Lecția 1 din 1 · Secțiuni și trunchiuri

Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

Dacă tai o pâine cu un cuțit, forma feliei depinde de unde și cum tai: drept, oblic, prin mijloc sau pe margine. La fel se întâmplă cu un corp geometric: un plan care îl intersectează produce o secțiune, iar forma ei depinde exact de poziția planului. Lecția asta arată trei tipuri de secțiuni importante (paralelă cu baza, diagonală, axială) și două corpuri noi, trunchiul de piramidă și trunchiul de con, care apar exact atunci când tai o piramidă sau un con cu un plan paralel cu baza.

~ 25 min de citit

Ce vei învăța

Înțelegi ce este o secțiune a unui corp geometric și ce este un plan secant
Recunoști și descrii o secțiune paralelă cu baza, la piramidă și la prismă
Recunoști și descrii o secțiune diagonală, la piramidă și la prismă
Recunoști și descrii o secțiune axială, la con și la cilindru
Identifici elementele unui trunchi de piramidă: cele două baze, fețele laterale trapezoidale, muchiile laterale
Identifici elementele unui trunchi de con: cele două baze circulare, generatoarea, suprafața laterală curbă

Recomandat înainte: Cilindrul și conul circular drept

Ideea de bază

O secțiune a unui corp geometric este figura plană obținută prin intersecția corpului cu un plan, numit plan secant. Planul „taie” corpul; conturul tăieturii, desenat pe fața planului, este secțiunea.

Planul secant trece prin

A

F

și

H

trei vârfuri vecine colțului

E

Secțiunea este triunghiul umbrit

AFH

iar cele trei laturi ale lui,

AF

FH

HA

sunt diagonale ale câte unei fețe a cubului, deci toate trei au aceeași lungime: triunghiul

AFH

este echilateral.

Secțiunea NU este o față a corpului: fețele cubului sunt pătrate, dar secțiunea $AFH$ este un triunghi, o figură care nu apare nicăieri „gata desenată” pe cub. Schimbând poziția planului secant, se schimbă și forma secțiunii: același corp poate avea secțiuni foarte diferite, în funcție de planul ales.

Secțiunea și planul secant

Planul secant poate tăia un corp în orice poziție: prin interiorul lui, prin vârfuri, aproape de o margine sau prin mijloc. Oricare ar fi poziția lui, câtă vreme intersectează efectiv corpul, rezultă o secțiune: un poligon (la un poliedru) sau o figură cu laturi curbe (la un corp rotund).

Cum citești o secțiune pe o figură

Caută planul secant (de obicei desenat umbrit sau marcat prin punctele lui). Conturul lui, acolo unde atinge corpul, este secțiunea. Nu confunda secțiunea cu o față a corpului: o față există dinainte, pe suprafața corpului; secțiunea apare DOAR după ce tai cu planul.

Trei tipuri de secțiuni au nume speciale, pentru că apar des și au proprietăți utile: secțiunea paralelă cu baza, secțiunea diagonală și secțiunea axială. Le vezi pe rând mai jos.

Secțiunea paralelă cu baza

O secțiune paralelă cu baza este secțiunea obținută cu un plan paralel cu planul bazei corpului. La o piramidă, planul paralel cu baza „taie” fiecare muchie laterală într-un punct, iar aceste puncte formează un poligon asemenea cu baza, dar mai mic.

Baza

(ABCD)

este umbrită deschis, secțiunea

A'B'C'D'

mai închis. Planul secant, paralel cu baza, taie muchiile laterale exact la mijlocul lor:

A'

este mijlocul lui

VA

B'

mijlocul lui

VB

și așa mai departe. Secțiunea

A'B'C'D'

este un pătrat, asemenea cu baza

ABCD

(latura 4), dar cu latura 2, pentru că piramida mică

VA'B'C'D'

este asemenea cu piramida întreagă, la raportul

1/2

(înălțimea ei este jumătate din înălțimea totală).

La piramidă, secțiunea paralelă cu baza NU e congruentă cu baza

Este doar asemenea cu baza, de obicei mai mică (cu excepția cazului limită, planul chiar pe bază). Mărimea ei depinde de cât de aproape de apex este planul secant: cu cât planul e mai aproape de apex, cu atât secțiunea e mai mică.

