Teorema lui Pitagora și reciproca ei

Q: Care este diferența dintre teoremă și reciproca ei?

Teorema pornește de la „triunghi dreptunghic” și ajunge la a²+b²=c². Reciproca pornește de la a²+b²=c² (cu c cea mai mare latură) și ajunge la „triunghi dreptunghic”. Sunt afirmații în direcții opuse.

Q: De ce trebuie ca c să fie cea mai mare latură, la reciprocă?

Pentru că, într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este întotdeauna cea mai lungă latură (este opusă celui mai mare unghi, unghiul drept). Testarea cu o altă latură nu are sens geometric.

Q: Ce fac dacă a²+b² nu iese exact egal cu c²?

Atunci triunghiul, cu acele laturi exacte, nu este dreptunghic. Nu rotunjești ca să „forțezi” o egalitate; o diferență reală înseamnă că unghiul opus lui c nu este de 90°.

Q: Cum se leagă teorema de lecția despre teorema înălțimii și teorema catetei?

Teorema lui Pitagora rezultă direct din teorema catetei: adunând AB²=BC · BH cu AC²=BC · HC și folosind BH+HC=BC, obții AB²+AC²=BC².

Q: Rezultatul trebuie să fie mereu un număr întreg?

Nu. Multe triunghiuri dreptunghice au ipotenuza sau o catetă exprimată printr-un radical (de exemplu √(52)=2√(13)), pentru că suma pătratelor nu este întotdeauna un pătrat perfect.

Q: Există un instrument pentru calcule rapide cu teorema lui Pitagora?

Da, calculatorul „Teorema lui Pitagora” (legătura se află la finalul lecției) calculează ipotenuza, o catetă sau verifică dacă un triunghi este dreptunghic, cu aceleași trei situații din această lecție.

Ce vei învăța

Deduc teorema lui Pitagora din teorema catetei (lecția anterioară).
Aplic teorema lui Pitagora pentru a afla o latură necunoscută (ipotenuză sau catetă).
Aplic reciproca teoremei pentru a stabili dacă un triunghi este dreptunghic.
Disting clar sensul teoremei directe de sensul reciprocei.

Recomandat înainte: Proiecții ortogonale. Teorema înălțimii. Teorema catetei

Ideea de bază

TEOREMA (directă): dacă un triunghi este dreptunghic, cu catetele $a$ $b$ și ipotenuza $c$ atunci $a^2+b^2=c^2$

RECIPROCA: dacă într-un triunghi cu laturile $a$ $b$ $c$ (unde $c$ este cea mai mare) este adevărată relația $a^2+b^2=c^2$ atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii $c$

Cele două enunțuri merg în direcții opuse

Teorema pleacă de la „triunghi dreptunghic” și AJUNGE la relația între laturi. Reciproca pleacă de la relația între laturi și AJUNGE la „triunghi dreptunghic”. Nu le confunda: fiecare are alt punct de plecare și altă concluzie.

De la teorema catetei la teorema lui Pitagora

În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ cu înălțimea $AH$ pe ipotenuza $BC$ $H \in BC$ teorema catetei (lecția anterioară) dă:

AB^2 = BC \cdot BH

AC^2 = BC \cdot HC

Adunând cele două relații:

AB^2 + AC^2 = BC \cdot BH + BC \cdot HC

AB^2 + AC^2 = BC \cdot (BH + HC)

factor comun

BC

AB^2 + AC^2 = BC \cdot BC

pentru că

BH+HC=BC

AB^2 + AC^2 = BC^2

Teorema lui Pitagora nu este izolată

Nu este o formulă separată de reținut pe dinafară, fără legătură cu restul: rezultă direct din teorema catetei, adunând cele două relații și folosind faptul că proiecțiile catetelor completează exact ipotenuza $BH+HC=BC$

Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.

a^2 + b^2 = c^2

5^2+12^2 = 25+144 = 169 = 13^2

25+144=169

aria pătratului de pe ipotenuză este suma ariilor pătratelor de pe catete.

Formula se folosește în două direcții: dacă știi catetele, afli ipotenuza $c = \sqrt{a^2+b^2}$ dacă știi ipotenuza și o catetă, afli cealaltă catetă $a = \sqrt{c^2-b^2}$

Ipotenuza este mereu singură în ecuație

$c$ este mereu ipotenuza (latura cea mai lungă, opusă unghiului drept). Dacă afli o catetă, o SCAZI din pătratul ipotenuzei $a^2=c^2-b^2$ nu aduni toate cele trei pătrate la fel.

Reciproca teoremei lui Pitagora

Dacă într-un triunghi cu laturile $a$ $b$ $c$ unde $c$ este cea mai mare dintre ele, este adevărată relația $a^2+b^2=c^2$ atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii $c$

Reciproca se folosește invers față de teoremă: NU presupui de la început că triunghiul e dreptunghic; verifici mai întâi relația dintre laturi, folosind ÎNTOTDEAUNA cea mai mare latură în rolul lui $c$

7^2+24^2 = 49+576=625=25^2

relația se verifică, deci unghiul dintre laturile de

7

și

24

este drept.

6^2+7^2 = 36+49 = 85 \neq 81 = 9^2

relația NU se verifică, deci acest triunghi NU este dreptunghic.

Alege mereu cea mai mare latură drept $c$

Dacă pui în locul lui $c$ o latură care nu este cea mai mare, suma $a^2+b^2$ iese mereu mai mare decât $c^2$ deci egalitatea nu se verifică nici măcar într-un triunghi dreptunghic, iar testul nu îți spune nimic. Ordonează laturile crescător înainte de a aplica reciproca.

Teorema versus reciproca ei
Enunț	Ipoteză (ce știi)	Concluzie (ce afli)
Teorema	triunghiul este dreptunghic	$a^2+b^2=c^2$
Reciproca	$a^2+b^2=c^2$ $c$ = latura cea mai mare)	triunghiul este dreptunghic

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recapitulare – deducerea formulei

Scrie, pe scurt, cum se obține $AB^2+AC^2=BC^2$ din teorema catetei.

Vezi rezolvarea

Se adună $AB^2=BC\cdot BH$ cu $AC^2=BC\cdot HC$ se scoate $BC$ factor comun și se folosește $BH+HC=BC$ $AB^2+AC^2=BC(BH+HC)=BC\cdot BC=BC^2$

Exemplul 2: aflarea ipotenuzei

Un triunghi dreptunghic are catetele $9$ cm și $12$ cm. Calculează ipotenuza.

Vezi rezolvarea

c^2 = 9^2+12^2 = 81+144=225

c = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}

Exemplul 3: aflarea unei catete

Un triunghi dreptunghic are ipotenuza $17$ cm și o catetă de $8$ cm. Calculează cealaltă catetă.

Vezi rezolvarea

b^2 = 17^2-8^2 = 289-64=225

b = \sqrt{225}=15 \text{ cm}

Exemplul 4: rezultat cu radical

Un triunghi dreptunghic are catetele $4$ cm și $6$ cm. Calculează ipotenuza.

Vezi rezolvarea

c^2 = 4^2+6^2=16+36=52

c = \sqrt{52} = \sqrt{4\cdot13} = 2\sqrt{13} \text{ cm}

$52$ nu este pătrat perfect, deci ipotenuza rămâne sub formă de radical simplificat, $2\sqrt{13}$ cm (aproximativ $7{,}2$ cm).

Exemplul 5: reciproca, confirmare

Un triunghi are laturile $7$ cm, $24$ cm, $25$ cm. Este dreptunghic?

Vezi rezolvarea

Cea mai mare latură este $25$ o testăm în rolul lui $c$

7^2+24^2 = 49+576=625

25^2=625

$625=625$ relația se verifică, deci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii de $25$ cm.

Exemplul 6: reciproca, infirmare

Un triunghi are laturile $6$ cm, $7$ cm, $9$ cm. Este dreptunghic?

Vezi rezolvarea

Cea mai mare latură este $9$

6^2+7^2=36+49=85

9^2=81

$85 \neq 81$ relația NU se verifică, deci triunghiul NU este dreptunghic.

Exemplul 7: reciproca, importanța alegerii laturii celei mai mari

Un elev testează triunghiul cu laturile $5$ cm, $6$ cm, $9$ cm, dar alege GREȘIT $6$ în rolul lui $c$ calculează $5^2+9^2$ și îl compară cu $6^2$ Arată de ce e greșit și rezolvă corect.

Vezi rezolvarea

Greșit: $5^2+9^2 = 25+81=106$ comparat cu $6^2=36$ Cu $6$ în rolul lui $c$ suma pătratelor celorlalte două laturi iese mereu mai mare, așa că testul nu poate confirma niciodată un unghi drept. Alegerea este greșită: $6$ NU este cea mai mare latură.

Corect: cea mai mare latură este $9$ deci $c=9$

5^2+6^2 = 25+36=61

9^2=81

$61 \neq 81$ relația NU se verifică, deci triunghiul NU este dreptunghic.

Exemplul 8: context practic – diagonala unui ecran

Un ecran dreptunghiular are lățimea $21$ cm și înălțimea $28$ cm. Calculează diagonala.

Vezi rezolvarea

Diagonala unui dreptunghi împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice, cu catetele $21$ și $28$

d^2 = 21^2+28^2 = 441+784=1225

d=\sqrt{1225}=35 \text{ cm}

Exemplul 9: problemă unificatoare (recapitulare Lecția 1 + Pitagora)

Triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are catetele $AB=6$ cm, $AC=8$ cm. Calculează, în ordine, ipotenuza $BC$ apoi proiecțiile $BH$ $HC$ și înălțimea $AH$

Vezi rezolvarea

BC^2 = 6^2+8^2=36+64=100

BC=10 \text{ cm}

BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{36}{10}=3{,}6 \text{ cm}

HC = BC-BH = 6{,}4 \text{ cm}

AH = \sqrt{BH\cdot HC} = \sqrt{3{,}6\cdot6{,}4}

AH = \sqrt{23{,}04}=4{,}8 \text{ cm}

Cele două lecții descriu ÎMPREUNĂ același triunghi: teorema lui Pitagora dă ipotenuza, iar teoremele înălțimii și catetei dau restul elementelor.

Exemplul 10: problemă cu o necunoscută

Catetele unui triunghi dreptunghic sunt $3x$ și $4x$ (cm), iar ipotenuza este $20$ cm. Calculează $x$ și catetele.

Vezi rezolvarea

(3x)^2 + (4x)^2 = 20^2

9x^2 + 16x^2 = 400

25x^2 = 400

x^2 = 16

x = 4

o lungime este pozitivă

Catetele sunt $12$ cm și $16$ cm. Verificare: $12^2+16^2=144+256=400=20^2$ Corect.

Exemplul 11: problemă practică – scara sprijinită de perete

O scară de $13$ m este sprijinită de un perete, cu piciorul la $5$ m de bază. La ce înălțime pe perete ajunge scara?

Vezi rezolvarea

Scara, peretele și solul formează un triunghi dreptunghic: scara este ipotenuza, distanța de la perete și înălțimea sunt catetele.

h^2 = 13^2-5^2=169-25=144

h=\sqrt{144}=12 \text{ m}

Exemplul 12: problemă practică – diagonala unui teren dreptunghiular

Un teren dreptunghiular are dimensiunile $30$ m $\times$ $40$ m. Calculează lungimea diagonalei.

Vezi rezolvarea

d^2 = 30^2+40^2=900+1600=2500

d=\sqrt{2500}=50 \text{ m}

Exemplul 13: aplicație practică a reciprocei – verificarea unui colț drept

Un constructor măsoară, la colțul unei terase, $6$ m pe o latură și $8$ m pe cealaltă, iar diagonala dintre capetele lor este $10$ m. Este colțul drept?

Vezi rezolvarea

Cea mai mare latură este diagonala, $10$ m.

6^2+8^2=36+64=100

10^2=100

$100=100$ relația se verifică, deci colțul este drept. Această metodă (numită și „regula 3-4-5”, aici scalată cu $2$ este folosită real în construcții pentru a verifica unghiuri drepte, fără raportor.

Greșeli frecvente

Aplic teorema lui Pitagora unui triunghi despre care nu știu (sau nu e adevărat) că este dreptunghic.
Teorema $a^2+b^2=c^2$ se aplică DOAR când triunghiul este deja dreptunghic (dat sau demonstrat). Dacă nu știi asta, întâi verifici cu RECIPROCA, nu presupui.
Uit care latură este ipotenuza și adun pătratele oricăror două laturi, sperând să obțin pătratul celei de-a treia.
Ipotenuza este mereu latura cea mai lungă, opusă unghiului drept. Doar SUMA pătratelor CATETELOR (nu al oricăror două laturi) este egală cu pătratul ipotenuzei.
La reciprocă, aleg o latură oarecare pentru rolul lui $c$ nu neapărat cea mai mare.
La reciprocă, $c$ trebuie să fie ÎNTOTDEAUNA cea mai mare dintre cele trei laturi (viitorul unghi drept este opus celei mai lungi laturi dintr-un triunghi dreptunghic).
Am încredere într-un desen care „arată” a unghi drept și nu mai verific numeric cu reciproca.
Un desen poate fi făcut la scară greșită sau doar aproximativ. Dacă ai doar cele trei lungimi, verifici RIGUROS cu reciproca, nu „după ochi”.
Declar un triunghi dreptunghic pentru că laturile „seamănă” cu un triplet cunoscut, fără să verific efectiv relația.
Verifici mereu explicit $a^2+b^2=c^2$ cu numerele DATE, chiar dacă „par” apropiate de un triplet cunoscut (de exemplu, $6$ $8$ $11$ seamănă cu $6$ $8$ $10$ dar $6^2+8^2=100\neq121$
Mă opresc la $c^2 = 169$ și scriu „ipotenuza este $169$ uitând să extrag rădăcina pătrată.
Teorema dă pătratul laturii $c^2$ latura însăși se obține prin $c=\sqrt{c^2}$ Rezultatul final este întotdeauna o lungime, nu un pătrat.
Amestec sensul teoremei cu sensul reciprocei într-o singură rezolvare, fără să spun clar ce presupun și ce demonstrez.
Precizează mereu: dacă PRESUPUI triunghi dreptunghic (folosești teorema, direct), sau dacă VREI SĂ AFLI dacă e dreptunghic (folosești reciproca, pornind de la laturi).
Rotunjesc rezultatele intermediare (de exemplu, o proiecție) înainte de a continua calculul, ceea ce strică precizia răspunsului final.
Păstrezi valorile exacte (fracții, radicali) pe parcursul calculului și rotunjești DOAR rezultatul final, dacă enunțul cere aproximare.

Exerciții

Ușor

Scrie formula teoremei lui Pitagora.
Arată răspunsul
Răspuns: $a^2+b^2=c^2$ unde $c$ este ipotenuza.
Scrie enunțul reciprocei teoremei lui Pitagora.
Arată răspunsul
Răspuns: Dacă $a^2+b^2=c^2$ (cu $c$ cea mai mare latură), triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus lui $c$
Catetele sunt $10$ cm și $24$ cm. Calculează ipotenuza.
Arată răspunsul
Răspuns: $26$ cm.
$\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$
Ipotenuza este $41$ cm, o catetă este $9$ cm. Calculează cealaltă catetă.
Arată răspunsul
Răspuns: $40$ cm.
$\sqrt{1681-81}=\sqrt{1600}=40$
Un triunghi are laturile $3$ $4$ $5$ Este dreptunghic?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$3^2+4^2=9+16=25=5^2$
Un triunghi are laturile $4$ $5$ $7$ Este dreptunghic?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$4^2+5^2=16+25=41 \neq 49=7^2$
Care latură joacă rolul lui $c$ în reciprocă?
Arată răspunsul
Răspuns: Întotdeauna cea mai mare dintre cele trei laturi.
Catetele sunt $5$ cm și $12$ cm. Calculează ipotenuza.
Arată răspunsul
Răspuns: $13$ cm.
$\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
Adevărat sau fals: „Teorema lui Pitagora se aplică oricărui triunghi.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals; doar triunghiului dreptunghic.
Adevărat sau fals: „Dacă $a^2+b^2=c^2$ pentru cea mai mare latură $c$ triunghiul este dreptunghic.”
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat (aceasta e reciproca).

Mediu

Catetele sunt $8$ cm și $15$ cm. Calculează ipotenuza.
Arată răspunsul
Răspuns: $17$ cm.
$\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$
Ipotenuza este $25$ cm, o catetă este $7$ cm. Calculează cealaltă catetă.
Arată răspunsul
Răspuns: $24$ cm.
$\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$
Catetele sunt $5$ cm și $8$ cm. Calculează ipotenuza (rezultatul rămâne sub radical).
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{89}$ cm.
$25+64=89$ nu e pătrat perfect.
Un triunghi are laturile $9$ $12$ $16$ Este dreptunghic?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$9^2+12^2=81+144=225 \neq 256=16^2$
Un triunghi are laturile $10$ $24$ $26$ Este dreptunghic?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$10^2+24^2=100+576=676=26^2$
Un elev testează triunghiul cu laturile $9$ $12$ $15$ alegând GREȘIT $12$ drept $c$ Arată eroarea și rezolvă corect.
Arată răspunsul
Răspuns: Corect: cea mai mare latură este $15$ $9^2+12^2=81+144=225=15^2$ deci triunghiul este dreptunghic.
Testul greșit $9^2+15^2$ vs. $12^2$ nu are sens, pentru că $12$ nu este cea mai mare latură.
Un dreptunghi are laturile $20$ cm și $21$ cm. Calculează diagonala.
Arată răspunsul
Răspuns: $29$ cm.
$\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$
O scară de $10$ m este sprijinită de un perete, cu piciorul la $6$ m de bază. La ce înălțime ajunge scara pe perete?
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ m.
$\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
Catetele unui triunghi dreptunghic sunt $x$ și $2x$ iar ipotenuza este $10$ cm. Calculează $x$ (rezultatul poate fi sub radical).
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 2\sqrt{5}$ cm.
$x^2+4x^2=100 \Rightarrow 5x^2=100 \Rightarrow x^2=20 \Rightarrow x=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
Explică, într-o frază, de ce reciproca cere ca $c$ să fie cea mai mare latură.
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că, într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza (latura opusă unghiului drept) este mereu cea mai lungă latură; testul are sens doar comparând cu ea.
Un triunghi are laturile $2{,}1$ cm, $2{,}8$ cm, $3{,}5$ cm. Este dreptunghic?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$2{,}1^2+2{,}8^2=4{,}41+7{,}84=12{,}25=3{,}5^2$ (același triunghi 3-4-5, scalat cu $0{,}7$

Provocare

Un triunghi dreptunghic isoscel are ipotenuza $10\sqrt2$ cm. Calculează lungimea unei catete.
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ cm.
Cu catetele egale, $x^2+x^2=(10\sqrt2)^2 \Rightarrow 2x^2=200 \Rightarrow x^2=100 \Rightarrow x=10$ Verificare: $10^2+10^2=200=(10\sqrt2)^2$
Un teren are forma unui triunghi cu laturile $50$ m, $120$ m, $130$ m. Este dreptunghic? Dacă da, calculează aria lui.
Arată răspunsul
Răspuns: Da; aria este $3000$ m².
$50^2+120^2=2500+14400=16900=130^2$ Fiind dreptunghic, catetele $50$ și $120$ sunt perpendiculare, deci aria $=\dfrac{50\cdot120}{2}=3000$ m².
Un triunghi are laturile $3k$ $4k$ și $5k$ unde $k>0$ Aplică reciproca teoremei lui Pitagora cu literele în locul numerelor și justifică de ce triunghiul este dreptunghic oricare ar fi $k$
Arată răspunsul
Răspuns: Da, pentru orice $k>0$
$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$ adevărat pentru orice $k$ deci reciproca se verifică indiferent de scalare.
Un romb are diagonalele $16$ cm și $12$ cm. Calculează latura rombului (diagonalele unui romb sunt perpendiculare și se înjumătățesc).
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ cm.
Jumătățile diagonalelor, $8$ și $6$ sunt catetele unui triunghi dreptunghic cu latura rombului ipotenuză: $\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă într-un triunghi $a^2+b^2 < c^2$ (cu $c$ cea mai mare latură), triunghiul tot mai poate fi dreptunghic, doar rotunjit greșit.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Reciproca cere EGALITATE exactă, $a^2+b^2=c^2$ O inegalitate strictă arată clar că triunghiul nu este dreptunghic (indiferent de rotunjire, dacă numerele sunt date exact); nu este o chestiune de aproximare.
Un triunghi dreptunghic are perimetrul $60$ cm și catetele în raportul $3:4$ Calculează toate laturile (folosește faptul că laturile unui triunghi dreptunghic cu catete în raport $3:4$ formează un triplet asemenea cu $3$ - $4$ - $5$
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ cm, $20$ cm, $25$ cm.
Laturile sunt $3k,4k,5k$ perimetrul $12k=60 \Rightarrow k=5$ deci laturile sunt $15$ $20$ $25$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Teorema lui Pitagora se aplică:
1. oricărui triunghi
2. doar triunghiului dreptunghic
3. doar triunghiului isoscel
4. doar triunghiului echilateral
Arată răspunsul
Răspuns: doar triunghiului dreptunghic
2. Catetele sunt $12$ cm și $35$ cm. Calculează ipotenuza.
Arată răspunsul
Răspuns: $37$ cm.
$\sqrt{144+1225}=\sqrt{1369}=37$
3. În reciproca teoremei lui Pitagora, litera $c$ trebuie să fie:
1. orice latură
2. cea mai mică latură
3. cea mai mare latură
4. media celor trei laturi
Arată răspunsul
Răspuns: cea mai mare latură
4. Un triunghi are laturile $5$ $12$ $13$ Este dreptunghic?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$5^2+12^2=25+144=169=13^2$
5. Un triunghi are laturile $4$ $5$ $6$ Ce concluzie tragi cu reciproca?
1. este dreptunghic
2. nu este dreptunghic
3. nu se poate ști
4. este echilateral
Arată răspunsul
Răspuns: nu este dreptunghic
6. Ipotenuza este $85$ cm, o catetă este $13$ cm. Calculează cealaltă catetă.
Arată răspunsul
Răspuns: $84$ cm.
$\sqrt{7225-169}=\sqrt{7056}=84$
7. Teorema lui Pitagora, dedusă din lecția anterioară, rezultă din:
1. suma celor două relații ale teoremei catetei
2. produsul celor două relații ale teoremei catetei
3. diferența dintre teorema înălțimii și teorema catetei
4. nu are legătură cu lecția anterioară
Arată răspunsul
Răspuns: suma celor două relații ale teoremei catetei
8. Un dreptunghi are laturile $33$ cm și $56$ cm. Calculează diagonala.
Arată răspunsul
Răspuns: $65$ cm.
Diagonala este ipotenuza triunghiului cu catetele $33$ și $56$ $\sqrt{1089+3136}=\sqrt{4225}=65$
9. Ce este greșit în raționamentul „laturile $6$ $8$ $11$ par apropiate de tripletul $6$ - $8$ - $10$ deci triunghiul e dreptunghic”?
1. nimic, raționamentul e corect
2. trebuie verificată efectiv relația $a^2+b^2=c^2$ cu numerele date, nu presupusă din asemănare vizuală
3. tripletul $6$ - $8$ - $10$ nu există
4. triunghiul e echilateral, nu dreptunghic
Arată răspunsul
Răspuns: trebuie verificată efectiv relația $a^2+b^2=c^2$ cu numerele date, nu presupusă din asemănare vizuală

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre teoremă și reciproca ei?

Teorema pornește de la „triunghi dreptunghic” și ajunge la $a^2+b^2=c^2$ Reciproca pornește de la $a^2+b^2=c^2$ (cu $c$ cea mai mare latură) și ajunge la „triunghi dreptunghic”. Sunt afirmații în direcții opuse.

De ce trebuie ca

c

să fie cea mai mare latură, la reciprocă?

Pentru că, într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este întotdeauna cea mai lungă latură (este opusă celui mai mare unghi, unghiul drept). Testarea cu o altă latură nu are sens geometric.

Ce fac dacă

a^2+b^2

nu iese exact egal cu

c^2

Atunci triunghiul, cu acele laturi exacte, nu este dreptunghic. Nu rotunjești ca să „forțezi” o egalitate; o diferență reală înseamnă că unghiul opus lui $c$ nu este de $90°$

Cum se leagă teorema de lecția despre teorema înălțimii și teorema catetei?

Teorema lui Pitagora rezultă direct din teorema catetei: adunând $AB^2=BC\cdot BH$ cu $AC^2=BC\cdot HC$ și folosind $BH+HC=BC$ obții $AB^2+AC^2=BC^2$

Rezultatul trebuie să fie mereu un număr întreg?

Nu. Multe triunghiuri dreptunghice au ipotenuza sau o catetă exprimată printr-un radical (de exemplu $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ pentru că suma pătratelor nu este întotdeauna un pătrat perfect.

Există un instrument pentru calcule rapide cu teorema lui Pitagora?

Da, calculatorul „Teorema lui Pitagora” (legătura se află la finalul lecției) calculează ipotenuza, o catetă sau verifică dacă un triunghi este dreptunghic, cu aceleași trei situații din această lecție.

Ce vei învăța

Ideea de bază

De la teorema catetei la teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora

Reciproca teoremei lui Pitagora

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recapitulare – deducerea formulei

Exemplul 2: aflarea ipotenuzei

Exemplul 3: aflarea unei catete

Exemplul 4: rezultat cu radical

Exemplul 5: reciproca, confirmare

Exemplul 6: reciproca, infirmare

Exemplul 7: reciproca, importanța alegerii laturii celei mai mari

Exemplul 8: context practic – diagonala unui ecran

Exemplul 9: problemă unificatoare (recapitulare Lecția 1 + Pitagora)

Exemplul 10: problemă cu o necunoscută

Exemplul 11: problemă practică – scara sprijinită de perete

Exemplul 12: problemă practică – diagonala unui teren dreptunghiular

Exemplul 13: aplicație practică a reciprocei – verificarea unui colț drept

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Geometrie. După noua programă de gimnaziu. Clasa a VII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VII-a

Matematică. Clasa a VII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită