodată corespondența „din poziția pe desen”: citește-o mereu din literele notației, în ordine.

Asemănare, nu congruență

Triunghiurile congruente (Clasa a VI-a) au ȘI unghiurile congruente, ȘI laturile respectiv egale $k = 1$ Triunghiurile asemenea au unghiurile congruente, dar laturile doar PROPORȚIONALE, cu un raport $k$ oarecare. Orice pereche de triunghiuri congruente este și asemenea (cu $k=1$ dar nu invers.

Din laturile proporționale rezultă imediat o consecință utilă: raportul PERIMETRELOR a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare $k$

\dfrac{P_{DEF}}{P_{ABC}} = \dfrac{DE + EF + FD}{AB + BC + CA} = k

De ce perimetrul scalează la fel ca laturile

Dacă $DE = k \cdot AB$ $EF = k \cdot BC$ și $FD = k \cdot CA$ atunci suma lor este $k \cdot AB + k \cdot BC + k \cdot CA = k(AB+BC+CA)$ adică exact $k$ ori perimetrul lui $ABC$ (Raportul ARIILOR este diferit, $k^2$ și este subiectul lecției următoare.)

Teorema fundamentală a asemănării

O dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi, care taie celelalte două laturi (sau prelungirile lor), formează un triunghi asemenea cu triunghiul dat.

DE \parallel BC

Unghiul din

A

este comun (arc mic pentru

\triangle ADE

arc mare pentru

\triangle ABC

iar unghiul din

D

este congruent cu unghiul din

B

(unghiuri corespondente, tăiate de secanta

AB

în cele două paralele). Cu criteriul UU,

\triangle ABC \sim \triangle ADE

cu raportul

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}

Aceasta este exact configurația teoremei lui Thales, privită acum din perspectiva asemănării: $DE \parallel BC$ înseamnă $\angle ADE \equiv \angle ABC$ (unghiuri corespondente) și $\angle A$ este comun celor două triunghiuri. Cu criteriul UU (îl introducem imediat mai jos), $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ iar rapoartele din teorema lui Thales $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$ sunt exact raportul de asemănare $k$

Astfel, teorema lui Thales nu este un rezultat izolat: este cazul particular „paralelă la o latură” al asemănării triunghiurilor, iar teorema fundamentală a asemănării este puntea dintre ele.

Criteriile de asemănare a triunghiurilor

Ca și la congruență, nu trebuie să verifici toate cele șase elemente (trei unghiuri, trei laturi) ca să fii sigur că două triunghiuri sunt asemenea. Trei criterii sunt suficiente.

Criteriul UU (Unghi – Unghi)

Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt congruente cu două unghiuri corespunzătoare ale altui triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt asemenea. (Al treilea unghi este automat congruent, prin suma unghiurilor unui triunghi, egală cu $180°$

\angle Q \equiv \angle T

(un arc) și

\angle R \equiv \angle U

(două arce). Prin criteriul UU,

\triangle PQR \sim \triangle STU

P \leftrightarrow S

Q \leftrightarrow T

R \leftrightarrow U

și raportul

1{,}5

Al treilea unghi

\angle P

respectiv

\angle S

este automat congruent, prin suma unghiurilor unui triunghi.

Criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură)

Dacă două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi corespunzătoare ale altui triunghi, iar unghiurile cuprinse între ele sunt congruente, atunci cele două triunghiuri sunt asemenea.

MN = 6

M'N' = 12

MO = 4

M'O' = 8

\dfrac{M'N'}{MN} = \dfrac{M'O'}{MO} = 2

iar unghiul cuprins

\angle M \equiv \angle M'

(aici, întâmplător, de

90°

dar criteriul LUL funcționează la fel pentru orice măsură a unghiului cuprins). Prin LUL,

\triangle MNO \sim \triangle M'N'O'

Criteriul LLL (Latură – Latură – Latură)

Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele trei laturi corespunzătoare ale altui triunghi (același raport pentru toate trei), atunci cele două triunghiuri sunt asemenea.