La o prismă, lucrurile stau altfel: fețele laterale sunt paralelograme, deci orice secțiune paralelă cu baza este CONGRUENTĂ cu baza (aceeași formă și aceeași mărime), nu doar asemenea. Asta este o diferență esențială între piramidă și prismă.

Secțiunea diagonală

O secțiune diagonală trece printr-o diagonală a bazei și prin muchiile laterale corespunzătoare. La o piramidă cu bază patrulateră, planul secant conține apexul și o diagonală a bazei; secțiunea este un triunghi.

Secțiunea diagonală

VAC

(umbrită mai închis) este un triunghi isoscel:

VA = VC

pentru că apexul este exact deasupra centrului bazei. Planul secțiunii conține înălțimea piramidei, perpendiculară pe baza

(ABCD)

deci planul

(VAC)

este perpendicular pe planul bazei.

La o prismă, secțiunea diagonală trece prin două muchii laterale neadiacente și prin diagonala corespunzătoare a fiecărei baze. Pentru că muchiile laterale ale unei prisme drepte sunt paralele și congruente, secțiunea diagonală a unei prisme drepte este un dreptunghi (sau un paralelogram, la o prismă oblică).

Secțiunea axială

O secțiune axială este secțiunea obținută cu un plan care conține axa corpului. Are sens în primul rând la corpurile rotunde (cilindru, con), pentru că ele au o axă de simetrie bine definită.

Conul are raza

r = 3

înălțimea

h = 4

și generatoarea

g = 5

(din

g^2 = r^2 + h^2

Planul axial este desenat văzut din față, iar baza conului este perpendiculară pe planul desenului. Secțiunea axială

VAB

(umbrită) este un triunghi isoscel:

VA = VB = g = 5

(laturile oblice sunt generatoare), iar baza

AB = 2r = 6

este un diametru. Înălțimea triunghiului,

VO

este chiar axa conului.

Nu orice tăietură „pe verticală” este o secțiune axială

O secțiune axială trebuie să conțină axa corpului, deci la con trebuie să treacă exact prin vârf și printr-un diametru al bazei. Un plan vertical care nu trece prin vârf dă o secțiune diferită, nu o secțiune axială.

La un cilindru, secțiunea axială este un dreptunghi: are o latură egală cu diametrul bazei, $2r$ și cealaltă egală cu înălțimea cilindrului, $h$

Trunchiul de piramidă

Dacă tai o piramidă cu un plan paralel cu baza și păstrezi partea dintre bază și plan (NU partea mică de lângă apex), obții un trunchi de piramidă. Elementele lui: baza mare (baza piramidei inițiale), baza mică (secțiunea paralelă), fețele laterale (trapeze) și muchiile laterale.

Trunchiul de piramidă

ABCD A'B'C'D'

baza mare

(ABCD)

are latura 4, baza mică

(A'B'C'D')

are latura 2, cele două baze sunt paralele. Fața laterală

(ABB'A')

este un trapez:

AB \parallel A'B'

dar

AB \neq A'B'

Aici, muchiile laterale

AA'

și

BB'

sunt congruente (trunchiul provine dintr-o piramidă cu apexul exact deasupra centrului bazei).

Terminologie

Baza mare și baza mică sunt poligoane asemenea, dar NU congruente (altfel ar fi tot o prismă). Numărul de fețe laterale (trapeze) este egal cu numărul de laturi ale unei baze: la un trunchi cu baze patrulatere, 4 fețe laterale trapezoidale și 4 muchii laterale.

Trunchiul de con

La fel ca la piramidă: dacă tai un con cu un plan paralel cu baza și păstrezi partea dintre bază și plan, obții un trunchi de con. Are două baze circulare, de raze diferite, o suprafață laterală curbă și o generatoare care unește un punct de pe un cerc cu punctul corespunzător de pe celălalt.

