Lecția 1 din 2 · Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Q: Există o legătură între cele patru rapoarte?

Da: =/ și · =1 (Exemplele 7 și 8). Toate patru descriu aceleași trei laturi ale triunghiului.

Într-un triunghi dreptunghic, fiecare unghi ascuțit „vede” celelalte două laturi în roluri diferite: una este opusă lui, cealaltă este alăturată lui, iar ipotenuza rămâne mereu aceeași. Din aceste roluri se construiesc patru rapoarte, sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta, care leagă unghiul de laturile triunghiului, fără să mai fie nevoie de un raportor.

~ 25 min de citit

Ce vei învăța

Identific cateta opusă și cateta alăturată unui unghi ascuțit dat, dintr-un triunghi dreptunghic.
Scriu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit ca rapoarte de laturi.
Cunosc și folosesc valorile exacte ale acestor rapoarte pentru $30°$ $45°$ și $60°$
Disting corect rolurile laturilor atunci când trec de la un unghi ascuțit la celălalt.

Recomandat înainte: Teorema lui Pitagora și reciproca ei

Ideea de bază

Pentru un unghi ascuțit $\alpha$ dintr-un triunghi dreptunghic, cu cateta opusă $o$ cateta alăturată $a$ și ipotenuza $i$ $\sin\alpha=\dfrac{o}{i}$ $\cos\alpha=\dfrac{a}{i}$ $\text{tg}\,\alpha=\dfrac{o}{a}$ $\text{ctg}\,\alpha=\dfrac{a}{o}$

Opusă și alăturată depind de unghiul ales

Aceeași catetă este OPUSĂ pentru un unghi și ALĂTURATĂ pentru celălalt unghi ascuțit. Ipotenuza este singura latură care nu-și schimbă niciodată rolul.

Cateta opusă și cateta alăturată unui unghi ascuțit

Într-un triunghi dreptunghic $ABC$ dreptunghic în $A$ privim un unghi ascuțit, de exemplu $B$ Cateta care NU pornește din $B$ (adică $AC$ este cateta OPUSĂ unghiului $B$ Cateta care pornește din $B$ (adică $AB$ este cateta ALĂTURATĂ unghiului $B$ Ipotenuza $BC$ este mereu ipotenuza, indiferent de unghi.

AB=6

AC=8

BC=10

Față de unghiul

B

opusă este

AC

alăturată este

AB

Față de unghiul

C

opusă este

AB

alăturată este

AC

rolurile se schimbă, ipotenuza

BC

rămâne mereu aceeași.

Rolurile laturilor, față de fiecare unghi ascuțit al triunghiului din figură
Unghi	Latura opusă	Latura alăturată	Ipotenuza
$B$	$AC=8$	$AB=6$	$BC=10$
$C$	$AB=6$	$AC=8$	$BC=10$

Regulă sigură de identificare

Cateta ALĂTURATĂ unui unghi este cea care PORNEȘTE din vârful acelui unghi (împreună cu ipotenuza, formează unghiul). Cateta OPUSĂ este cealaltă, cea care nu atinge vârful unghiului.

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Pentru un unghi ascuțit $\alpha$ notăm cu $o$ lungimea catetei opuse, cu $a$ lungimea catetei alăturate și cu $i$ lungimea ipotenuzei. Se definesc patru rapoarte trigonometrice, fiecare cu notația și numele lui:

\sin\alpha = \dfrac{o}{i} \qquad \cos\alpha = \dfrac{a}{i}

\text{tg}\,\alpha = \dfrac{o}{a} \qquad \text{ctg}\,\alpha = \dfrac{a}{o}

$\sin$ se citește sinus, $\cos$ se citește cosinus, „tg” este prescurtarea pentru tangentă, iar „ctg” este prescurtarea pentru cotangentă (convenția din manualele românești; alte surse folosesc „tan” și „cot”, dar aici păstrăm tg/ctg).

Legătura dintre rapoarte

Din definiții rezultă direct $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{o/i}{a/i} = \dfrac{o}{a} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ și $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = \dfrac{o}{a}\cdot\dfrac{a}{o} = 1$ Nu sunt patru rapoarte independente, ci patru feluri de a privi ACELEAȘI trei laturi.

Cu triunghiul din figura de mai sus, pentru unghiul $B$ $o=AC=8$ $a=AB=6$ $i=BC=10$

\sin B = \dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}, \qquad \cos B = \dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}

\text{tg}\,B = \dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}, \qquad \text{ctg}\,B = \dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}

Valorile pentru 30°, 45° și 60°

Pentru trei unghiuri, valorile rapoartelor trigonometrice se calculează exact, fără raportor, folosind două triunghiuri familiare: triunghiul dreptunghic isoscel (pentru $45°$ și jumătatea unui triunghi echilateral (pentru $30°$ și $60°$

AB=AC=6

(catete egale, triunghi isoscel),

BC=6\sqrt2

(Pitagora:

\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt2

Cele două unghiuri ascuțite sunt egale, fiecare de

45°

(suma lor este

90°

În triunghiul dreptunghic isoscel, catetele sunt egale $AB=AC=6$ deci pentru unghiul $B$ (de $45°$ opusă $=6$ alăturată $=6$ ipotenuza $=6\sqrt2$

\sin 45° = \dfrac{6}{6\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}

\cos 45° = \dfrac{\sqrt2}{2}

\text{tg}\,45°=\dfrac{6}{6}=1, \qquad \text{ctg}\,45°=1

AB=5

AC=5\sqrt3

BC=10

jumătate dintr-un triunghi echilateral cu latura

10

tăiat de înălțime. Unghiul din

B

este

60°

unghiul din

C

este

30°

(suma lor

90°

Un triunghi echilateral, tăiat de o înălțime, dă două triunghiuri dreptunghice cu unghiurile $30°$ și $60°$ Pentru unghiul $B$ (de $60°$ opusă $=AC=5\sqrt3$ alăturată $=AB=5$ ipotenuza $=BC=10$

\sin 60° = \dfrac{5\sqrt3}{10}=\dfrac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos 60° = \dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}

\text{tg}\,60°=\dfrac{5\sqrt3}{5}=\sqrt3

\text{ctg}\,60°=\dfrac{5}{5\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}

Pentru unghiul $C$ (de $30°$ complementul lui $B$ opusă $=AB=5$ alăturată $=AC=5\sqrt3$ aceeași ipotenuză.

\sin 30° = \dfrac{1}{2}, \qquad \cos 30° = \dfrac{\sqrt3}{2}

\text{tg}\,30°=\dfrac{5}{5\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}, \qquad \text{ctg}\,30°=\sqrt3

Valorile exacte pentru 30°, 45°, 60° (radicalii NU se lasă la numitor)
Raport	$30°$	$45°$	$60°$
$\sin$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\text{tg}$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$
$\text{ctg}$	$\sqrt3$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$

Un tipar ușor de reținut

$\sin 30° = \cos 60°$ și $\cos 30° = \sin 60°$ unghiurile $30°$ și $60°$ sunt complementare (suma $90°$ iar sinusul unuia este mereu egal cu cosinusul celuilalt.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identificarea rolurilor pentru unghiul $B$

În triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ $AB=6$ $AC=8$ $BC=10$ scrie cateta opusă și cateta alăturată unghiului $B$

Vezi rezolvarea

Cateta opusă lui $B$ este $AC$ (nu pornește din $B$ $AC=8$

Cateta alăturată lui $B$ este $AB$ (pornește din $B$ $AB=6$

Exemplul 2: rolurile se schimbă pentru unghiul $C$

Cu același triunghi, scrie cateta opusă și cateta alăturată unghiului $C$

Vezi rezolvarea

Cateta opusă lui $C$ este $AB$ (nu pornește din $C$ $AB=6$

Cateta alăturată lui $C$ este $AC$ (pornește din $C$ $AC=8$

Observă: aceleași două catete și-au schimbat rolul față de Exemplul 1; ipotenuza $BC=10$ rămâne neschimbată în ambele cazuri.

Exemplul 3: rapoartele trigonometrice ale unghiului $B$

Scrie $\sin B$ $\cos B$ $\text{tg}\,B$ $\text{ctg}\,B$ pentru triunghiul cu $AB=6$ $AC=8$ $BC=10$

Vezi rezolvarea

\sin B = \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}

\cos B = \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}

\text{tg}\,B = \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}

\text{ctg}\,B = \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}

Exemplul 4: rapoartele trigonometrice ale unghiului $C$

Cu același triunghi, scrie $\sin C$ $\cos C$ $\text{tg}\,C$ $\text{ctg}\,C$ apoi compară-le cu cele ale unghiului $B$

Vezi rezolvarea

\sin C = \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}

\cos C = \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}

\text{tg}\,C=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}, \qquad \text{ctg}\,C=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}

Observă: $\sin B = \cos C = \dfrac{4}{5}$ și $\cos B = \sin C = \dfrac{3}{5}$ Nu este întâmplător: $B$ și $C$ sunt complementare $B+C=90°$ pentru că $\angle A=90°$

Exemplul 5: rapoartele într-un triunghi $5$ – $12$ – $13$

Triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are $AB=5$ (alăturată lui $B$ $AC=12$ (opusă lui $B$ $BC=13$ Scrie toate cele patru rapoarte pentru unghiul $B$

Vezi rezolvarea

\sin B=\dfrac{12}{13}, \qquad \cos B=\dfrac{5}{13}

\text{tg}\,B=\dfrac{12}{5}, \qquad \text{ctg}\,B=\dfrac{5}{12}

Exemplul 6: pornind doar de la $\sin B$ aflarea celorlalte rapoarte

Într-un triunghi dreptunghic, unghiul $B$ are $\sin B=\dfrac{5}{13}$ (opusă $5$ ipotenuză $13$ Află $\cos B$ $\text{tg}\,B$ $\text{ctg}\,B$

Vezi rezolvarea

Din opusă $=5$ și ipotenuză $=13$ cateta alăturată se află cu teorema lui Pitagora (lecția anterioară): $a=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$

\cos B = \dfrac{12}{13}, \quad \text{tg}\,B=\dfrac{5}{12}, \quad \text{ctg}\,B=\dfrac{12}{5}

Exemplul 7: de ce $\text{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Pornind de la definiții, arată de ce $\text{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ pentru orice unghi ascuțit $\alpha$ dintr-un triunghi dreptunghic, cu opusă $o$ alăturată $a$ ipotenuză $i$

Vezi rezolvarea

\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{o/i}{a/i}

= \dfrac{o}{i}\cdot\dfrac{i}{a}

împărțirea a două fracții

= \dfrac{o}{a} = \text{tg}\,\alpha

Ipotenuza $i$ se simplifică: relația nu depinde de mărimea triunghiului, doar de unghi.

Exemplul 8: de ce $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$

Arată, folosind definițiile, că $\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1$

Vezi rezolvarea

\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = \dfrac{o}{a}\cdot\dfrac{a}{o} = 1

Tangenta și cotangenta aceluiași unghi sunt mereu una inversul celeilalte (produsul lor este $1$

Exemplul 9: valorile pentru $45°$

Dedu valorile $\sin 45°$ $\cos 45°$ $\text{tg}\,45°$ folosind un triunghi dreptunghic isoscel cu catetele $6$

Vezi rezolvarea

Ipotenuza: $\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2$

\sin 45° = \dfrac{6}{6\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}

Numitorul a fost raționalizat. Catetele sunt egale, deci $\cos 45°$ are aceeași valoare:

\cos 45° = \dfrac{\sqrt2}{2}, \qquad \text{tg}\,45° = \dfrac{6}{6}=1

Exemplul 10: valorile pentru $30°$ și $60°$

Dedu valorile $\sin 30°$ $\cos 30°$ $\sin 60°$ $\cos 60°$ folosind jumătatea unui triunghi echilateral cu latura $10$ (catete $5$ și $5\sqrt3$

Vezi rezolvarea

\sin 60° = \dfrac{5\sqrt3}{10}=\dfrac{\sqrt3}{2}

\cos 60°=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}

\sin 30° = \dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}

\cos 30°=\dfrac{5\sqrt3}{10}=\dfrac{\sqrt3}{2}

Confirmă tiparul: $\sin 30°=\cos 60°$ și $\cos 30°=\sin 60°$

Exemplul 11: calcul cu valori speciale (mai mulți pași)

Calculează $\sin 30° + \cos 60°$ și, separat, $\text{tg}\,45° - \text{ctg}\,45°$

Vezi rezolvarea

\sin 30° + \cos 60° = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} = 1

\text{tg}\,45° - \text{ctg}\,45° = 1 - 1 = 0

Exemplul 12: aflarea unei catete cu o valoare specială

Un triunghi dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are unghiul $B=30°$ și ipotenuza $BC=8$ cm. Calculează cateta opusă lui $B$ apoi cateta alăturată.

Vezi rezolvarea

Cateta opusă lui $B$ se află din $\sin B = \dfrac{\text{opusă}}{\text{ipotenuză}}$

AC = BC \cdot \sin 30° = 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4 \text{ cm}

Cateta alăturată se află din $\cos B = \dfrac{\text{alăturată}}{\text{ipotenuză}}$

AB = BC \cdot \cos 30° = 8 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \text{ cm}

Verificare cu teorema lui Pitagora: $4^2+(4\sqrt3)^2=16+48=64=8^2$ Corect.

Exemplul 13: eroare de asociere (opusă confundată cu alăturată)

Un elev, pentru triunghiul $AB=6$ $AC=8$ $BC=10$ $\angle A=90°$ scrie $\cos B = \dfrac{8}{10}$ Arată de ce este greșit și scrie valoarea corectă.

Vezi rezolvarea

Greșit: elevul a folosit $AC$ (cateta OPUSĂ lui $B$ la numărător, ca și cum ar fi cateta alăturată.

Corect: $\cos B = \dfrac{\text{alăturată}}{\text{ipotenuză}} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$ Valoarea $\dfrac{8}{10}$ calculată greșit este de fapt $\sin B$ nu $\cos B$

Greșeli frecvente

Consider o catetă „opusă” sau „alăturată” fără să spun clar față de ce unghi.
Opusă și alăturată se definesc ÎNTOTDEAUNA relativ la un unghi ascuțit precizat. Aceeași catetă este opusă pentru un unghi și alăturată pentru celălalt.
Folosesc o catetă în locul ipotenuzei (sau invers) la numitorul lui $\sin$ sau $\cos$
Ipotenuza este mereu numitorul la $\sin$ și $\cos$ (latura cea mai lungă, opusă unghiului drept). La $\text{tg}$ și $\text{ctg}$ nu intervine deloc ipotenuza, doar cele două catete.
Invers numărătorul cu numitorul: scriu $\text{tg}\,\alpha = \dfrac{\text{alăturată}}{\text{opusă}}$
$\text{tg}\,\alpha = \dfrac{\text{opusă}}{\text{alăturată}}$ raportul invers, $\dfrac{\text{alăturată}}{\text{opusă}}$ este $\text{ctg}\,\alpha$ nu $\text{tg}\,\alpha$
Cred că rapoartele trigonometrice depind de mărimea triunghiului, nu doar de unghi.
Rapoartele depind DOAR de măsura unghiului: orice triunghi dreptunghic cu un unghi de $30°$ dă exact aceleași valori $\sin 30°=\tfrac12$ indiferent cât de mare este triunghiul (Exemplul 7 arată de ce, algebric).
Amestec valorile pentru $30°$ cu cele pentru $60°$ (de exemplu, scriu $\sin 30°=\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\sin 30°=\dfrac12$ (numărul mic la unghiul mic), $\sin 60°=\dfrac{\sqrt3}{2}$ (numărul mare la unghiul mare). Folosește tiparul $\sin 30°=\cos 60°$ ca ancoră de verificare.
Las un radical la numitor în răspunsul final (de exemplu, $\text{ctg}\,60°=\dfrac{1}{\sqrt3}$
Raționalizezi numitorul: $\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ Toate valorile din tabelul rezumat sunt deja raționalizate.
Cred că sinusul crește proporțional cu unghiul, deci $\sin 60° = 2\cdot\sin 30°$
$2\cdot\sin 30° = 2\cdot\dfrac12 = 1$ dar $\sin 60° = \dfrac{\sqrt3}{2}$ Rapoartele trigonometrice nu sunt proporționale cu măsura unghiului: le iei din tabel, nu le calculezi prin dublare.
Cred că $\text{tg}\,\alpha$ și $\text{ctg}\,\alpha$ sunt două rapoarte independente de $\sin\alpha$ și $\cos\alpha$
$\text{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ și $\text{tg}\,\alpha\cdot\text{ctg}\,\alpha=1$ (Exemplele 7 și 8): toate patru descriu ACELEAȘI trei laturi, nu informații noi și separate.

Exerciții

Ușor

Definește, în cuvinte, sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic.
Arată răspunsul
Răspuns: Raportul dintre cateta opusă unghiului și ipotenuză.
Definește cosinusul unui unghi ascuțit.
Arată răspunsul
Răspuns: Raportul dintre cateta alăturată unghiului și ipotenuză.
Definește tangenta unui unghi ascuțit.
Arată răspunsul
Răspuns: Raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată.
Definește cotangenta unui unghi ascuțit.
Arată răspunsul
Răspuns: Raportul dintre cateta alăturată și cateta opusă.
În triunghiul $ABC$ $\angle A=90°$ $AB=9$ $AC=12$ care este cateta opusă unghiului $C$
Arată răspunsul
Răspuns: $AB=9$
Cu același triunghi, care este cateta alăturată unghiului $C$
Arată răspunsul
Răspuns: $AC=12$
Adevărat sau fals: „Ipotenuza își schimbă rolul între unghiul $B$ și unghiul $C$
Arată răspunsul
Răspuns: Fals; ipotenuza este mereu ipotenuza.
Scrie valoarea lui $\sin 30°$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{2}$
Scrie valoarea lui $\cos 45°$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{\sqrt2}{2}$
Scrie valoarea lui $\text{tg}\,60°$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt3$
Scrie valoarea lui $\text{ctg}\,45°$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$

Mediu

Triunghiul $ABC$ $\angle A=90°$ are $AB=9$ $AC=12$ $BC=15$ Scrie $\sin B$ $\cos B$ $\text{tg}\,B$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sin B=\dfrac{4}{5}$ $\cos B=\dfrac{3}{5}$ $\text{tg}\,B=\dfrac{4}{3}$
$\sin B=12/15=4/5$ $\cos B=9/15=3/5$ $\text{tg}\,B=12/9=4/3$
Cu același triunghi, scrie $\sin C$ $\cos C$ $\text{ctg}\,C$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sin C=\dfrac{3}{5}$ $\cos C=\dfrac{4}{5}$ $\text{ctg}\,C=\dfrac{4}{3}$
$\sin C=9/15=3/5$ $\cos C=12/15=4/5$ $\text{ctg}\,C=12/9=4/3$
Un unghi ascuțit $B$ dintr-un triunghi dreptunghic are $\cos B=\dfrac{7}{25}$ (alăturată $7$ ipotenuză $25$ Află $\sin B$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{24}{25}$
Opusă $=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$ $\sin B=24/25$
Cu datele exercițiului anterior, află $\text{tg}\,B$ și $\text{ctg}\,B$
Arată răspunsul
Răspuns: $\text{tg}\,B=\dfrac{24}{7}$ $\text{ctg}\,B=\dfrac{7}{24}$
$\text{tg}\,B=\text{opusă}/\text{alăturată}=24/7$ $\text{ctg}\,B$ este inversul, $7/24$
Calculează $\sin 45° \cdot \cos 45°$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac12$
Calculează $\text{tg}\,30° \cdot \text{tg}\,60°$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$
$\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot\sqrt3=\dfrac{3}{3}=1$ $30°$ și $60°$ sunt complementare, deci tangentele lor sunt inverse una alteia).
Calculează $\cos 30° - \sin 30°$ sub formă exactă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{\sqrt3-1}{2}$
$\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12=\dfrac{\sqrt3-1}{2}$
Un triunghi dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are unghiul $C=45°$ și cateta $AC=7$ cm. Află cateta $AB$ și ipotenuza $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $AB=7$ cm, $BC=7\sqrt2$ cm.
Unghi de $45°$ triunghi isoscel: $AB=AC=7$ $BC=AC/\cos45°=7/(\sqrt2/2)=7\sqrt2$
Un triunghi dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are unghiul $B=60°$ și cateta alăturată $AB=5$ cm. Află cateta opusă $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $5\sqrt3$ cm.
$\text{tg}\,60°=AC/AB \Rightarrow AC=AB\cdot\sqrt3=5\sqrt3$
Un elev scrie, pentru un triunghi cu $\angle A=90°$ $\text{tg}\,B=\dfrac{BC}{AB}$ (ipotenuza la numărător). Explică eroarea.
Arată răspunsul
Răspuns: Greșit: tangenta nu folosește niciodată ipotenuza.
$\text{tg}\,B=\text{opusă}/\text{alăturată}=AC/AB$ nu $BC/AB$ ipotenuza $BC$ apare doar la $\sin$ și $\cos$
Explică, într-o frază, de ce $\sin B = \cos C$ într-un triunghi dreptunghic cu $\angle A=90°$
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că $B$ și $C$ sunt complementare, iar cateta opusă lui $B$ este chiar cateta alăturată lui $C$ (și invers), peste aceeași ipotenuză.
Un triunghi dreptunghic are $\text{tg}\,B=1$ Ce poți spune despre cele două catete?
Arată răspunsul
Răspuns: Sunt egale (triunghiul este dreptunghic isoscel), iar $B=45°$
$\text{tg}\,B=\text{opusă}/\text{alăturată}=1 \Rightarrow \text{opusă}=\text{alăturată}$

Provocare

Un triunghi dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are $\sin B = \dfrac{3}{5}$ Calculează $\text{tg}\,B+\text{ctg}\,B$ sub formă de fracție.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{25}{12}$
Opusă $3k$ alăturată $4k$ (din $3$ - $4$ - $5$ cu $\cos B=4/5$ $\text{tg}\,B=3/4$ $\text{ctg}\,B=4/3$ suma $=9/12+16/12=25/12$
Arată, folosind definițiile cu $o$ $a$ $i$ că $\dfrac{\sin\alpha}{\text{tg}\,\alpha}=\cos\alpha$ pentru orice unghi ascuțit $\alpha$
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat, se verifică direct din definiții.
$\dfrac{\sin\alpha}{\text{tg}\,\alpha}=\dfrac{o/i}{o/a}=\dfrac{o}{i}\cdot\dfrac{a}{o}=\dfrac{a}{i}=\cos\alpha$
Un triunghi dreptunghic isoscel are ipotenuza $10$ cm. Calculează catetele, folosind $\sin 45°$
Arată răspunsul
Răspuns: $5\sqrt2$ cm fiecare.
Catetă $=$ ipotenuză $\cdot \sin 45° = 10\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=5\sqrt2$
Adevărat sau fals, cu justificare: „Dacă un unghi ascuțit crește de la $30°$ spre $60°$ sinusul lui crește, iar cosinusul lui scade.”
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat.
$\sin 30°=\tfrac12 < \sin 60°=\tfrac{\sqrt3}{2}$ iar $\cos 30°=\tfrac{\sqrt3}{2} > \cos 60°=\tfrac12$ cateta opusă crește relativ la ipotenuză, cea alăturată scade.
Un triunghi dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are catetele în raportul $AB:AC=1:\sqrt3$ Arată că unghiul $B$ este $60°$ fără să calculezi ipotenuza.
Arată răspunsul
Răspuns: $\text{tg}\,B=\sqrt3=\text{tg}\,60°$ deci $B=60°$
Cu $AB=k$ $AC=k\sqrt3$ $\text{tg}\,B=AC/AB=k\sqrt3/k=\sqrt3$ valoare care corespunde exact tabelului pentru $60°$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cateta alăturată unui unghi ascuțit este:
1. cateta care pornește din vârful acelui unghi
2. cateta care nu pornește din vârful acelui unghi
3. întotdeauna cateta mai scurtă
4. ipotenuza
Arată răspunsul
Răspuns: cateta care pornește din vârful acelui unghi
2. Triunghiul $ABC$ $\angle A=90°$ $AB=8$ $AC=15$ $BC=17$ Cât este $\sin B$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{15}{17}$
$\sin B=\dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuză}}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{15}{17}$
3. $\text{tg}\,\alpha$ este egal cu:
1. $\dfrac{\text{alăturată}}{\text{opusă}}$
2. $\dfrac{\text{opusă}}{\text{ipotenuză}}$
3. $\dfrac{\text{opusă}}{\text{alăturată}}$
4. $\dfrac{\text{ipotenuză}}{\text{opusă}}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{\text{opusă}}{\text{alăturată}}$
4. Scrie valoarea lui $\cos 60°$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{2}$
Din tabelul valorilor speciale.
5. Ce este adevărat pentru unghiurile ascuțite $B$ și $C$ ale unui triunghi dreptunghic cu $\angle A=90°$
1. $\sin B = \sin C$
2. $\sin B = \cos C$
3. $\text{tg}\,B = \text{tg}\,C$
4. nu există nicio legătură între ele
Arată răspunsul
Răspuns: $\sin B = \cos C$
6. Calculează $\sin 30° \cdot \text{tg}\,45°$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{2}$
$\sin 30° = \dfrac{1}{2}$ și $\text{tg}\,45° = 1$ deci produsul este $\dfrac{1}{2}$
7. De ce rezultă $\text{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
1. pentru că se împart cele două rapoarte cu $o/i$ și $a/i$ iar $i$ se simplifică
2. este o definiție separată, fără legătură cu $\sin$ și $\cos$
3. doar pentru unghiuri de $45°$
4. pentru că $o=a$ întotdeauna
Arată răspunsul
Răspuns: pentru că se împart cele două rapoarte cu $o/i$ și $a/i$ iar $i$ se simplifică
8. Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $B=30°$ și ipotenuza $BC=6$ cm. Cât este cateta opusă lui $B$
Arată răspunsul
Răspuns: $3$ cm.
$AC=BC\cdot\sin 30°=6\cdot\tfrac12=3$
9. Ce este greșit în $\cos B = \dfrac{AC}{BC}$ pentru un triunghi cu $\angle A=90°$ unde $AC$ este OPUSĂ lui $B$
1. nimic, este corect
2. $AC$ (opusă lui $B$ a fost pusă la numărător în loc de cateta alăturată
3. $BC$ nu poate fi la numitor
4. cosinusul nu se scrie ca fracție
Arată răspunsul
Răspuns: $AC$ (opusă lui $B$ a fost pusă la numărător în loc de cateta alăturată

Întrebări frecvente

Cum știu care catetă este opusă și care este alăturată unui unghi?

Cateta alăturată PORNEȘTE din vârful unghiului (împreună cu ipotenuza, îl formează). Cateta opusă este cealaltă, cea care nu atinge acel vârf.

De ce se schimbă rolurile catetelor între unghiul

B

și unghiul

C

Pentru că „opusă” și „alăturată” se definesc relativ la un unghi anume. Aceeași catetă poate fi opusă pentru un unghi și alăturată pentru celălalt, în același triunghi.

Există o legătură între cele patru rapoarte?

Da: $\text{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ și $\text{tg}\,\alpha\cdot\text{ctg}\,\alpha=1$ (Exemplele 7 și 8). Toate patru descriu aceleași trei laturi ale triunghiului.

„tg” și „ctg” sunt aceleași cu „tan” și „cot”?

Da, denumesc exact aceleași rapoarte. „tg”/„ctg” este convenția manualelor românești, folosită consecvent pe această pagină; „tan”/„cot” apare în alte surse (de exemplu, calculatoare de buzunar sau manuale străine).

De ce nu trebuie lăsat un radical la numitor, în valorile speciale?

Pentru consecvență cu raționalizarea numitorului, învățată la calculul cu radicali: $\dfrac{1}{\sqrt3}$ se scrie $\dfrac{\sqrt3}{3}$ aceeași valoare, formă standard.

Rapoartele trigonometrice depind de mărimea triunghiului?

Nu. Depind DOAR de măsura unghiului. Orice triunghi dreptunghic cu un unghi de $30°$ dă exact aceleași rapoarte, indiferent de lungimea laturilor (vezi Exemplul 7).

Ai terminat lecția

Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VII-a

Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Ce vei învăța

Ideea de bază

Cateta opusă și cateta alăturată unui unghi ascuțit

Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Valorile pentru 30°, 45° și 60°

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identificarea rolurilor pentru unghiul $B$

Exemplul 2: rolurile se schimbă pentru unghiul $C$

Exemplul 3: rapoartele trigonometrice ale unghiului $B$

Exemplul 4: rapoartele trigonometrice ale unghiului $C$

Exemplul 5: rapoartele într-un triunghi $5$ – $12$ – $13$

Exemplul 6: pornind doar de la $\sin B$ aflarea celorlalte rapoarte

Exemplul 7: de ce $\text{tg}\,\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$