Lecția 3 din 3 · Paralelism și perpendicularitate în spațiu

Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

Q: De ce se verifică perpendicularitatea pe proiecție (KN), și nu direct pe oblică (MN)?

Pentru că proiecția KN este o dreaptă ÎN PLAN, unde perpendicularitatea se verifică simplu (cu unghiuri plane, raportoare, calcul 2D). Oblica MN este în spațiu, mai greu de verificat direct. Teorema face exact acest „pod” de la plan la spațiu.

Ai învățat deja ce înseamnă o dreaptă perpendiculară pe un plan și cum se construiește unghiul diedru. Lecția asta încheie Modulul 9 cu teorema care leagă perpendicularitatea pe plan de perpendicularitatea din interiorul planului, teorema celor trei perpendiculare, și cu cele trei distanțe în spațiu: de la un punct la o dreaptă, de la un punct la un plan și dintre două plane paralele.

~ 28 min de citit

Ce vei învăța

Identifici, într-o configurație spațială, piciorul perpendicularei, oblica și proiecția ei ortogonală pe plan.
Aplici teorema celor trei perpendiculare pentru a stabili perpendicularitatea dintre o dreaptă din plan și o oblică din spațiu.
Calculezi distanța de la un punct la o dreaptă, ca lungime a segmentului perpendicular până la picior.
Calculezi distanța de la un punct la un plan, ca lungime a segmentului perpendicular până la picior.
Calculezi distanța dintre două plane paralele, ca lungime a segmentului perpendicular comun.
Recunoști și corectezi raționamente greșite legate de teoremă și de distanțe în spațiu.

Recomandat înainte: Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

Ideea de bază

Ai un punct $M$ în afara unui plan $\alpha$ și piciorul perpendicularei $K$ pe $\alpha$ O dreaptă oblică din $M$ atinge planul într-un punct $N$ Proiecția oblicei pe plan este chiar dreapta $KN$ Teorema celor trei perpendiculare spune: dacă o dreaptă $d$ din plan, prin $N$ este perpendiculară pe PROIECȚIE $KN$ atunci $d$ este perpendiculară și pe OBLICA ÎNSĂȘI $MN$ în spațiu.

MK \perp \alpha

(piciorul

K

MN

este oblică, iar

KN

este proiecția ei pe

\alpha

Dreapta

d

prin

N

este perpendiculară pe proiecția

KN

și, prin teoremă, perpendiculară și pe oblica

MN

însăși.

Observă ce ROL are fiecare perpendiculară: (1) $MK \perp \alpha$ perpendiculara de la punctul exterior la plan; (2) $d \perp KN$ perpendiculara DIN plan pe proiecție; (3) $d \perp MN$ perpendiculara CONCLUZIE, pe oblica din spațiu. Trei perpendiculare, trei roluri diferite: de aici numele teoremei.

Teorema celor trei perpendiculare

Enunț

Fie $M$ un punct exterior unui plan $\alpha$ $K$ piciorul perpendicularei din $M$ pe $\alpha$ și $N$ un punct al lui $\alpha$ diferit de $K$ Dacă o dreaptă $d$ din $\alpha$ prin $N$ este perpendiculară pe proiecția $KN$ a oblicei $MN$ atunci $d$ este perpendiculară pe oblica $MN$

Rolurile din figura de mai sus, pe nume: $MK$ este PERPENDICULARA PE PLAN (din punctul exterior); $MN$ este OBLICA (dreapta înclinată, din $M$ la un punct $N$ al planului, diferit de picior); $KN$ este PROIECȚIA ortogonală a oblicei pe plan (unește piciorul $K$ cu punctul $N$ $d$ este dreapta DIN PLAN, prin $N$ perpendiculară pe proiecție, ipoteza teoremei.