Trunchiul de con cu baza mare de centru

O

rază

R = 5

și baza mică de centru

O'

rază

r = 2

Generatoarea

AA'

înălțimea

h = 4

și diferența razelor

R - r = 3

formează un triunghi dreptunghic, deci

G^2 = h^2 + (R-r)^2 = 16 + 9 = 25

adică

G = 5

Trunchiul de con nu este un cilindru

Un cilindru are cele două baze de ACEEAȘI rază, iar generatoarea lui este paralelă cu axa. Trunchiul de con are baze de raze DIFERITE $R \neq r$ iar generatoarea este oblică, nu paralelă cu axa.

Exemple rezolvate

Secțiunea unui cub printr-un colț

Un cub cu muchia $6$ cm are un plan secant care trece exact prin cele trei vârfuri vecine unui colț (ca $A$ $F$ $H$ în figura de mai sus). Ce formă are secțiunea și ce lungime au laturile ei?

Vezi rezolvarea

Fiecare latură a secțiunii este diagonala unei fețe a cubului (de exemplu $AF$ este diagonala feței $ABFE$ Toate fețele cubului sunt pătrate congruente, deci toate diagonalele lor au aceeași lungime.

Diagonala unui pătrat cu latura $6$ cm este $6\sqrt{2}$ cm. Secțiunea este un triunghi echilateral cu latura $6\sqrt{2}$ cm.

Ce tip de secțiune este?

Un plan secant trece printr-o piramidă patrulateră, paralel cu baza, la o treime din înălțime, numărând de la apex. Ce tip de secțiune este și ce formă are?

Vezi rezolvarea

Este o secțiune paralelă cu baza (planul este paralel cu planul bazei). La o piramidă, secțiunea paralelă cu baza este un poligon asemenea cu baza.

Pentru că baza este un patrulater, secțiunea este tot un patrulater, asemenea cu baza, dar mai mic (piramida mică de deasupra secțiunii are înălțimea $1/3$ din înălțimea totală, deci raportul de asemănare este $1/3$

Latura secțiunii paralele cu baza

O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat cu latura $12$ cm și înălțimea $9$ cm. Un plan paralel cu baza taie piramida la $3$ cm de apex. Calculează latura secțiunii.

Vezi rezolvarea

Piramida mică de deasupra planului este asemenea cu piramida întreagă. Raportul de asemănare este raportul înălțimilor: $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$

Latura secțiunii este $\dfrac{1}{3}$ din latura bazei: $\dfrac{1}{3}\cdot 12 = 4$ cm.

Diagonala secțiunii diagonale a unei piramide

O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat cu latura $5$ cm. Secțiunea diagonală a piramidei are o latură pe baza piramidei. Calculează lungimea acestei laturi.

Vezi rezolvarea

Latura secțiunii diagonale din planul bazei este chiar diagonala bazei. Diagonala unui pătrat cu latura $a$ este $a\sqrt{2}$

Cu $a = 5$ cm, diagonala este $5\sqrt{2}$ cm.

Secțiunea diagonală a unei prisme

O prismă patrulateră dreaptă are baza un dreptunghi cu laturile $4$ cm și $3$ cm, iar înălțimea prismei este $6$ cm. Ce formă are secțiunea diagonală și ce dimensiuni are?

Vezi rezolvarea

Secțiunea diagonală trece prin două muchii laterale neadiacente și prin diagonala corespunzătoare a fiecărei baze. La o prismă dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, deci secțiunea diagonală este un dreptunghi.

O latură a dreptunghiului este diagonala bazei, $\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$ cm; cealaltă latură este înălțimea prismei, $6$ cm. Secțiunea diagonală are dimensiunile $5$ cm și $6$ cm.

Secțiunea axială a unui con

Un con circular drept are raza $r = 6$ cm și înălțimea $h = 8$ cm. Calculează laturile secțiunii axiale.

Vezi rezolvarea

Secțiunea axială este un triunghi isoscel: baza este diametrul, $2r = 12$ cm, iar cele două laturi oblice sunt generatoare, $g = \sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm.

Triunghiul secțiunii axiale are laturile $12$ cm, $10$ cm și $10$ cm.

Secțiunea axială a unui cilindru

Un cilindru circular drept are raza $r = 5$ cm și înălțimea $h = 14$ cm. Ce formă și ce dimensiuni are secțiunea axială?

Vezi rezolvarea

Secțiunea axială a unui cilindru este un dreptunghi, cu o latură egală cu diametrul bazei și cealaltă egală cu înălțimea.

Dimensiunile sunt $2r = 10$ cm și $h = 14$ cm.

Elementele unui trunchi de piramidă hexagonală

Un trunchi de piramidă are bazele hexagoane. Câte fețe laterale și câte muchii laterale are?

Vezi rezolvarea

Numărul de fețe laterale (trapeze) este egal cu numărul de laturi ale unei baze: $6$ fețe laterale.

Numărul de muchii laterale este tot $6$ câte una pentru fiecare pereche de vârfuri corespunzătoare de pe cele două baze.

Trunchi de piramidă sau prismă?

Un elev vede un corp cu două baze paralele, pătrate, și spune „este o prismă”. Bazele au laturile $8$ cm și $5$ cm. Are dreptate?

Vezi rezolvarea

Nu are dreptate. O prismă are cele două baze CONGRUENTE (aceeași mărime). Aici bazele au laturi diferite $8$ cm și $5$ cm), deci nu sunt congruente.

Corpul este un trunchi de piramidă: bazele sunt asemenea, dar nu congruente, iar fețele laterale sunt trapeze, nu paralelograme (ca la prismă).

Generatoarea unui trunchi de con

Un trunchi de con are bazele cu razele $R = 9$ cm și $r = 5$ cm, iar înălțimea $h = 3$ cm. Calculează generatoarea.

Vezi rezolvarea

Generatoarea, înălțimea și diferența razelor formează un triunghi dreptunghic: $G^2 = h^2 + (R-r)^2$

$G^2 = 3^2 + (9-5)^2 = 9 + 16 = 25$ deci $G = 5$ cm.

Trunchi de con sau cilindru?

Un corp are două baze circulare paralele, cu razele $7$ cm și $7$ cm, unite prin generatoare paralele cu axa. Este un trunchi de con?

Vezi rezolvarea

Nu. La un trunchi de con, cele două raze sunt diferite $R \neq r$ Aici razele sunt egale $7$ cm și $7$ cm), deci corpul este un cilindru, nu un trunchi de con.

Eroare: „orice secțiune paralelă cu baza e congruentă cu baza”

Un elev spune: „Orice secțiune paralelă cu baza unui corp este congruentă cu baza.” Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu, în general. Este adevărat la o prismă (fețele laterale sunt paralelograme, deci secțiunea paralelă cu baza este mereu congruentă cu baza).

Este FALS la o piramidă: acolo secțiunea paralelă cu baza este doar asemenea cu baza, de obicei mai mică, pentru că piramida se „îngustează” spre apex.

Eroare: „orice plan prin vârf dă o secțiune diagonală”

Un elev spune: „Orice plan secant care trece prin apexul unei piramide este o secțiune diagonală.” Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. O secțiune diagonală trebuie să treacă prin apex ȘI printr-o diagonală a bazei (deci prin două vârfuri neadiacente ale bazei).

Un plan care trece prin apex și printr-un singur vârf al bazei (sau printr-un punct oarecare de pe o latură) nu este o secțiune diagonală, chiar dacă trece prin apex.