XY = 6

YZ = ZX = 5

X'Y' = 12

Y'Z' = Z'X' = 10

Toate cele trei rapoarte:

\dfrac{X'Y'}{XY} = \dfrac{12}{6} = 2

\dfrac{Y'Z'}{YZ} = \dfrac{10}{5} = 2

\dfrac{Z'X'}{ZX} = \dfrac{10}{5} = 2

Sunt EGALE, deci, prin criteriul LLL,

\triangle XYZ \sim \triangle X'Y'Z'

Cele trei criterii de asemănare a triunghiurilor
Criteriu	Formă completă	Ce trebuie verificat
UU	Unghi – Unghi	două perechi de unghiuri corespunzătoare congruente
LUL	Latură – Unghi – Latură	două perechi de laturi corespunzătoare proporționale + unghiul cuprins congruent
LLL	Latură – Latură – Latură	toate trei perechile de laturi corespunzătoare proporționale, cu ACELAȘI raport

Criterii versus consecințe

Este esențial să nu confunzi un CRITERIU (ce este suficient să verifici, INAINTE de a ști că triunghiurile sunt asemenea) cu o CONSECINȚĂ (ce rezultă, DUPĂ ce ai stabilit asemănarea).

Criterii versus consecințe
Tip	Rol	Exemplu
Criteriu	condiție suficientă, verificată ÎNAINTE, ca să demonstrezi asemănarea	UU, LUL, LLL
Consecință	rezultă DUPĂ ce triunghiurile sunt (deja) asemenea	toate laturile proporționale (nu doar cele două/trei din criteriu), raportul perimetrelor $= k$

Nu folosi o consecință ca și cum ar fi un criteriu nedemonstrat

Nu poți scrie $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{EF}{BC}$ deci sunt asemenea” dacă nu ai verificat și a treia latură (LLL) sau un unghi cuprins (LUL) sau două unghiuri (UU). Două rapoarte egale, luate singure, NU sunt un criteriu de asemănare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: corespondența vârfurilor, dintr-o notație dată

Se știe $\triangle PQR \sim \triangle STU$ cu $PQ = 9$ cm, $QR = 12$ cm, $RP = 15$ cm, $ST = 6$ cm. Calculează $TU$ și $US$

Vezi rezolvarea

Corespondența este $P \leftrightarrow S$ $Q \leftrightarrow T$ $R \leftrightarrow U$ deci $PQ \leftrightarrow ST$ $QR \leftrightarrow TU$ $RP \leftrightarrow US$

k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}

TU = \dfrac{2}{3} \cdot QR = \dfrac{2}{3} \cdot 12 = 8 \text{ cm}

US = \dfrac{2}{3} \cdot RP = \dfrac{2}{3} \cdot 15 = 10 \text{ cm}

Exemplul 2: teorema fundamentală a asemănării

Cu datele figurii de la „Teorema fundamentală a asemănării” $AB = 16$ $AC = 12$ $AD = 12$ calculează raportul de asemănare $k = \dfrac{AD}{AB}$ și lungimea $DE$ știind $BC = 20$

Vezi rezolvarea

k = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}

DE = k \cdot BC = \dfrac{3}{4} \cdot 20 = 15 \text{ cm}

Exact rezultatul pe care l-ai fi obținut și cu teorema lui Thales: cele două teoreme dau același răspuns, pentru că descriu aceeași configurație.

Exemplul 3: UU cu unghiuri numerice, corespondență neevidentă

Triunghiul $MNP$ are $\angle M = 55°$ $\angle N = 65°$ (deci $\angle P = 60°$ Triunghiul $RST$ are $\angle R = 55°$ $\angle S = 60°$ (deci $\angle T = 65°$ Sunt cele două triunghiuri asemenea? Scrie corespondența corectă.

Vezi rezolvarea

Unghiurile lui $MNP$ sunt $\{55°, 65°, 60°\}$ iar ale lui $RST$ sunt $\{55°, 60°, 65°\}$ aceleași trei valori, deci, prin UU, triunghiurile sunt asemenea.

