Lecția 1 din 2 · Corpuri geometrice

Prisma, piramida, tetraedrul, cubul, paralelipipedul dreptunghic

Cubul de la geometrie sau o cutie de carton sunt exemple de poliedre: corpuri geometrice mărginite doar de suprafețe plane. Lecția asta pornește de la ce înseamnă exact „poliedru” și cum îi numești elementele (vârfuri, muchii, fețe), apoi trece prin cele mai importante familii: prisma, piramida, tetraedrul, cubul și paralelipipedul dreptunghic, și la desfășurarea fiecăruia, adică desenul plan din care, prin pliere, iese poliedrul.

~ 22 min de citit

Ce vei învăța

Definești un poliedru și identifici vârfurile, muchiile și fețele lui pe o figură spațială.
Recunoști o prismă și îi identifici bazele, fețele laterale și muchiile laterale.
Recunoști o piramidă și îi identifici baza, apexul, fețele laterale și muchiile laterale.
Explici de ce tetraedrul este o piramidă cu bază triunghiulară.
Deosebești cubul de un paralelipiped dreptunghic oarecare, după lungimile muchiilor.
Recunoști și analizezi o desfășurare (desenul plan care, prin pliere, formează un poliedru dat).

Recomandat înainte: Puncte, drepte și plane în spațiu

Ideea de bază

Un poliedru este un corp geometric mărginit numai de suprafețe plane, numite fețe. Fețele se întâlnesc două câte două după segmente numite muchii, iar muchiile se întâlnesc, cel puțin trei odată, în puncte numite vârfuri.

Cubul

ABCD

–

EFGH

este un poliedru: cele 8 puncte

A

H

sunt vârfurile lui, segmentele ca

AB

sunt muchiile, iar poligoanele plane ca

(ABFE)

(umbrit) sunt fețele. Muchiile punctate

BC

CD

CG

sunt muchii reale, doar ascunse privitorului în acest desen.

Nu orice corp este poliedru. O minge (sferă), un pahar cilindric sau o pălărie de petrecere (con) au și porțiuni curbe, deci nu sunt poliedre. Acelea se numesc corpuri rotunde și au propria lor lecție.

Vârfuri, muchii, fețe

Cele trei elemente de bază ale oricărui poliedru sunt aceleași, indiferent de forma lui exactă.

Fața este o porțiune plană (un poligon) din suprafața poliedrului, ca $(ABFE)$ în figura de mai sus.
Muchia este segmentul comun a exact două fețe vecine, ca $AB$ (comună fețelor $(ABFE)$ și $(ABCD)$ fața de jos).
Vârful este punctul comun a cel puțin trei muchii, ca $A$ unde se întâlnesc muchiile $AB$ $AD$ și $AE$

Muchie ≠ față

O greșeală frecventă este să confunzi „muchie” (un segment, o linie) cu „față” (o suprafață plană, cu arie). Muchia este latura comună a două fețe, nu una dintre fețe.

Muchia punctată tot există

Pe un desen 3D, o muchie desenată punctat (ca $CG$ sau $CD$ pe cub) este o muchie reală, aflată doar „în spatele” figurii, din unghiul ales pentru desen. Nu o ignora când numeri muchiile sau când citești figura.

Prisma

O prismă are două fețe congruente și paralele, numite baze, unite prin fețe laterale (paralelograme, la o prismă dreaptă chiar dreptunghiuri).

Bazele sunt două poligoane congruente, situate în plane paralele.
Fețele laterale unesc, câte una pentru fiecare latură a bazei, un vârf al unei baze cu vârful corespunzător al celeilalte baze.
Muchiile laterale unesc vârfurile corespunzătoare ale celor două baze; la o prismă dreaptă sunt perpendiculare pe baze și toate congruente între ele.

Prisma

ABC

–

A'B'C'

bazele

(ABC)

și

(A'B'C')

sunt triunghiuri congruente, situate în plane paralele. Muchiile laterale

AA'

BB'

CC'

sunt congruente (aici, toate de lungime

3

Baza din față

(ABC)

este umbrită albastru, iar fața laterală

(ACC'A')

umbrită verde, este un dreptunghi. Muchiile punctate

A'B'

B'C'

BB'

sunt ascunse privitorului.

Numele unei prisme vine de la forma bazei: prismă triunghiulară (bază triunghi), prismă patrulateră (bază patrulater), prismă hexagonală (bază hexagon) și așa mai departe. O prismă cu $n$ laturi la bază are exact $n$ fețe laterale.

Piramida

O piramidă are o singură bază, un poligon oarecare, și un vârf comun tuturor fețelor laterale, numit apex.

Baza este un poligon (triunghi, pătrat, pentagon etc.).
Apexul este punctul din afara planului bazei, comun tuturor fețelor laterale.
Fețele laterale sunt triunghiuri, câte unul pentru fiecare latură a bazei, cu vârful comun în apex.
Muchiile laterale unesc apexul cu fiecare vârf al bazei.

Piramida

VABCD

baza

(ABCD)

este pătratul de jos, iar

V

este apexul. Fața laterală

(VAB)

(umbrită) este un triunghi. Aici, apexul este situat exact deasupra centrului bazei, așa că toate cele patru muchii laterale

VA

VB

VC

VD

sunt congruente și toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Nu orice piramidă are baza pătrat

Baza unei piramide poate fi orice poligon, nu doar un pătrat. O piramidă cu bază triunghi, pentagon sau hexagon este la fel de mult „piramidă” ca una cu bază pătrat.

La fel ca la prismă, numele piramidei vine de la forma bazei: piramidă triunghiulară, piramidă patrulateră, piramidă pentagonală etc. O piramidă cu bază de $n$ laturi are exact $n$ fețe laterale și $n$ muchii laterale.

Tetraedrul, o piramidă specială

Tetraedrul este exact piramida cu bază triunghiulară: patru vârfuri, patru fețe, toate triunghiuri, șase muchii.

Tetraedrul

ABCD

oricare dintre cele patru fețe poate fi privită drept „bază”, cu al patrulea vârf ca apex:

(ABC)

este baza, iar

D

este apexul, exact ca la o piramidă. Cele patru fețe

ABC

ABD

ACD

BCD

sunt toate triunghiuri.

De ce „tetra-”

Prefixul „tetra-” înseamnă patru: tetraedrul are patru fețe (toate triunghiuri), spre deosebire de o piramidă cu bază pătrată, care are cinci fețe (o bază + patru laterale).

Un tetraedru NU este un caz de prismă: are o singură bază (triunghiulară) și un apex, nu două baze paralele.

Cubul și paralelipipedul dreptunghic

Cubul și paralelipipedul dreptunghic sunt amândouă prisme patrulatere drepte, cu toate fețele dreptunghiuri (la cub, chiar pătrate).

Cubul $ABCD$ – $EFGH$ din figura de deschidere a lecției are toate cele 12 muchii congruente (aici, toate de lungime $4$ și toate fețele pătrate congruente. Fețele opuse, ca $(ABCD)$ și $(EFGH)$ sunt paralele.

Paralelipipedul dreptunghic

ABCD

–

EFGH

cele trei dimensiuni

AB = 5

BC = 3

AE = 2

sunt diferite, spre deosebire de cub, unde ar fi toate egale. Fața din față

(ABFE)

și fața de sus

(EFGH)

sunt umbrite. Toate fețele rămân dreptunghiuri, iar muchiile alăturate ca

AB

și

AE

rămân perpendiculare.

Orice cub este paralelipiped dreptunghic, nu invers

Cubul îndeplinește toate condițiile unui paralelipiped dreptunghic (fețe dreptunghiulare, fețe opuse paralele) și, în plus, are toate muchiile egale. Un paralelipiped dreptunghic oarecare nu are neapărat muchiile egale, deci nu este neapărat cub.

Numărarea elementelor unui poliedru

La o prismă sau o piramidă, numărul de vârfuri, muchii și fețe se poate calcula direct din numărul de laturi $n$ al bazei, fără nicio formulă memorată pe dinafară.

Numărarea elementelor, în funcție de numărul de laturi $n$ ale bazei.
Poliedru	Vârfuri	Muchii	Fețe
Prismă cu bază de $n$ laturi	$2n$ (câte $n$ pe fiecare bază)	$3n$ $n$ pe fiecare bază + $n$ laterale)	$n + 2$ $n$ laterale + 2 baze)
Piramidă cu bază de $n$ laturi	$n + 1$ $n$ la bază + apexul)	$2n$ $n$ la bază + $n$ laterale)	$n + 1$ $n$ laterale + 1 bază)

De exemplu, cubul este o prismă patrulateră $n = 4$ $2 \cdot 4 = 8$ vârfuri, $3 \cdot 4 = 12$ muchii, $4 + 2 = 6$ fețe, exact ce vezi pe figura lui. Tetraedrul este o piramidă triunghiulară $n = 3$ $3 + 1 = 4$ vârfuri, $2 \cdot 3 = 6$ muchii, $3 + 1 = 4$ fețe.

Desfășurarea unui poliedru

O desfășurare este desenul plan, format din fețele poliedrului așezate alăturat, care, prin pliere de-a lungul muchiilor comune, reface exact suprafața poliedrului.

Nu orice grup de poligoane este o desfășurare

Ca să fie o desfășurare validă pentru un poliedru dat, poligoanele trebuie să fie exact fețele acelui poliedru (formă și număr corect), așezate astfel încât, pliate pe muchiile comune, să se închidă exact în acel poliedru, fără goluri și fără suprapuneri.

Cele șase pătrate sunt congruente (fețele cubului). Pătratul mai închis la culoare corespunde uneia dintre baze; pliind pe fiecare linie comună, celelalte cinci pătrate devin celelalte cinci fețe ale cubului, fără goluri și fără suprapuneri.

Desfășurarea prismei triunghiulare are cele două baze triunghiulare și cele trei fețe laterale dreptunghiulare, așezate astfel încât fiecare latură a unui triunghi să se lipească exact de latura corespunzătoare a unui dreptunghi.

Cele trei dreptunghiuri (lățimile

3

4

și

5

câte una pentru fiecare latură a bazei) devin cele trei fețe laterale. Cele două triunghiuri, cu aceleași laturi

3

4

5

devin cele două baze: fiecare este lipit de dreptunghiul cu lățimea egală cu latura lui comună, iar celelalte două laturi ale lui se potrivesc cu laturile vecine ale celorlalte dreptunghiuri.

Desfășurarea piramidei cu bază pătrată are pătratul bazei în centru și câte un triunghi lateral atașat fiecărei laturi a pătratului, care se pliază în sus și se întâlnesc toate în apex.

Pătratul din centru devine baza piramidei. Cele patru triunghiuri congruente, câte unul pentru fiecare latură, se pliază în sus și se întâlnesc toate în același vârf, apexul piramidei.

Prismă sau piramidă? Comparație și clasificare

Prismă vs. piramidă: diferențele esențiale.
Criteriu	Prismă	Piramidă
Numărul de baze	Două, congruente și paralele	Una singură
Fețele laterale	Paralelograme (dreptunghiuri, la prisma dreaptă)	Triunghiuri, toate cu vârful comun în apex
Muchiile laterale	Unesc vârfuri corespunzătoare ale celor două baze; congruente la prisma dreaptă	Unesc fiecare vârf al bazei cu apexul
Fețe pentru bază de $n$ laturi	$n + 2$	$n + 1$

Cubul, paralelipipedul dreptunghic și orice prismă sunt în aceeași familie (prisme). Tetraedrul este în familia piramidelor, ca un caz particular cu bază triunghiulară. Cele două familii nu se suprapun: un poliedru cu o singură bază și un apex nu poate fi și prismă în același timp.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: elementele cubului

Câte vârfuri, muchii și fețe are cubul $ABCD$ – $EFGH$ din figura de deschidere?

Vezi rezolvarea

Un cub este o prismă patrulateră $n = 4$ laturi la bază).

Vârfuri: $2n = 8$ Muchii: $3n = 12$ Fețe: $n + 2 = 6$ Corespunde exact celor 8 litere $A$ $H$ celor 12 segmente desenate (unele punctate) și celor 6 pătrate ale cubului.

Exemplul 2: de ce paralelipipedul dreptunghic nu e cub

De ce paralelipipedul dreptunghic $ABCD$ – $EFGH$ din secțiunea „Cubul și paralelipipedul” nu este un cub?

Vezi rezolvarea

Cele trei dimensiuni sunt $AB = 5$ $BC = 3$ $AE = 2$ deci diferite. Un cub cere ca toate cele 12 muchii să fie egale.

Este totuși un paralelipiped dreptunghic: toate fețele sunt dreptunghiuri, iar fețele opuse sunt paralele.

Exemplul 3: bazele și fețele laterale ale prismei

Care sunt cele două baze ale prismei $ABC$ – $A'B'C'$ și câte fețe laterale are?

Vezi rezolvarea

Bazele sunt cele două triunghiuri congruente și paralele: $(ABC)$ și $(A'B'C')$

Fețele laterale sunt câte una pentru fiecare latură a bazei: 3 fețe laterale, toate dreptunghiuri, pentru că prisma este dreaptă.

Exemplul 4: apexul și muchiile laterale ale piramidei

Care este apexul piramidei $VABCD$ și câte muchii laterale are?

Vezi rezolvarea

Apexul este $V$ punctul comun tuturor fețelor laterale, situat în afara planului bazei $(ABCD)$

Muchiile laterale sunt $VA$ $VB$ $VC$ $VD$ câte una pentru fiecare vârf al bazei, deci 4 muchii laterale, pentru că baza are 4 laturi.

Exemplul 5: de ce tetraedrul este o piramidă

De ce tetraedrul $ABCD$ este considerat o piramidă?

Vezi rezolvarea

Tetraedrul are o bază triunghiulară, de exemplu $(ABC)$ și un al patrulea punct, $D$ care nu este în planul bazei și este comun celorlalte trei fețe. Exact structura unei piramide: bază + apex.

Diferența față de o piramidă „obișnuită” e doar forma bazei (un triunghi, cel mai simplu poligon posibil).

Exemplul 6: numărul de fețe ale unei prisme pentagonale

O prismă are baza un pentagon $n = 5$ laturi). Câte fețe are în total?

Vezi rezolvarea

Fețe = $n + 2 = 5 + 2 = 7$ cele 2 baze pentagonale plus cele 5 fețe laterale.

Exemplul 7: numărul de fețe ale unei piramide pentagonale

O piramidă are baza un pentagon $n = 5$ laturi). Câte fețe are în total?

Vezi rezolvarea

Fețe = $n + 1 = 5 + 1 = 6$ 1 bază pentagonală plus 5 fețe laterale triunghiulare.

Exemplul 8: vârfuri și muchii ale unei prisme pentagonale

Câte vârfuri și câte muchii are prisma pentagonală de mai sus?

Vezi rezolvarea

Vârfuri = $2n = 2 \cdot 5 = 10$ câte 5 pe fiecare bază.

Muchii = $3n = 3 \cdot 5 = 15$ câte 5 pe fiecare bază, plus 5 muchii laterale.

Exemplul 9: vârfuri și muchii ale unei piramide pentagonale

Câte vârfuri și câte muchii are piramida pentagonală de mai sus?

Vezi rezolvarea

Vârfuri = $n + 1 = 5 + 1 = 6$ cele 5 ale bazei plus apexul.

Muchii = $2n = 2 \cdot 5 = 10$ cele 5 ale bazei plus cele 5 muchii laterale (spre apex).

Exemplul 10: de ce desfășurarea cubului se pliază exact

De ce desfășurarea din secțiunea „Desfășurarea unui poliedru” se pliază exact într-un cub?

Vezi rezolvarea

Are exact 6 pătrate congruente (câte are un cub), așezate astfel încât fiecare latură comună a două pătrate alăturate devine, prin pliere, o muchie a cubului.

Aranjamentul „în cruce” (4 pătrate pe o coloană, plus câte unul de o parte și de alta a celui de-al treilea) este unul dintre aranjamentele care se închid fără goluri și fără suprapuneri, exact peste cele 6 fețe ale unui cub.

Exemplul 11: o desfășurare greșită pentru cub

Un elev desenează 6 pătrate congruente, așezate într-un dreptunghi de $2 \times 3$ pătrate (2 rânduri, 3 coloane), și spune că e o desfășurare de cub. Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Are, e drept, 6 pătrate congruente, dar aranjamentul contează la fel de mult ca numărul lor.

Pliind un dreptunghi de $2 \times 3$ pătrate pe liniile lui interioare, unele pătrate ajung să se suprapună peste altele, în loc să formeze exact cele 6 fețe distincte ale unui cub. Nu orice grup de 6 pătrate congruente este o desfășurare validă de cub.

Exemplul 12: ce solid formează fiecare desfășurare

Una dintre cele două desfășurări din lecție are 3 dreptunghiuri și 2 triunghiuri; cealaltă are 1 pătrat și 4 triunghiuri. Ce poliedru formează fiecare?

Vezi rezolvarea

3 dreptunghiuri (fețe laterale) + 2 triunghiuri (baze) = o prismă triunghiulară dreaptă: 2 baze congruente și 3 fețe laterale.

1 pătrat (bază) + 4 triunghiuri (fețe laterale, toate întâlnite în același vârf) = o piramidă cu bază pătrată.

Exemplul 13: identificarea unui raționament greșit

Un coleg spune: „Un tetraedru are 4 muchii, câte una pe fiecare față.” Este corectă afirmația?

Vezi rezolvarea

Nu. Tetraedrul are 6 muchii, nu 4. Greșeala este să numeri o muchie o singură dată „pentru” o singură față, când, de fapt, fiecare muchie este comună la exact două fețe.

Verificare directă: tetraedrul $ABCD$ are muchiile $AB$ $AC$ $AD$ $BC$ $BD$ $CD$ adică exact 6.

Video

Greșeli frecvente

„Muchia este una dintre fețele poliedrului.”
Nu. Muchia este segmentul comun a două fețe vecine (o linie), nu o suprafață. Fața este poligonul plan, cu arie; muchia este doar latura lui comună cu o altă față.
„Orice poliedru este o prismă.”
Fals. Piramida, de exemplu, nu are două baze congruente și paralele, ci o singură bază și un apex. Prisma și piramida sunt familii diferite de poliedre.
„Prisma și piramida sunt, de fapt, același lucru, doar cu nume diferite.”
Nu. Prisma are două baze congruente și paralele, unite prin fețe laterale paralelograme. Piramida are o singură bază și un apex, unit cu fiecare vârf al bazei prin muchii laterale, iar fețele laterale sunt triunghiuri.
„O muchie desenată punctat nu mai există sau contează mai puțin.”
Muchia punctată este o muchie reală, la fel ca celelalte; este doar aflată „în spatele” figurii, din unghiul ales pentru desen. Trebuie numărată și interpretată exact ca o muchie continuă.
„Numărând muchiile unui desen 3D, muchiile punctate nu se numără, sau se numără de două ori.”
Fiecare muchie, punctată sau nu, se numără exact o singură dată. Un cub are mereu 12 muchii, indiferent câte apar punctate în desenul ales.
„O desfășurare este orice grup de poligoane cu numărul potrivit de laturi.”
Nu ajunge numărul și forma poligoanelor. Contează și aranjamentul lor: trebuie ca, prin pliere pe liniile comune, să se închidă exact peste suprafața poliedrului, fără goluri și fără suprapuneri (vezi exemplul cu dreptunghiul de $2 \times 3$ pătrate, care NU e o desfășurare validă de cub).
„Orice piramidă are baza un pătrat.”
Baza unei piramide poate fi orice poligon: triunghi, pătrat, pentagon, hexagon etc. Pătratul este doar cel mai întâlnit exemplu, nu o regulă.
„Cubul și paralelipipedul dreptunghic sunt tot timpul același lucru.”
Cubul este un caz particular de paralelipiped dreptunghic, cel în care toate cele trei dimensiuni sunt egale. Un paralelipiped dreptunghic oarecare poate avea trei dimensiuni diferite și tot rămâne paralelipiped dreptunghic, dar nu este cub.

Exerciții

Ușor

Cum se numesc suprafețele plane care mărginesc un poliedru?
Arată răspunsul
Răspuns: Fețe.
Cum se numește segmentul comun a două fețe vecine ale unui poliedru?
Arată răspunsul
Răspuns: Muchie.
Cum se numește punctul comun a cel puțin trei muchii ale unui poliedru?
Arată răspunsul
Răspuns: Vârf.
Câte baze are o prismă?
Arată răspunsul
Răspuns: Două.
Câte baze are o piramidă?
Arată răspunsul
Răspuns: Una.
Ce formă are baza unui tetraedru?
Arată răspunsul
Răspuns: Triunghiulară.
Un cub are toate muchiile egale sau doar unele?
Arată răspunsul
Răspuns: Toate cele 12 muchii ale cubului sunt egale.
Un paralelipiped dreptunghic poate avea trei dimensiuni diferite. Adevărat sau fals?
Arată răspunsul
Răspuns: Adevărat.
Cum se numește desenul plan care, prin pliere, formează suprafața unui poliedru?
Arată răspunsul
Răspuns: Desfășurare.
O piramidă cu bază pătrată are câte fețe laterale?
Arată răspunsul
Răspuns: Patru.

Mediu

Câte fețe laterale are o prismă cu baza un hexagon?
Arată răspunsul
Răspuns: Șase.
O prismă are atâtea fețe laterale câte laturi are baza.
Câte muchii laterale are o piramidă cu baza un pentagon?
Arată răspunsul
Răspuns: Cinci.
Un elev spune că tetraedrul este și prismă, și piramidă în același timp. Este corect?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu; tetraedrul este doar o piramidă (cu bază triunghiulară).
Prisma are două baze congruente și paralele; tetraedrul are o singură bază, deci nu îndeplinește condiția de prismă.
Un elev spune: „Orice piramidă are baza un pătrat.” Este corect?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Baza unei piramide poate fi orice poligon; pătratul este doar un caz particular, cel mai întâlnit.
Ce distinge un cub de un paralelipiped dreptunghic oarecare?
Arată răspunsul
Răspuns: Cubul are toate cele trei dimensiuni (muchii) egale; paralelipipedul dreptunghic oarecare poate avea dimensiuni diferite.
Pe desenul unui cub, o muchie este punctată. Ce înseamnă asta?
Arată răspunsul
Răspuns: Este o muchie reală, aflată „în spatele” figurii, ascunsă privitorului din unghiul ales pentru desen.
O muchie punctată pe un desen 3D nu mai există, ci doar există „pe jumătate”. Adevărat sau fals?
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Muchia există exact ca celelalte; doar nu se vede direct din unghiul desenat.
O desfășurare formată din șase pătrate congruente este mereu o desfășurare validă de cub. Adevărat sau fals?
Arată răspunsul
Răspuns: Fals.
Contează și aranjamentul poligoanelor, nu doar numărul și forma lor; unele aranjamente de 6 pătrate nu se pliază fără suprapuneri într-un cub.
O prismă triunghiulară dreaptă are 5 fețe. Care sunt acestea?
Arată răspunsul
Răspuns: 2 baze triunghiulare plus 3 fețe laterale dreptunghiulare.
Care este diferența dintre o muchie laterală a unei prisme și o muchie laterală a unei piramide?
Arată răspunsul
Răspuns: La prismă, muchia laterală unește un vârf al unei baze cu vârful corespunzător al celeilalte baze. La piramidă, muchia laterală unește un vârf al bazei cu apexul.

Provocare

Un poliedru are 5 fețe: 2 triunghiuri congruente și 3 dreptunghiuri. Ce poliedru este?
Arată răspunsul
Răspuns: O prismă triunghiulară dreaptă.
Un poliedru are 5 fețe: 1 pătrat și 4 triunghiuri congruente, toate cu un vârf comun. Ce poliedru este?
Arată răspunsul
Răspuns: O piramidă cu bază pătrată.
O desfășurare are un pătrat central și câte un triunghi atașat fiecărei laturi a pătratului. Ce poliedru formează prin pliere?
Arată răspunsul
Răspuns: O piramidă cu bază pătrată.
Pătratul devine baza, iar cele patru triunghiuri se pliază în sus și se întâlnesc într-un singur vârf, apexul.
O desfășurare are 3 dreptunghiuri așezate în linie, un triunghi atașat primului dreptunghi și un triunghi atașat ultimului, iar triunghiurile sunt congruente. Ce poliedru formează?
Arată răspunsul
Răspuns: O prismă triunghiulară dreaptă.
Cele 3 dreptunghiuri devin cele 3 fețe laterale, iar cele 2 triunghiuri devin cele 2 baze.
Explică de ce un cub este un caz particular de paralelipiped dreptunghic și nu invers.
Arată răspunsul
Răspuns: Orice cub îndeplinește condițiile unui paralelipiped dreptunghic (fețe dreptunghiulare, fețe opuse paralele), plus condiția suplimentară ca toate muchiile să fie egale. Nu orice paralelipiped dreptunghic are muchiile egale, deci nu orice paralelipiped dreptunghic este cub.
Un elev numără muchiile unui cub desenat și obține 9, pentru că nu a numărat cele 3 muchii pe care le-a văzut punctate. Care e numărul corect de muchii?
Arată răspunsul
Răspuns: 12 muchii.
Cubul are mereu 12 muchii; cele desenate punctat (în desenul din lecție sunt 3: $BC$ $CD$ $CG$ tot sunt muchii reale și se numără la fel ca celelalte.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Care dintre următoarele este o piramidă?
1. O prismă cu bază triunghi
2. Un cub
3. Un paralelipiped dreptunghic
4. Un tetraedru
Arată răspunsul
Răspuns: Un tetraedru
Tetraedrul este exact o piramidă cu bază triunghiulară: o bază și un apex, nu două baze.
2. O prismă are în total $7$ fețe. Ce poligon este baza ei?
Arată răspunsul
Răspuns: Un pentagon.
Prisma are $2$ baze, deci $7 - 2 = 5$ fețe laterale, câte una pentru fiecare latură a bazei: baza are $5$ laturi.
3. O piramidă cu bază triunghi are câte fețe în total?
1. 6
2. 5
3. 4
4. 3
Arată răspunsul
Răspuns: 4
Fețe = $n + 1 = 3 + 1 = 4$ baza triunghiulară plus 3 fețe laterale.
4. Ce reprezintă o linie punctată pe un desen 3D al unui poliedru?
1. O muchie ascunsă privitorului, dar reală
2. O muchie mai scurtă decât celelalte
3. O muchie care nu există de fapt
4. O greșeală de desen
Arată răspunsul
Răspuns: O muchie ascunsă privitorului, dar reală
Muchia ascunsă este la fel de reală ca oricare alta; doar nu se vede direct din unghiul desenat.
5. Câte fețe laterale are o prismă cu baza octogon?
1. 6
2. 8
3. 10
4. 16
Arată răspunsul
Răspuns: 8
O prismă are atâtea fețe laterale câte laturi are baza: octogonul are $8$ laturi.
6. Cum se numește punctul în care se întâlnesc mai multe muchii ale unui poliedru?
Arată răspunsul
Răspuns: Vârf.
7. Ce este o desfășurare?
Arată răspunsul
Răspuns: Desenul plan format din fețele poliedrului, care, prin pliere pe muchiile comune, reface exact suprafața lui.
8. Un paralelipiped dreptunghic are lungimea, lățimea și înălțimea de câte $5$ cm. Ce corp este?
Arată răspunsul
Răspuns: Un cub (cu muchia de $5$ cm).
Toate cele trei dimensiuni sunt egale, deci toate cele $12$ muchii sunt egale și toate fețele sunt pătrate.
9. Câte vârfuri are o piramidă cu bază pătrată, apexul inclus?
Arată răspunsul
Răspuns: 5.
Vârfuri = $n + 1 = 4 + 1 = 5$ cele 4 ale bazei plus apexul.

Întrebări frecvente

Ce este, pe scurt, un poliedru?

Un corp geometric mărginit numai de suprafețe plane (fețe). Fețele se întâlnesc după muchii, iar muchiile se întâlnesc în vârfuri. Un corp cu porțiuni curbe (sferă, cilindru, con) nu este poliedru.

Care este diferența esențială dintre o prismă și o piramidă?

Prisma are două baze congruente și paralele, unite prin fețe laterale paralelograme. Piramida are o singură bază și un apex, unit cu fiecare vârf al bazei prin muchii laterale, iar fețele laterale sunt triunghiuri.

De ce este tetraedrul „special” printre piramide?

Pentru că are cea mai simplă bază posibilă, un triunghi, ceea ce înseamnă că oricare dintre cele 4 fețe ale lui poate fi privită drept „bază”, cu al patrulea vârf ca apex. Nu este special metric (nu are neapărat toate muchiile egale), doar structural.

Prin ce se deosebește cubul de un paralelipiped dreptunghic oarecare?

Amândoi au toate fețele dreptunghiuri și fețele opuse paralele. Cubul, în plus, are toate cele 12 muchii egale (fețele lui sunt chiar pătrate). Un paralelipiped dreptunghic oarecare poate avea trei dimensiuni diferite.

Ce trebuie să verific ca să știu dacă o desfășurare este validă pentru un anumit poliedru?

Două lucruri: (1) numărul și forma poligoanelor să corespundă exact fețelor poliedrului; (2) aranjamentul lor să permită plierea, pe liniile comune, fără goluri și fără suprapuneri, până se închide exact suprafața poliedrului.

De ce nu se calculează aici aria sau volumul acestor corpuri?

Pentru că această lecție se oprește la elemente și desfășurări. Aria și volumul cubului, paralelipipedului, prismei și piramidei au propriile lor lecții, într-un modul ulterior, dedicat ariilor și volumelor.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Prisma, piramida, tetraedrul, cubul, paralelipipedul dreptunghic

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VIII-a

Ce vei învăța

Ideea de bază

Vârfuri, muchii, fețe

Prisma

Piramida

Tetraedrul, o piramidă specială

Cubul și paralelipipedul dreptunghic

Numărarea elementelor unui poliedru

Desfășurarea unui poliedru

Prismă sau piramidă? Comparație și clasificare

Exemple rezolvate

Exemplul 1: elementele cubului

Exemplul 2: de ce paralelipipedul dreptunghic nu e cub

Exemplul 3: bazele și fețele laterale ale prismei

Exemplul 4: apexul și muchiile laterale ale piramidei

Exemplul 5: de ce tetraedrul este o piramidă

Exemplul 6: numărul de fețe ale unei prisme pentagonale

Exemplul 7: numărul de fețe ale unei piramide pentagonale

Exemplul 8: vârfuri și muchii ale unei prisme pentagonale

Exemplul 9: vârfuri și muchii ale unei piramide pentagonale

Exemplul 10: de ce desfășurarea cubului se pliază exact

Exemplul 11: o desfășurare greșită pentru cub

Exemplul 12: ce solid formează fiecare desfășurare

Exemplul 13: identificarea unui raționament greșit

Video

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VIII-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VIII-a

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea a II-a

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a