Greșeli frecvente

O secțiune este aceeași cu o față a corpului.
O secțiune apare DOAR după ce un plan secant taie corpul; o față există dinainte, pe suprafața corpului. De exemplu, secțiunea $AFH$ a unui cub (un triunghi) nu este nicio față a cubului (toate fețele sunt pătrate).
Orice secțiune paralelă cu baza unei piramide este congruentă cu baza.
La piramidă, secțiunea paralelă cu baza este doar asemenea cu baza, de obicei mai mică, pentru că piramida se îngustează spre apex. Congruența cu baza este proprietatea secțiunii paralele cu baza la o PRISMĂ, nu la o piramidă.
Orice tăietură „pe verticală” printr-un con sau cilindru este o secțiune axială.
O secțiune axială trebuie să conțină axa corpului (la con, să treacă exact prin vârf și printr-un diametru al bazei). Un plan vertical care nu conține axa dă o secțiune diferită, nu una axială.
Secțiunea diagonală este „diagonala unei fețe”, desenată pe o față a corpului.
Secțiunea diagonală este o figură obținută prin tăierea corpului cu un plan (care conține o diagonală a bazei și muchiile laterale corespunzătoare), nu o linie desenată pe o singură față.
Un corp cu două baze patrulatere paralele este mereu o prismă.
Dacă cele două baze sunt asemenea, dar nu congruente (una mai mare, una mai mică), corpul este un trunchi de piramidă, nu o prismă. La prismă, bazele sunt întotdeauna congruente.
Un trunchi de con este, de fapt, un cilindru puțin deformat.
Un trunchi de con are bazele de raze DIFERITE $R \neq r$ și o generatoare oblică (nu paralelă cu axa). Un cilindru are bazele de aceeași rază și generatoarele paralele cu axa. Sunt corpuri diferite, cu elemente diferite.
Mărimea unei secțiuni paralele cu baza se „vede din desen”, fără alte date.
Perspectiva unui desen poate înșela. Mărimea reală a unei secțiuni paralele cu baza (la piramidă) se calculează din raportul de asemănare (raportul înălțimilor), nu se citește direct din cât de „mare” pare în figură.
Trunchiul se obține prin orice tăiere a unei piramide sau a unui con.
Trunchiul (de piramidă sau de con) se obține DOAR printr-o tăiere cu un plan paralel cu baza. O tăiere oblică dă o bucată de piramidă sau de con, dar nu un trunchi, pentru că nu are cele două baze paralele.

Exerciții

Ușor

Cum se numește planul care intersectează un corp geometric, producând o secțiune?
Arată răspunsul
Răspuns: Plan secant.
O secțiune a unui corp geometric este aceeași cu o față a corpului. Adevărat sau fals?
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Secțiunea apare doar după tăierea cu un plan secant; o față există dinainte, ca parte a suprafeței corpului.
La o piramidă, secțiunea paralelă cu baza este congruentă cu baza. Adevărat sau fals?
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Este doar asemenea cu baza, de obicei mai mică; congruența este proprietatea secțiunii paralele cu baza la o prismă.
Ce formă are secțiunea diagonală a unei piramide cu bază patrulateră?
Arată răspunsul
Răspuns: Un triunghi.
Ce formă are, în general, secțiunea diagonală a unei prisme patrulatere drepte?
Arată răspunsul
Răspuns: Un dreptunghi.
Ce trebuie să conțină, obligatoriu, un plan secant ca secțiunea obținută să fie axială?
Arată răspunsul
Răspuns: Axa corpului.
Ce formă are secțiunea axială a unui con circular drept?
Arată răspunsul
Răspuns: Un triunghi isoscel.
Ce formă are secțiunea axială a unui cilindru circular drept?
Arată răspunsul
Răspuns: Un dreptunghi.
Câte baze are un trunchi de piramidă?
Arată răspunsul
Răspuns: Două (baza mare și baza mică).
Ce formă au fețele laterale ale unui trunchi de piramidă?
Arată răspunsul
Răspuns: Trapeze.

Mediu

O piramidă triunghiulară are baza latura $9$ cm. Un plan paralel cu baza taie piramida exact la jumătatea înălțimii. Calculează latura secțiunii.
Arată răspunsul
Răspuns: $4,5$ cm.
Raportul de asemănare este $1/2$ (jumătatea înălțimii), deci latura secțiunii este $\dfrac{1}{2}\cdot 9 = 4,5$ cm.
O piramidă patrulateră regulată are baza latura $16$ cm și înălțimea $12$ cm. Un plan paralel cu baza taie piramida la $9$ cm de apex. Calculează latura secțiunii.
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ cm.
Raportul de asemănare este $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ deci latura secțiunii este $\dfrac{3}{4}\cdot 16 = 12$ cm.
O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat cu latura $6$ cm și înălțimea $4$ cm. Calculează aria secțiunii diagonale.
Arată răspunsul
Răspuns: $12\sqrt{2}$ cm².
Secțiunea diagonală este un triunghi isoscel cu baza egală cu diagonala bazei, $6\sqrt{2}$ cm, și înălțimea egală cu înălțimea piramidei, $4$ cm (planul secțiunii conține înălțimea piramidei). Aria: $\dfrac{6\sqrt{2}\cdot4}{2}=12\sqrt{2}$ cm².
O prismă patrulateră dreaptă are baza un dreptunghi cu laturile $6$ cm și $8$ cm și înălțimea $15$ cm. Calculează dimensiunile secțiunii diagonale.
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ cm și $15$ cm.
O latură este diagonala bazei, $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ cm; cealaltă este înălțimea prismei, $15$ cm.
Un con circular drept are raza $r = 5$ cm și înălțimea $h = 12$ cm. Calculează laturile secțiunii axiale.
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ cm, $13$ cm și $13$ cm.
Baza este $2r = 10$ cm; generatoarea este $\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ cm.
Un cilindru circular drept are secțiunea axială un pătrat cu latura $10$ cm. Calculează raza și înălțimea cilindrului.
Arată răspunsul
Răspuns: $r = 5$ cm, $h = 10$ cm.
Latura pătratului este și diametrul $2r = 10 \Rightarrow r = 5$ cm) și înălțimea $h = 10$ cm).
Un trunchi de piramidă are bazele pentagoane. Câte fețe laterale și câte muchii laterale are?
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ fețe laterale, $5$ muchii laterale.
Un trunchi de con are razele bazelor $R = 13$ cm și $r = 8$ cm, iar generatoarea $G = 13$ cm. Calculează înălțimea trunchiului.
Arată răspunsul
Răspuns: $h = 12$ cm.
$h^2 = G^2-(R-r)^2 = 169-25=144$ deci $h=12$ cm.
Un elev spune: „Trunchiul de piramidă este o prismă cu bazele puțin diferite.” Explică de ce nu este corect.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu este corect: la prismă bazele sunt congruente, iar fețele laterale sunt paralelograme; la trunchi bazele sunt doar asemenea, iar fețele laterale sunt trapeze.
Un trunchi de con are bazele cu razele $4$ cm și $6$ cm. Care este raza bazei mari și care este raza bazei mici? Cum este generatoarea față de axă?
Arată răspunsul
Răspuns: Baza mare are raza $6$ cm, baza mică are raza $4$ cm; generatoarea este oblică, nu paralelă cu axa.
La un trunchi de con razele sunt diferite $R \neq r$ iar baza mare are raza mai mare: $R = 6$ cm, $r = 4$ cm. Generatoarea unește cele două cercuri oblic, deci nu este paralelă cu axa (spre deosebire de cilindru).

Provocare

O piramidă patrulateră regulată are înălțimea $H$ La ce distanță de apex trebuie dus un plan paralel cu baza, ca secțiunea să aibă latura exact jumătate din latura bazei?
Arată răspunsul
Răspuns: La $H/2$ de apex.
Raportul de asemănare al laturilor este egal cu raportul înălțimilor (de la apex la planul secțiunii); pentru raport $1/2$ distanța de la apex este $H/2$
O piramidă patrulateră regulată are baza latura $a$ Un plan paralel cu baza produce o secțiune cu latura $a/3$ Exprimă, în funcție de înălțimea totală $H$ la ce distanță de apex se află planul secant.
Arată răspunsul
Răspuns: La $H/3$ de apex.
Raportul de asemănare al laturilor este $1/3$ egal cu raportul înălțimilor măsurate de la apex, deci distanța este $H/3$
Un trunchi de piramidă are baza mare latura $a$ și baza mică latura $b$ $a > b$ ambele pătrate. Piramida inițială, întreagă, are înălțimea $H$ La ce înălțime (de la bază) a fost secționată piramida, dacă baza mică este secțiunea?
Arată răspunsul
Răspuns: La înălțimea $H\cdot\dfrac{a-b}{a}$ măsurată de la baza mare.
Piramida mică îndepărtată are latura bazei $b$ și este asemenea cu piramida totală (latura $a$ raport $b/a$ înălțimea ei, măsurată de la apex, este $H\cdot b/a$ Planul secant este la distanța $H - H\cdot b/a = H\cdot\dfrac{a-b}{a}$ de baza mare.
Un trunchi de con are generatoarea $G = 17$ cm și înălțimea $h = 15$ cm. Diferența razelor bazelor este $R - r$ Calculează $R - r$ apoi explică de ce acest calcul nu îți spune și valorile lui $R$ și $r$ separat.
Arată răspunsul
Răspuns: $R - r = 8$ cm.
$(R-r)^2 = G^2-h^2 = 289-225=64$ deci $R-r=8$ cm. Relația $G^2=h^2+(R-r)^2$ determină doar DIFERENȚA razelor, nu fiecare rază în parte; sunt infinit de multe perechi $(R,r)$ cu $R-r=8$
Explică de ce secțiunea diagonală a unei piramide patrulatere regulate (cu baza pătrat) este un triunghi isoscel, și nu un triunghi oarecare.
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că cele două muchii laterale care mărginesc secțiunea sunt congruente.
La o piramidă regulată, apexul este exact deasupra centrului bazei, deci orice două muchii laterale sunt congruente (fiecare este ipotenuza aceluiași triunghi dreptunghic, cu catetele egale cu înălțimea și cu distanța de la centrul bazei la vârful respectiv). Secțiunea diagonală are drept laturi oblice exact două asemenea muchii, deci este isoscelă.
Un elev desenează un con și trasează un segment de la vârf până la un punct oarecare de pe conturul bazei (nu prin centru), numindu-l „secțiune axială”. Explică de ce greșește, și ce ar trebui să deseneze în loc.
Arată răspunsul
Răspuns: Greșește pentru că segmentul de la vârf la un singur punct nu este o secțiune (nu e o figură obținută prin intersecție cu un plan întreg) și, chiar dacă ar completa planul, acel plan ar trebui să conțină axa, nu doar un punct oarecare de pe bază.
O secțiune axială este o figură plană (un triunghi, la con), obținută cu un plan care conține întreaga axă a conului, deci trece prin vârf ȘI printr-un diametru complet al bazei (două puncte diametral opuse), nu printr-un singur punct ales la întâmplare.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce este o secțiune a unui corp geometric?
1. O față a corpului
2. Muchia cea mai lungă a corpului
3. Figura obținută prin intersecția corpului cu un plan secant
4. Suma ariilor fețelor corpului
Arată răspunsul
Răspuns: Figura obținută prin intersecția corpului cu un plan secant
Planul secant „taie” corpul; conturul tăieturii este secțiunea.
2. O piramidă hexagonală regulată este tăiată de un plan paralel cu baza, între bază și vârf. Ce formă are secțiunea?
1. hexagon regulat, mai mic decât baza
2. hexagon congruent cu baza
3. triunghi
4. cerc
Arată răspunsul
Răspuns: hexagon regulat, mai mic decât baza
Secțiunea paralelă cu baza este asemenea cu baza, deci tot un hexagon regulat, dar mai mic, pentru că piramida se îngustează spre vârf.
3. La o prismă, secțiunea paralelă cu baza este...
1. congruentă cu baza
2. asemenea, dar mai mică decât baza
3. un triunghi, mereu
4. imposibil de determinat
Arată răspunsul
Răspuns: congruentă cu baza
Fețele laterale ale unei prisme sunt paralelograme, deci orice secțiune paralelă cu baza este congruentă cu baza.
4. Ce trebuie să conțină planul unei secțiuni diagonale, la o piramidă cu bază patrulateră?
1. Centrul bazei
2. Mijlocul unei muchii laterale
3. Doar planul bazei, fără apex
4. Apexul și o diagonală a bazei
Arată răspunsul
Răspuns: Apexul și o diagonală a bazei
Secțiunea diagonală trece prin apex și prin două vârfuri neadiacente ale bazei (o diagonală a bazei).
5. Un cilindru circular drept are raza egală cu înălțimea. Ce formă are secțiunea lui axială?
1. pătrat
2. dreptunghi cu o latură de două ori mai lungă decât cealaltă
3. triunghi isoscel
4. cerc
Arată răspunsul
Răspuns: dreptunghi cu o latură de două ori mai lungă decât cealaltă
Secțiunea axială are laturile $2r$ (diametrul) și $h$ Cu $r = h$ laturile sunt $2h$ și $h$ un dreptunghi, nu un pătrat.
6. Ce deosebește un trunchi de con de un cilindru?
1. Trunchiul de con nu are bază
2. La trunchiul de con, cele două raze sunt diferite; la cilindru, sunt egale
3. Cilindrul are generatoare oblică
4. Nu există nicio deosebire
Arată răspunsul
Răspuns: La trunchiul de con, cele două raze sunt diferite; la cilindru, sunt egale
La cilindru $R = r$ și generatoarea e paralelă cu axa; la trunchiul de con $R \neq r$ și generatoarea e oblică.
7. Un plan secant paralel cu o față a unui cub taie cubul. Ce formă are secțiunea?
Arată răspunsul
Răspuns: Un pătrat congruent cu fețele cubului.
Planul paralel cu o față taie cele patru muchii perpendiculare pe ea; secțiunea este un pătrat cu latura egală cu muchia.
8. Ce relație leagă generatoarea $G$ înălțimea $h$ și razele $R$ $r$ ale unui trunchi de con?
Arată răspunsul
Răspuns: $G^2 = h^2 + (R-r)^2$
9. Câte fețe are în total un trunchi de piramidă cu baza triunghi?
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ fețe.
Două baze (triunghiuri) și trei fețe laterale (trapeze): $2 + 3 = 5$

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre o secțiune și o față a unui corp geometric?

Fața există dinainte, ca parte a suprafeței corpului. Secțiunea apare doar după ce un plan secant taie corpul; forma ei depinde de poziția planului și, de obicei, nu seamănă cu nicio față a corpului.

De ce secțiunea paralelă cu baza unei piramide nu este congruentă cu baza?

Pentru că piramida se îngustează spre apex: orice plan paralel cu baza, dus mai sus de bază, taie o figură mai mică, asemenea cu baza, dar nu congruentă cu ea. La o prismă, în schimb, fețele laterale sunt paralelograme, deci secțiunea paralelă cu baza este mereu congruentă cu baza.

Ce condiție trebuie să îndeplinească un plan secant ca secțiunea să fie axială?

Planul trebuie să conțină axa corpului. La con, asta înseamnă că trebuie să treacă exact prin vârf și printr-un diametru complet al bazei, nu doar printr-un punct oarecare.

Cum se obține un trunchi de piramidă sau un trunchi de con?

Tăind o piramidă, respectiv un con, cu un plan paralel cu baza, și păstrând partea dintre bază și planul secant (nu partea mică de lângă apex/vârf).

De ce un trunchi de piramidă nu este o prismă?

Pentru că cele două baze ale lui sunt doar asemenea, nu congruente (una e mai mare, una e mai mică), iar fețele lui laterale sunt trapeze, nu paralelograme. La o prismă, bazele sunt congruente și fețele laterale sunt paralelograme.

De ce nu se calculează aici aria sau volumul trunchiului de piramidă sau de con?

Pentru că această lecție se oprește la secțiuni și la elementele trunchiurilor. Aria și volumul lor au propria lor lecție, mai târziu, în modulul de arii și volume.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VIII-a

Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

Ce vei învăța

Ideea de bază

Secțiunea și planul secant

Secțiunea paralelă cu baza

Secțiunea diagonală

Secțiunea axială

Trunchiul de piramidă

Trunchiul de con

Exemple rezolvate

Secțiunea unui cub printr-un colț

Ce tip de secțiune este?

Latura secțiunii paralele cu baza

Diagonala secțiunii diagonale a unei piramide

Secțiunea diagonală a unei prisme

Secțiunea axială a unui con

Secțiunea axială a unui cilindru

Elementele unui trunchi de piramidă hexagonală

Trunchi de piramidă sau prismă?

Generatoarea unui trunchi de con

Trunchi de con sau cilindru?

Eroare: „orice secțiune paralelă cu baza e congruentă cu baza”

Eroare: „orice plan prin vârf dă o secțiune diagonală”

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VIII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VIII-a

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea a II-a

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a