ATENȚIE la corespondență: NU este $M \leftrightarrow R$ $N \leftrightarrow S$ $P \leftrightarrow T$ (ordinea alfabetică a notării), pentru că $\angle N = 65° \neq \angle S = 60°$ Perechile corecte, cu unghiuri EGALE, sunt $M(55°) \leftrightarrow R(55°)$ $N(65°) \leftrightarrow T(65°)$ $P(60°) \leftrightarrow S(60°)$

\triangle MNP \sim \triangle RTS

Exemplul 4: UU din unghiuri opuse la vârf și o paralelă

Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în $O$ situat între $A$ și $B$ și între $C$ și $D$ iar $AC \parallel BD$ Arată că $\triangle AOC \sim \triangle BOD$

Vezi rezolvarea

$\angle AOC \equiv \angle BOD$ (unghiuri opuse la vârf, întotdeauna congruente).

$AC \parallel BD$ iar $AB$ este secantă: $\angle OAC \equiv \angle OBD$ (unghiuri alterne interne).

Cu criteriul UU (unghiul din $O$ + unghiul din $A$ respectiv $B$ $\triangle AOC \sim \triangle BOD$

Exemplul 5: LUL, verificare directă

Cu datele figurii de la criteriul LUL $MN=6$ $MO=4$ $M'N'=12$ $M'O'=8$ $\angle M \equiv \angle M'$ calculează raportul de asemănare și verifică toate rapoartele.

Vezi rezolvarea

\dfrac{M'N'}{MN} = \dfrac{12}{6} = 2

\dfrac{M'O'}{MO} = \dfrac{8}{4} = 2

Ambele rapoarte sunt $2$ iar unghiul cuprins este congruent: criteriul LUL confirmă $\triangle MNO \sim \triangle M'N'O'$ cu $k = 2$

Exemplul 6: LUL, aflarea unei laturi necunoscute

În triunghiurile $ABC$ și $DEF$ $AB = 8$ cm, $AC = 10$ cm, $DE = 12$ cm, $DF = 15$ cm și $\angle A \equiv \angle D$ Arată că triunghiurile sunt asemenea și, dacă $BC = 14$ cm, calculează $EF$

Vezi rezolvarea

\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}

\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}

Rapoartele sunt egale, iar unghiul $A$ (respectiv $D$ este cuprins între laturile folosite, deci criteriul LUL dă $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k = \dfrac{3}{2}$

EF = k \cdot BC = \dfrac{3}{2} \cdot 14 = 21 \text{ cm}

Exemplul 7: LLL, verificare directă

Cu datele figurii de la criteriul LLL $XY=6$ $YZ=ZX=5$ $X'Y'=12$ $Y'Z'=Z'X'=10$ verifică toate cele trei rapoarte și scrie raportul de asemănare.

Vezi rezolvarea

\dfrac{X'Y'}{XY} = \dfrac{12}{6} = 2, \qquad \dfrac{Y'Z'}{YZ} = \dfrac{10}{5} = 2, \qquad \dfrac{Z'X'}{ZX} = \dfrac{10}{5} = 2

Toate trei rapoartele sunt egale $k=2$ deci, prin LLL, $\triangle XYZ \sim \triangle X'Y'Z'$

Exemplul 8: LLL, contraexemplu (rapoarte inegale)

Triunghiul $ABC$ are $AB=6$ $BC=8$ $CA=10$ Triunghiul $DEF$ are $DE=9$ $EF=12$ $FD=14$ Sunt asemenea?

Vezi rezolvarea

\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}, \qquad \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}, \qquad \dfrac{FD}{CA} = \dfrac{14}{10} = \dfrac{7}{5}

Primele două rapoarte sunt $\dfrac{3}{2}$ dar al treilea este $\dfrac{7}{5} \neq \dfrac{3}{2}$ Criteriul LLL cere ca TOATE TREI rapoartele să fie egale: aici nu sunt. Laturile sunt scrise în ordine crescătoare în ambele triunghiuri, deci aceasta este singura corespondență posibilă, iar triunghiurile NU sunt asemenea.

