Rezolvarea triunghiului dreptunghic. Aplicații

Q: De ce apotema hexagonului regulat și înălțimea triunghiului echilateral au aceeași formulă?

Pentru că un hexagon regulat este format din 6 triunghiuri echilaterale cu aceeași latură ca hexagonul; apotema hexagonului este chiar înălțimea unuia dintre aceste triunghiuri (Exemplul 12).

Ce vei învăța

Aleg raportul trigonometric potrivit, în funcție de latura cunoscută și de latura cerută.
Rezolv un triunghi dreptunghic, dat un unghi din $\{30°,45°,60°\}$ și o latură.
Aplic trigonometria pentru a afla înălțimea unui triunghi echilateral din latura lui.
Aplic trigonometria pentru a afla diagonala unui pătrat din latura lui.
Aplic trigonometria pentru a afla apotema unui hexagon regulat din latura lui.

Recomandat înainte: Rapoarte trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă

Ideea de bază

A REZOLVA un triunghi dreptunghic înseamnă a afla toate laturile și unghiurile lui, pornind de la un unghi ascuțit cunoscut (din $\{30°,45°,60°\}$ și o latură cunoscută.

Regula de alegere a raportului

Alegi raportul (dintre $\sin$ $\cos$ $\text{tg}$ $\text{ctg}$ care conține EXACT latura cunoscută și latura cerută, față de unghiul dat. Nu ghicești: verifici ce rol (opusă/alăturată/ipotenuză) au cele două laturi implicate.

Cum alegi raportul potrivit

Ai un unghi ascuțit cunoscut și o latură cunoscută; vrei o altă latură. Urmează, în ordine, patru întrebări:

Procesul de decizie
Pas	Întrebare
1	Care este unghiul cunoscut?
2	Care este latura cunoscută: opusă, alăturată sau ipotenuza (față de acel unghi)?
3	Care este latura cerută: opusă, alăturată sau ipotenuza?
4	Care raport $\sin$ $\cos$ $\text{tg}$ $\text{ctg}$ conține EXACT aceste două laturi? Îl scrii și rezolvi ecuația.

Se cunosc unghiul

B=30°

și ipotenuza

BC=8

se cer catetele

x=AC

(opusă lui

B

și

y=AB

(alăturată lui

B

Pentru figura de mai sus: unghiul cunoscut este $B=30°$ latura cunoscută este ipotenuza $BC=8$ Cateta $x=AC$ este OPUSĂ lui $B$ raportul cu opusă și ipotenuză este $\sin$

\sin B = \dfrac{x}{BC} \Rightarrow x = BC \cdot \sin B = 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4

Cateta $y=AB$ este ALĂTURATĂ lui $B$ raportul cu alăturată și ipotenuză este $\cos$

\cos B = \dfrac{y}{BC} \Rightarrow y = BC \cdot \cos B

y = 8 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3

Nu alegi raportul „după ureche”

Cu $\text{tg}$ sau $\text{ctg}$ ai fi avut nevoie de ambele catete, iar ipotenuza, singura latură cunoscută aici, nu apare deloc în ele. Verifică mereu care DOUĂ laturi apar de fapt în raportul ales.

Aplicație: înălțimea triunghiului echilateral

Într-un triunghi echilateral, înălțimea împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice, fiecare cu un unghi de $60°$ (unghiul triunghiului echilateral) și ipotenuza egală cu latura triunghiului.

Triunghiul

ABC

este echilateral, latura

6

Înălțimea

AM

împarte baza la mijloc:

BM=MC=3

Triunghiul

ABM

este dreptunghic în

M

cu unghiul din

B

de

60°

(unghi al triunghiului echilateral), ipotenuza

AB=6

și cateta alăturată

BM=3

În triunghiul $ABM$ unghiul din $B$ este $60°$ ipotenuza este $AB=6$ (latura triunghiului echilateral), iar cateta alăturată lui $B$ este $BM=3$ Cateta opusă, $AM=h$ (înălțimea), se poate afla cu sinusul (leagă opusa de ipotenuză) sau cu tangenta (leagă opusa de alăturată). Alegem sinusul:

\sin 60° = \dfrac{h}{AB} \Rightarrow h = AB \cdot \sin 60°

h = 6 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3

Formula generală

Pentru un triunghi echilateral cu latura $a$ înălțimea este $h = a \cdot \sin 60° = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Aplicație: diagonala pătratului

Diagonala unui pătrat împarte pătratul în două triunghiuri dreptunghice isoscele: catetele sunt laturile pătratului, iar diagonala este ipotenuza. Unghiul dintre o latură și diagonală este mereu $45°$

Pătratul

ABCD

latura

5

Diagonala

AC

este ipotenuza triunghiului dreptunghic

ABC

(dreptunghic în

B

catete

AB=BC=5

deci unghiul

\angle BAC = 45°

(triunghi dreptunghic isoscel).

În triunghiul $ABC$ latura $AB=5$ este ALĂTURATĂ unghiului de $45°$ din $A$ iar diagonala $d=AC$ este ipotenuza. Raportul cu alăturată și ipotenuză este cosinusul:

\cos 45° = \dfrac{AB}{d} \Rightarrow d = \dfrac{AB}{\cos 45°}

d = \dfrac{5}{\sqrt2/2} = \dfrac{10}{\sqrt2} = 5\sqrt2

Regăsești rezultatul cunoscut din teorema lui Pitagora

$d=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$ același rezultat ca prin teorema lui Pitagora, obținut acum pe altă cale, cu trigonometria. Pentru latura $a$ formula generală este $d = \dfrac{a}{\cos 45°} = a\sqrt2$

Aplicație: apotema hexagonului regulat

Un hexagon regulat cu latura $\ell$ are raza cercului circumscris egală cu latura, $R=\ell$ (lecția despre poligoane regulate). Centrul $O$ un vârf $B$ și mijlocul $M$ al unei laturi formează un triunghi dreptunghic în $M$ cu ipotenuza $OB=\ell$ și unghiul din $O$ de $30°$ (jumătate din unghiul la centru, $60°:2$

Hexagonul regulat cu latura

4

are raza cercului circumscris tot

4

\ell_6=R

deci

OB=4

M

este mijlocul laturii care pornește din

B

iar

MB=2

(jumătate de latură), unghiul din

O

este jumătate din unghiul la centru al hexagonului

60°:2=30°

Apotema

OM

(distanța de la centru la latură) este necunoscuta

m

Apotema (distanța de la centru la mijlocul unei laturi) este $OM=m$ ALĂTURATĂ unghiului de $30°$ ipotenuza este $OB=4$ Raportul cu alăturată și ipotenuză este cosinusul:

\cos 30° = \dfrac{m}{OB} \Rightarrow m = OB \cdot \cos 30°

m = 4 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3

Formula generală

Pentru un hexagon regulat cu latura $\ell$ apotema este $m = \ell \cdot \cos 30° = \dfrac{\ell\sqrt3}{2}$ EXACT aceeași formulă ca înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $\ell$ pentru că hexagonul este format din $6$ astfel de triunghiuri echilaterale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: rezolvarea triunghiului din figura de decizie

Cu datele figurii $\angle A=90°$ $B=30°$ $BC=8$ calculează $AC$ și $AB$

Vezi rezolvarea

AC = BC \cdot \sin 30° = 8 \cdot \dfrac12 = 4

AB = BC \cdot \cos 30° = 8 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3

Verificare (Pitagora): $4^2+(4\sqrt3)^2=16+48=64=8^2$ Corect.

Exemplul 2: rezolvarea unui triunghi cu unghi de $45°$

Triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are unghiul $B=45°$ și cateta alăturată $AB=7$ cm. Află cateta opusă $AC$ și ipotenuza $BC$

Vezi rezolvarea

La $45°$ cele două catete sunt egale (Exemplul 9, lecția anterioară), deci $AC=AB=7$ cm, fără niciun calcul suplimentar.

BC = \dfrac{AB}{\cos 45°} = \dfrac{7}{\sqrt2/2} = 7\sqrt2 \text{ cm}

Exemplul 3: rezolvarea unui triunghi cu unghi de $60°$ cunoscând alăturata

Triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are unghiul $B=60°$ și cateta alăturată $AB=5$ cm. Află cateta opusă $AC$ și ipotenuza $BC$

Vezi rezolvarea

$AC$ (opusă) și $AB$ (alăturată): raportul potrivit este tangenta.

AC = AB \cdot \text{tg}\,60° = 5\sqrt3 \text{ cm}

$AB$ (alăturată) și $BC$ (ipotenuză): raportul potrivit este cosinusul.

BC = \dfrac{AB}{\cos 60°} = \dfrac{5}{1/2} = 10 \text{ cm}

Exemplul 4: rezolvarea unui triunghi cu unghi de $30°$ cunoscând opusa

Triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are unghiul $B=30°$ și cateta opusă $AC=6$ cm. Află ipotenuza $BC$ și cealaltă catetă $AB$

Vezi rezolvarea

$AC$ (opusă) și $BC$ (ipotenuză): raportul potrivit este sinusul.

BC = \dfrac{AC}{\sin 30°} = \dfrac{6}{1/2} = 12 \text{ cm}

AB = BC \cdot \cos 30° = 12 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt3 \text{ cm}

Verificare cu tangenta: $\text{tg}\,30°=AC/AB=6/(6\sqrt3)=1/\sqrt3=\sqrt3/3$ exact valoarea din tabel.

Exemplul 5: alegerea raportului, cu ipotenuza cunoscută

Triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are unghiul $B=60°$ și ipotenuza $BC=20$ cm. Află cateta alăturată $AB$

Vezi rezolvarea

Cunoscută: ipotenuza. Cerută: alăturata. Raportul cu alăturată și ipotenuză este cosinusul.

AB = BC \cdot \cos 60° = 20 \cdot \dfrac12 = 10 \text{ cm}

Exemplul 6: eroarea de a alege raportul greșit

Cu datele exemplului anterior, un elev calculează $AB = BC \cdot \sin 60° = 20 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3$ Arată de ce este greșit.

Vezi rezolvarea

Greșit: $\sin$ leagă OPUSA de ipotenuză, nu alăturata. Elevul a calculat de fapt $AC$ (cateta opusă lui $B$ nu $AB$ (cateta alăturată cerută).

Corect: $AB = BC \cdot \cos 60° = 20 \cdot \dfrac12 = 10$ cm (Exemplul 5). Valoarea $10\sqrt3$ este de fapt $AC$

Exemplul 7: înălțimea unui triunghi echilateral

Calculează înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $6$ cm.

Vezi rezolvarea

h = 6 \cdot \sin 60° = 6 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3 \text{ cm}

Exemplul 8: înălțimea unui triunghi echilateral, altă latură

Calculează înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $10$ cm, folosind formula generală $h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

Vezi rezolvarea

h = \dfrac{10\sqrt3}{2} = 5\sqrt3 \text{ cm}

Exemplul 9: diagonala unui pătrat

Calculează diagonala unui pătrat cu latura $5$ cm, folosind cosinusul de $45°$

Vezi rezolvarea

d = \dfrac{5}{\cos 45°} = \dfrac{5}{\sqrt2/2} = 5\sqrt2 \text{ cm}

Exemplul 10: diagonala unui pătrat, altă latură

Calculează diagonala unui pătrat cu latura $8$ cm, folosind formula generală $d=a\sqrt2$

Vezi rezolvarea

d = 8\sqrt2 \text{ cm}

Verificare cu Pitagora: $\sqrt{8^2+8^2}=\sqrt{128}=8\sqrt2$ Coincide.

Exemplul 11: apotema unui hexagon regulat

Calculează apotema unui hexagon regulat cu latura $4$ cm.

Vezi rezolvarea

Raza cercului circumscris este egală cu latura $R=\ell=4$ iar apotema este cateta alăturată unghiului de $30°$ din triunghiul $OMB$

m = 4 \cdot \cos 30° = 4 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3 \text{ cm}

Exemplul 12: legătura dintre hexagon și triunghiul echilateral

Calculează apotema unui hexagon regulat cu latura $10$ cm și compară-o cu înălțimea unui triunghi echilateral cu aceeași latură (Exemplul 8).

Vezi rezolvarea

m = 10 \cdot \cos 30° = 10 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 5\sqrt3 \text{ cm}

Exact aceeași valoare ca înălțimea triunghiului echilateral cu latura $10$ $5\sqrt3$ cm, Exemplul 8). Nu este întâmplare: hexagonul regulat este format din $6$ triunghiuri echilaterale cu aceeași latură, iar apotema hexagonului este chiar înălțimea unuia dintre ele.

Exemplul 13: problemă combinată, cu alegerea a două rapoarte diferite

Triunghiul dreptunghic $ABC$ $\angle A=90°$ are unghiul $C=60°$ și cateta $AB=12$ cm. Află $AC$ și $BC$

Vezi rezolvarea

Rolurile se stabilesc față de unghiul $C$ Cateta $AB$ nu pornește din vârful $C$ deci este OPUSĂ lui $C$ Cateta $AC$ pornește din $C$ deci este ALĂTURATĂ lui $C$

Ipotenuza $BC$ se află din opusă și ipotenuză, adică din $\sin$

BC = \dfrac{AB}{\sin 60°} = \dfrac{12}{\sqrt3/2} = \dfrac{24}{\sqrt3}=8\sqrt3 \text{ cm}

Cateta alăturată $AC$ se află din opusă și alăturată, adică din $\text{ctg}$ (alăturată supra opusă):

AC = AB \cdot \text{ctg}\,60° = 12 \cdot \dfrac{\sqrt3}{3} = 4\sqrt3 \text{ cm}

Verificare: $AB^2+AC^2=144+48=192=(8\sqrt3)^2=BC^2$ Corect.

Acest exemplu arată de ce Pasul 2 (identifică exact rolul laturii cunoscute) nu poate fi sărit: dacă ai fi luat $AB$ drept alăturată lui $C$ ai fi ales un raport greșit.

Greșeli frecvente

Aleg un raport (de exemplu $\sin$ doar pentru că e primul care îmi vine în minte, fără să verific ce laturi conține.
Identifici întâi rolul laturii cunoscute și al laturii cerute (opusă/alăturată/ipotenuză), apoi alegi raportul care conține EXACT acele două laturi (Exemplul 6).
Presupun rolul unei catete (opusă sau alăturată) fără să verific față de care unghi, mai ales când problema dă un alt unghi decât cel „obișnuit”.
Verifici mereu explicit: cateta care PORNEȘTE din vârful unghiului este alăturată; cealaltă este opusă (Exemplul 13).
Cred că „rezolvarea triunghiului” înseamnă doar aplicarea teoremei lui Pitagora.
Pitagora leagă doar cele trei laturi între ele, fără unghiuri. Rezolvarea cu rapoarte trigonometrice folosește și unghiul dat, de multe ori mai direct (o singură relație, nu una pătratică).
La aplicații (triunghi echilateral, pătrat, hexagon), încerc să memorez fiecare formulă separat, fără legătură cu triunghiul dreptunghic din spate.
Toate trei aplicațiile vin din ACELAȘI tipar: se identifică un triunghi dreptunghic ascuns (jumătate de triunghi echilateral, jumătate de pătrat, jumătate dintr-un triunghi echilateral al hexagonului) și se aplică rapoartele cunoscute.
Cred că formula înălțimii triunghiului echilateral și formula apotemei hexagonului regulat sunt întâmplător identice.
Nu este întâmplare: hexagonul regulat este format din $6$ triunghiuri echilaterale cu aceeași latură, deci apotema lui este EXACT înălțimea unuia dintre aceste triunghiuri (Exemplul 12).
Încerc să rezolv un triunghi cu un unghi ascuțit oarecare (de exemplu $40°$ fără o valoare trigonometrică dată.
La acest nivel, fără calculator sau tabel de valori, rezolvi triunghiuri doar pentru unghiurile $30°$ $45°$ $60°$ ale căror rapoarte le cunoști exact.
Las rezultatul sub forma $\dfrac{a}{\sqrt2}$ sau $\dfrac{a}{\sqrt3}$ cu radical la numitor.
Raționalizezi: $\dfrac{a}{\sqrt2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}$ $\dfrac{a}{\sqrt3}=\dfrac{a\sqrt3}{3}$ pentru o formă finală standard.

Exerciții

Ușor

Enumeră, în ordine, pașii procesului de decizie pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic.
Arată răspunsul
Răspuns: Identifici unghiul cunoscut, rolul laturii cunoscute, rolul laturii cerute, apoi alegi raportul care conține exact aceste două laturi.
Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $B=30°$ și ipotenuza $BC=6$ cm. Ce raport folosești ca să afli cateta opusă lui $B$
Arată răspunsul
Răspuns: Sinusul.
Cu aceleași date, calculează cateta opusă lui $B$
Arată răspunsul
Răspuns: $3$ cm.
$AC=6\cdot\sin30°=6\cdot\tfrac12=3$
Un triunghi dreptunghic are unghiul $B=45°$ și o catetă de $5$ cm. Cât este cealaltă catetă?
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ cm (catetele sunt egale la $45°$
Un triunghi echilateral are latura $8$ cm. Ce formulă folosești pentru înălțime?
Arată răspunsul
Răspuns: $h = a \cdot \sin 60° = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Calculează înălțimea triunghiului echilateral cu latura $8$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $4\sqrt3$ cm.
$8\cdot\sqrt3/2=4\sqrt3$
Un pătrat are latura $6$ cm. Calculează diagonala.
Arată răspunsul
Răspuns: $6\sqrt2$ cm.
$d=a\sqrt2=6\sqrt2$
Un hexagon regulat are latura $5$ cm. Cât este raza cercului circumscris?
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ cm (egală cu latura).
Calculează apotema hexagonului regulat cu latura $6$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $3\sqrt3$ cm.
$m=\ell\sqrt3/2=6\sqrt3/2=3\sqrt3$
Adevărat sau fals: „Se poate rezolva un triunghi dreptunghic cu unghiul $40°$ folosind doar tabelul valorilor speciale din lecția anterioară.”
Arată răspunsul
Răspuns: Fals; tabelul acoperă doar $30°$ $45°$ $60°$

Mediu

Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $B=60°$ și cateta alăturată $AB=4$ cm. Află $AC$ și $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $AC=4\sqrt3$ cm, $BC=8$ cm.
$AC=AB\cdot\text{tg}\,60°=4\sqrt3$ $BC=AB/\cos60°=4/(1/2)=8$
Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $C=30°$ și ipotenuza $BC=14$ cm. Află $AB$ (opusă lui $C$ și $AC$ (alăturată lui $C$
Arată răspunsul
Răspuns: $AB=7$ cm, $AC=7\sqrt3$ cm.
$AB=14\cdot\sin30°=7$ $AC=14\cdot\cos30°=7\sqrt3$
Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $B=45°$ și ipotenuza $BC=9\sqrt2$ cm. Află catetele.
Arată răspunsul
Răspuns: $9$ cm fiecare.
$AB=BC\cdot\cos45°=9\sqrt2\cdot\sqrt2/2=9$ la $45°$ catetele sunt egale.
Un triunghi echilateral are înălțimea $6\sqrt3$ cm. Află latura triunghiului (inversează formula $h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ cm.
$a=\dfrac{2h}{\sqrt3}=\dfrac{12\sqrt3}{\sqrt3}=12$
Un pătrat are diagonala $10\sqrt2$ cm. Află latura pătratului.
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ cm.
$d=a\sqrt2 \Rightarrow a=d/\sqrt2=10\sqrt2/\sqrt2=10$
Un hexagon regulat are apotema $4\sqrt3$ cm. Află latura hexagonului.
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ cm.
$m=\ell\sqrt3/2 \Rightarrow \ell=2m/\sqrt3=8\sqrt3/\sqrt3=8$
Un elev, pentru un triunghi cu $\angle A=90°$ $B=30°$ $BC=10$ calculează $AB=10\cdot\sin30°=5$ Ce a greșit?
Arată răspunsul
Răspuns: A folosit sinusul pentru cateta alăturată; a calculat de fapt $AC$ (opusă), nu $AB$ (alăturată).
Corect: $AB=10\cdot\cos30°=5\sqrt3$
Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $B=60°$ și cateta opusă $AC=9$ cm. Află ipotenuza $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $6\sqrt3$ cm.
$BC=AC/\sin60°=9/(\sqrt3/2)=18/\sqrt3=6\sqrt3$
Compară înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $6$ cm cu apotema unui hexagon regulat cu aceeași latură. Ce observi?
Arată răspunsul
Răspuns: Sunt egale, ambele $3\sqrt3$ cm.
$h=6\sqrt3/2=3\sqrt3$ $m=6\sqrt3/2=3\sqrt3$ aceeași formulă.
Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $C=45°$ și cateta $AC=11$ cm. Află perimetrul triunghiului, sub formă exactă.
Arată răspunsul
Răspuns: $22+11\sqrt2$ cm.
$AB=AC=11$ (unghi de $45°$ $BC=11\sqrt2$ perimetru $=11+11+11\sqrt2=22+11\sqrt2$
Explică, într-o frază, de ce nu poți rezolva un triunghi dreptunghic cunoscând DOAR un unghi ascuțit, fără nicio latură.
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că unghiul determină doar FORMA triunghiului (rapoartele laturilor), nu și mărimea lui; ai nevoie de cel puțin o lungime, ca să afli laturile efective.

Provocare

Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $B=30°$ și perimetrul $12+4\sqrt3$ cm. Află toate laturile (folosește raportul laturilor pentru $30°$ opusă $:$ alăturată $:$ ipotenuză $= 1 : \sqrt3 : 2$
Arată răspunsul
Răspuns: $AC=4$ cm, $AB=4\sqrt3$ cm, $BC=8$ cm.
Cu $AC=k$ $AB=k\sqrt3$ $BC=2k$ perimetrul $k+k\sqrt3+2k=k(3+\sqrt3)$ Din $12+4\sqrt3=4(3+\sqrt3)$ rezultă $k=4$
Un teren are forma unui hexagon regulat cu apotema $9\sqrt3$ m. Află perimetrul terenului.
Arată răspunsul
Răspuns: $108$ m.
$\ell=2m/\sqrt3=18\sqrt3/\sqrt3=18$ m; perimetru $=6\cdot18=108$ m.
Un pătrat și un triunghi echilateral au aceeași latură $a$ Arată, în formă exactă, cu cât este mai mare diagonala pătratului decât înălțimea triunghiului (răspunsul rămâne în funcție de $a$
Arată răspunsul
Răspuns: $a\sqrt2 - \dfrac{a\sqrt3}{2} = a\left(\sqrt2-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$
Diagonala pătratului $=a\sqrt2$ înălțimea triunghiului $=\dfrac{a\sqrt3}{2}$ diferența se scrie direct, fără o valoare numerică (depinde de $a$
Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ cu $\angle B=60°$ și ipotenuza $BC=2k$ $k>0$ Calculează catetele în funcție de $k$ cu $\sin$ și $\cos$ și verifică faptul că ele sunt $k$ și $k\sqrt3$ oricare ar fi $k$
Arată răspunsul
Răspuns: $AB=k$ $AC=k\sqrt3$ pentru orice $k>0$
Alăturată $=2k\cdot\cos60°=2k\cdot\tfrac12=k$ opusă $=2k\cdot\sin60°=2k\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=k\sqrt3$
Un hexagon regulat este înscris într-un cerc de rază $6$ cm, iar un pătrat are aceeași diagonală cât dublul apotemei hexagonului. Află latura pătratului.
Arată răspunsul
Răspuns: $3\sqrt6$ cm.
Apotema hexagonului: $m=6\cdot\cos30°=3\sqrt3$ cm; dublul ei, $d=6\sqrt3$ cm, este diagonala pătratului. Latura pătratului: $a=\dfrac{d}{\sqrt2}=\dfrac{6\sqrt3}{\sqrt2}=\dfrac{6\sqrt3\cdot\sqrt2}{2}=\dfrac{6\sqrt6}{2}=3\sqrt6$ cm.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Pentru a rezolva un triunghi dreptunghic, ai nevoie de:
1. doar un unghi ascuțit
2. doar o latură
3. un unghi ascuțit și o latură
4. cele trei unghiuri
Arată răspunsul
Răspuns: un unghi ascuțit și o latură
2. Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $B=30°$ și ipotenuza $BC=16$ cm. Cât este cateta opusă lui $B$
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ cm.
Cateta opusă lui $B$ este $AC$ $AC=BC\cdot\sin30°=16\cdot\tfrac12=8$
3. Un triunghi echilateral cu latura $a$ are înălțimea:
1. $\dfrac{a\sqrt3}{2}$
2. $a\sqrt2$
3. $a\sqrt3$
4. $\dfrac{a}{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{a\sqrt3}{2}$
4. Un pătrat are latura $7$ cm. Cât este diagonala?
Arată răspunsul
Răspuns: $7\sqrt2$ cm.
$d=a\sqrt2$
5. Apotema unui hexagon regulat cu latura $\ell$ este:
1. $\ell\sqrt2$
2. $\ell$
3. $\dfrac{\ell\sqrt3}{2}$
4. $2\ell$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{\ell\sqrt3}{2}$
6. Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $B=60°$ și cateta alăturată $AB=11$ cm. Cât este ipotenuza?
Arată răspunsul
Răspuns: $22$ cm.
$\cos B = \dfrac{AB}{BC}$ deci $BC=AB/\cos60°=11/(1/2)=22$
7. Apotema unui hexagon regulat cu latura $26$ cm este:
1. $13\sqrt3$ cm
2. $26\sqrt3$ cm
3. $13$ cm
4. $52$ cm
Arată răspunsul
Răspuns: $13\sqrt3$ cm
Hexagonul regulat este format din $6$ triunghiuri echilaterale cu latura $26$ cm; apotema este înălțimea unuia dintre ele: $\dfrac{26\sqrt3}{2}=13\sqrt3$ cm.
8. Un triunghi dreptunghic $\angle A=90°$ are unghiul $C=45°$ și cateta $AC=6$ cm. Cât este cealaltă catetă, $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ cm.
La $45°$ cele două catete sunt egale.
9. Ce raport trigonometric leagă ipotenuza de cateta ALĂTURATĂ unui unghi?
1. sinusul
2. cosinusul
3. tangenta
4. cotangenta
Arată răspunsul
Răspuns: cosinusul

Întrebări frecvente

Cum aleg raportul potrivit, dintre cele patru?

Identifici rolul (opusă/alăturată/ipotenuză) al laturii cunoscute și al laturii cerute, față de unghiul dat, apoi alegi raportul care conține EXACT aceste două laturi (procesul de decizie, de la începutul lecției).

De ce se pot rezolva triunghiuri doar pentru

30°

45°

60°

Pentru că doar pentru aceste trei unghiuri cunoști valorile exacte ale rapoartelor trigonometrice, fără calculator sau tabel. Alte unghiuri ascuțite ar cere valori pe care manualul de clasa a VII-a nu le oferă la acest nivel.

De ce apotema hexagonului regulat și înălțimea triunghiului echilateral au aceeași formulă?

Pentru că un hexagon regulat este format din $6$ triunghiuri echilaterale cu aceeași latură ca hexagonul; apotema hexagonului este chiar înălțimea unuia dintre aceste triunghiuri (Exemplul 12).

De ce diagonala pătratului iese la fel, fie cu Pitagora, fie cu trigonometria?

Sunt DOUĂ metode diferite pentru ACEEAȘI relație geometrică. Trigonometria nu contrazice teorema lui Pitagora, o completează, mai ales când cunoști un unghi.

Ce fac dacă nu știu sigur care catetă este opusă și care este alăturată?

Verifici: cateta ALĂTURATĂ unghiului pornește din vârful acelui unghi. Cealaltă este opusă. Nu presupui niciodată rapid, mai ales dacă problema schimbă unghiul de referință (Exemplul 13).

Ce vei învăța

Ideea de bază

Cum alegi raportul potrivit

Aplicație: înălțimea triunghiului echilateral

Aplicație: diagonala pătratului

Aplicație: apotema hexagonului regulat

Exemple rezolvate

Exemplul 1: rezolvarea triunghiului din figura de decizie

Exemplul 2: rezolvarea unui triunghi cu unghi de $45°$

Exemplul 3: rezolvarea unui triunghi cu unghi de $60°$ cunoscând alăturata

Exemplul 4: rezolvarea unui triunghi cu unghi de $30°$ cunoscând opusa

Exemplul 5: alegerea raportului, cu ipotenuza cunoscută

Exemplul 6: eroarea de a alege raportul greșit

Exemplul 7: înălțimea unui triunghi echilateral