Lecția 1 din 3 · Paralelism și perpendicularitate în spațiu

Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

Q: Rezultatul (măsura unghiului) depinde de dreapta pe care o mut, d sau e?

Nu. Dacă duci prin M ∈ d paralela la e, sau prin N ∈ e paralela la d, obții același unghi, pentru că ambele construcții compară exact aceleași două direcții.

Q: Unghiul dintre două drepte este mereu cel mai mic dintre cele două unghiuri formate?

Da, prin convenție se ia unghiul din intervalul [0°, 90°], cel „ascuțit sau drept”, nu suplementul lui.

Ai văzut deja cele trei poziții posibile ale unei drepte față de un plan și ale a două plane între ele. Lecția asta trece la pasul următor: cum verifici, fără să măsori nimic, că o dreaptă este paralelă cu un plan sau că două plane sunt paralele, și cum se definește unghiul a două drepte în spațiu, inclusiv atunci când dreptele nu se întâlnesc niciodată (sunt necoplanare).

~ 25 min de citit

Ce vei învăța

Recapitulezi, în câteva fraze, pozițiile relative dreaptă–plan și plan–plan din Modulul 7.
Aplici criteriul de paralelism dintre o dreaptă și un plan, printr-o dreaptă conținută în plan.
Aplici criteriul de paralelism dintre două plane, prin două drepte concurente.
Determini unghiul a două drepte concurente și, prin translație paralelă, unghiul a două drepte necoplanare.
Recunoști și corectezi raționamente greșite legate de paralelism și de unghiul dintre drepte.

Recomandat înainte: Prisma, piramida, tetraedrul, cubul, paralelipipedul dreptunghic

Ideea de bază

În Modulul 7 ai învățat ce înseamnă „paralelă cu un plan”: fără niciun punct comun. Dar cum verifici asta fără să cauți, teoretic, toate punctele comune posibile? Răspunsul este un criteriu: dacă găsești O SINGURĂ dreaptă conținută în plan, paralelă cu dreapta ta, atunci dreapta ta este automat paralelă cu întregul plan.

Dreapta

d

este paralelă cu latura

AB

conținută în planul

\alpha

Pentru că

AB \subset \alpha

acest paralelism este suficient ca să garanteze

d \parallel \alpha

fără să mai cauți direct puncte comune.

Același principiu, extins la plane: dacă două drepte concurente dintr-un plan sunt fiecare paralelă cu alt plan, atunci cele două plane sunt paralele între ele.

Recapitulare rapidă: pozițiile relative

Din Modulul 7 știi deja cele trei poziții ale unei drepte față de un plan (conținută, concurentă, paralelă) și cele două poziții ale a două plane (paralele, secante). Lecția de acum nu repetă desenele, ci adaugă un instrument nou: un CRITERIU prin care constați paralelismul fără să verifici direct toate punctele comune.

De ce nu e de ajuns definiția

Definiția „paralelă = fără niciun punct comun” îți spune CE înseamnă paralelismul, dar nu îți dă o metodă practică de verificare: nu poți testa, literal, o infinitate de puncte. Criteriile de mai jos transformă definiția într-o metodă aplicabilă.

Criteriul de paralelism dintre o dreaptă și un plan

Criteriu

O dreaptă $d$ neconținută într-un plan $\alpha$ este paralelă cu $\alpha$ dacă există în $\alpha$ o dreaptă $e$ paralelă cu $d$

Figura din deschiderea lecției este exact acest criteriu: $d \parallel AB$ și $AB \subset \alpha$ deci $d \parallel \alpha$ Nu trebuie să verifici niciun punct comun direct: paralelismul cu o singură dreaptă din plan este suficient.

Condiția „neconținută” nu este un detaliu

Dacă $d$ ar fi chiar conținută în $\alpha$ ar avea toate punctele comune cu planul, nu niciunul. Criteriul se aplică doar dreptelor exterioare planului.

Criteriul de paralelism dintre două plane

Criteriu

Dacă un plan $\alpha$ conține două drepte concurente, fiecare paralelă cu un plan $\beta$ atunci $\alpha \parallel \beta$

O singură dreaptă paralelă cu $\beta$ nu este de ajuns: ar putea exista în $\alpha$ și o altă direcție care taie $\beta$ Două drepte CONCURENTE (adică cu direcții diferite) elimină această posibilitate, pentru că fixează complet orientarea lui $\alpha$

Dreptele concurente

AB

și

AC

din planul

\alpha

sunt fiecare paralele cu planul

\beta

Fiind concurente (direcții diferite), acest fapt singur garantează

\alpha \parallel \beta

Unghiul a două drepte în spațiu

Dacă două drepte sunt concurente (se intersectează într-un punct), unghiul lor este exact ca în plan: unul dintre unghiurile formate în punctul de intersecție, cel care nu depășește $90°$

Dreptele

OP

și

OQ

sunt concurente în

O

unghiul lor este unghiul obișnuit dintre două raze, aici de

45°

Problema nouă este cea a dreptelor necoplanare (strâmbe): ele nu au niciun punct comun, dar au totuși o direcție proprie fiecare, deci are sens să le compari direcțiile. Definiția unghiului lor folosește o construcție auxiliară.

Construcția prin translație paralelă

Unghiul a două drepte necoplanare $d$ și $e$ se definește astfel: alegi un punct $M$ (de exemplu, pe $d$ și construiești prin $M$ o dreaptă $e'$ paralelă cu $e$ Dreptele $d$ și $e'$ sunt concurente (ambele trec prin $M$ iar unghiul dintre $d$ și $e'$ este, prin definiție, unghiul dintre $d$ și $e$

Dreptele

AF

(diagonala feței

ABFE

și

DH

(muchie verticală) sunt necoplanare. Pentru că

AE \parallel DH

(ambele muchii verticale ale cubului), paralela la

DH

dusă prin

A

este chiar

AE

unghiul dintre

AF

și

DH

este unghiul

\widehat{FAE}

Calculul unghiului $\widehat{FAE}$ fața $ABFE$ este un pătrat, iar $AF$ este diagonala lui. Triunghiul $AEF$ este dreptunghic în $E$ și isoscel $AE = EF$ deci $\widehat{FAE} = 45°$ Acesta este unghiul dintre dreptele necoplanare $AF$ și $DH$

Nu măsori direct pe desen

Unghiul a două drepte necoplanare NU se citește direct din desenul lor, pentru că ele nu au un vârf comun real. Se citește doar după ce duci paralela, la vârful comun nou creat.

Aplicație: unghiuri pe cub

Cubul oferă multe perechi de drepte utile pentru exersat unghiul dintre drepte, pentru că muchiile și diagonalele lui au direcții clare și ușor de comparat.

Muchii paralele (ca $AB$ și $EF$ unghiul lor este $0°$
Muchii concurente perpendiculare (ca $AB$ și $AE$ unghiul lor este $90°$ citit direct la vârful comun $A$
Muchii necoplanare (ca $AF$ și $DH$ de mai sus): unghiul lor se obține prin translație paralelă, aici $45°$

Exemple rezolvate

Exemplul 1: aplicarea directă a criteriului dreaptă–plan

Dreapta $d$ este paralelă cu dreapta $AB$ conținută în planul $\alpha$ Dreapta $d$ nu este conținută în $\alpha$ Ce poziție are $d$ față de $\alpha$

Vezi rezolvarea

Se aplică direct criteriul: $d \parallel AB$ $AB \subset \alpha$ $d \not\subset \alpha$

Răspuns: $d \parallel \alpha$

Exemplul 2: de ce nu este de ajuns o singură dreaptă pentru plan–plan

Planul $\alpha$ conține o dreaptă $d$ paralelă cu planul $\beta$ Este suficient acest fapt ca să concluzionezi $\alpha \parallel \beta$

Vezi rezolvarea

Nu. Planul $\alpha$ poate conține și altă dreaptă, cu altă direcție, care să taie $\beta$ O singură direcție paralelă nu fixează orientarea întregului plan $\alpha$

Ai nevoie de o a doua dreaptă din $\alpha$ concurentă cu prima (deci cu altă direcție), tot paralelă cu $\beta$

Exemplul 3: criteriul plan–plan aplicat

Dreptele $AB$ și $AC$ concurente în $A$ sunt conținute în planul $\alpha$ Amândouă sunt paralele cu planul $\beta$ Ce relație au $\alpha$ și $\beta$

Vezi rezolvarea

Două drepte concurente ale lui $\alpha$ fiecare paralelă cu $\beta$ criteriul plan–plan se aplică direct.

Răspuns: $\alpha \parallel \beta$

Exemplul 4: unghiul a două drepte concurente

Dreptele $OP$ și $OQ$ se intersectează în $O$ formând un unghi de $45°$ (vezi figura). Care este unghiul lor?

Vezi rezolvarea

Fiind concurente, unghiul lor este exact unghiul obișnuit măsurat în $O$ $45°$

Exemplul 5: unghiul a două drepte necoplanare, pas cu pas

Dreptele $AF$ și $DH$ ale cubului $ABCD$ – $EFGH$ sunt necoplanare. Determină unghiul dintre ele.

Vezi rezolvarea

Pasul 1: observi că $AE \parallel DH$ (ambele muchii verticale ale cubului).

Pasul 2: $AE$ trece prin $A$ care este deja pe $AF$ deci $AE$ este paralela la $DH$ dusă prin $A$

Pasul 3: în pătratul $ABFE$ diagonala $AF$ formează cu latura $AE$ un unghi de $45°$ (triunghiul $AEF$ este dreptunghic isoscel), deci $\widehat{FAE} = 45°$

Răspuns: unghiul dintre $AF$ și $DH$ este $45°$

Exemplul 6: alegerea punctului de translație

Pentru unghiul dintre dreptele necoplanare $d$ și $e$ trebuie neapărat construită paralela la $e$ printr-un punct al lui $d$

Vezi rezolvarea

Nu neapărat. Poți construi paralela la $e$ (sau la $d$ printr-UN PUNCT OARECARE din spațiu, nu doar printr-un punct de pe cealaltă dreaptă. Alegerea unui punct comun existent (ca $A$ în exemplul anterior) este doar o comoditate, pentru că evită un punct auxiliar nou.

Rezultatul (măsura unghiului) este același indiferent de punctul ales, pentru că translația paralelă nu schimbă direcția dreptei.

Exemplul 7: recunoașterea unei perechi de muchii perpendiculare pe cub

Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ ce unghi au muchiile concurente $AB$ și $AE$

Vezi rezolvarea

$AB$ și $AE$ se intersectează în $A$ și sunt laturi consecutive ale pătratului $ABFE$ deci $\widehat{BAE} = 90°$

Răspuns: $90°$ (perpendiculare).

Exemplul 8: identificarea unui raționament greșit (criteriul dreaptă–plan)

Un elev spune: „Dreapta $d$ este paralelă cu un punct al planului $\alpha$ deci $d \parallel \alpha$ Este corect raționamentul?

Vezi rezolvarea

Nu. „Paralelă cu un punct” nu are sens: paralelismul se definește între două drepte (sau o dreaptă și un plan), nu între o dreaptă și un punct.

Forma corectă a criteriului cere o DREAPTĂ conținută în plan, paralelă cu $d$ nu un simplu punct.

Exemplul 9: identificarea unui raționament greșit (unghiul dintre drepte)

Un elev măsoară cu raportorul, direct pe desenul în proiecție, unghiul dintre două drepte necoplanare ale unui cub, și obține $70°$ Este validă această măsurare?

Vezi rezolvarea

Nu. Desenul este o proiecție; unghiul „văzut” pe proiecție nu este unghiul real dintre drepte, pentru că proiecția deformează unghiurile (vezi lecția despre desen ca proiecție, Modulul 7).

Unghiul corect se obține doar prin construcția translației paralele și calcul în triunghiul obținut (folosind proprietățile corpului), nu prin măsurare pe desen.

Exemplul 10: plan determinat de criteriul dreaptă–plan, aplicație inversă

Dreapta $d$ este paralelă cu planul $\alpha$ Alegi orice plan $\beta$ care conține $d$ și intersectează $\alpha$ Ce se poate spune despre dreapta de intersecție a lui $\alpha$ și $\beta$

Vezi rezolvarea

Dreapta de intersecție dintre $\alpha$ și $\beta$ este paralelă cu $d$ Argument: dreapta de intersecție și $d$ sunt amândouă în planul $\beta$ deci sunt fie secante, fie paralele. Dacă ar fi secante, punctul lor comun ar fi un punct al lui $d$ aflat în $\alpha$ dar $d$ nu are niciun punct comun cu $\alpha$ (fiind paralelă cu el), contradicție.

Exemplul 11: aplicație pe cub pentru criteriul plan–plan

Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ fața de jos $(ABCD)$ conține dreptele concurente $AB$ și $AD$ Amândouă sunt paralele cu fața de sus $(EFGH)$ Ce poziție au cele două fețe?

Vezi rezolvarea

$AB$ și $AD$ sunt concurente în $A$ și fiecare este paralelă cu planul $(EFGH)$

Prin criteriul plan–plan, $(ABCD) \parallel (EFGH)$ fapt deja cunoscut, dar verificat acum printr-un argument, nu doar prin aspect.

Exemplul 12: unghiul dintre o diagonală de față și o muchie, pe cub

Determină unghiul dintre diagonala $AF$ și muchia $AB$ ale cubului $ABCD$ – $EFGH$

Vezi rezolvarea

$AF$ și $AB$ sunt concurente în $A$ deci unghiul lor este chiar $\angle FAB$

Ambele drepte sunt în fața $ABFE$ care este un pătrat, iar $AF$ este o diagonală a lui. Diagonala unui pătrat este bisectoarea unghiului drept, deci $\angle FAB = 90° : 2 = 45°$

Exemplul 13: distincția dintre „nu se intersectează” și „paralele”, aplicată la unghi

Dreptele $d$ și $e$ nu au niciun punct comun. Poți calcula direct unghiul lor ca unghi între drepte concurente?

Vezi rezolvarea

Nu direct. Trebuie întâi să stabilești dacă $d$ și $e$ sunt paralele (unghi $0°$ sau necoplanare (unghi obținut prin translație paralelă). Fără a determina acest lucru, nu ai punctul de plecare corect pentru calcul.

Exemplul 14: o demonstrație scurtă, prin eliminarea pozițiilor

Planele $\alpha$ și $\beta$ sunt paralele, iar un al treilea plan $\gamma$ le intersectează după dreptele $a = \gamma \cap \alpha$ și $b = \gamma \cap \beta$ Demonstrează că $a \parallel b$

Vezi rezolvarea

Ipoteza: $\alpha \parallel \beta$ $a = \gamma \cap \alpha$ $b = \gamma \cap \beta$ Concluzia de demonstrat: $a \parallel b$

Ideea: două drepte sunt paralele dacă sunt în același plan și nu au puncte comune. Verifici pe rând cele două condiții.

Pasul 1. $a \subset \gamma$ și $b \subset \gamma$ deci $a$ și $b$ sunt coplanare.

Pasul 2. $a \subset \alpha$ și $b \subset \beta$ Planele paralele $\alpha$ și $\beta$ nu au niciun punct comun, deci nici $a$ și $b$ nu au vreun punct comun.

Concluzie: $a$ și $b$ sunt coplanare și nu se intersectează, deci $a \parallel b$

Greșeli frecvente

„Dacă o dreaptă este paralelă cu O dreaptă dintr-un plan, e paralelă cu planul, indiferent dacă e conținută în plan sau nu.”
Criteriul cere explicit ca dreapta să NU fie conținută în plan. O dreaptă conținută în plan, paralelă cu altă dreaptă a aceluiași plan, rămâne conținută, nu devine „paralelă cu planul”.
„O singură dreaptă paralelă cu alt plan este de ajuns ca să arăți că două plane sunt paralele.”
Nu. Ai nevoie de DOUĂ drepte concurente (direcții diferite) ale unui plan, fiecare paralelă cu celălalt plan. O singură dreaptă fixează doar o direcție, nu toată orientarea planului.
„Unghiul a două drepte necoplanare se citește direct pe desen, cu raportorul.”
Nu. Desenul este o proiecție care deformează unghiurile. Unghiul se obține prin construcția translației paralele (o dreaptă nouă, concurentă, cu aceeași direcție ca una dintre cele două) și calcul, nu prin măsurare directă.
„Dacă două drepte nu au niciun punct comun, unghiul lor este automat $0°$
Fals în general. Unghiul $0°$ apare doar dacă dreptele sunt PARALELE (aceeași direcție). Două drepte necoplanare, fără punct comun, pot avea orice unghi între $0°$ (exclusiv) și $90°$
„Paralela la o dreaptă, folosită pentru unghi, trebuie construită neapărat printr-un punct de pe cealaltă dreaptă.”
Nu neapărat. Punctul de translație poate fi orice punct din spațiu; un punct comun existent este doar o comoditate de desen, nu o cerință matematică.
„Paralelismul dreaptă–plan se poate deduce din faptul că dreapta este paralelă cu UN PUNCT al planului.”
O dreaptă nu poate fi „paralelă” cu un punct; paralelismul se definește între două drepte sau între o dreaptă și un plan. Criteriul cere o dreaptă conținută în plan, nu un punct.

Exerciții

Ușor

Ce condiție trebuie să îndeplinească dreapta $d$ ca să i se aplice criteriul de paralelism cu un plan $\alpha$
Arată răspunsul
Răspuns: Să fie paralelă cu o dreaptă conținută în $\alpha$ și să nu fie ea însăși conținută în $\alpha$
Câte drepte concurente dintr-un plan $\alpha$ sunt necesare pentru criteriul de paralelism plan–plan?
Arată răspunsul
Răspuns: Două.
Dreptele $OP$ și $OQ$ se intersectează în $O$ Cum se numește unghiul dintre ele?
Arată răspunsul
Răspuns: Unghiul obișnuit măsurat în punctul $O$ ca în plan.
Ce fel de drepte au nevoie de o construcție auxiliară pentru a le afla unghiul?
Arată răspunsul
Răspuns: Dreptele necoplanare (strâmbe).
Unghiul dintre două drepte paralele este cât?
Arată răspunsul
Răspuns: $0°$
Ce dreaptă construiești, printr-un punct ales, ca să afli unghiul a două drepte necoplanare?
Arată răspunsul
Răspuns: O dreaptă paralelă cu una dintre cele două, dusă prin punctul ales; unghiul ei cu cealaltă dreaptă este unghiul căutat.
Numește două muchii ale cubului $ABCD$ – $EFGH$ paralele cu muchia $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: De exemplu $EF$ și $DC$ (sau $HG$
Dreapta $d$ este conținută în planul $\alpha$ I se poate aplica criteriul „paralelă cu $\alpha$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, criteriul cere ca $d$ să nu fie conținută în $\alpha$
Unghiul dintre două drepte necoplanare poate fi $0°$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, pentru că $0°$ ar însemna aceeași direcție, deci paralele (și paralelele sunt coplanare), nu necoplanare.
Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ în ce plan al unei fețe se află muchiile $AB$ și $AE$
Arată răspunsul
Răspuns: În planul feței $(ABFE)$

Mediu

Dreapta $d$ este paralelă cu dreapta $AB \subset \alpha$ și $d \not\subset \alpha$ Ce poziție are $d$ față de $\alpha$ și de ce?
Arată răspunsul
Răspuns: $d \parallel \alpha$ prin criteriul de paralelism dreaptă–plan.
Condițiile criteriului sunt îndeplinite exact: dreaptă paralelă cu o dreaptă conținută, fără ca $d$ să fie conținută.
De ce, în criteriul pentru $\alpha\parallel\beta$ cele două drepte din $\alpha$ trebuie să fie concurente?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru a determina două direcții diferite ale planului $\alpha$
O singură direcție, sau două drepte paralele între ele, nu controlează toate direcțiile planului.
Dreptele $d$ și $e$ sunt necoplanare. Explică de ce unghiul lor nu poate fi citit direct, ca la dreptele concurente.
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că nu au niciun punct comun, nu există un vârf în care să se măsoare direct un unghi; trebuie construit unul auxiliar.
Construcția translației paralele creează un vârf nou (concurent), unde unghiul devine măsurabil ca în plan.
Pentru unghiul dreptelor $BG$ și $AD$ ale cubului $ABCD$ – $EFGH$ numește muchia paralelă cu $AD$ care trece prin $B$ apoi află măsura unghiului.
Arată răspunsul
Răspuns: $BC$ unghiul este $45°$
$AD \parallel BC$ iar $BC$ trece prin $B$ deci unghiul cerut este $\widehat{GBC}$ $BG$ este diagonala pătratului $BCGF$ triunghiul $BCG$ este dreptunghic în $C$ și isoscel $BC = CG$ deci $\widehat{GBC} = 45°$
Un elev spune: $AE \parallel DH$ deci unghiul dintre $AF$ și $DH$ este egal cu unghiul $\widehat{FAE}$ Este corect?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Pentru că $AE$ este paralela la $DH$ dusă printr-un punct $A$ al lui $AF$ unghiul $\widehat{FAE}$ este exact unghiul cerut.
Planurile $\alpha$ și $\beta$ sunt paralele, iar $d\subset\alpha$ Poate dreapta $d$ să intersecteze planul $\beta$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu; $d\parallel\beta$
Dacă $d$ ar intersecta $\beta$ punctul de intersecție ar aparține ambelor plane, ceea ce contrazice $\alpha\parallel\beta$
Dreptele $AB$ și $AD$ ale cubului $ABCD$ – $EFGH$ sunt fiecare paralele cu planul $(EFGH)$ Ce se poate concluziona?
Arată răspunsul
Răspuns: Fața $(ABCD)$ este paralelă cu fața $(EFGH)$
$AB$ și $AD$ sunt concurente în $A$ deci criteriul plan–plan se aplică.
Explică de ce unghiul a două drepte necoplanare nu depinde de punctul ales pentru translația paralelă.
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că translația paralelă păstrează direcția dreptei, indiferent prin ce punct trece; unghiul se calculează din direcții, nu din poziție.
Două paralele la aceeași dreaptă, duse prin puncte diferite, au exact aceeași direcție, deci dau același unghi.
Pe cub, verifică dacă muchiile $BC$ și $AE$ sunt concurente, paralele sau necoplanare.
Arată răspunsul
Răspuns: Necoplanare.
$BC$ este orizontală, pe fața de jos; $AE$ este verticală, printr-un alt vârf; nu au punct comun și nu au aceeași direcție.
Dreapta $f$ este paralelă cu planul $\alpha$ Poate $f$ să fie, în același timp, concurentă cu o dreaptă conținută în $\alpha$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Dacă $f$ ar intersecta o dreaptă din $\alpha$ ar avea cu ea un punct comun, deci un punct comun cu $\alpha$ contrazicând paralelismul $f \parallel \alpha$
Un elev calculează unghiul dintre două drepte concurente folosind construcția de translație paralelă, specifică dreptelor necoplanare. E nevoie de această construcție?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Dreptele concurente au deja un vârf comun; unghiul se citește direct, fără nicio construcție auxiliară.

Provocare

Dreptele $d$ și $e$ sunt necoplanare, iar unghiul lor este $90°$ Arată, pe un exemplu concret de pe cub, o astfel de pereche.
Arată răspunsul
Răspuns: De exemplu, $AB$ și $DH$
$AB$ este orizontală pe fața de jos, $DH$ verticală printr-un vârf opus; ducând prin $A$ paralela la $DH$ (este $AE$ unghiul $\widehat{BAE}$ este $90°$ pentru că $AE \perp AB$
Planul $\alpha$ conține trei drepte concurente în același punct, toate paralele cu planul $\beta$ E necesar să verifici toate trei, sau e de ajuns subsetul minim cerut de criteriu?
Arată răspunsul
Răspuns: E de ajuns oricare două dintre cele trei, dacă sunt concurente (deci cu direcții diferite).
Criteriul cere doar două drepte concurente; a treia este o informație suplimentară, nu obligatorie.
Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ dreapta $d$ este paralelă cu $AB$ și trece printr-un punct din interiorul cubului. Este $d$ paralelă cu planul $(ABFE)$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$d \parallel AB$ iar $AB \subset (ABFE)$ Dreapta $d$ nu este conținută în $(ABFE)$ pentru că trece printr-un punct interior cubului, care nu este pe fața $ABFE$ Criteriul dreaptă–plan dă $d \parallel (ABFE)$
Un elev spune: „Dacă unghiul dintre două drepte este $0°$ înseamnă că sunt chiar aceeași dreaptă.” Găsește contraexemplul.
Arată răspunsul
Răspuns: Două drepte PARALELE DISTINCTE, de exemplu $AB$ și $EF$ pe cub.
Au unghi $0°$ (aceeași direcție), dar sunt drepte diferite, fără să coincidă.
Ce fel de triunghi formează diagonalele de față $BD$ $BG$ și $DG$ ale unui cub? Folosește răspunsul ca să afli unghiul dreptelor $BD$ și $BG$
Arată răspunsul
Răspuns: Echilateral; unghiul este $60°$
$BD$ $BG$ și $DG$ sunt diagonale ale unor fețe ale cubului (pătrate congruente), deci au aceeași lungime. Triunghiul $BDG$ este echilateral, așa că $\widehat{DBG} = 60°$
Explică de ce criteriul plan–plan NU funcționează cu două drepte PARALELE (nu concurente) dintr-un plan, fiecare paralelă cu alt plan.
Arată răspunsul
Răspuns: Două drepte paralele din $\alpha$ au aceeași direcție, deci dau o singură informație de direcție, nu două distincte; nu fixează complet orientarea lui $\alpha$ la fel ca o singură dreaptă.
Condiția „concurente” este esențială pentru a avea două direcții diferite.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Criteriul de paralelism dreaptă–plan cere ca dreapta $d$ să fie paralelă cu:
1. un punct al planului
2. toate dreptele planului
3. normala planului
4. o dreaptă conținută în plan
Arată răspunsul
Răspuns: o dreaptă conținută în plan
O singură dreaptă conținută în plan, paralelă cu $d$ este suficientă, cu condiția ca $d$ să nu fie conținută în plan.
2. Vrei să arăți cu criteriul plan–plan că $(EFGH) \parallel (ABCD)$ pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ Ce pereche de drepte din $(EFGH)$ ambele paralele cu $(ABCD)$ folosești?
1. $EF$ și $HG$
2. $EF$ și $EH$
3. doar $EF$
4. $EF$ și $AB$
Arată răspunsul
Răspuns: $EF$ și $EH$
Criteriul cere două drepte concurente din $(EFGH)$ fiecare paralelă cu $(ABCD)$ $EF$ și $EH$ se taie în $E$ $EF$ și $HG$ sunt paralele între ele, deci nu ajung.
3. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ ce unghi formează dreptele $AE$ și $CG$
1. $90°$
2. $45°$
3. $0°$
4. $60°$
Arată răspunsul
Răspuns: $0°$
$AE$ și $CG$ sunt muchii verticale, deci paralele: unghiul a două drepte paralele este $0°$
4. Unghiul a două drepte necoplanare se obține prin:
1. măsurare directă pe desen
2. calculul distanței dintre ele
3. nu se poate determina
4. construcția unei paralele la una dintre ele, printr-un punct al celeilalte
Arată răspunsul
Răspuns: construcția unei paralele la una dintre ele, printr-un punct al celeilalte
Duci prin punct o paralelă la una dintre drepte, obții o pereche de drepte concurente și măsori unghiul lor.
5. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ unghiul dintre dreptele $AB$ și $CG$ este:
1. $0°$
2. $45°$
3. $90°$
4. $180°$
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$
$AB$ și $CG$ nu sunt concurente. Prin $B$ $BF \parallel CG$ deci unghiul este $\angle ABF = 90°$ (latura și muchia verticală a feței $ABFE$
6. De ce nu este de ajuns O SINGURĂ dreaptă dintr-un plan, paralelă cu alt plan, pentru a garanta paralelismul celor două plane?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că o singură direcție nu exclude existența unei alte direcții din primul plan, care să taie al doilea plan.
Ai nevoie de două drepte concurente, cu direcții diferite.
7. Cum se construiește, la unghiul dreptelor necoplanare, dreapta care creează un vârf comun?
Arată răspunsul
Răspuns: Se duce o paralelă la una dintre cele două drepte printr-un punct ales (de exemplu un punct al celeilalte).
Se obține un vârf comun artificial, unde unghiul devine măsurabil direct.
8. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ dreptele $AF$ și $BG$ (diagonale ale fețelor $ABFE$ și $BCGF$ sunt necoplanare. Ce unghi formează?
Arată răspunsul
Răspuns: $60°$
$ABGH$ este dreptunghi $AB \parallel HG$ $AB = HG$ deci $AH \parallel BG$ iar $AH$ trece prin $A$ punct al lui $AF$ Unghiul cerut este $\widehat{FAH}$ $AF$ $FH$ și $AH$ sunt diagonale de față, deci triunghiul $AFH$ este echilateral: $60°$
9. Ce condiție obligatorie, des omisă, cere criteriul dreaptă–plan despre dreapta $d$
Arată răspunsul
Răspuns: Să nu fie conținută în plan.
Fără această condiție, criteriul s-ar aplica greșit și unor drepte deja conținute în plan.

Întrebări frecvente

Dacă nu găsesc nicio dreaptă din plan paralelă cu

d

înseamnă că

d

nu este paralelă cu planul?

Nu poți concluziona asta doar din faptul că nu ai găsit-o. Criteriul funcționează și invers: dacă $d \parallel \alpha$ atunci în $\alpha$ există drepte paralele cu $d$ (de exemplu, intersecția lui $\alpha$ cu un plan care conține $d$ Pentru a arăta că $d$ NU este paralelă cu $\alpha$ găsești un punct comun (dreapta înțeapă planul) sau arăți că este conținută în plan.

Pot folosi orice două drepte concurente dintr-un plan pentru criteriul plan–plan, sau trebuie să fie anume alese?

Orice două drepte concurente din plan, cu condiția ca AMBELE să fie paralele cu celălalt plan. Alegerea lor (ce drepte anume) nu are restricții suplimentare.

De ce unghiul dintre două drepte necoplanare este definit prin translație și nu altfel?

Pentru că unghiul clasic se măsoară într-un vârf comun. Dreptele necoplanare nu au vârf comun, deci construcția inventează unul artificial, fără să schimbe direcțiile reale implicate.

Rezultatul (măsura unghiului) depinde de dreapta pe care o mut,

d

e

Nu. Dacă duci prin $M \in d$ paralela la $e$ sau prin $N \in e$ paralela la $d$ obții același unghi, pentru că ambele construcții compară exact aceleași două direcții.

Unghiul dintre două drepte este mereu cel mai mic dintre cele două unghiuri formate?

Da, prin convenție se ia unghiul din intervalul $[0°, 90°]$ cel „ascuțit sau drept”, nu suplementul lui.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VIII-a

Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

Ce vei învăța

Ideea de bază

Recapitulare rapidă: pozițiile relative

Criteriul de paralelism dintre o dreaptă și un plan

Criteriul de paralelism dintre două plane

Unghiul a două drepte în spațiu

Aplicație: unghiuri pe cub

Exemple rezolvate

Exemplul 1: aplicarea directă a criteriului dreaptă–plan

Exemplul 2: de ce nu este de ajuns o singură dreaptă pentru plan–plan

Exemplul 3: criteriul plan–plan aplicat

Exemplul 4: unghiul a două drepte concurente

Exemplul 5: unghiul a două drepte necoplanare, pas cu pas

Exemplul 6: alegerea punctului de translație

Exemplul 7: recunoașterea unei perechi de muchii perpendiculare pe cub

Exemplul 8: identificarea unui raționament greșit (criteriul dreaptă–plan)

Exemplul 9: identificarea unui raționament greșit (unghiul dintre drepte)

Exemplul 10: plan determinat de criteriul dreaptă–plan, aplicație inversă

Exemplul 11: aplicație pe cub pentru criteriul plan–plan

Exemplul 12: unghiul dintre o diagonală de față și o muchie, pe cub

Exemplul 13: distincția dintre „nu se intersectează” și „paralele”, aplicată la unghi

Exemplul 14: o demonstrație scurtă, prin eliminarea pozițiilor

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VIII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VIII-a

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea a II-a

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a