Exemplul 9: aflarea tuturor laturilor cu un raport dat

Triunghiul $ABC$ are $AB=7$ cm, $BC=9$ cm, $CA=11$ cm. Triunghiul $DEF$ este asemenea cu $ABC$ în corespondența $A \leftrightarrow D$ $B \leftrightarrow E$ $C \leftrightarrow F$ cu raportul de asemănare $k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{5}{2}$ Calculează laturile lui $DEF$

Vezi rezolvarea

Corespondența dă $DE \leftrightarrow AB$ $EF \leftrightarrow BC$ $FD \leftrightarrow CA$ toate cu același raport $k$

DE = \dfrac{5}{2} \cdot 7 = 17{,}5 \text{ cm}

EF = \dfrac{5}{2} \cdot 9 = 22{,}5 \text{ cm}

FD = \dfrac{5}{2} \cdot 11 = 27{,}5 \text{ cm}

Exemplul 10: perimetrul, consecință a raportului

Cu datele exemplului 9 (perimetrul lui $ABC$ este $7+9+11=27$ cm și $k = \dfrac{5}{2}$ calculează perimetrul lui $DEF$ în două moduri.

Vezi rezolvarea

Metoda 1 (sumă directă): $P_{DEF} = 17{,}5 + 22{,}5 + 27{,}5 = 67{,}5$ cm.

Metoda 2 (consecința raportului): $P_{DEF} = k \cdot P_{ABC} = \dfrac{5}{2} \cdot 27 = 67{,}5$ cm.

Ambele metode dau același rezultat, pentru că perimetrul unui triunghi asemenea scalează exact ca laturile, cu același $k$

Exemplul 11: algebră cu criteriul LLL

Triunghiul $ABC$ are $AB = x$ $BC = x+1$ $CA = x+2$ (cm). Triunghiul $DEF \sim \triangle ABC$ (aceeași corespondență a vârfurilor) are $DE = 9$ $EF = 12$ $FD = 15$ (cm). Calculează $x$ și raportul de asemănare.

Vezi rezolvarea

Din asemănare, toate rapoartele laturilor corespunzătoare sunt egale: $\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{EF}{BC}$

\dfrac{9}{x} = \dfrac{12}{x+1}

9(x+1) = 12x

9x + 9 = 12x

3x = 9

x = 3

Verificare: $AB=3$ $BC=4$ $CA=5$ rapoartele $\dfrac{9}{3}=3$ $\dfrac{12}{4}=3$ $\dfrac{15}{5}=3$ sunt toate egale, deci $x=3$ și raportul de asemănare este $k=3$

Exemplul 12: recunoașterea criteriului corect dintr-un enunț

Un elev are: $AB = 6$ cm, $DE = 9$ cm, $\angle B \equiv \angle E$ $\angle C \equiv \angle F$ El scrie „criteriul LUL, pentru că am o latură și un unghi”. Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Datele sunt: O SINGURĂ latură $AB \leftrightarrow DE$ și DOUĂ unghiuri $\angle B \equiv \angle E$ $\angle C \equiv \angle F$ LUL cere DOUĂ laturi și UN unghi cuprins; aici avem invers.

De fapt, cele două unghiuri $\angle B$ $\angle C$ sunt suficiente SINGURE pentru criteriul UU; latura $AB=6$ $DE=9$ este o informație în plus (dă direct raportul $k = 9/6 = 3/2$ dar nu schimbă faptul că, aici, criteriul aplicat este UU, nu LUL.

Exemplul 13: consecință versus criteriu, într-o problemă

Se știe (deja demonstrat) că $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $AB=5$ $BC=7$ $DE=15$ Un elev vrea să afle $EF$ scriind mai întâi criteriul LLL cu cele două laturi date. Este nevoie de criteriu aici?

Vezi rezolvarea

Nu. Asemănarea este deja STABILITĂ (enunțul o dă ca fapt cunoscut), deci nu mai trebuie demonstrată cu un criteriu. Folosești direct CONSECINȚA: toate laturile corespunzătoare sunt proporționale, cu același $k$

k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{15}{5} = 3

EF = k \cdot BC = 3 \cdot 7 = 21

Criteriile (UU, LUL, LLL) se folosesc DOAR când trebuie să DEMONSTREZI asemănarea. Odată stabilită, folosești direct proporționalitatea laturilor.

