Raportul ariilor triunghiurilor asemenea. Aplicații

Q: Care este raportul ariilor a două triunghiuri asemenea?

Pătratul raportului de asemănare: dacă k este raportul laturilor, raportul ariilor este k².

Q: Cum aflu raportul de asemănare, dacă știu doar raportul ariilor?

Extragi radicalul: k = ariilor.

Q: De ce aria scalează cu k² și nu cu k, ca perimetrul?

Perimetrul este o sumă de lungimi (fiecare scalează cu k). Aria este un PRODUS a două lungimi (bază și înălțime), deci scalează cu k · k = k².

Ce vei învăța

Calculez raportul ariilor a două triunghiuri asemenea, pornind de la raportul de asemănare.
Rezolv probleme „înapoi”: din raportul ariilor, aflu raportul de asemănare (lungimilor).
Folosesc asemănarea (metoda umbrei) pentru a aproxima o distanță inaccesibilă.
Recunosc triunghiuri asemenea formate de diagonalele unui trapez și le folosesc în calcule.

Recomandat înainte: Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

Ideea de bază

Dacă $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu raportul de asemănare $k$ atunci raportul ariilor este $k^2$ $\dfrac{\text{Aria}(\triangle DEF)}{\text{Aria}(\triangle ABC)} = k^2$

Această relație, împreună cu criteriile de asemănare din lecția anterioară (UU, adică Unghi – Unghi; LUL, adică Latură – Unghi – Latură; LLL, adică Latură – Latură – Latură), permite calcularea unor lungimi inaccesibile (înălțimea unui copac, lățimea unui râu) prin măsurarea unor lungimi accesibile și aplicarea unui raport.

Recapitulare: raportul perimetrelor

În lecția anterioară ai văzut că, dacă $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu raportul de asemănare $k$ perimetrul lui $DEF$ este $k$ ori perimetrul lui $ABC$ $\dfrac{P_{DEF}}{P_{ABC}} = k$ Lungimile (laturi, perimetru) sunt mărimi „liniare”: scalează direct cu $k$

Aria NU este o mărime liniară

Aria unei figuri este produsul a DOUĂ lungimi (bază și înălțime, de exemplu), deci, când ambele lungimi se înmulțesc cu $k$ aria se înmulțește cu $k \cdot k = k^2$ E o greșeală frecventă să presupui că aria scalează la fel ca lungimea.

Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea

Raportul ariilor

Dacă $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu raportul de asemănare $k = \dfrac{DE}{AB}$ atunci $\dfrac{\text{Aria}(\triangle DEF)}{\text{Aria}(\triangle ABC)} = k^2$

PQ=8

RH=6

\text{Aria}(\triangle PQR) = \dfrac{8\cdot6}{2}=24

P'Q'=12

R'H'=9

\text{Aria}(\triangle P'Q'R') = \dfrac{12\cdot9}{2}=54

Raportul ariilor

\dfrac{54}{24}=2{,}25 = 1{,}5^2

pătratul raportului de asemănare.

De ce $k^2$ Aria unui triunghi este $\dfrac{\text{bază} \times \text{înălțime}}{2}$ La triunghiul asemenea, ATÂT baza, CÂT ȘI înălțimea corespunzătoare se înmulțesc cu $k$ Baza, pentru că este o latură. Înălțimea, pentru că triunghiurile dreptunghice $PHR$ și $P'H'R'$ au unghiul $P$ congruent cu $P'$ și un unghi drept, deci sunt asemenea (UU) cu același raport $k$ iar $RH$ și $R'H'$ sunt laturi corespunzătoare. Deci noua arie este $\dfrac{(k\cdot\text{bază})(k\cdot\text{înălțime})}{2} = k^2 \cdot \dfrac{\text{bază}\times\text{înălțime}}{2} = k^2 \cdot \text{aria veche}$

Un exemplu concret al lui $k^2$

Dacă dublezi toate laturile unui triunghi $k=2$ aria se face de $2^2=4$ ori mai mare, nu de $2$ ori. Dacă micșorezi laturile la jumătate $k=\tfrac{1}{2}$ aria se face de $\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4}$ din aria inițială, nu de jumătate.

Formula funcționează în ambele direcții: din raportul lungimilor $k$ afli raportul ariilor $k^2$ dar și INVERS, din raportul ariilor afli $k$ extrăgând radicalul (raportul lungimilor este pozitiv, deci alegi radicalul pozitiv).

k = \sqrt{\dfrac{\text{Aria}(\triangle DEF)}{\text{Aria}(\triangle ABC)}}

Aplicații: măsurarea indirectă a unor distanțe

Asemănarea triunghiurilor permite aflarea unor lungimi pe care nu le poți măsura direct (înălțimea unui copac, a unei clădiri, lățimea unui râu), folosind doar lungimi accesibile și un unghi comun (adesea, unghiul de elevație al soarelui, egal în același moment, în orice loc). Lungimile măsurate pe teren au erori, deci rezultatul este o valoare aproximativă; în exercițiile din lecție datele sunt considerate exacte, iar răspunsurile se dau în aceleași unități ca măsurătorile (metri).

Bățul

AB = 2

m are umbra

AC = 3

m. Copacul

DE

(necunoscut) are umbra

DF = 7{,}5

m. Razele soarelui sunt paralele, deci unghiul de elevație este același în

C

și în

F

(unghiul cu două arce); ambele triunghiuri au și unghiul drept. Prin UU,

\triangle ABC \sim \triangle DEF

cu raportul

\dfrac{DF}{AC} = \dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5

Metoda umbrei

În același moment al zilei, razele soarelui cad practic paralel peste tot. Un obiect vertical și umbra lui formează un triunghi dreptunghic; un alt obiect vertical, măsurat în același moment, formează un triunghi asemenea (UU: unghiul drept + unghiul de elevație al soarelui). Raportul umbrelor este exact raportul înălțimilor.

Triunghiuri asemenea formate de diagonalele unui trapez

O altă configurație frecventă: diagonalele unui trapez împart trapezul în patru triunghiuri, iar cele două triunghiuri „de la baze” (lângă cele două laturi paralele) sunt asemenea.

AB \parallel DC

AB = 8

DC = 4

Diagonalele se taie în

O

unghiul din

O

dinspre triunghiul

AOB

este congruent cu unghiul din

O

dinspre triunghiul

COD

(unghiuri opuse la vârf), iar unghiul din

A

este congruent cu unghiul din

C

(unghiuri alterne interne, din

AB \parallel DC

Prin UU,

\triangle AOB \sim \triangle COD

cu raportul

\dfrac{DC}{AB} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}

Raportul de asemănare este exact raportul celor două baze paralele ale trapezului $\dfrac{DC}{AB}$ pentru că unghiurile alterne interne (formate de laturile paralele cu diagonalele) și unghiurile opuse la vârf (în $O$ dau criteriul UU.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recapitulare, raportul perimetrelor

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=4$ și $P_{ABC}=15$ cm. Calculează $P_{DEF}$

Vezi rezolvarea

P_{DEF} = k \cdot P_{ABC} = 4 \cdot 15 = 60 \text{ cm}

Exemplul 2: raportul ariilor, din figura lecției

Cu datele figurii de la „Raportul ariilor” $PQ=8$ $RH=6$ $P'Q'=12$ $R'H'=9$ calculează ariile celor două triunghiuri și raportul lor.

Vezi rezolvarea

\text{Aria}(\triangle PQR) = \dfrac{8\cdot 6}{2} = 24

\text{Aria}(\triangle P'Q'R') = \dfrac{12\cdot 9}{2} = 54

\dfrac{54}{24} = 2{,}25 = 1{,}5^2

Confirmă formula: raportul de asemănare este $1{,}5$ iar raportul ariilor este $1{,}5^2 = 2{,}25$

Exemplul 3: dublarea laturilor, ilustrare conceptuală

Un triunghi cu aria $9$ cm² este mărit astfel încât toate laturile devin de $2$ ori mai mari. Calculează noua arie. Ce se întâmplă dacă laturile devin de $3$ ori mai mari?

Vezi rezolvarea

Pentru $k=2$

9 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36 \text{ cm}^2

Pentru $k=3$

9 \cdot 3^2 = 9 \cdot 9 = 81 \text{ cm}^2

Aria NU se dublează, respectiv NU se triplează: se înmulțește cu $k^2$

Exemplul 4: calcul direct al ariei, raport dat

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=3$ (de la $ABC$ la $DEF$ și $\text{Aria}(\triangle ABC) = 20$ cm². Calculează $\text{Aria}(\triangle DEF)$

Vezi rezolvarea

\text{Aria}(\triangle DEF) = k^2 \cdot \text{Aria}(\triangle ABC)

\text{Aria}(\triangle DEF) = 9 \cdot 20 = 180 \text{ cm}^2

Exemplul 5: calcul invers, raportul ariilor este un pătrat perfect

Două triunghiuri asemenea au ariile în raportul $16$ (adică al doilea are aria de $16$ ori mai mare). Calculează raportul de asemănare $k$

Vezi rezolvarea

k = \sqrt{16} = 4

Exemplul 6: calcul invers, raport fracționar

Două triunghiuri asemenea au ariile în raportul $\dfrac{9}{4}$ Calculează raportul de asemănare $k$ și verifică.

Vezi rezolvarea

k = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}

Verificare: $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$

Exemplul 7: perimetru și arie, în aceeași problemă

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $P_{ABC}=12$ cm, $P_{DEF}=60$ cm și $\text{Aria}(\triangle ABC)=14$ cm². Calculează raportul de asemănare și $\text{Aria}(\triangle DEF)$

Vezi rezolvarea

k = \dfrac{P_{DEF}}{P_{ABC}} = \dfrac{60}{12} = 5

\text{Aria}(\triangle DEF) = 5^2 \cdot 14

\text{Aria}(\triangle DEF) = 25 \cdot 14 = 350 \text{ cm}^2

Exemplul 8: metoda umbrei, aflarea unei înălțimi

Cu datele figurii de la „Metoda umbrei” $AB=2$ m, $AC=3$ m, $DF=7{,}5$ m), calculează înălțimea copacului $DE$

Vezi rezolvarea

k = \dfrac{DF}{AC} = \dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5

DE = k \cdot AB = 2{,}5 \cdot 2 = 5 \text{ m}

Exemplul 9: trapez, aflarea unei baze

Într-un trapez $ABCD$ cu $AB \parallel DC$ diagonalele se taie în $O$ Se știe $AB = 10$ cm și $\dfrac{OC}{OA} = \dfrac{2}{5}$ Calculează $DC$

Vezi rezolvarea

$\triangle AOB \sim \triangle COD$ cu raportul $\dfrac{OC}{OA} = \dfrac{OD}{OB} = \dfrac{DC}{AB} = \dfrac{2}{5}$ (aceeași proporție ca pentru orice pereche de laturi corespunzătoare).

DC = \dfrac{2}{5} \cdot AB = \dfrac{2}{5} \cdot 10 = 4 \text{ cm}

Exemplul 10: aplicație practică, costul vopsirii

Două panouri triunghiulare asemenea au raportul laturilor $k=3$ Vopsirea panoului mic costă $40$ lei (proporțional cu suprafața). Calculează costul vopsirii panoului mare.

Vezi rezolvarea

Costul vopsirii este proporțional cu suprafața (aria), nu cu laturile.

\text{cost mare} = k^2 \cdot \text{cost mic} = 9 \cdot 40 = 360 \text{ lei}

Exemplul 11: greșeală corectată, $k$ în loc de $k^2$

Un elev scrie: $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=5$ și $\text{Aria}(\triangle ABC)=8$ cm², deci $\text{Aria}(\triangle DEF) = 5 \cdot 8 = 40$ cm²”. Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Elevul a folosit $k$ în loc de $k^2$ pentru arie. Calculul corect:

\text{Aria}(\triangle DEF) = k^2 \cdot \text{Aria}(\triangle ABC)

\text{Aria}(\triangle DEF) = 25 \cdot 8 = 200 \text{ cm}^2

Exemplul 12: greșeală corectată, radicalul aplicat greșit

Un elev scrie: „raportul ariilor este $9$ deci raportul laturilor este tot $9$ Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Raportul ariilor este $k^2$ nu $k$ Din $k^2=9$ rezultă $k=\sqrt{9}=3$ nu $9$

k = \sqrt{9} = 3

Exemplul 13: algebră, raportul ariilor cu necunoscută

Două triunghiuri asemenea au raportul de asemănare $k = x+1$ și raportul ariilor $36$ Calculează $x$ (pozitiv).

Vezi rezolvarea

(x+1)^2 = 36

x+1 = 6 \ \text{(alegem soluția pozitivă)}

x = 5

Greșeli frecvente

Folosesc raportul de asemănare $k$ direct pentru arie, ca și pentru perimetru.
Perimetrul (mărime liniară) scalează cu $k$ Aria (produs de două lungimi) scalează cu $k^2$ Nu sunt aceeași formulă.
Din raportul ariilor, obțin raportul laturilor fără să extrag radicalul.
Dacă raportul ariilor este $k^2 = 36$ atunci raportul laturilor este $k = \sqrt{36} = 6$ nu $36$
Uit să verific mai întâi (printr-un criteriu, sau dat direct) că triunghiurile sunt asemenea, înainte de a aplica formula ariilor.
Formula $\text{raport arii} = k^2$ se aplică DOAR pentru triunghiuri deja stabilite ca asemenea. Pentru triunghiuri oarecare, nu există o relație simplă între laturi și arii.
La metoda umbrei, măsor cele două umbre în momente diferite ale zilei.
Metoda funcționează doar dacă umbrele sunt măsurate ÎN ACELAȘI MOMENT, când unghiul de elevație al soarelui este identic pentru ambele obiecte.
În trapez, aplic raportul $\dfrac{DC}{AB}$ direct laturilor neparalele $BC$ și $AD$ fără să treacă prin triunghiurile $AOB$ și $COD$
Raportul $\dfrac{DC}{AB}$ este raportul de asemănare al triunghiurilor $AOB$ și $COD$ (formate de diagonale), nu se aplică automat laturilor neparalele ale trapezului întreg.
Confund raportul ariilor cu diferența ariilor.
„Raportul ariilor este $4$ înseamnă că o arie este de $4$ ori cealaltă (împărțire), nu că diferă cu $4$ unități.
Presupun că orice pereche de triunghiuri formate de diagonalele unui patrulater este asemenea.
Rezultatul (triunghiurile de la baze sunt asemenea) este specific TRAPEZULUI, unde o pereche de laturi este paralelă. Într-un patrulater oarecare, fără laturi paralele, nu este garantat.

Exerciții

Ușor

Ce relație este între raportul de asemănare $k$ și raportul ariilor a două triunghiuri asemenea?
Arată răspunsul
Răspuns: Raportul ariilor este $k^2$
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=3$ Cât este raportul ariilor?
Arată răspunsul
Răspuns: $9$
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=5$ și $P_{ABC}=8$ cm. Calculează $P_{DEF}$
Arată răspunsul
Răspuns: $40$ cm.
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=2$ și $\text{Aria}(\triangle ABC)=7$ cm². Calculează $\text{Aria}(\triangle DEF)$
Arată răspunsul
Răspuns: $28$ cm².
$2^2\cdot7=28$
Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este $25$ Calculează raportul de asemănare.
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
$\sqrt{25}=5$
Adevărat sau fals: „Dacă laturile unui triunghi se triplează, aria se triplează.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals: aria se înmulțește cu $9$
Într-un trapez, diagonalele se taie în $O$ Ce tip de unghiuri sunt $\angle AOB$ și $\angle COD$
Arată răspunsul
Răspuns: Unghiuri opuse la vârf, congruente.
Ce condiție trebuie respectată la metoda umbrei, ca să funcționeze corect?
Arată răspunsul
Răspuns: Umbrele trebuie măsurate în același moment al zilei.

Mediu

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $\text{Aria}(\triangle ABC)=6$ cm² și $\text{Aria}(\triangle DEF)=54$ cm². Calculează raportul de asemănare.
Arată răspunsul
Răspuns: $k=3$
$54/6=9=3^2$
Un triunghi cu aria $18$ cm² este micșorat cu raportul $k=\dfrac{1}{3}$ Calculează noua arie.
Arată răspunsul
Răspuns: $2$ cm².
$18\cdot(1/3)^2=18/9=2$
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $AB=6$ cm, $DE=15$ cm și $\text{Aria}(\triangle ABC)=12$ cm². Calculează $\text{Aria}(\triangle DEF)$
Arată răspunsul
Răspuns: $75$ cm².
$k=15/6=2{,}5$ $2{,}5^2\cdot12=6{,}25\cdot12=75$
Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este $\dfrac{49}{25}$ Calculează raportul de asemănare.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{7}{5}$
$\sqrt{49/25}=7/5$
Un băț de $1{,}5$ m are umbra de $2$ m. Un stâlp are umbra de $6$ m, măsurată în același moment. Calculează înălțimea stâlpului.
Arată răspunsul
Răspuns: $4{,}5$ m.
$k=6/2=3$ $1{,}5\cdot3=4{,}5$
Într-un trapez $ABCD$ $AB\parallel DC$ $AB=18$ cm, $DC=6$ cm. Calculează raportul $\dfrac{OA}{OC}$ unde $O$ este intersecția diagonalelor.
Arată răspunsul
Răspuns: $3$
$\triangle AOB \sim \triangle COD$ cu raportul $AB/DC=18/6=3$ deci $OA/OC=3$
Două terenuri triunghiulare asemenea au raportul laturilor $k=4$ Terenul mic costă (la achiziție, proporțional cu suprafața) $50\,000$ lei. Calculează costul terenului mare.
Arată răspunsul
Răspuns: $800\,000$ lei.
$4^2\cdot50\,000=16\cdot50\,000=800\,000$
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $\text{Aria}(\triangle DEF) = 4 \cdot \text{Aria}(\triangle ABC)$ Cu cât la sută este mai mare fiecare latură a lui $DEF$ față de latura corespunzătoare din $ABC$
Arată răspunsul
Răspuns: Cu $100\%$ (adică de două ori mai mare).
$k^2=4\Rightarrow k=2$ laturile sunt duble.
Explică, într-o frază, de ce aria scalează cu $k^2$ și nu cu $k$
Arată răspunsul
Răspuns: Aria este produsul a două lungimi (bază și înălțime), iar fiecare dintre ele scalează cu $k$ deci produsul scalează cu $k\cdot k=k^2$
$\triangle MNP \sim \triangle RST$ cu $P_{MNP}=20$ cm, $\text{Aria}(\triangle MNP)=16$ cm², $\text{Aria}(\triangle RST)=144$ cm². Calculează $P_{RST}$
Arată răspunsul
Răspuns: $60$ cm.
$k^2=144/16=9\Rightarrow k=3$ $P_{RST}=3\cdot20=60$
Un elev spune: „umbrele au fost măsurate dimineața pentru băț și la prânz pentru copac, dar am aplicat oricum metoda umbrei”. Este corect rezultatul?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Unghiul de elevație al soarelui se schimbă în timpul zilei; fără aceeași oră de măsurare, triunghiurile nu mai sunt garantat asemenea (UU nu se mai confirmă).

Provocare

Un triunghi $ABC$ este împărțit de o paralelă $DE \parallel BC$ $D\in AB$ $E \in AC$ în triunghiul $ADE$ și trapezul $DBCE$ Dacă $AD:DB=1:2$ și $\text{Aria}(\triangle ABC)=27$ cm², calculează ariile celor două părți.
Arată răspunsul
Răspuns: $\text{Aria}(\triangle ADE)=3$ cm², $\text{Aria}(DBCE)=24$ cm².
$AD:AB=1:3\Rightarrow k=1/3$ $\text{Aria}(\triangle ADE)=(1/3)^2\cdot27=27/9=3$ trapezul $=27-3=24$
Două triunghiuri asemenea au perimetrele $P_1$ și $P_2$ cu $P_2 = 2{,}5\, P_1$ Dacă $\text{Aria}_1 = 16$ cm², calculează $\text{Aria}_2$
Arată răspunsul
Răspuns: $100$ cm².
$k=2{,}5$ $\text{Aria}_2=2{,}5^2\cdot16=6{,}25\cdot16=100$
Într-un trapez $ABCD$ $AB\parallel DC$ $\triangle AOB$ și $\triangle COD$ (formate de diagonale, $O$ = intersecția) au ariile $50$ cm², respectiv $8$ cm². Calculează raportul $DC:AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $2:5$
$k^2=8/50=4/25\Rightarrow k=2/5$ adică $DC:AB=2:5$
Un fotograf mărește o fotografie triunghiulară (mărire uniformă, deci o asemănare) astfel încât aria crește de $6{,}25$ ori. Calculează de câte ori s-a mărit fiecare latură.
Arată răspunsul
Răspuns: De $2{,}5$ ori.
$k=\sqrt{6{,}25}=2{,}5$
Un elev ține un baston vertical de $0{,}3$ m la $0{,}6$ m de ochi, astfel încât bastonul „acoperă” exact o clădire aflată la $40$ m de ochi. Presupunând că privirea este orizontală, calculează înălțimea clădirii și explică de ce se folosește tot asemănarea triunghiurilor.
Arată răspunsul
Răspuns: $20$ m.
Triunghiul ochi-baston și triunghiul ochi-clădire au unghiul din ochi comun și bazele paralele (bastonul și clădirea sunt verticale), deci sunt asemenea. Raportul de asemănare este $\dfrac{40}{0{,}6} = \dfrac{200}{3}$ deci înălțimea este $0{,}3 \cdot \dfrac{200}{3} = 20$ m.
În trapezul $ABCD$ $AB\parallel DC$ diagonalele se taie în $O$ a) Explică de ce triunghiurile $ABD$ și $ABC$ au arii egale (au aceeași bază $AB$ ce poți spune despre înălțimi?). b) Scăzând din fiecare aria triunghiului $AOB$ justifică faptul că triunghiurile laterale $AOD$ și $BOC$ au arii egale, deși nu sunt neapărat asemenea.
Arată răspunsul
Răspuns: $\text{Aria}(\triangle AOD) = \text{Aria}(\triangle BOC)$
$\triangle ABD$ și $\triangle ABC$ au aceeași bază $AB$ și aceeași înălțime (distanța dintre $AB$ și $DC$ ambele vârfuri $D$ $C$ fiind pe paralela $DC$ deci arii egale. Scăzând aria comună $\triangle AOB$ din fiecare: $\text{Aria}(\triangle AOD) = \text{Aria}(\triangle ABD)-\text{Aria}(\triangle AOB) = \text{Aria}(\triangle ABC)-\text{Aria}(\triangle AOB) = \text{Aria}(\triangle BOC)$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Două triunghiuri asemenea au raportul de asemănare $1{,}2$ (triunghiul mare față de cel mic). De câte ori este mai mare aria triunghiului mare?
1. de $1{,}2$ ori
2. de $2{,}4$ ori
3. de $1{,}44$ ori
4. de $1{,}4$ ori
Arată răspunsul
Răspuns: de $1{,}44$ ori
Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: $1{,}2^2 = 1{,}44$
2. $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ cu $k=4$ și $\text{Aria}(\triangle ABC)=5$ cm². Cât este $\text{Aria}(\triangle DEF)$
Arată răspunsul
Răspuns: $80$ cm².
$4^2\cdot5=16\cdot5=80$
3. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este $64$ Raportul de asemănare este:
1. $64$
2. $32$
3. $4$
4. $8$
Arată răspunsul
Răspuns: $8$
4. Metoda umbrei pentru măsurarea indirectă a unei înălțimi se bazează pe:
1. teorema lui Pitagora
2. asemănarea triunghiurilor (criteriul UU), cu unghiul de elevație al soarelui egal
3. criteriul LLL de congruență
4. raportul ariilor unor pătrate
Arată răspunsul
Răspuns: asemănarea triunghiurilor (criteriul UU), cu unghiul de elevație al soarelui egal
5. Un băț de $1$ m are umbra $1{,}2$ m. Un stâlp are umbra $6$ m. Cât este înălțimea stâlpului?
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ m.
$k=6/1{,}2=5$ $1\cdot5=5$
6. Într-un trapez, triunghiurile formate de diagonale lângă cele două baze paralele sunt asemenea prin criteriul:
1. LLL
2. UU
3. LUL
4. niciunul, în general
Arată răspunsul
Răspuns: UU
7. Într-un trapez cu $AB=12$ cm și $DC=4$ cm, care este raportul de asemănare $\triangle AOB \sim \triangle COD$ (de la $AOB$ la $COD$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{3}$
$DC/AB=4/12=1/3$
8. Dacă laturile unui triunghi se măresc de $10$ ori, aria se mărește de:
1. $10$ ori
2. $20$ ori
3. $100$ ori
4. $1000$ ori
Arată răspunsul
Răspuns: $100$ ori

Întrebări frecvente

Care este raportul ariilor a două triunghiuri asemenea?

Pătratul raportului de asemănare: dacă $k$ este raportul laturilor, raportul ariilor este $k^2$

Cum aflu raportul de asemănare, dacă știu doar raportul ariilor?

Extragi radicalul: $k = \sqrt{\text{raportul ariilor}}$

De ce aria scalează cu

k^2

și nu cu

k

ca perimetrul?

Perimetrul este o sumă de lungimi (fiecare scalează cu $k$ Aria este un PRODUS a două lungimi (bază și înălțime), deci scalează cu $k \cdot k = k^2$

Cum funcționează metoda umbrei pentru măsurarea unei înălțimi?

Un obiect de înălțime cunoscută și umbra lui, măsurate în același moment cu obiectul de înălțime necunoscută și umbra lui, formează două triunghiuri dreptunghice asemenea (criteriul UU, cu unghiul de elevație al soarelui egal). Raportul umbrelor este raportul înălțimilor.

De ce sunt asemenea triunghiurile formate de diagonalele unui trapez?

Cele două baze paralele dau unghiuri alterne interne congruente, iar în punctul de intersecție al diagonalelor apar unghiuri opuse la vârf, congruente: împreună, criteriul UU.

Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea. Aplicații practice

Ce vei învăța

Ideea de bază

Recapitulare: raportul perimetrelor

Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea

Aplicații: măsurarea indirectă a unor distanțe

Triunghiuri asemenea formate de diagonalele unui trapez

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recapitulare, raportul perimetrelor

Exemplul 2: raportul ariilor, din figura lecției

Exemplul 3: dublarea laturilor, ilustrare conceptuală

Exemplul 4: calcul direct al ariei, raport dat

Exemplul 5: calcul invers, raportul ariilor este un pătrat perfect

Exemplul 6: calcul invers, raport fracționar

Exemplul 7: perimetru și arie, în aceeași problemă