De ce funcționează: ideea demonstrației

Dreapta $d$ trece prin $N$ nu prin $K$ așa că duci prin $K$ paralela $d'$ la $d$ în planul $\alpha$ Atunci $d' \perp KN$ (paralelismul păstrează perpendicularitatea din ipoteză). În plus, $MK \perp \alpha$ deci $MK$ este perpendiculară pe ORICE dreaptă a lui $\alpha$ inclusiv pe $d'$ Astfel, $d'$ este perpendiculară pe două drepte concurente în $K$ ale planului $(MKN)$ pe $KN$ și pe $MK$ Deci $d' \perp (MKN)$ adică $d'$ este perpendiculară pe orice dreaptă a planului $(MKN)$ inclusiv pe $MN$ Cum $d \parallel d'$ rezultă $d \perp MN$

Observă: demonstrația folosește exact criteriul dreaptă perpendiculară pe plan din lecția trecută, aplicat planului $(MKN)$ (nu lui $\alpha$ Fiecare pas se vede în figură.

Oblica NU este proiecția

$MN$ (oblica, în spațiu) și $KN$ (proiecția, în plan) sunt drepte DIFERITE. Ipoteza teoremei cere $d \perp KN$ (proiecția), nu $d \perp MN$ (oblica): perpendicularitatea pe oblică este CONCLUZIA, nu ceva ce verifici direct la început.

Aplicarea teoremei pe cub

Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ (fața de jos $ABCD$ fața de sus $EFGH$ cu $E$ deasupra lui $A$ $F$ deasupra lui $B$ $G$ deasupra lui $C$ $H$ deasupra lui $D$ diagonala spațială $GA$ este o oblică față de planul $(ABCD)$ piciorul perpendicularei din $G$ este $C$ (muchia verticală $GC$ iar proiecția lui $GA$ pe plan este diagonala $CA$ a bazei.

GC \perp (ABCD)

(piciorul

C

GA

este oblica, iar

CA

este proiecția ei. Dreapta

d

prin

A

paralelă cu diagonala

BD

a bazei, este perpendiculară pe proiecția

CA

(diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare), deci, prin teoremă,

d \perp GA

Aici rolurile sunt: $GC$ este perpendiculara pe plan, $GA$ este oblica, $CA$ este proiecția, iar $d$ (paralela prin $A$ la $BD$ este dreapta din plan perpendiculară pe proiecție, pentru că, într-un pătrat, cele două diagonale sunt perpendiculare, iar $d \parallel BD$ păstrează acea perpendicularitate pe $CA$

Distanța de la un punct la o dreaptă

Definiție

Distanța de la un punct $P$ la o dreaptă $m$ este lungimea segmentului perpendicular din $P$ pe $m$ adică $PF$ unde $F$ este piciorul perpendicularei din $P$ pe $m$ $F \in m$ $PF \perp m$

Piciorul

F

este pe dreapta

m

PF \perp m

iar distanța de la

P

m

este

PF = 4

Segmentul oblic

PQ

Q \in m

și

Q \ne F

este mai lung.

Dintre toate segmentele care unesc $P$ cu un punct al dreptei $m$ cel perpendicular $PF$ este cel mai SCURT: de aceea el, și nu altul, se numește distanța de la $P$ la $m$

Distanța de la un punct la un plan

Definiție

Distanța de la un punct $M$ la un plan $\alpha$ este lungimea segmentului perpendicular din $M$ pe $\alpha$ adică $MK$ unde $K$ este piciorul perpendicularei din $M$ pe $\alpha$ Este exact segmentul $MK$ din teorema celor trei perpendiculare, acolo măsura lui era $4$

Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ distanța de la vârful $G$ la planul bazei $(ABCD)$ este $GC = 4$ pentru că $GC \perp (ABCD)$ cu piciorul $C$ (figura din secțiunea precedentă).

Nu orice segment din $M$ la plan este distanța

Un segment OBLIC din $M$ la un punct al planului (ca $MN$ din figura teoremei) este mai lung decât $MK$ Distanța este STRICT segmentul perpendicular, nu orice segment ales la întâmplare.