Greșeli frecvente

Presupun corespondența vârfurilor din poziția lor pe desen, nu din notația $\triangle ABC \sim \triangle DEF$
Corespondența se citește EXCLUSIV din ordinea literelor în notație: $A \leftrightarrow D$ $B \leftrightarrow E$ $C \leftrightarrow F$ indiferent cum sunt așezate triunghiurile pe desen (rotite, răsturnate).
Confund asemănarea cu congruența, tratând laturile corespunzătoare ca fiind egale.
La asemănare, laturile corespunzătoare sunt PROPORȚIONALE (raport $k$ nu neapărat egale. Doar când $k=1$ asemănarea devine și congruență.
Declar triunghiuri asemenea folosind doar DOUĂ rapoarte de laturi egale, fără al treilea (pentru LLL) sau fără un unghi cuprins (pentru LUL).
LLL cere TOATE TREI rapoartele egale; dacă ai doar două laturi proporționale, ai nevoie și de unghiul cuprins (LUL) sau de o a treia latură verificată.
Aplic criteriul LUL cu unghiul care NU este cuprins între cele două laturi date.
La LUL, unghiul trebuie să fie exact cel dintre cele două laturi folosite ca date (comun celor două segmente). Un alt unghi, chiar congruent, nu formează criteriul LUL.
Cred că două triunghiuri cu un unghi comun congruent sunt automat asemenea.
UN SINGUR unghi congruent nu este suficient (există infinit de multe triunghiuri cu un unghi dat, de forme diferite). Ai nevoie de DOUĂ unghiuri (UU) sau de un unghi plus laturile proporționale (LUL).
Folosesc o consecință a asemănării (de exemplu, „laturile sunt proporționale”) ca argument PENTRU a demonstra asemănarea, fără să fi verificat de fapt un criteriu complet.
O consecință se aplică DUPĂ ce asemănarea este stabilită printr-un criteriu (sau este dată). Nu poți presupune concluzia ca să demonstrezi ipoteza.
Amestec rapoarte scrise în direcții diferite (uneori $\dfrac{\text{mare}}{\text{mic}}$ alteori $\dfrac{\text{mic}}{\text{mare}}$ în același calcul.
Alege o singură direcție pentru raportul de asemănare $k$ (de exemplu, întotdeauna „triunghiul mare supra triunghiul mic”) și păstrează-o pe tot parcursul rezolvării.
Cred că triunghiurile trebuie să aibă aceeași orientare (nerăsturnate) ca să fie asemenea.
Asemănarea nu depinde de orientare: un triunghi rotit sau răsturnat (simetric) poate fi perfect asemenea cu altul, atât timp cât unghiurile corespunzătoare sunt congruente și laturile proporționale.

Exerciții

Ușor

Ce înseamnă că două triunghiuri sunt asemenea?
Arată răspunsul
Răspuns: Au unghiurile corespunzătoare congruente și laturile corespunzătoare proporționale (același raport $k$
Câte criterii de asemănare a triunghiurilor ai învățat în această lecție? Numește-le.
Arată răspunsul
Răspuns: Trei: UU, LUL, LLL.
Scrie forma completă a prescurtării UU.
Arată răspunsul
Răspuns: Unghi – Unghi.
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $AB=4$ cm, $DE=8$ cm. Cât este raportul de asemănare (de la $ABC$ la $DEF$
Arată răspunsul
Răspuns: $k=2$
Triunghiul $MNP$ are $\angle M = 40°$ $\angle N = 80°$ Triunghiul $XYZ$ are $\angle X = 40°$ $\angle Y = 80°$ Sunt asemenea?
Arată răspunsul
Răspuns: Da, prin criteriul UU.
Ce criteriu se aplică atunci când ai două laturi proporționale și unghiul cuprins între ele congruent?
Arată răspunsul
Răspuns: LUL.
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ are perimetrul lui $ABC$ egal cu $18$ cm și raportul de asemănare $k=2$ Calculează perimetrul lui $DEF$
Arată răspunsul
Răspuns: $36$ cm.
Adevărat sau fals: „Orice două triunghiuri congruente sunt și asemenea.”
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat (cu $k=1$

Mediu

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $AB=5$ $BC=6$ $CA=9$ (cm), $DE=15$ cm. Calculează $EF$ și $FD$
Arată răspunsul
Răspuns: $EF=18$ cm, $FD=27$ cm.
$k = 15/5 = 3$ $EF = 3\cdot6=18$ $FD=3\cdot9=27$
În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ $DE \parallel BC$ $AD=9$ $AB=15$ $BC=20$ Calculează raportul de asemănare $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ și lungimea $DE$
Arată răspunsul
Răspuns: $k = \dfrac{3}{5}$ $DE = 12$ cm.
$k = AD/AB = 9/15 = 3/5$ $DE = (3/5)\cdot 20 = 12$
Triunghiul $PQR$ are $\angle P=48°$ $\angle Q=72°$ Triunghiul $STU$ are $\angle S=60°$ $\angle T=72°$ Sunt asemenea? Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Da, prin UU, cu corespondența $Q \leftrightarrow T$ $P \leftrightarrow U$ $R \leftrightarrow S$
$\angle R = 180-48-72=60°$ unghiurile lui $STU$ $S=60°$ $T=72°$ $U=48°$ perechile egale sunt $P(48°)\leftrightarrow U(48°)$ $Q(72°)\leftrightarrow T(72°)$ $R(60°)\leftrightarrow S(60°)$
Triunghiul $ABC$ are $AB=6$ $AC=9$ (cm), $\angle A = 70°$ Triunghiul $DEF$ are $DE=10$ $DF=15$ (cm), $\angle D = 70°$ Sunt asemenea? Cu ce criteriu?
Arată răspunsul
Răspuns: Da, prin LUL.
$\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$ $\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{15}{9}=\dfrac{5}{3}$ egale; unghiul cuprins $\angle A$ $\angle D$ congruent.
Triunghiul $ABC$ are $AB=6$ $BC=8$ $CA=10$ (cm). Triunghiul $DEF$ are $DE=15$ $EF=20$ $FD=24$ (cm). Sunt asemenea? Cu ce criteriu?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$\dfrac{DE}{AB}=2{,}5$ $\dfrac{EF}{BC}=2{,}5$ $\dfrac{FD}{CA}=2{,}4$ al treilea raport diferă, deci LLL nu se confirmă.
În triunghiul $ABC$ $D \in AB$ $E \in AC$ și $DE \parallel BC$ cu $AB=18$ $AD=12$ $AC=21$ (cm). Cu teorema fundamentală a asemănării, calculează raportul de asemănare $k = \dfrac{AD}{AB}$ apoi $AE$ și $EC$
Arată răspunsul
Răspuns: $k=\dfrac{2}{3}$ $AE=14$ cm, $EC=7$ cm.
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ cu $k = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$ $AE = k \cdot AC = \dfrac{2}{3}\cdot 21 = 14$ $EC = 21-14=7$
Triunghiul $ABC$ are $AB=x$ $BC=10$ (cm), iar triunghiul $DEF$ are $DE=18$ $EF=15$ (cm). Se știe $\angle B \equiv \angle E$ Pentru ce valoare a lui $x$ sunt triunghiurile asemenea prin LUL, în corespondența $A \leftrightarrow D$ $B \leftrightarrow E$ $C \leftrightarrow F$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=12$ cm.
Unghiul cuprins este $B$ respectiv $E$ deci trebuie $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}$ $\dfrac{18}{x}=\dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}$ de unde $3x=36$ și $x=12$
Explică, într-o frază, diferența dintre un criteriu de asemănare și o consecință a asemănării.
Arată răspunsul
Răspuns: Criteriul este o condiție suficientă, verificată ÎNAINTE, ca să demonstrezi asemănarea; consecința (de exemplu, proporționalitatea tuturor laturilor) rezultă DUPĂ ce asemănarea este deja stabilită.
Triunghiul $ABC$ are perimetrul $40$ cm. Triunghiul $DEF \sim \triangle ABC$ are $DE = \dfrac{5}{4} \cdot AB$ Calculează perimetrul lui $DEF$
Arată răspunsul
Răspuns: $50$ cm.
$k=5/4$ $P_{DEF} = (5/4)\cdot 40 = 50$
Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă două triunghiuri au un unghi congruent și două perechi de laturi proporționale, dar unghiul NU este cuprins între laturile respective, atunci sunt asemenea.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Criteriul LUL cere ca unghiul congruent să fie cuprins între cele două laturi proporționale. Fără această condiție, datele nu formează niciun criteriu (nici UU, nici LUL, nici LLL) și asemănarea nu este garantată.

Provocare

În triunghiul $ABC$ $D$ este pe $AB$ astfel încât $\angle ACD \equiv \angle ABC$ Arată că $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ și scrie relația dintre laturi.
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ cu $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{CD}{BC}$ deci $AC^2 = AD \cdot AB$
Unghiul din $A$ este comun; $\angle ACD \equiv \angle ABC$ este dat: criteriul UU dă $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ (corespondența $A\leftrightarrow A$ $C\leftrightarrow B$ $D\leftrightarrow C$ de unde $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$ adică $AC^2 = AD\cdot AB$
Triunghiul $ABC$ are $AB=x$ $BC=x+3$ $CA=x+6$ (cm). Triunghiul $DEF \sim \triangle ABC$ (aceeași corespondență a vârfurilor) are $DE=20$ $EF=32$ $FD=44$ (cm). Calculează $x$ și raportul de asemănare.
Arată răspunsul
Răspuns: $x=5$ $k=4$
Din $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{EF}{BC}$ rezultă $\dfrac{20}{x}=\dfrac{32}{x+3} \Rightarrow 20(x+3)=32x \Rightarrow 20x+60=32x \Rightarrow 12x=60 \Rightarrow x=5$ Verificare: $BC=8$ $CA=11$ $\dfrac{20}{5}=\dfrac{32}{8}=\dfrac{44}{11}=4$
Un teren triunghiular $ABC$ se împarte printr-un gard $DE \parallel BC$ $D \in AB$ $E \in AC$ în două părți: triunghiul $ADE$ (spre $A$ și patrulaterul $DBCE$ Dacă $AD:DB = 2:3$ calculează raportul $\dfrac{P_{ADE}}{P_{ABC}}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{2}{5}$
$AD:AB = 2:(2+3)=2:5$ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (UU, teorema fundamentală a asemănării) cu $k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{5}$ iar raportul perimetrelor este tot $k=\dfrac{2}{5}$
Demonstrează că orice două triunghiuri echilaterale sunt asemenea.
Arată răspunsul
Răspuns: Da, întotdeauna, prin UU.
Toate unghiurile unui triunghi echilateral măsoară $60°$ oricare două unghiuri ale unui triunghi echilateral coincid cu oricare două unghiuri ale altuia $60°=60°$ deci UU se aplică mereu, indiferent de mărimea laturilor.
Triunghiul $ABC$ este isoscel $AB=AC$ Triunghiul $DEF$ este isoscel $DE=DF$ cu $\angle A \equiv \angle D$ (unghiurile de la vârf). Arată că $\triangle ABC \sim \triangle DEF$
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ prin UU.
În triunghiul isoscel, unghiurile de la bază sunt egale: $\angle B = \angle C = \dfrac{180°-\angle A}{2}$ la fel $\angle E=\angle F=\dfrac{180°-\angle D}{2}$ Cu $\angle A \equiv \angle D$ rezultă $\angle B \equiv \angle E$ deci UU (unghiul din vârf + unghiul de la bază) dă asemănarea.
Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=1$ atunci triunghiurile sunt neapărat identic poziționate pe desen.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
$k=1$ înseamnă congruență (laturi egale), dar congruența nu cere aceeași poziție: triunghiurile pot fi rotite, translatate sau simetrice, rămânând congruente (deci și asemenea).

