Puncte, drepte și plane în spațiu

În geometria plană toate figurile stau în același plan, așa că nu te-ai întrebat niciodată dacă două drepte „au voie” să se întâlnească. În spațiu, planul însuși devine doar unul dintre obiectele posibile, alături de punct și de dreaptă, iar întrebarea „sunt în același plan?” devine centrală.

Planul $(ABC)$ nu este doar triunghiul desenat, ci se întinde la nesfârșit în toate direcțiile, ca o foaie plată infinită. Desenul arată doar o bucată din el, ca să poți vedea figura.

Până acum, toată geometria s-a petrecut într-un singur plan: triunghiuri, cercuri, patrulatere, toate stăteau pe aceeași „foaie”. Geometria în spațiu adaugă o a treia direcție. Acum planul nu mai este „toată lumea”, ci doar un obiect printre altele, alături de punct și de dreaptă.

• În plan: două drepte diferite ori se intersectează într-un punct, ori sunt paralele. Nu există a treia variantă.
• În spațiu: două drepte diferite pot să nu se intersecteze niciodată fără să fie paralele. Se numesc necoplanare (sau strâmbe): pur și simplu nu stau în același plan.

Cele trei obiecte de bază rămân aceleași ca în plan, dar acum sunt gândite ca părți ale spațiului, nu ale unei singure foi.

• Punctul nu are nicio dimensiune; se notează cu literă mare: $A$, $B$, $M$.
• Dreapta este nemărginită în ambele sensuri și are o singură dimensiune; se notează cu literă mică ($d$, $e$) sau prin două puncte ale ei ($AB$).
• Planul este nemărginit în toate direcțiile și are două dimensiuni; se notează cu literă mică grecească ($\alpha$, $\beta$) sau prin trei puncte ale lui, între paranteze: $(ABC)$.

Un punct poate fi situat pe o dreaptă sau pe un plan, sau poate fi exterior lor. În figura de mai sus, $N$ este situat în planul $(ABC)$, iar $D$ este exterior lui.

„A determina” o dreaptă înseamnă a da o informație minimă care fixează exact o singură dreaptă, nici mai multe, nici mai puține.

Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă. Este exact regula pe care o știi din plan; în spațiu rămâne neschimbată, pentru că două puncte determină automat și o direcție, indiferent unde se află în spațiu.

Ca să determini un plan ai nevoie de mai multă informație decât pentru o dreaptă, pentru că planul are două dimensiuni. Există patru situații standard, dar toate spun, de fapt, același lucru: informația dată fixează exact un singur plan.

1. Trei puncte necoliniare $A$, $B$, $C$ determină planul $(ABC)$.
2. O dreaptă $d$ și un punct $M$ exterior ei determină un plan.
3. Două drepte paralele determină un plan.
4. Două drepte concurente (secante) determină un plan.

Regula 1 (trei puncte necoliniare) este cea din figura de deschidere a lecției: $A$, $B$, $C$ necoliniare determină planul $(ABC)$.

Regula 2: o dreaptă și un punct exterior ei.

Regulile 3 și 4 (două drepte paralele, respectiv două drepte concurente) reapar în secțiunea următoare, despre poziția relativă a două drepte: exact aceleași două desene ilustrează și determinarea planului, și poziția dreptelor. Ideea comună a celor patru reguli este mereu aceeași: informația dată exclude orice altă posibilitate de plan.

Două drepte distincte din spațiu pot fi în una din trei situații.

• Secante (concurente): au exact un punct comun. Sunt coplanare (stau într-un plan comun).
• Paralele: sunt coplanare (stau într-un plan comun) și nu au niciun punct comun; au aceeași direcție.
• Necoplanare (strâmbe): nu au niciun punct comun și nu au aceeași direcție. Nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă (nu sunt coplanare).

O dreaptă $d$ și un plan $\alpha$ pot fi în una din trei situații.

• Dreapta este conținută în plan: toate punctele ei aparțin planului.
• Dreapta este concurentă (secantă) cu planul: are exact un punct comun cu el.
• Dreapta este paralelă cu planul: nu are niciun punct comun cu el.

Două plane distincte pot fi în una din două situații.

• Plane paralele: nu au niciun punct comun.
• Plane secante (concurente): au o dreaptă comună, numită dreapta de intersecție a lor.

Există și un al treilea caz, la limită: două plane coincidente, adică același plan, notat de două ori. Nu se numără ca „poziție relativă distinctă”, pentru că nu sunt, de fapt, două plane diferite.

Toate figurile din această lecție sunt desenate pe o suprafață plată (ecranul sau foaia de hârtie), deci sunt proiecții ale unor obiecte din spațiu, nu obiectele înseși. Asta are o consecință importantă: nu poți trage concluzii geometrice sigure doar din felul cum arată desenul.

• Două segmente care par să se încrucișeze pe desen pot fi, în spațiu, drepte necoplanare: se „încrucișează” doar în proiecție, nu în realitate.
• Două segmente care par paralele pe desen pot să nu fie chiar paralele în spațiu, dacă perspectiva înșală ochiul.
• Un punct care pare „pe” un plan poate fi, de fapt, ușor deasupra sau dedesubtul lui.

Exact din acest motiv, în figurile de mai sus muchiile ascunse (cele „din spatele” figurii) sunt desenate punctat: ca să nu confunzi ce se vede direct cu ce este dedus din poziția reală, tridimensională, a punctelor.

Cubul este un exemplu bun pentru exersat, pentru că are multe puncte, drepte și plane ușor de numit: cele 8 vârfuri, cele 12 muchii, cele 6 fețe.

• Fața $(ABCD)$ și fața $(EFGH)$ sunt plane paralele (nu au niciun punct comun).
• Fața $(ABFE)$ și fața $(EFGH)$ sunt plane secante: dreapta lor comună este muchia $EF$.
• Muchia $AD$ este paralelă cu planul $(EFGH)$: nu are niciun punct comun cu fața de sus.
• Muchia $AE$ este concurentă cu planul $(EFGH)$: îl atinge exact într-un punct, chiar $E$, care este vârf al cubului.