Distanța dintre două plane paralele

Definiție

Distanța dintre două plane paralele $\alpha$ și $\beta$ este lungimea segmentului perpendicular comun, adică lungimea oricărui segment perpendicular pe amândouă plane, cu un capăt în fiecare.

Fețele

(ABCD)

și

(EFGH)

ale cubului sunt paralele. Muchia

AE

este perpendiculară pe amândouă (pe

(ABCD)

direct, iar

(EFGH) \parallel (ABCD)

păstrează perpendicularitatea), deci distanța dintre cele două plane este

AE = 4

Muchia

BF

dă aceeași distanță.

Pe un cub de latură $4$ orice muchie verticală (nu doar $AE$ are aceeași lungime și unește planele paralele $(ABCD)$ și $(EFGH)$ perpendicular pe amândouă: de aceea distanța dintre cele două plane este bine definită, aceeași indiferent de segmentul perpendicular ales.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identificarea rolurilor din teoremă

În configurația $M$ $K$ $N$ $d$ din figura principală, numește piciorul perpendicularei, oblica, proiecția și dreapta din plan.

Vezi rezolvarea

Piciorul perpendicularei: $K$ (din $MK \perp \alpha$ Oblica: $MN$ Proiecția oblicei pe plan: $KN$ Dreapta din plan, din ipoteza teoremei: $d$

Exemplul 2: aplicarea directă a teoremei

Cu $MK \perp \alpha$ $K$ piciorul, $N \in \alpha$ și $d \subset \alpha$ prin $N$ cu $d \perp KN$ ce poți conchide despre $d$ și oblica $MN$

Vezi rezolvarea

Teorema celor trei perpendiculare se aplică direct: $d \perp MN$

Exemplul 3: de ce demonstrația funcționează (rezumat)

Explică, în 2 pași, de ce $d \perp KN$ și $MK \perp \alpha$ implică $d \perp MN$

Vezi rezolvarea

Pasul 1: $MK \perp \alpha$ deci $MK \perp d$ (perpendiculara pe plan este perpendiculară pe orice dreaptă a lui, inclusiv $d$

Pasul 2: $d$ este perpendiculară pe $KN$ (ipoteză) și pe $MK$ (pasul 1), două drepte concurente ale planului $(MKN)$ deci $d \perp (MKN)$ deci $d \perp MN$

Exemplul 4: identificarea unui raționament greșit (oblică vs. proiecție)

Un elev verifică $d \perp MN$ (oblica) direct, din figură, și spune că astfel teorema e „aplicată”. Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Ipoteza teoremei cere $d \perp KN$ (proiecția), nu $d \perp MN$ (oblica). Oblica este ceea ce se DEDUCE, nu ceea ce se verifică la ipoteză.

Dacă elevul verifică direct oblica, nu mai are nevoie de teoremă, dar, în general, perpendicularitatea pe proiecție este mult mai simplă de verificat (e în plan) decât direct pe oblică (în spațiu).

Exemplul 5: aplicarea teoremei pe cub

Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ arată că dreapta $d$ prin $A$ paralelă cu $BD$ este perpendiculară pe diagonala spațială $GA$

Vezi rezolvarea

Piciorul perpendicularei din $G$ pe $(ABCD)$ este $C$ $GC \perp (ABCD)$ deci proiecția oblicei $GA$ pe plan este $CA$

Diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare, deci $BD \perp CA$ $d \parallel BD$ deci $d \perp CA$ (proiecția).

Prin teorema celor trei perpendiculare, $d \perp GA$ (oblica).

Exemplul 6: un contraexemplu, dacă ipoteza nu e verificată

Un elev alege, pe cub, o dreaptă $d'$ prin $A$ care NU este paralelă cu $BD$ (de exemplu $AB$ Poate aplica teorema ca să conchidă $d' \perp GA$

Vezi rezolvarea

Nu, nu fără verificare. Teorema cere, ca ipoteză, $d' \perp CA$ (proiecția). $AB$ nu este perpendiculară pe diagonala $CA$ a pătratului (unghiul dintre o latură și o diagonală a pătratului nu este $90°$ deci ipoteza nu este satisfăcută și teorema NU garantează $d' \perp GA$

Exemplul 7: distanța de la un punct la o dreaptă, pas cu pas

Determină distanța de la punctul $P$ la dreapta $m$ folosind piciorul perpendicularei $F$ cu $PF = 4$

Vezi rezolvarea

Pasul 1: identifică piciorul perpendicularei $F$ pe $m$ $F \in m$ $PF \perp m$

Pasul 2: distanța de la $P$ la $m$ este $PF = 4$

Exemplul 8: identificarea unui raționament greșit (distanță punct-dreaptă)

Un elev alege un punct OARECARE $Q$ pe $m$ (nu piciorul $F$ și declară $PQ$ drept „distanța de la $P$ la $m$ Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu, în general. $PQ \geq PF$ pentru orice $Q$ pe $m$ cu egalitate doar când $Q = F$ (piciorul perpendicularei). Doar segmentul perpendicular este distanța.

Exemplul 9: distanța de la un punct la un plan, pe cub

Determină distanța de la vârful $G$ la planul bazei $(ABCD)$ ale cubului $ABCD$ – $EFGH$ de latură $4$

Vezi rezolvarea

Piciorul perpendicularei din $G$ pe $(ABCD)$ este $C$ (muchia verticală $GC$

Distanța este $GC = 4$

Exemplul 10: distanța punct-plan NU este orice segment oblic

Un elev calculează lungimea diagonalei spațiale $GA$ $4\sqrt3$ cunoscută din Modulul 7) și o declară „distanța de la $G$ la plan”. Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. $GA$ este oblica, nu perpendiculara; $GA > GC$ Distanța de la $G$ la $(ABCD)$ este $GC = 4$ segmentul perpendicular, nu oblica $GA$

Exemplul 11: distanța dintre două plane paralele, pe cub

Determină distanța dintre fețele paralele $(ABCD)$ și $(EFGH)$ ale cubului de latură $4$

Vezi rezolvarea

Muchia $AE$ este perpendiculară pe $(ABCD)$ cu $E \in (EFGH)$ $(EFGH) \parallel (ABCD)$ deci $AE$ este perpendiculară și pe $(EFGH)$

Distanța dintre cele două plane este $AE = 4$

Exemplul 12: alegerea segmentului perpendicular comun

Un elev alege muchia $BF$ (nu $AE$ ca să calculeze distanța dintre $(ABCD)$ și $(EFGH)$ Obține același rezultat?

Vezi rezolvarea

Da. $BF$ este tot o muchie verticală, perpendiculară pe amândouă fețele, de aceeași lungime $4$ Distanța dintre două plane paralele nu depinde de care segment perpendicular comun îl alegi.

Exemplul 13: aplicație mixtă, teoremă + distanță

Pe cub, folosind $GC \perp (ABCD)$ (piciorul $C$ ce distanță reprezintă segmentul $GC$ și cu ce rol apare el în teorema celor trei perpendiculare (aplicată cu $M=G$ $\alpha=(ABCD)$

Vezi rezolvarea

$GC$ reprezintă distanța de la $G$ la planul $(ABCD)$

În teoremă, $GC$ joacă rolul perpendicularei pe plan $MK$ cu $M=G$ $K=C$ exact segmentul din care se construiește toată configurația teoremei.

Greșeli frecvente

„Teorema celor trei perpendiculare cere $d \perp MN$ (oblica) ca ipoteză.”
Fals. Ipoteza este $d \perp KN$ (PROIECȚIA oblicei pe plan). $d \perp MN$ este CONCLUZIA teoremei, nu ipoteza ei.
„Piciorul perpendicularei și proiecția oblicei sunt același lucru.”
Piciorul $K$ este un punct. Proiecția oblicei $KN$ este o dreaptă, care unește piciorul $K$ cu punctul $N$ în care oblica atinge planul. Nu sunt același tip de obiect.
„Distanța de la un punct la o dreaptă/plan este orice segment care le unește.”
Distanța este STRICT lungimea segmentului PERPENDICULAR (cel mai scurt posibil). Orice alt segment (oblic) este mai lung și nu reprezintă distanța.
„Distanța dintre două plane paralele depinde de segmentul perpendicular pe care îl alegi.”
Fals. Orice segment perpendicular comun, cu un capăt în fiecare plan, are aceeași lungime: de aceea distanța dintre două plane paralele este bine definită, un singur număr.
„Proiecția oblicei $MN$ pe planul $\alpha$ este segmentul $MK$
Fals. $MK$ este perpendiculara pe plan. Proiecția oblicei se obține proiectând pe plan fiecare punct al ei: $M$ se proiectează în $K$ iar $N$ rămâne $N$ deci proiecția este $KN$
„Pe cub, orice dreaptă prin $A$ este perpendiculară pe diagonala spațială $GA$
Fals. Doar dreptele prin $A$ perpendiculare pe PROIECȚIA $CA$ a lui $GA$ (cum e paralela la $BD$ sunt, prin teoremă, perpendiculare pe $GA$ O dreaptă oarecare prin $A$ (de exemplu $AB$ nu verifică ipoteza și nu este, în general, perpendiculară pe $GA$

Exerciții

Ușor

În teorema celor trei perpendiculare, cum se numește segmentul $MK$
Arată răspunsul
Răspuns: Perpendiculara din punctul exterior pe plan (piciorul este $K$
Cum se numește segmentul $KN$ din teoremă?
Arată răspunsul
Răspuns: Proiecția ortogonală a oblicei $MN$ pe plan.
Care este ipoteza teoremei celor trei perpendiculare: $d \perp KN$ sau $d \perp MN$
Arată răspunsul
Răspuns: $d \perp KN$
Care este concluzia teoremei celor trei perpendiculare?
Arată răspunsul
Răspuns: $d \perp MN$
Cum se numește dreapta $MN$ din configurația teoremei?
Arată răspunsul
Răspuns: Oblica.
Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea cărui segment?
Arată răspunsul
Răspuns: Segmentul perpendicular din punct pe dreaptă, până la picior.
Distanța de la un punct la un plan este lungimea cărui segment?
Arată răspunsul
Răspuns: Segmentul perpendicular din punct pe plan, până la picior.
Distanța dintre două plane paralele este lungimea cărui segment?
Arată răspunsul
Răspuns: Segmentul perpendicular comun celor două plane.
Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ ce distanță reprezintă muchia $HD$
Arată răspunsul
Răspuns: Distanța de la $H$ la planul $(ABCD)$ (la fel, de la $D$ la planul $(EFGH)$
Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ de latură $4$ ce distanță reprezintă muchia $AE$
Arată răspunsul
Răspuns: Distanța dintre planele paralele $(ABCD)$ și $(EFGH)$ egală cu $4$

Mediu

Punctul $M$ este la $4$ cm de planul $\alpha$ cu piciorul perpendicularei $K$ iar $N \in \alpha$ este la $3$ cm de $K$ Ce lungime are proiecția oblicei $MN$ pe $\alpha$
Arată răspunsul
Răspuns: $3$ cm.
Proiecția oblicei $MN$ pe $\alpha$ este $KN$ deci are $3$ cm.
Dreapta $d$ din planul $\alpha$ trece prin $N$ și formează cu $KN$ un unghi de $60°$ Poți aplica teorema celor trei perpendiculare pentru a conchide $d \perp MN$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Ipoteza cere $d \perp KN$ adică un unghi de $90°$ între $d$ și proiecție.
Pe cub, arată că dreapta $d$ prin $A$ paralelă cu $BD$ este perpendiculară pe $CA$ (proiecția lui $GA$
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat, pentru că $BD \perp CA$ (diagonalele pătratului) și $d \parallel BD$
Paralelismul păstrează perpendicularitatea pe $CA$
Folosind rezultatul exercițiului anterior și teorema celor trei perpendiculare, ce poți conchide despre $d$ și diagonala spațială $GA$
Arată răspunsul
Răspuns: $d \perp GA$
$GC \perp (ABCD)$ piciorul $C$ proiecția lui $GA$ este $CA$ $d \perp CA$ deci $d \perp GA$
Distanța de la punctul $P$ la dreapta $m$ este realizată de perpendiculara $PF$ Dacă $PF=7$ care este distanța?
Arată răspunsul
Răspuns: $7$
Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.
Un elev alege, pe dreapta $m$ un punct $Q \ne F$ și calculează $PQ = 5$ declarând-o „distanța” de la $P$ la $m$ Este corect?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Distanța este $PF$ (perpendiculara), nu $PQ$ (oblică); $PQ > PF$ întotdeauna când $Q \ne F$
Determină distanța de la vârful $F$ la planul $(ADHE)$ al cubului $ABCD$ – $EFGH$ de latură $6$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$
$FE \perp EA$ și $FE \perp EH$ (fețe pătrate), deci $FE \perp (ADHE)$ cu piciorul $E$ Distanța este $FE = 6$
Pe același cub de latură $6$ un elev declară diagonala de față $FA = 6\sqrt2$ drept „distanța de la $F$ la planul $(ADHE)$ Corectează greșeala.
Arată răspunsul
Răspuns: Distanța corectă este $FE = 6$ (perpendiculara); $FA$ este oblica, mai lungă.
$A$ este în plan, dar $FA$ nu este perpendiculară pe $(ADHE)$ proiecția ei pe plan este $EA$ În triunghiul $FEA$ drept în $E$ $FA = 6\sqrt2 > FE = 6$
Determină distanța dintre două fețe opuse și paralele ale unui cub cu latura $6$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$
O muchie perpendiculară pe ambele fețe are lungimea egală cu latura cubului.
Pe cubul de latură $4$ un elev folosește muchia $DH$ în loc de $AE$ pentru distanța dintre $(ABCD)$ și $(EFGH)$ Obține același rezultat?
Arată răspunsul
Răspuns: Da, $4$
Toate muchiile verticale ale cubului sunt perpendiculare pe amândouă fețele și au aceeași lungime.
În pătratul $ABCD$ este muchia $AB$ perpendiculară pe diagonala $CA$ Poți folosi această relație ca ipoteză în teorema celor trei perpendiculare?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Într-un pătrat, diagonala face un unghi de $45°$ cu laturile, deci $AB\not\perp CA$
Explică de ce segmentul $MN$ (oblica) este mai lung decât $MK$ (perpendiculara pe plan), în triunghiul dreptunghic $MKN$
Arată răspunsul
Răspuns: $MN$ este hipotenuza triunghiului dreptunghic $MKN$ (drept în $K$ deci $MN > MK$ și $MN > KN$
Pitagora: $MN^2 = MK^2 + KN^2 > MK^2$
Cu $MK=4$ și $KN=3$ (ca în figura teoremei), calculează $MN$
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
Triunghiul $MKN$ este dreptunghic în $K$ $MN = \sqrt{4^2+3^2} = 5$

Provocare

Demonstrează, pas cu pas, folosind criteriul dreaptă perpendiculară pe plan, de ce $d \perp KN$ și $MK \perp \alpha$ implică $d \perp MN$
Arată răspunsul
Răspuns: Fie $d'$ paralela la $d$ prin $K$ în $\alpha$ $d' \perp KN$ (ipoteză) și $d' \perp MK$ (pentru că $MK \perp \alpha$ și $d' \subset \alpha$ Dreptele $KN$ și $MK$ sunt concurente în $K$ și sunt în planul $(MKN)$ deci $d' \perp (MKN)$ Cum $d \parallel d'$ $d$ este perpendiculară pe orice dreaptă a planului $(MKN)$ inclusiv pe $MN$
Aceasta este demonstrația teoremei. Paralela $d'$ aduce perpendicularitatea în piciorul $K$ unde se aplică criteriul dreaptă perpendiculară pe plan.
În planul pătratului $ABCD$ prin punctul $A$ câte direcții sunt perpendiculare pe diagonala $CA$
Arată răspunsul
Răspuns: O singură direcție.
Printr-un punct dat, într-un plan, există o singură perpendiculară pe o dreaptă dată; toate reprezentările acelei direcții sunt coliniare.
Două plane paralele $\alpha$ și $\beta$ au distanța $d_1$ Dacă alegi două puncte, câte unul în fiecare plan, NU neapărat pe un segment perpendicular comun, cum se compară distanța dintre ele cu $d_1$
Arată răspunsul
Răspuns: Distanța dintre cele două puncte este mereu $\geq d_1$ cu egalitate doar dacă segmentul este chiar perpendicular pe amândouă plane.
Segmentul perpendicular comun este cel mai scurt drum posibil între cele două plane paralele.
Explică de ce, în teorema celor trei perpendiculare, condiția $N \ne K$ este necesară pentru ca enunțul să aibă sens.
Arată răspunsul
Răspuns: Dacă $N = K$ oblica $MN$ ar coincide cu perpendiculara $MK$ (ar fi chiar perpendiculara pe plan), iar proiecția $KN$ s-ar reduce la un punct: configurația „oblică + proiecție” nu mai are sens geometric.
Teorema descrie strict cazul unei oblice adevărate, nu cazul limită al perpendicularei.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ $E$ deasupra lui $A$ $EA \perp (ABCD)$ și $AB \perp BC$ Ce concluzie dă teorema celor trei perpendiculare?
1. $EB \perp BC$
2. $EC \perp BC$
3. $EB \perp AB$
4. $AC \perp BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $EB \perp BC$
Perpendiculara pe plan este $EA$ proiecția oblicei $EB$ este $AB$ iar $BC \perp AB$ (proiecția). Rezultă $BC \perp EB$ (oblica).
2. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ $HD \perp (ABCD)$ și $DC \perp BC$ Ce concluzie dă teorema celor trei perpendiculare?
1. $HC \perp BC$
2. $HB \perp BC$
3. $HC \perp DC$
4. $DB \perp BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $HC \perp BC$
Perpendiculara pe plan este $HD$ oblica este $HC$ cu proiecția $DC$ Cum $BC \perp DC$ teorema dă $BC \perp HC$
3. Proiecția ortogonală a oblicei $MN$ pe planul $\alpha$ este:
1. dreapta $KN$
2. dreapta $MK$
3. punctul $N$
4. dreapta $d$
Arată răspunsul
Răspuns: dreapta $KN$
Proiecția unește piciorul $K$ cu punctul $N$ al oblicei pe plan.
4. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ distanța de la punctul $F$ la dreapta $DC$ este lungimea segmentului:
1. $FD$
2. $FC$
3. $FG$
4. $FB$
Arată răspunsul
Răspuns: $FC$
$FB \perp (ABCD)$ și $BC \perp DC$ deci, cu teorema celor trei perpendiculare, $FC \perp DC$ Distanța este lungimea perpendicularei, $FC$
5. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ de latură $5$ distanța de la $H$ la planul $(BCGF)$ este:
1. $5\sqrt2$
2. $5\sqrt3$
3. $10$
4. $5$
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
$HG \perp (BCGF)$ deci distanța este muchia $HG = 5$ nu diagonala $HB$ sau $HC$
6. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ care este proiecția oblicei $HB$ pe planul $(ABCD)$
1. $DB$
2. $HD$
3. $AB$
4. $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $DB$
Piciorul perpendicularei din $H$ pe $(ABCD)$ este $D$ iar $B$ este deja în plan: proiecția lui $HB$ este $DB$
7. De ce distanța dintre două plane paralele nu depinde de segmentul perpendicular comun ales?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că toate segmentele perpendiculare comune celor două plane paralele au aceeași lungime.
Este o proprietate a planelor paralele.
8. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ de latură $4$ care este distanța dintre planele $(ABCD)$ și $(EFGH)$
Arată răspunsul
Răspuns: $4$
Orice muchie verticală a cubului.
9. De ce oblica $MN$ este mai lungă decât perpendiculara $MK$ pe același plan?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că $MN$ este hipotenuza triunghiului dreptunghic $MKN$ drept în $K$ deci $MN > MK$
Consecință a teoremei lui Pitagora.

Întrebări frecvente

De ce se verifică perpendicularitatea pe proiecție

KN

și nu direct pe oblică

MN

Pentru că proiecția $KN$ este o dreaptă ÎN PLAN, unde perpendicularitatea se verifică simplu (cu unghiuri plane, raportoare, calcul 2D). Oblica $MN$ este în spațiu, mai greu de verificat direct. Teorema face exact acest „pod” de la plan la spațiu.

Teorema celor trei perpendiculare are o reciprocă, predată în clasa a VIII-a?

Nu, reciproca nu face parte din conținutul acestei lecții; aici se predă doar enunțul direct, cu demonstrația legată de figură.

Distanța de la un punct la un plan este mereu cea mai mică posibilă dintre toate segmentele de la punct la plan?

Da. Segmentul perpendicular este, dintre toate segmentele de la punct la un punct al planului, cel mai scurt: exact de aceea este ALES ca definiție a distanței.

Ce se întâmplă cu distanța dintre două plane dacă planele NU sunt paralele?

Dacă două plane se intersectează (nu sunt paralele), distanța dintre ele este $0$ pentru că au puncte comune pe dreapta de intersecție. Distanța ca segment perpendicular comun constant are sens doar pentru plane PARALELE.

Cum aleg, în practică, piciorul perpendicularei

K

pe un plan, pe un corp geometric cunoscut (cub, paralelipiped)?

De obicei este un vârf sau un punct remarcabil al corpului, legat de o muchie perpendiculară pe planul respectiv, ca $C$ piciorul perpendicularei din $G$ pe $(ABCD)$ muchia $GC$ fiind verticală.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VIII-a

Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

Ce vei învăța

Ideea de bază

Teorema celor trei perpendiculare

Aplicarea teoremei pe cub

Distanța de la un punct la o dreaptă

Distanța de la un punct la un plan

Distanța dintre două plane paralele

Exemple rezolvate

Exemplul 1: identificarea rolurilor din teoremă

Exemplul 2: aplicarea directă a teoremei

Exemplul 3: de ce demonstrația funcționează (rezumat)

Exemplul 4: identificarea unui raționament greșit (oblică vs. proiecție)

Exemplul 5: aplicarea teoremei pe cub

Exemplul 6: un contraexemplu, dacă ipoteza nu e verificată

Exemplul 7: distanța de la un punct la o dreaptă, pas cu pas

Exemplul 8: identificarea unui raționament greșit (distanță punct-dreaptă)

Exemplul 9: distanța de la un punct la un plan, pe cub

Exemplul 10: distanța punct-plan NU este orice segment oblic

Exemplul 11: distanța dintre două plane paralele, pe cub

Exemplul 12: alegerea segmentului perpendicular comun

Exemplul 13: aplicație mixtă, teoremă + distanță

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VIII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VIII-a

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea a II-a

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a