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Două triunghiuri asemenea au întotdeauna:
1. laturi egale
2. aceeași arie
3. aceeași orientare pe desen
4. unghiuri corespunzătoare congruente și laturi proporționale
Arată răspunsul
Răspuns: unghiuri corespunzătoare congruente și laturi proporționale
2. $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ $AB=4$ cm, $DE=10$ cm. Cât este raportul de asemănare (de la $ABC$ la $DEF$
Arată răspunsul
Răspuns: $2{,}5$
$k = 10/4 = 2{,}5$
3. Criteriul LUL de asemănare cere:
1. trei perechi de laturi proporționale
2. două perechi de unghiuri congruente
3. două perechi de laturi proporționale și unghiul cuprins congruent
4. o latură și un unghi oarecare, necuprins
Arată răspunsul
Răspuns: două perechi de laturi proporționale și unghiul cuprins congruent
4. Teorema fundamentală a asemănării leagă asemănarea de:
1. teorema lui Pitagora
2. teorema lui Thales
3. teorema unghiului exterior
4. congruența triunghiurilor dreptunghice
Arată răspunsul
Răspuns: teorema lui Thales
5. Triunghiul $ABC$ are perimetrul $24$ cm; $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ cu $k=3$ Cât este perimetrul lui $DEF$
Arată răspunsul
Răspuns: $72$ cm.
Perimetrul scalează cu $k$ $24 \cdot 3 = 72$
6. Care dintre următoarele NU este un criteriu de asemănare a triunghiurilor din această lecție?
1. Formula ariei
2. UU
3. LUL
4. LLL
Arată răspunsul
Răspuns: Formula ariei
7. Triunghiul $ABC$ are $AB=5$ $BC=7$ $CA=9$ (cm); triunghiul $DEF$ are $DE=10$ $EF=14$ $FD=18$ (cm). Sunt asemenea?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Toate trei rapoartele sunt $2$ criteriul LLL se confirmă.
8. Un criteriu de asemănare este folosit pentru a:
1. calcula aria unui triunghi
2. demonstra că două triunghiuri sunt congruente
3. calcula perimetrul unui triunghi oarecare
4. demonstra că două triunghiuri sunt asemenea, fără să verifici toate cele șase elemente
Arată răspunsul
Răspuns: demonstra că două triunghiuri sunt asemenea, fără să verifici toate cele șase elemente

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre triunghiuri asemenea și triunghiuri congruente?

Ambele au unghiurile corespunzătoare congruente. La congruență, laturile corespunzătoare sunt EGALE (raport $k=1$ la asemănare, laturile sunt doar PROPORȚIONALE, cu un raport $k$ oarecare.

Ce înseamnă criteriul UU?

Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt congruente cu două unghiuri corespunzătoare ale altui triunghi, cele două triunghiuri sunt asemenea (al treilea unghi este automat congruent).

Cum se leagă asemănarea de teorema lui Thales?

Teorema fundamentală a asemănării arată că o paralelă la o latură a unui triunghi „decupează” un triunghi mai mic, asemenea cu cel mare (criteriul UU). Rapoartele din teorema lui Thales sunt exact raportul de asemănare al acestor două triunghiuri.

Ce este raportul de asemănare?

Numărul $k$ prin care se înmulțesc toate laturile unui triunghi pentru a obține laturile corespunzătoare ale triunghiului asemenea. Perimetrul scalează la fel, tot cu $k$ aria scalează cu $k^2$ (vezi lecția următoare).

Pot folosi o consecință a asemănării (de exemplu, o latură proporțională) ca dovadă că triunghiurile sunt asemenea?

Nu. O consecință se aplică DUPĂ ce asemănarea este deja stabilită, printr-un criteriu complet (UU, LUL sau LLL) sau dată direct în enunț.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VII-a

Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

Ce vei învăța

Ideea de bază

Triunghiuri asemenea. Corespondența vârfurilor

Teorema fundamentală a asemănării

Criteriile de asemănare a triunghiurilor

Criterii versus consecințe

Exemple rezolvate

Exemplul 1: corespondența vârfurilor, dintr-o notație dată

Exemplul 2: teorema fundamentală a asemănării

Exemplul 3: UU cu unghiuri numerice, corespondență neevidentă

Exemplul 4: UU din unghiuri opuse la vârf și o paralelă

Exemplul 5: LUL, verificare directă

Exemplul 6: LUL, aflarea unei laturi necunoscute

Exemplul 7: LLL, verificare directă

Exemplul 8: LLL, contraexemplu (rapoarte inegale)

Exemplul 9: aflarea tuturor laturilor cu un raport dat

Exemplul 10: perimetrul, consecință a raportului

Exemplul 11: algebră cu criteriul LLL

Exemplul 12: recunoașterea criteriului corect dintr-un enunț

Exemplul 13: consecință versus criteriu, într-o problemă

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Geometrie. După noua programă de gimnaziu. Clasa a VII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VII-a

Matematică. Clasa a VII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită