Elemente de statistică: medie, mediană, mod, amplitudine

Ce vei învăța

Recapitulezi frecvența unei valori și tabelul de frecvențe.
Calculezi frecvența relativă a unei valori și verifici că suma frecvențelor relative este $1$ $100\%$
Calculezi media aritmetică a unui set de date, inclusiv dintr-un tabel de frecvențe.
Calculezi mediana unui set de date, pentru un număr impar și pentru un număr par de valori.
Determini modul unui set de date, inclusiv când există mai multe moduri sau niciunul.
Calculezi amplitudinea unui set de date și explici ce arată și ce nu arată.
Interpretezi și compari indicatorii statistici într-un context dat.

Ideea de bază

Notele a 20 de elevi la un test, timpii de alergare ai unei echipe, temperaturile unei săptămâni: toate sunt seturi de date. Un indicator statistic este un singur număr care rezumă tot setul, într-un fel anume.

Media arată cât ar avea fiecare dacă totul s-ar împărți egal. Mediana arată valoarea din mijloc. Modul arată ce apare cel mai des. Amplitudinea arată cât de întinse sunt valorile. Niciunul nu spune totul singur; de multe ori ai nevoie de mai mulți ca să înțelegi corect datele.

De la date brute la tabelul de frecvențe

Din clasele V–VI știi deja: un set de date este un șir de valori culese despre același lucru, iar frecvența unei valori este numărul ei de apariții. Organizate într-un tabel de frecvențe, datele devin ușor de citit și de calculat cu ele.

20 de elevi au susținut un test, iar notele lor au fost organizate în tabelul de mai jos.

Notele a 20 de elevi la un test
Nota	Frecvență
6	2
7	5
8	7
9	4
10	2

2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20

Suma frecvențelor trebuie să fie egală cu numărul de elevi.

Patru indicatori, patru întrebări

Dintr-un set de date poți calcula patru lucruri diferite: media (cât ar lua fiecare la o repartizare egală), mediana (valoarea din mijloc), modul (valoarea cea mai frecventă) și amplitudinea (cât de răspândite sunt valorile). Le calculezi pe rând în secțiunile următoare.

Frecvența relativă

Numărul de apariții al unei valori se numește frecvență absolută. Frecvența relativă arată ce parte din total reprezintă acea valoare: se obține împărțind frecvența absolută la numărul total de valori. O poți scrie ca fracție, ca număr zecimal sau ca procent. Notăm cu $f$ frecvența absolută, cu $n$ numărul total de valori și cu $f_r$ frecvența relativă.

f_r = \dfrac{f}{n}

Pentru cei 20 de elevi din tabelul de mai sus, nota $8$ apare de $7$ ori, deci frecvența ei relativă este $7 : 20 = 0{,}35$ adică $35\%$

Frecvențele absolute și relative ale notelor (20 de elevi)
Nota	Frecvență absolută	Frecvență relativă	Procent
6	2	0,1	10%
7	5	0,25	25%
8	7	0,35	35%
9	4	0,2	20%
10	2	0,1	10%

0{,}1 + 0{,}25 + 0{,}35 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1

Suma frecvențelor relative este mereu

1

adică

100\%

din date.

Frecvența relativă permite compararea a două seturi cu număr diferit de valori: $7$ elevi din $20$ și $14$ elevi din $40$ înseamnă aceeași pondere, $35\%$

Media aritmetică dintr-un tabel de frecvențe

Media aritmetică a unui set de date este suma tuturor valorilor împărțită la numărul valorilor. Când datele sunt organizate într-un tabel de frecvențe, nu rescrii toate valorile: fiecare notă se ia de câte ori apare, adică valoare înmulțită cu frecvența ei.

6 \cdot 2 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 7 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 2 = 12 + 35 + 56 + 36 + 20 = 159

Suma tuturor notelor, ținând cont de câte ori apare fiecare.

2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20

Numărul total de note este suma frecvențelor, nu numărul de rânduri (5).

159 : 20 = 7{,}95

Media.

Greșeala cea mai frecventă

Nu împărți suma la numărul de rânduri din tabel (aici 5). Împarți la numărul total de valori din setul original, adică la suma frecvențelor (aici 20).

Media 7,95 este puțin sub 8. Verificarea de bun-simț rămâne valabilă: media trebuie să fie între cea mai mică notă (6) și cea mai mare (10).

Mediana unui set de date

Mediana este valoarea din mijlocul setului de date, după ce valorile au fost ordonate crescător. Ordonarea este obligatorie: mediana nu este valoarea din mijlocul șirului așa cum a fost cules, ci din mijlocul șirului sortat.

Ordonează valorile crescător.
Numără câte valori sunt, $n$
Dacă $n$ este impar, mediana este valoarea de pe poziția din mijloc.
Dacă $n$ este par, mediana este media aritmetică a celor două valori din mijloc.

Exemplu cu $n$ impar: timpii (în secunde) a 7 elevi la 800 m au fost $142, 150, 138, 145, 160, 138, 149$

138, 138, 142, 145, 149, 150, 160

Valorile ordonate crescător; sunt 7 valori (impar).

145

Valoarea de pe poziția a 4-a, exact la mijloc (3 valori înainte, 3 după).

Exemplu cu $n$ par: paginile citite de un elev în 8 zile au fost $12, 20, 15, 18, 25, 10, 22, 16$

10, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 25

Valorile ordonate crescător; sunt 8 valori (par).

(16 + 18) : 2 = 17

Media celor două valori din mijloc, pozițiile 4 și 5.

Fără sortare, mediana e greșită

Pentru $8, 3, 10, 5, 7$ valoarea de pe poziția a treia din șirul dat este $10$ dar aceasta NU este mediana. Sortat, șirul este $3, 5, 7, 8, 10$ iar mediana corectă este $7$

Modul unui set de date (valoarea modală)

Modul unui set de date este valoarea (sau categoria) cu frecvența cea mai mare, adică cea care apare cel mai des.

Numerele de pantofi a 10 persoane: $38, 39, 38, 40, 41, 38, 39, 42, 38, 40$ Numărul 38 apare de 4 ori, mai des decât oricare altul.

Frecvența fiecărui număr de pantofi
Număr	Frecvență
38	4
39	2
40	2
41	1
42	1

Modul este 38. Nu orice set de date are exact un mod.

Dacă două sau mai multe valori au frecvența maximă (cel puțin $2$ toate sunt moduri: setul este multimodal.
Dacă nicio valoare nu se repetă (toate au frecvența $1$ setul nu are mod: nicio valoare nu se distinge ca fiind „cea mai frecventă”.

Modul poate fi și o categorie

Spre deosebire de medie și mediană, modul se poate calcula și pentru date care nu sunt numere (culori, sporturi preferate). Este singurul indicator din această lecție care are sens și pentru categorii.

Amplitudinea unui set de date

Amplitudinea unui set de date este diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare din set.

\text{amplitudine} = \text{valoarea maximă} - \text{valoarea minimă}

Temperaturile maxime dintr-o săptămână au fost $18, 21, 17, 25, 19, 16, 23$ de grade.

25 - 16 = 9

Maximul 25, minimul 16.

Amplitudinea este 9 grade. Ea arată cât de întinse sunt valorile, de la cea mai mică la cea mai mare, dar nu spune nimic despre cum sunt distribuite valorile dintre ele: două seturi pot avea aceeași amplitudine și totuși să arate foarte diferit.

Amplitudinea nu este maximul

Amplitudinea este o diferență, nu o singură valoare. Pentru $4, 10, 6, 10, 4$ amplitudinea NU este $10$ (maximul), ci $10 - 4 = 6$

Compararea și interpretarea indicatorilor

Doi indicatori care descriu seturi diferite de date pot ascunde diferențe importante dacă te uiți la un singur indicator. Compară punctajele a doi jucători, obținute în câte 3 partide.

Punctaje în 3 partide
Jucător	Punctaje
Jucătorul A	5, 6, 7
Jucătorul B	1, 6, 11

(5 + 6 + 7) : 3 = 6

Media jucătorului A.

(1 + 6 + 11) : 3 = 6

Media jucătorului B.

Ambii au aceeași medie, 6. Dar amplitudinea lor este foarte diferită: $7 - 5 = 2$ pentru A, $11 - 1 = 10$ pentru B. Jucătorul A a fost constant, aproape de medie în fiecare partidă. Jucătorul B a avut rezultate foarte împrăștiate: o partidă foarte slabă și una foarte bună.

Un singur indicator nu spune totul

Media descrie „centrul” datelor, dar nu spune nimic despre cât de răspândite sunt. Amplitudinea (sau alți indicatori) completează imaginea. La interpretare, te întrebi mereu ce arată indicatorul și ce nu arată.

Citirea completă a unui set de date

O echipă a marcat următoarele goluri în 7 meciuri consecutive.

Golurile marcate de o echipă în 7 meciuri consecutive

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 5 + 3 = 21

Suma golurilor din cele 7 meciuri.

21 : 7 = 3

Media: 3 goluri pe meci.

Pentru mediană, ordonezi golurile: $1, 2, 3, 3, 3, 4, 5$ (7 valori, impar). Valoarea din mijloc, poziția a 4-a, este $3$

Valoarea 3 apare de 3 ori, mai des decât oricare alta: modul este $3$ Amplitudinea este $5 - 1 = 4$

Când indicatorii coincid

Aici media, mediana și modul sunt toate egale cu 3. Se poate întâmpla, dar nu este o regulă: în exemplele anterioare (notele, timpii, paginile) nu toți indicatorii coincideau.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: verifică un tabel de frecvențe

Notele a 20 de elevi au fost organizate astfel: nota 6 → frecvență 2, nota 7 → frecvență 5, nota 8 → frecvență 7, nota 9 → frecvență 4, nota 10 → frecvență 2. Este tabelul corect?

Vezi rezolvarea

2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20

Suma frecvențelor.

Suma este 20, exact numărul de elevi. Tabelul este corect.

Exemplul 2: media dintr-un tabel de frecvențe

Calculează media notelor din tabelul de mai sus.

Vezi rezolvarea

6 \cdot 2 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 7 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 2 = 159

Fiecare notă, de câte ori apare.

159 : 20 = 7{,}95

Media este 7,95, între cea mai mică notă (6) și cea mai mare (10).

Exemplul 3: frecvența relativă

Într-un set de 25 de valori, valoarea $3$ apare de $5$ ori. Care este frecvența ei relativă, ca fracție, ca număr zecimal și ca procent?

Vezi rezolvarea

\dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\%

Frecvența absolută (5) împărțită la numărul total de valori (25).

Valoarea $3$ reprezintă $20\%$ din setul de date.

Exemplul 4: mediana pentru un număr impar de valori

Calculează mediana timpilor (secunde) $142, 150, 138, 145, 160, 138, 149$

Vezi rezolvarea

138, 138, 142, 145, 149, 150, 160

Ordonare crescătoare.

Sunt 7 valori (impar). Mediana este valoarea de pe poziția a 4-a: 145.

Exemplul 5: mediana pentru un număr par de valori

Calculează mediana paginilor citite $12, 20, 15, 18, 25, 10, 22, 16$

Vezi rezolvarea

10, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 25

Ordonare crescătoare.

(16 + 18) : 2 = 17

Media celor două valori din mijloc (pozițiile 4 și 5).

Mediana este 17.

Exemplul 6: greșeala frecventă, mediana fără sortare

Un elev calculează mediana setului $8, 3, 10, 5, 7$ luând valoarea de pe poziția a treia din enunț, $10$ Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Mediana se calculează pe șirul ordonat, nu pe cel din enunț.

3, 5, 7, 8, 10

Ordonare crescătoare.

Mediana corectă este 7, valoarea din mijlocul șirului ordonat, nu 10.

Exemplul 7: modul unui set de date

Numerele de pantofi a 10 persoane: $38, 39, 38, 40, 41, 38, 39, 42, 38, 40$ Care este modul?

Vezi rezolvarea

Frecvența fiecărui număr de pantofi
Număr	Frecvență
38	4
39	2
40	2
41	1
42	1

Numărul 38 are frecvența cea mai mare, 4. Modul este 38.

Exemplul 8: un set cu mai multe moduri

Numărul de frați ai 12 elevi: $0, 1, 1, 2, 0, 3, 2, 1, 0, 2, 1, 2$ Are acest set un singur mod?

Vezi rezolvarea

Numărul de frați ai celor 12 elevi
Frați	Frecvență
0	3
1	4
2	4
3	1

Valorile 1 și 2 au amândouă frecvența maximă, 4. Setul este multimodal: are două moduri, 1 și 2.

Exemplul 9: un set fără mod

Punctajele $60, 70, 80, 90, 100$ au fiecare frecvența 1. Care este modul?

Vezi rezolvarea

Fiecare valoare apare o singură dată, deci nicio valoare nu este mai frecventă decât celelalte. Setul nu are mod.

Exemplul 10: amplitudinea unui set de date

Temperaturile maxime dintr-o săptămână: $18, 21, 17, 25, 19, 16, 23$ Calculează amplitudinea.

Vezi rezolvarea

25 - 16 = 9

Maximul minus minimul.

Amplitudinea este 9 grade.

Exemplul 11: greșeala frecventă, amplitudinea nu este maximul

Un elev spune că amplitudinea setului $4, 10, 6, 10, 4$ este $10$ Ce a greșit?

Vezi rezolvarea

A confundat amplitudinea cu valoarea maximă. Amplitudinea este o diferență.

10 - 4 = 6

Maximul (10) minus minimul (4).

Amplitudinea corectă este 6.

Exemplul 12: modul confundat cu cea mai mare valoare

Un elev spune că modul setului $2, 2, 9$ este $9$ „pentru că e cel mai mare”. Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Modul este valoarea cea mai frecventă, nu cea mai mare. Valoarea 2 apare de 2 ori, iar 9 apare o singură dată.

Modul corect este 2.

Exemplul 13: greșeala frecventă, împărțirea la numărul de rânduri

Un tabel arată: nota 7 → frecvență 3, nota 8 → frecvență 5, nota 9 → frecvență 2. Un elev calculează media ca $(7 + 8 + 9) : 3 = 8$ Ce a greșit și care este media corectă?

Vezi rezolvarea

Elevul a împărțit la numărul de rânduri din tabel (3), nu la numărul de note. Fiecare notă trebuie luată de câte ori apare.

7 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 9 \cdot 2 = 21 + 40 + 18 = 79

3 + 5 + 2 = 10

Numărul total de note (suma frecvențelor), nu 3.

79 : 10 = 7{,}9

Media corectă este 7,9, nu 8.

Exemplul 14: aceeași medie, seturi diferite

Compară punctajele $5, 6, 7$ cu punctajele $1, 6, 11$ Au aceeași medie?

Vezi rezolvarea

(5 + 6 + 7) : 3 = 6

(1 + 6 + 11) : 3 = 6

Da, ambele au media 6. Dar amplitudinea lor este diferită: $7 - 5 = 2$ respectiv $11 - 1 = 10$ Primul set este strâns în jurul mediei, al doilea este foarte împrăștiat, deși media este identică.

Exemplul 15: toți indicatorii dintr-un tabel de frecvențe

25 de elevi au citit într-o lună un număr de cărți: 0 cărți → 3 elevi, 1 carte → 7 elevi, 2 cărți → 9 elevi, 3 cărți → 4 elevi, 4 cărți → 2 elevi. Calculează media, mediana, modul și amplitudinea.

Vezi rezolvarea

Cărțile citite de cei 25 de elevi
Cărți citite	Frecvență
0	3
1	7
2	9
3	4
4	2

0 \cdot 3 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 0 + 7 + 18 + 12 + 8 = 45

3 + 7 + 9 + 4 + 2 = 25

45 : 25 = 1{,}8

Media.

Pentru mediană: sunt 25 de valori (impar), deci mediana este valoarea de pe poziția a 13-a din șirul ordonat. Primele 3 valori sunt 0, următoarele 7 (poziții 4-10) sunt 1, următoarele 9 (poziții 11-19) sunt 2. Poziția 13 cade în acest ultim grup, deci mediana este 2.

Modul este 2 (frecvența cea mai mare, 9). Amplitudinea este $4 - 0 = 4$

Media (1,8) este mai mică decât mediana și modul (2): 10 din cei 25 de elevi au citit cel mult o carte, ceea ce trage media în jos, dar cei mai mulți elevi (9 din 25) au citit exact 2 cărți.

Exemplul 16: citirea unui grafic cu bare

Pe graficul de mai jos sunt golurile marcate de o echipă în 7 meciuri. Calculează media, mediana, modul și amplitudinea.

Vezi rezolvarea

Golurile marcate de o echipă în 7 meciuri consecutive

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 5 + 3 = 21

21 : 7 = 3

Media.

Ordonate: $1, 2, 3, 3, 3, 4, 5$ (7 valori). Mediana (poziția a 4-a) este 3. Valoarea 3 are frecvența cea mai mare (apare de 3 ori): modul este 3. Amplitudinea este $5 - 1 = 4$

Greșeli frecvente

Calculezi mediana luând valoarea din mijlocul șirului așa cum a fost dat, fără să-l ordonezi.
Ordonează întotdeauna valorile crescător înainte de a găsi mediana. Pentru $8, 3, 10, 5, 7$ mediana este $7$ (din șirul ordonat $3, 5, 7, 8, 10$ nu $10$
La media dintr-un tabel de frecvențe, împarți suma la numărul de rânduri din tabel.
Împarți la numărul total de valori din setul original, adică la suma frecvențelor. Un tabel cu 3 rânduri poate reprezenta 10, 20 sau orice alt număr de valori.
Aduni doar valorile distincte dintr-un tabel de frecvențe, ignorând de câte ori apare fiecare.
Fiecare valoare se ia de câte ori arată frecvența ei (valoare înmulțită cu frecvența), altfel suma nu corespunde datelor reale.
Confunzi frecvența unei valori cu procentul ei din total.
Frecvența absolută este un număr de apariții (ex. 5 elevi). Frecvența relativă, scrisă ca procent, arată ce parte reprezintă acel număr din total (ex. 5 din 20 înseamnă $25\%$ Sunt două informații diferite.
Crezi că modul este întotdeauna egal cu media sau că orice set are exact un mod.
Modul poate coincide uneori cu media, dar de obicei nu. Un set poate avea un mod, mai multe moduri (dacă mai multe valori au frecvența maximă, mai mare decât $1$ sau niciunul (dacă nicio valoare nu se repetă).
Iei amplitudinea ca fiind valoarea maximă din set.
Amplitudinea este o diferență: valoarea maximă minus valoarea minimă. Pentru $4, 10, 6, 10, 4$ amplitudinea este $10 - 4 = 6$ nu $10$
Confunzi modul (valoarea cea mai frecventă) cu valoarea cea mai mare din set.
Modul se caută în coloana frecvențelor, nu în coloana valorilor. Pentru $2, 2, 9$ modul este $2$ (apare de 2 ori), nu $9$ deși $9$ este mai mare ca număr.
Citești greșit înălțimea unei bare pe un grafic, ignorând gradațiile axei.
Citești valoarea unei bare urmărind gradațiile axei, nu „din ochi”. O bară care pare „cam la jumătate” poate să nu fie exact jumătate din scală.

Exerciții

Ușor

Calculează media numerelor $3, 7, 8, 10$
Arată răspunsul
Răspuns: 7
$28 : 4 = 7$
Calculează media numerelor $5, 9, 10$
Arată răspunsul
Răspuns: 8
$24 : 3 = 8$
Calculează mediana numerelor $9, 3, 7, 5, 10$
Arată răspunsul
Răspuns: 7
Ordonat: $3, 5, 7, 9, 10$ mediana este $7$
Calculează mediana numerelor $4, 8, 6, 10$
Arată răspunsul
Răspuns: 7
Ordonat: $4, 6, 8, 10$ mediana este $(6 + 8) : 2 = 7$
Care este modul setului $3, 5, 3, 7, 3, 8$
Arată răspunsul
Răspuns: 3
Valoarea 3 apare de 3 ori, mai des decât oricare alta.
Are setul $2, 4, 6, 8$ un mod? Explică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu are mod: fiecare valoare apare o singură dată.
Calculează amplitudinea setului $12, 5, 9, 15, 3$
Arată răspunsul
Răspuns: 12
$15 - 3 = 12$
Ce este mediana unui set de date?
Arată răspunsul
Răspuns: Valoarea din mijlocul setului, după ce valorile au fost ordonate crescător (sau media celor două valori din mijloc, dacă numărul valorilor este par).
De ce trebuie ordonate valorile crescător înainte de a calcula mediana?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că mediana este valoarea (sau media celor două valori) chiar din mijlocul șirului ordonat. Pe un șir neordonat, valoarea „din mijloc” nu are legătură cu mediana și poate fi complet greșită.

Mediu

Un tabel arată: valoarea 4 → frecvență 6, valoarea 5 → frecvență 3, valoarea 6 → frecvență 1. Calculează media, mediana și modul.
Arată răspunsul
Răspuns: Media 4,5; mediana 4; modul 4.
$4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 1 = 45$ $6+3+1=10$ $45:10=4{,}5$ Ordonate, cele 10 valori au poziția 5 și 6 egale cu 4, deci mediana $= 4$ Modul $= 4$ (frecvența 6).
Media a 5 numere este 9. Patru dintre ele sunt $6, 8, 10, 12$ Care este al cincilea?
Arată răspunsul
Răspuns: 9
$9 \cdot 5 = 45$ $45 - (6+8+10+12) = 45 - 36 = 9$
Clasa A are notele $6, 7, 8, 9, 10$ clasa B are notele $2, 6, 8, 10, 14$ Ambele au aceeași medie și aceeași mediană (8). Ce indicator arată o diferență și ce spune el?
Arată răspunsul
Răspuns: Amplitudinea: 4 la clasa A, 12 la clasa B. Notele clasei B sunt mult mai împrăștiate.
Clasa A: $10-6=4$ Clasa B: $14-2=12$
Un elev calculează mediana setului $12, 4, 15, 7, 9$ luând valoarea din mijlocul enunțului, $15$ Găsește greșeala și mediana corectă.
Arată răspunsul
Răspuns: Greșit: nu a ordonat. Corect: mediana este 9.
Ordonat: $4, 7, 9, 12, 15$ mediana $= 9$
Un tabel arată: nota 5 → frecvență 2, nota 6 → frecvență 3, nota 7 → frecvență 5. Un elev calculează media ca $(5+6+7):3=6$ Găsește greșeala și media corectă.
Arată răspunsul
Răspuns: Greșit: a împărțit la numărul de rânduri. Corect: media este 6,3.
$5\cdot2+6\cdot3+7\cdot5=10+18+35=63$ $2+3+5=10$ $63:10=6{,}3$
Un tabel arată: valoarea 1 → frecvență 5, valoarea 2 → frecvență 8, valoarea 3 → frecvență 8. Care este modul?
Arată răspunsul
Răspuns: Setul este multimodal: modurile sunt 2 și 3.
Frecvența maximă este 8, atinsă atât de valoarea 2, cât și de valoarea 3.
Setul A este $10, 12, 14, 16, 18$ setul B este $10, 10, 10, 18, 18$ Ambele au amplitudinea 8. Sunt seturile la fel de „împrăștiate”?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. A are valorile distribuite uniform (mediana = media = 14). B are majoritatea valorilor grupate la un capăt (modul 10, mediana 10, media 13,2). Amplitudinea egală nu înseamnă aceeași distribuție.
A: medie $14$ mediană $14$ B: medie $13{,}2$ mediană $10$ mod $10$
Un tabel are valorile $1, 2, 3, 4$ cu frecvențele $4, ?, 6, 2$ iar totalul de date este 20. Află frecvența lipsă.
Arată răspunsul
Răspuns: 8
$20 - 4 - 6 - 2 = 8$
Din cei 25 de elevi care au citit cărți (0→3, 1→7, 2→9, 3→4, 4→2), ce fracție a citit cel puțin 2 cărți?
Arată răspunsul
Răspuns: $\frac{3}{5}$ adică 60%
$9 + 4 + 2 = 15$ din 25; $15:25 = \frac{3}{5} = 60\%$
Într-un set de $40$ de valori, valoarea $6$ apare de $10$ ori. Calculează frecvența relativă a lui $6$ ca fracție, ca număr zecimal și ca procent.
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%$
$10 : 40 = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%$
Un set are trei valori distincte, cu frecvențele relative $0{,}3$ $0{,}5$ și $x$ Află $x$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = 0{,}2$
Suma frecvențelor relative este $1$ $0{,}3 + 0{,}5 + x = 1$ deci $x = 0{,}2$
O echipă a marcat $2, 1, 3, 0, 2, 4$ goluri în 6 meciuri. Calculează media și mediana.
Arată răspunsul
Răspuns: Media 2; mediana 2.
Ordonat: $0,1,2,2,3,4$ suma $=12$ $12:6=2$ mediana $=(2+2):2=2$
Un tabel arată: nota 8 → frecvență 5, nota 9 → frecvență 3, nota 10 → frecvență 2. Calculează media.
Arată răspunsul
Răspuns: 8,7
$8\cdot5+9\cdot3+10\cdot2=40+27+20=87$ $5+3+2=10$ $87:10=8{,}7$

Provocare

Clasa A are notele $7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 4$ clasa B are notele $5, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 5$ Ambele au aceeași medie (8) și aceeași mediană (8,5). Compară modul și amplitudinea celor două clase și interpretează.
Arată răspunsul
Răspuns: Clasa A: mod 9, amplitudine 6. Clasa B: mod 10, amplitudine 5. Deși media și mediana coincid, clasa B are mai mulți elevi cu nota maximă și note mai puțin împrăștiate.
A: max $10$ −min $4=6$ B: max $10$ −min $5=5$
La un test, $40\%$ dintre cei $25$ de elevi au luat nota $9$ Câți elevi au luat nota $9$
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ elevi.
$40\% \cdot 25 = \dfrac{40}{100} \cdot 25 = 10$
Poate media unui set de date să fie egală cu modul? Dă un exemplu.
Arată răspunsul
Răspuns: Da. Pentru $2, 4, 4, 6$ media este $16:4=4$ iar modul este $4$ (frecvența cea mai mare).
Verificare: mediana este de asemenea $4$ aici, dar nu este mereu așa.
Datele sunt $5, 7, x, 10, 12$ cu $7 \le x \le 10$ Pentru ce valoare a lui $x$ mediana devine $8$
Arată răspunsul
Răspuns: x = 8
Cu $7 \le x \le 10$ șirul ordonat este $5, 7, x, 10, 12$ iar mediana este chiar $x$
Găsește un set de 5 numere naturale cu media 6, mediana 6 și modul 8.
Arată răspunsul
Răspuns: De exemplu $3, 5, 6, 8, 8$
Sumă $=30$ $30:5=6$ ordonat $3,5,6,8,8$ mediana (poziția 3) $=6$ modul $=8$ (frecvența 2).
La un sondaj despre satisfacție (scala 1-4) cu 30 de persoane, frecvențele sunt $5, ?, 12, 4$ Află frecvența lipsă, apoi modul și procentul persoanelor care au răspuns 4.
Arată răspunsul
Răspuns: Frecvența lipsă: 9. Modul: 3. Procentul pentru 4: aproximativ $13{,}3\%$
$30-5-12-4=9$ frecvența maximă e $12$ (valoarea 3); $4:30\approx13{,}3\%$
Pe graficul de mai jos sunt golurile marcate de o altă echipă în 7 meciuri. Care meci are cele mai multe goluri? Este acel număr egal cu modul setului? Justifică.
- meci 1: 2
- meci 2: 0
- meci 3: 6
- meci 4: 2
- meci 5: 1
- meci 6: 4
- meci 7: 2
Golurile marcate de o altă echipă în 7 meciuri
Arată răspunsul
Răspuns: Meciul 3, cu 6 goluri. Nu: modul setului este 2 (apare de 3 ori), iar 6 apare o singură dată. Valoarea cea mai mare nu este neapărat cea mai frecventă.
Din grafic: $2, 0, 6, 2, 1, 4, 2$ Cea mai înaltă bară este la meciul 3 $6$ goluri). Frecvențe: $2$ apare de $3$ ori, iar $0, 1, 4, 6$ câte o dată, deci modul este $2 \ne 6$
Vârstele a 9 verișori la o reuniune de familie: $8, 12, 8, 15, 10, 8, 12, 16, 10$ Calculează media, mediana, modul și amplitudinea.
Arată răspunsul
Răspuns: Media 11; mediana 10; modul 8; amplitudinea 8.
Ordonat: $8,8,8,10,10,12,12,15,16$ suma $=99$ $99:9=11$ mediana (poziția 5) $=10$ modul $=8$ (frecvența 3); amplitudinea $=16-8=8$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Un set are $11$ valori, ordonate crescător. A câta valoare din șir este mediana?
1. a $5$ -a
2. a $6$ -a
3. media valorilor a $5$ -a și a $6$ -a
4. a $11$ -a
Arată răspunsul
Răspuns: a $6$ -a
Cu $11$ valori (număr impar), mediana este valoarea din mijloc: are $5$ valori înaintea ei și $5$ după ea, deci este a $6$ -a.
2. Calculează media numerelor $4, 6, 8, 10, 12$
Arată răspunsul
Răspuns: 8
$40 : 5 = 8$
3. Un elev spune că mediana setului $8, 2, 6$ este $2$ valoarea din mijlocul scrierii. Ce a greșit?
1. Nimic, răspunsul este corect
2. Nu a ordonat valorile: ordonat, șirul este $2, 6, 8$ iar mediana este $6$
3. Trebuia să calculeze media, $\frac{16}{3}$
4. Un set cu $3$ valori nu are mediană
Arată răspunsul
Răspuns: Nu a ordonat valorile: ordonat, șirul este $2, 6, 8$ iar mediana este $6$
Mediana se citește pe șirul ordonat crescător. În ordinea din enunț, valoarea din mijloc nu are legătură cu mediana.
4. Calculează mediana numerelor $3, 9, 5, 7$
Arată răspunsul
Răspuns: 6
Ordonat: $3, 5, 7, 9$ mediana $= (5+7):2 = 6$
5. Poate un set de date să nu aibă niciun mod?
1. Nu, orice set are exact un mod
2. Da, dar doar dacă setul are un număr par de valori
3. Nu, doar seturile cu mai puțin de 3 valori pot să nu aibă mod
4. Da, dacă nicio valoare nu se repetă
Arată răspunsul
Răspuns: Da, dacă nicio valoare nu se repetă
Dacă nicio valoare nu se repetă (toate au frecvența $1$ nicio valoare nu se distinge ca fiind cea mai frecventă și setul nu are mod.
6. Care este modul setului $4, 4, 6, 8, 8, 8$
Arată răspunsul
Răspuns: 8
Valoarea 8 apare de 3 ori, mai des decât oricare alta.
7. Suma frecvențelor relative ale tuturor valorilor unui set de date este:
1. $0$
2. egală cu numărul valorilor
3. $1$ adică $100\%$
4. diferită de la un set la altul
Arată răspunsul
Răspuns: $1$ adică $100\%$
Frecvențele relative reprezintă părți din total, iar împreună acoperă tot setul: suma lor este $1$ $100\%$
8. Calculează amplitudinea setului $7, 15, 3, 20, 9$
Arată răspunsul
Răspuns: 17
$20 - 3 = 17$
9. Un elev calculează media notelor $6, 7, 8, 9$ ca $(6+7+8+9):3$ Ce a greșit?
1. A adunat greșit
2. A împărțit la 3 în loc de 4 (sunt 4 note, nu 3)
3. Trebuia să calculeze mediana, nu media
4. Nimic, este corect
Arată răspunsul
Răspuns: A împărțit la 3 în loc de 4 (sunt 4 note, nu 3)
Sunt 4 valori, deci împarți suma la 4: $30 : 4 = 7{,}5$
10. Un tabel arată: valoarea 2 → frecvență 4, valoarea 3 → frecvență 6. Calculează media.
Arată răspunsul
Răspuns: 2,6
$2\cdot4+3\cdot6=8+18=26$ sunt $4+6=10$ valori; $26:10=2{,}6$
11. Amplitudinea unui set este 0. Ce spune asta despre valorile din set?
Arată răspunsul
Răspuns: Toate valorile sunt egale între ele.
Amplitudinea 0 înseamnă că maximul și minimul coincid, deci nu există nicio variație.

Întrebări frecvente

Cum se calculează media dintr-un tabel de frecvențe?

Înmulțești fiecare valoare cu frecvența ei, aduni rezultatele, apoi împarți la numărul total de valori, adică la suma frecvențelor (nu la numărul de rânduri din tabel).

Cum se calculează mediana?

Ordonezi valorile crescător. Dacă numărul lor este impar, mediana este valoarea din mijloc. Dacă este par, mediana este media aritmetică a celor două valori din mijloc.

Ce este modul unui set de date?

Modul este valoarea (sau categoria) care apare cel mai des. Un set poate avea un mod, mai multe moduri (dacă mai multe valori au frecvența maximă, mai mare decât $1$ sau niciunul (dacă nicio valoare nu se repetă).

Ce este frecvența relativă și cât fac împreună frecvențele relative?

Frecvența relativă a unei valori este frecvența ei absolută împărțită la numărul total de valori; o scrii ca fracție, număr zecimal sau procent. Suma frecvențelor relative ale tuturor valorilor este mereu $1$ adică $100\%$

Ce este amplitudinea și ce arată?

Amplitudinea este diferența dintre valoarea maximă și cea minimă dintr-un set. Arată cât de întinse sunt valorile, dar nu spune nimic despre cum sunt distribuite între extreme.

De ce pot avea două seturi de date aceeași medie și totuși să arate foarte diferit?

Media descrie doar „centrul” datelor. Două seturi pot avea aceeași medie, dar amplitudini foarte diferite: unul strâns în jurul mediei, celălalt foarte împrăștiat. De aceea se folosesc mai mulți indicatori împreună.

Ce vei învăța

Ideea de bază

De la date brute la tabelul de frecvențe

Frecvența relativă

Media aritmetică dintr-un tabel de frecvențe

Mediana unui set de date

Modul unui set de date (valoarea modală)

Amplitudinea unui set de date

Compararea și interpretarea indicatorilor

Citirea completă a unui set de date

Exemple rezolvate

Exemplul 1: verifică un tabel de frecvențe

Exemplul 2: media dintr-un tabel de frecvențe

Exemplul 3: frecvența relativă

Exemplul 4: mediana pentru un număr impar de valori

Exemplul 5: mediana pentru un număr par de valori

Exemplul 6: greșeala frecventă, mediana fără sortare

Exemplul 7: modul unui set de date

Exemplul 8: un set cu mai multe moduri

Exemplul 9: un set fără mod

Exemplul 10: amplitudinea unui set de date

Exemplul 11: greșeala frecventă, amplitudinea nu este maximul

Exemplul 12: modul confundat cu cea mai mare valoare

Exemplul 13: greșeala frecventă, împărțirea la numărul de rânduri

Exemplul 14: aceeași medie, seturi diferite

Exemplul 15: toți indicatorii dintr-un tabel de frecvențe

Exemplul 16: citirea unui grafic cu bare

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a