Lecția 1 din 2 · Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Q: Ce legătură au aceste relații cu teorema lui Pitagora?

Adunând cele două relații ale teoremei catetei, AB²+AC² = BC · BH + BC · HC = BC(BH+HC) = BC · BC = BC², obții exact teorema lui Pitagora. Este subiectul lecției următoare.

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea dusă din unghiul drept pe ipotenuză „taie” triunghiul mare în două triunghiuri mai mici, asemenea cu el și între ele. Din această asemănare rezultă două relații foarte utile: teorema înălțimii și teorema catetei, care leagă înălțimea și catetele de proiecțiile lor pe ipotenuză.

~ 28 min de citit

Ce vei învăța

Determin proiecția ortogonală a unui punct sau a unui segment pe o dreaptă.
Aplic teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghic.
Aplic teorema catetei, asociind corect fiecare catetă cu proiecția ei.
Explic, pe scurt, de ce funcționează aceste relații (legătura cu asemănarea triunghiurilor).

Recomandat înainte: Triunghiuri asemenea. Criterii de asemănare. Teorema fundamentală a asemănării

Ideea de bază

Proiecția ortogonală a unui punct $P$ pe o dreaptă $d$ este piciorul perpendicularei duse din $P$ pe $d$ Proiecția unui segment pe o dreaptă este segmentul format de proiecțiile capetelor sale.

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ cu înălțimea $AH$ pe ipotenuza $BC$ teorema înălțimii spune $AH^2 = BH \cdot HC$ iar teorema catetei spune $AB^2 = BC \cdot BH$ și $AC^2 = BC \cdot HC$ unde $BH$ și $HC$ sunt proiecțiile catetelor $AB$ respectiv $AC$ pe ipotenuză.

Proiecția ortogonală a unui punct și a unui segment

Proiecția ortogonală

Proiecția ortogonală a unui punct $P$ pe o dreaptă $d$ este piciorul perpendicularei duse din $P$ pe $d$ adică punctul $P'$ de pe $d$ pentru care $PP' \perp d$ Proiecția ortogonală a unui segment $[PQ]$ pe $d$ este segmentul $[P'Q']$ unde $P'$ și $Q'$ sunt proiecțiile lui $P$ respectiv $Q$ pe $d$

Dacă un punct este deja pe dreapta $d$ proiecția lui pe $d$ este el însuși (perpendiculara „din el pe $d$ are lungime $0$ Acest fapt simplu este cheia figurii de mai jos.

AB=15

AC=20

BC=BH+HC=9+16=25

cm,

AH=12

cm. Proiecția catetei

AB

pe ipotenuză este

BH

(alăturată lui

B

proiecția catetei

AC

pe ipotenuză este

HC

(alăturată lui

C

Verificare:

AB^2=225=25\cdot9=BC\cdot BH

AC^2=400=25\cdot16=BC\cdot HC

AH^2=144=9\cdot16=BH\cdot HC

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ cu înălțimea $AH$ pe ipotenuza $BC$ $B$ și $C$ sunt deja pe dreapta $BC$ deci proiecția lor pe $BC$ este ele însele. Proiecția lui $A$ pe $BC$ este chiar $H$ (piciorul înălțimii, prin definiție perpendiculară pe $BC$

Proiecțiile catetelor pe ipotenuză

Proiecția catetei $AB$ pe ipotenuza $BC$ este segmentul $BH$ (de la proiecția lui $B$ adică $B$ la proiecția lui $A$ adică $H$ Proiecția catetei $AC$ pe ipotenuza $BC$ este segmentul $HC$ (de la proiecția lui $H$ la proiecția lui $C$ adică $C$

Nu inversa proiecțiile

Proiecția lui $AB$ este $BH$ (segmentul ALĂTURAT lui $B$ nu $HC$ Proiecția lui $AC$ este $HC$ (segmentul ALĂTURAT lui $C$ nu $BH$ Literele se corespund: catetă „lângă” $B$ → proiecție lângă $B$

Teorema înălțimii

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii duse din vârful unghiului drept pe ipotenuză este medie geometrică (proporțională) între lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

AH^2 = BH \cdot HC

Cu datele figurii de mai sus: $BH=9$ $HC=16$ deci $AH^2 = 9 \cdot 16 = 144$ adică $AH = \sqrt{144} = 12$ cm – exact valoarea din figură.

Teorema catetei

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este medie geometrică (proporțională) între lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.

AB^2 = BC \cdot BH

AC^2 = BC \cdot HC

Cu datele figurii: $AB^2 = 25 \cdot 9 = 225$ deci $AB = 15$ cm; $AC^2 = 25 \cdot 16 = 400$ deci $AC = 20$ cm – exact valorile din figură.

Cele două relații ale teoremei catetei, fără a le confunda
Catetă	Proiecția ei pe ipotenuză	Relație
$AB$ (lângă $B$	$BH$ (lângă $B$	$AB^2 = BC \cdot BH$
$AC$ (lângă $C$	$HC$ (lângă $C$	$AC^2 = BC \cdot HC$

De ce funcționează: legătura cu asemănarea

Aceste relații nu sunt întâmplătoare: înălțimea $AH$ împarte triunghiul $ABC$ în două triunghiuri, $ABH$ și $ACH$ fiecare asemenea cu triunghiul mare $ABC$ și, prin urmare, asemenea și între ele.

În triunghiurile $ABC$ și $HBA$ unghiul din $B$ este comun, iar $\angle BAC \equiv \angle BHA$ (amândouă de $90°$ Cu criteriul Unghi – Unghi (UU, din lecția despre asemănare), $\triangle ABC \sim \triangle HBA$ de unde $\dfrac{AB}{HB} = \dfrac{BC}{BA}$ adică $AB^2 = BC \cdot BH$ – exact teorema catetei pentru $AB$ Analog, din $\triangle ABC \sim \triangle HAC$ rezultă $AC^2 = BC \cdot HC$

Nu trebuie să reții demonstrația

Este suficient să reții cele două teoreme (înălțimii și catetei) și configurația standard $A$ unghi drept, $H$ piciorul înălțimii pe $BC$ Legătura cu asemănarea explică DE CE sunt adevărate, dar nu este cerută la aplicarea lor directă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identificarea proiecțiilor

Cu datele figurii standard $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ $AH$ înălțime, $H \in BC$ scrie care este proiecția catetei $AC$ pe ipotenuza $BC$ și care este proiecția catetei $AB$

Vezi rezolvarea

Proiecția catetei $AC$ pe $BC$ este segmentul $HC$ (alăturat lui $C$

Proiecția catetei $AB$ pe $BC$ este segmentul $BH$ (alăturat lui $B$

Exemplul 2: teorema înălțimii, aflarea lui $AH$

În triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A = 90°$ înălțimea $AH$ pe ipotenuză determină $BH = 9$ cm și $HC = 16$ cm. Calculează $AH$

Vezi rezolvarea

AH^2 = BH \cdot HC = 9 \cdot 16 = 144

AH = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}

Exemplul 3: teorema catetei, aflarea lui $AB$

Cu aceleași date $BC = 25$ cm, $BH = 9$ cm), calculează cateta $AB$

Vezi rezolvarea

AB^2 = BC \cdot BH = 25 \cdot 9 = 225

AB = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}

Exemplul 4: teorema catetei, aflarea lui $AC$

Cu $BC = 25$ cm, $HC = 16$ cm, calculează cateta $AC$

Vezi rezolvarea

AC^2 = BC \cdot HC = 25 \cdot 16 = 400

AC = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}

Exemplul 5: pornind de la catete, aflarea proiecției (numere zecimale exacte)

Triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A = 90°$ are $AB = 6$ cm, $BC = 10$ cm. Calculează proiecția $BH$ a catetei $AB$ pe ipotenuză, apoi $HC$

Vezi rezolvarea

Din teorema catetei, $AB^2 = BC \cdot BH$ deci $BH = \dfrac{AB^2}{BC}$

BH = \dfrac{6^2}{10} = \dfrac{36}{10} = 3{,}6 \text{ cm}

HC = BC - BH = 10 - 3{,}6 = 6{,}4 \text{ cm}

Exemplul 6: continuare, aflarea înălțimii

Cu datele exemplului 5 $BH = 3{,}6$ cm, $HC = 6{,}4$ cm), calculează înălțimea $AH$

Vezi rezolvarea

AH^2 = BH \cdot HC = 3{,}6 \cdot 6{,}4 = 23{,}04

AH = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8 \text{ cm}

Verificare rapidă: $4{,}8^2 = 23{,}04$ Corect.

Exemplul 7: teorema înălțimii cu necunoscută algebrică

În triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A = 90°$ proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $BH = x$ și $HC = 2x$ iar înălțimea este $AH = 6$ cm. Calculează $x$

Vezi rezolvarea

AH^2 = BH \cdot HC

36 = x \cdot 2x

36 = 2x^2

x^2 = 18

x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ cm}

$x$ este o lungime, deci reținem doar soluția pozitivă $x = 3\sqrt{2}$ cm (radical, pentru că $18$ nu este pătrat perfect).

Exemplul 8: raportul proiecțiilor

Arată, folosind teorema catetei, că $\dfrac{BH}{HC} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$ apoi verifică cu datele figurii standard $AB=15$ $AC=20$ $BH=9$ $HC=16$

Vezi rezolvarea

Din teorema catetei, $BH = \dfrac{AB^2}{BC}$ și $HC = \dfrac{AC^2}{BC}$ deci $\dfrac{BH}{HC} = \dfrac{AB^2/BC}{AC^2/BC} = \dfrac{AB^2}{AC^2}$

\dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{225}{400} = \dfrac{9}{16} = \dfrac{BH}{HC}

Confirmat: catetele mai mici au proiecții mai mici, în același raport (la pătrat).

Exemplul 9: proiecția greșită (eroare de asociere)

Un elev scrie, pentru figura standard $AB=15$ $AC=20$ $BC=25$ $BH=9$ $HC=16$ relația $AB^2 = BC \cdot HC$ Arată de ce este greșit și scrie relația corectă.

Vezi rezolvarea

Cu formula greșită: $BC \cdot HC = 25 \cdot 16 = 400 \neq 225 = AB^2$ Nu se verifică.

Eroarea: elevul a folosit proiecția catetei $AC$ $HC$ în locul proiecției catetei $AB$ $BH$ Relația corectă este $AB^2 = BC \cdot BH = 25 \cdot 9 = 225$

Regula sigură: cateta și proiecția ei sunt ÎNTOTDEAUNA „lângă” același vârf $B$ cu $B$ $C$ cu $C$

Exemplul 10: aflarea ipotenuzei din catetă și proiecție

Într-un triunghi dreptunghic $\angle A = 90°$ $AC = 12$ cm și proiecția ei pe ipotenuză este $HC = 9$ cm. Calculează $BC$

Vezi rezolvarea

Din teorema catetei, $AC^2 = BC \cdot HC$ deci $BC = \dfrac{AC^2}{HC}$

BC = \dfrac{12^2}{9} = \dfrac{144}{9} = 16 \text{ cm}

Exemplul 11: problemă combinată (catetă + înălțime)

În triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A = 90°$ $BC = 20$ cm și $AB = 8$ cm. Calculează $BH$ $HC$ și $AH$

Vezi rezolvarea

BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{64}{20} = 3{,}2 \text{ cm}

HC = BC - BH = 20 - 3{,}2 = 16{,}8 \text{ cm}

AH = \sqrt{BH \cdot HC} = \sqrt{3{,}2 \cdot 16{,}8}

AH = \sqrt{53{,}76}

AH = \dfrac{8\sqrt{21}}{5} = 1{,}6\sqrt{21} \approx 7{,}33 \text{ cm}

Aici $AH$ nu iese un număr „rotund”: rămâne sub formă de radical, $AH = 1{,}6\sqrt{21}$ cm (aproximativ $7{,}33$ cm). Nu toate problemele au rezultate exacte simple; e important să aplici corect formula, nu să „ghicești” un rezultat frumos.

Exemplul 12: context practic, înălțimea unui panou

Un panou are forma unui triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$ și stă cu ipotenuza $BC$ pe sol. Perpendiculara $AH$ din vârful $A$ pe sol împarte ipotenuza în $BH = 4$ m și $HC = 9$ m. La ce înălțime față de sol se află vârful $A$

Vezi rezolvarea

Înălțimea vârfului față de sol este chiar înălțimea $AH$ dusă din unghiul drept pe ipotenuză.

AH^2 = BH \cdot HC = 4 \cdot 9 = 36

AH = \sqrt{36} = 6 \text{ m}

Exemplul 13: verificare completă a unei configurații date

Se dă triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A = 90°$ cu $AB=6$ $AC=8$ $BC=10$ $BH=3{,}6$ $HC=6{,}4$ $AH=4{,}8$ (toate în cm). Verifică cele trei relații metrice (teorema catetei de două ori, teorema înălțimii).

Vezi rezolvarea

AB^2 = 36, \quad BC \cdot BH = 10 \cdot 3{,}6 = 36 \quad\checkmark

AC^2 = 64, \quad BC \cdot HC = 10 \cdot 6{,}4 = 64 \quad\checkmark

AH^2 = 23{,}04, \quad BH \cdot HC = 3{,}6 \cdot 6{,}4 = 23{,}04 \quad\checkmark

Toate trei relațiile se verifică: configurația este corectă.

Greșeli frecvente

Asociez o catetă cu proiecția „celeilalte” $AB^2 = BC \cdot HC$ în loc de $AB^2 = BC \cdot BH$
Cateta și proiecția ei sunt mereu alăturate aceluiași vârf: $AB$ (lângă $B$ cu $BH$ (lângă $B$ $AC$ (lângă $C$ cu $HC$ (lângă $C$
Confund înălțimea $AH$ cu o catetă și îi aplic teorema catetei.
$AH$ este ÎNĂLȚIMEA (perpendiculara pe ipotenuză din vârful unghiului drept); ea are propria teoremă, teorema înălțimii $AH^2 = BH \cdot HC$ nu teorema catetei.
Scriu teorema înălțimii ca $AH^2 = BH + HC$ (sumă în loc de produs).
Teorema înălțimii folosește un PRODUS: $AH^2 = BH \cdot HC$ Suma $BH+HC$ este chiar ipotenuza $BC$ o relație diferită.
Uit care segment este ipotenuza și aplic teorema catetei cu o catetă în locul ipotenuzei.
Ipotenuza este latura opusă unghiului drept, cea mai lungă. În $AB^2 = BC \cdot BH$ $BC$ este mereu ipotenuza, niciodată o catetă.
Amestec ipotenuza întreagă cu o singură proiecție într-un calcul (de exemplu, scriu $AB^2 = BH \cdot HC$
Teorema catetei folosește ÎNTOTDEAUNA ipotenuza întreagă $BC$ și O SINGURĂ proiecție (a acelei catete). Produsul celor două proiecții $BH \cdot HC$ apare doar în teorema înălțimii.
Cred că proiecția unui segment pe o dreaptă este chiar segmentul original, dacă „arată aproape la fel” pe desen.
Proiecția se definește STRICT prin perpendiculare din fiecare capăt pe dreaptă; se calculează, nu se estimează „din ochi” după cum arată figura.
Trec direct la teorema catetei sau a înălțimii fără să verific mai întâi că triunghiul este dreptunghic și că înălțimea cade pe ipotenuză (nu pe o catetă).
Ambele teoreme se aplică DOAR când înălțimea este dusă din vârful unghiului drept pe ipotenuză, în configurația standard $A$ (unghi drept), $H \in BC$
Cred că rezultatele trebuie să iasă mereu numere întregi „frumoase”.
Multe probleme au rezultate zecimale sau cu radical (de exemplu $AH = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ un rezultat „urât” nu înseamnă neapărat o greșeală de calcul.

Exerciții

Ușor

Ce este proiecția ortogonală a unui punct $P$ pe o dreaptă $d$
Arată răspunsul
Răspuns: Piciorul perpendicularei duse din $P$ pe $d$
În configurația standard cu $AH\perp BC$ pe ce segment se află proiecțiile ambelor catete pe ipotenuză?
Arată răspunsul
Răspuns: Pe ipotenuza $BC$
Care segment este proiecția catetei $AC$ pe $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $HC$
Scrie formula teoremei înălțimii.
Arată răspunsul
Răspuns: $AH^2 = BH \cdot HC$
Scrie cele două formule ale teoremei catetei.
Arată răspunsul
Răspuns: $AB^2 = BC \cdot BH$ și $AC^2 = BC \cdot HC$
$BH = 4$ cm, $HC = 9$ cm. Calculează $AH$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ cm.
$AH^2 = 4\cdot9=36$ $AH=6$
$BC = 20$ cm, $BH = 5$ cm. Calculează $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ cm.
$AB^2 = 20\cdot5=100$ $AB=10$
$BC = 18$ cm, $HC = 8$ cm. Calculează $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ cm.
$AC^2 = 18\cdot8=144$ $AC=12$
Adevărat sau fals: „Teorema catetei folosește produsul dintre ipotenuză și proiecția catetei.”
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat.
Adevărat sau fals: „Proiecția lui $AC$ pe $BC$ este $BH$
Arată răspunsul
Răspuns: Fals; proiecția lui $AC$ pe $BC$ este $HC$

Mediu

Un elev scrie, pentru un triunghi cu $BC=25$ $BH=9$ $HC=16$ $AC^2 = BC \cdot BH = 225$ Este corect? Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$AC$ trebuie asociată cu $HC$ (proiecția ei), nu cu $BH$ $AC^2 = BC\cdot HC = 25\cdot16=400$ deci $AC=20$ nu $15$
$AB = 9$ cm, $BC = 15$ cm. Calculează $BH$ apoi $HC$
Arată răspunsul
Răspuns: $BH = 5{,}4$ cm, $HC = 9{,}6$ cm.
$BH = 81/15 = 5{,}4$ $HC = 15-5{,}4=9{,}6$
Cu datele exercițiului anterior, calculează $AH$
Arată răspunsul
Răspuns: $AH = 7{,}2$ cm.
$AH^2 = 5{,}4 \cdot 9{,}6 = 51{,}84$ $AH = \sqrt{51{,}84}=7{,}2$
$BH = x$ $HC = 4x$ și $AH = 6$ cm. Calculează $x$ apoi $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 3$ cm, $BC = 15$ cm.
$AH^2 = BH \cdot HC \Rightarrow 36 = x \cdot 4x = 4x^2 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ (o lungime este pozitivă). Atunci $BH=3$ $HC=12$ $BC=3+12=15$
$AC = 15$ cm, $BC = 25$ cm. Calculează proiecția $HC$ a catetei $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $9$ cm.
$HC = AC^2/BC = 225/25=9$
$AB=10$ cm, $AC=24$ cm, $BC=26$ cm (verifică singur, cu Pitagora din clasa a VI-a, că e triunghi dreptunghic). Calculează $BH$ și $HC$
Arată răspunsul
Răspuns: $BH \approx 3{,}85$ cm, $HC \approx 22{,}15$ cm.
$BH=100/26\approx3{,}85$ $HC=576/26\approx22{,}15$ suma $\approx26$ ✓.
Un elev calculează pentru $BC=13$ $BH=4$ $AB^2 = BH \cdot HC$ (cu $HC=9$ Ce a greșit?
Arată răspunsul
Răspuns: A aplicat teorema înălțimii pentru o catetă.
Teorema catetei folosește ipotenuza întreagă: $AB^2=BC\cdot BH=13\cdot4=52$ nu produsul proiecțiilor (acela e pentru $AH^2$
$BH:HC = 1:3$ și $BC=20$ cm. Calculează $BH$ $HC$ și $AH$
Arată răspunsul
Răspuns: $BH=5$ $HC=15$ $AH=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ cm.
$BH=20\cdot\tfrac14=5$ $HC=15$ $AH^2=5\cdot15=75$ $AH=5\sqrt3$
$AB=7$ cm, $BH=3{,}5$ cm. Calculează $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $14$ cm.
$BC=AB^2/BH=49/3{,}5=14$
Explică, într-o frază, de ce $BH+HC=BC$ întotdeauna, în configurația standard.
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că $H$ este un punct al segmentului $BC$ (piciorul înălțimii cade pe ipotenuză, între $B$ și $C$ deci $BH$ și $HC$ sunt cele două părți care alcătuiesc întregul $BC$
$AH=8$ cm, $BH=4$ cm. Calculează $HC$
Arată răspunsul
Răspuns: $16$ cm.
$HC=AH^2/BH=64/4=16$

Provocare

Arată că, în configurația standard, $AH \cdot BC = AB \cdot AC$ (înălțimea înmulțită cu ipotenuza este egală cu produsul catetelor).
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat, se demonstrează prin arii.
Aria $\triangle ABC$ se poate calcula fie ca $\tfrac12 \cdot AB \cdot AC$ (catetele ca bază și înălțime unul față de altul), fie ca $\tfrac12 \cdot BC \cdot AH$ (ipotenuza ca bază, $AH$ înălțimea corespunzătoare). Egalând cele două arii: $AB\cdot AC = BC \cdot AH$
$BH = 9$ cm, $AH = 12$ cm. Calculează $HC$ apoi $AB$ și $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $HC=16$ cm, $AB=15$ cm, $BC=25$ cm.
$HC=AH^2/BH=144/9=16$ $BC=BH+HC=25$ $AB^2=BC\cdot BH=25\cdot9=225\Rightarrow AB=15$
Un teren triunghiular, dreptunghic într-un colț, are înălțimea din unghiul drept pe „latura mare” (ipotenuza) de $24$ m, iar una dintre proiecții este $18$ m. Calculează cealaltă proiecție și lungimea catetei corespunzătoare acesteia.
Arată răspunsul
Răspuns: Cealaltă proiecție este $32$ m; cateta corespunzătoare este $40$ m.
$HC = AH^2/BH = 576/18=32$ $BC=18+32=50$ cateta pe partea de $32$ m: $AC^2=BC\cdot HC=50\cdot32=1600\Rightarrow AC=40$
Demonstrează, folosind teorema catetei de două ori, că $AB^2 + AC^2 = BC^2$ (adică deduci teorema lui Pitagora din teorema catetei).
Arată răspunsul
Răspuns: $AB^2+AC^2 = BC\cdot BH + BC \cdot HC = BC(BH+HC)=BC\cdot BC=BC^2$
Se adună cele două relații ale teoremei catetei și se scoate $BC$ factor comun, folosind $BH+HC=BC$
$AB : AC = 3 : 4$ și $BC = 15$ cm. Calculează $AB$ $AC$ $BH$ și $HC$ (poți folosi rezultatul exercițiului anterior, care leagă de teorema lui Pitagora).
Arată răspunsul
Răspuns: $AB=9$ $AC=12$ $BH=5{,}4$ $HC=9{,}6$ (toate în cm).
Cu $AB=3k$ $AC=4k$ din Pitagora, $9k^2+16k^2=225 \Rightarrow 25k^2=225\Rightarrow k=3$ deci $AB=9$ $AC=12$ Apoi $BH=81/15=5{,}4$ $HC=144/15=9{,}6$
Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă înălțimea $AH$ dintr-un triunghi oarecare (nu neapărat dreptunghic) cade pe latura $BC$ atunci $AH^2 = BH \cdot HC$ este mereu adevărată.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Teorema înălțimii este specifică triunghiului DREPTUNGHIC, cu înălțimea dusă din unghiul drept pe ipotenuză. Într-un triunghi oarecare, relația nu se mai verifică în general.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. În $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ $AH \perp BC$ $H \in BC$ Care este proiecția catetei $AC$ pe ipotenuză?
1. $AH$
2. $BH$
3. $HC$
4. $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $HC$
Proiecția lui $A$ pe $BC$ este $H$ iar proiecția lui $C$ este chiar $C$ proiecția catetei $AC$ este $HC$
2. $BH=6$ cm, $HC=24$ cm. Calculează $AH$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ cm.
$AH^2=6\cdot24=144$ $AH=12$
3. Teorema catetei spune că pătratul unei catete este egal cu:
1. produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză
2. produsul celor două proiecții ale catetelor
3. suma celorlalte două laturi
4. jumătate din pătratul ipotenuzei
Arată răspunsul
Răspuns: produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză
4. $BC=36$ cm, $BH=4$ cm. Calculează $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ cm.
Teorema catetei: $AB^2=BC\cdot BH=36\cdot4=144$ $AB=12$
5. În configurația standard, proiecția catetei $AC$ pe ipotenuză este:
1. $BH$
2. $HC$
3. $BC$
4. $AH$
Arată răspunsul
Răspuns: $HC$
6. Care dintre relații este FALSĂ, pentru $\triangle ABC$ dreptunghic în $A$ cu $AH \perp BC$ $H \in BC$
1. $AB^2 = BC \cdot BH$
2. $AC^2 = BC \cdot HC$
3. $AB^2 = BC \cdot HC$
4. $AH^2 = BH \cdot HC$
Arată răspunsul
Răspuns: $AB^2 = BC \cdot HC$
7. $AC=6$ cm, $HC=4$ cm. Calculează $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $9$ cm.
Teorema catetei: $AC^2=BC\cdot HC$ deci $BC = 36/4=9$
8. De ce este adevărată teorema catetei? Alege explicația corectă.
1. Pentru că înălțimea împarte triunghiul mare în două triunghiuri asemenea cu el (criteriul UU)
2. Pentru că toate triunghiurile dreptunghice sunt congruente
3. Este o definiție, nu se poate justifica
4. Pentru că suma unghiurilor unui triunghi este $180°$
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că înălțimea împarte triunghiul mare în două triunghiuri asemenea cu el (criteriul UU)
9. $BH=2$ cm, $HC=8$ cm. Calculează $BC$ și $AH$
Arată răspunsul
Răspuns: $BC=10$ cm, $AH=4$ cm.
$BC=BH+HC=10$ $AH^2=2\cdot8=16$ $AH=4$

Întrebări frecvente

Ce este proiecția ortogonală a unui segment?

Segmentul format din proiecțiile (picioarele perpendicularelor pe dreapta dată) ale celor două capete ale segmentului original.

Cum știu care proiecție merge cu care catetă, în teorema catetei?

Cateta și proiecția ei sunt mereu alăturate aceluiași vârf al ipotenuzei: cateta $AB$ (lângă $B$ cu proiecția $BH$ (lângă $B$ cateta $AC$ (lângă $C$ cu proiecția $HC$ (lângă $C$

Care este diferența dintre teorema înălțimii și teorema catetei?

Teorema înălțimii leagă înălțimea de PRODUSUL celor două proiecții $AH^2=BH\cdot HC$ Teorema catetei leagă o catetă de produsul dintre ipotenuza ÎNTREAGĂ și proiecția acelei catete $AB^2=BC\cdot BH$

Aceste teoreme funcționează în orice triunghi?

Nu. Funcționează doar în triunghiul DREPTUNGHIC, cu înălțimea dusă din vârful unghiului drept pe ipotenuză.

De ce sunt adevărate aceste relații?

Pentru că înălțimea din unghiul drept împarte triunghiul mare în două triunghiuri, fiecare asemenea cu triunghiul mare (criteriul UU); din proporționalitatea laturilor triunghiurilor asemenea rezultă exact teorema înălțimii și teorema catetei.

Ce legătură au aceste relații cu teorema lui Pitagora?

Adunând cele două relații ale teoremei catetei, $AB^2+AC^2 = BC\cdot BH + BC\cdot HC = BC(BH+HC) = BC\cdot BC = BC^2$ obții exact teorema lui Pitagora. Este subiectul lecției următoare.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VII-a

Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Ce vei învăța

Ideea de bază

Proiecția ortogonală a unui punct și a unui segment

Teorema înălțimii

Teorema catetei

De ce funcționează: legătura cu asemănarea