Lecția 2 din 3 · Paralelism și perpendicularitate în spațiu

Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

Q: Unghiul dreaptă–plan poate fi mai mare de 90°?

Nu. Prin convenție, se alege unghiul dintre 0° și 90°, între dreaptă și proiecția ei, exact ca la unghiul dintre două drepte.

Ai văzut ce înseamnă paralelismul în spațiu și cum se măsoară unghiul dintre două drepte. Lecția asta trece la perpendicularitate: când o dreaptă este perpendiculară pe un plan întreg, nu doar pe o linie din el, cum se măsoară unghiul dintre o dreaptă și un plan, ce este un unghi diedru și când două plane sunt perpendiculare.

~ 28 min de citit

Ce vei învăța

Recunoști o dreaptă perpendiculară pe un plan, prin perpendicularitatea pe două drepte concurente ale planului.
Determini unghiul dintre o dreaptă și un plan, folosind proiecția ortogonală a dreptei pe plan.
Construiești corect unghiul diedru a două semiplane cu muchie comună.
Stabilești perpendicularitatea a două plane, prin criteriul unghiului diedru de $90°$
Recunoști și corectezi raționamente greșite legate de perpendicularitate în spațiu.

Recomandat înainte: Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

Ideea de bază

„Perpendiculară pe un plan” nu înseamnă „perpendiculară pe o singură dreaptă a planului”. Înseamnă perpendiculară pe ORICE dreaptă a planului care trece prin piciorul ei, adică prin punctul comun. Practic, verifici asta cu doar două drepte concurente din plan.

Muchia

AE

este perpendiculară pe

AB

și pe

AD

cele două drepte concurente ale planului

\alpha = (ABCD)

prin piciorul

A

Fiind perpendiculară pe amândouă,

AE

este perpendiculară pe întregul plan

\alpha

Dacă $AE \perp \alpha$ atunci $AE$ este perpendiculară și pe diagonala $AC$ a planului, și pe orice altă dreaptă a lui $\alpha$ care trece prin $A$ nu doar pe $AB$ și $AD$ Cele două drepte concurente sunt suficiente ca TEST, dar concluzia se extinde la toate.

Dreapta perpendiculară pe un plan

Definiție

O dreaptă $d$ este perpendiculară pe un plan $\alpha$ dacă este perpendiculară pe ORICE dreaptă a lui $\alpha$ care trece prin punctul lor comun (piciorul perpendicularei).

Criteriu practic

Este suficient să verifici perpendicularitatea pe DOUĂ drepte concurente ale planului, prin picior. Dacă $d$ este perpendiculară pe amândouă, este automat perpendiculară pe plan (deci pe orice altă dreaptă a lui prin acel punct).

Figura din deschiderea lecției arată exact acest criteriu pe cub: $AE \perp AB$ și $AE \perp AD$ (două drepte concurente ale planului $(ABCD)$ prin $A$ deci $AE \perp (ABCD)$

O singură dreaptă nu este de ajuns

Dacă $d$ este perpendiculară pe o singură dreaptă a planului, nu înseamnă că este perpendiculară pe plan: ar putea exista alte drepte ale planului, prin același punct, pe care $d$ nu este perpendiculară. Ai nevoie de DOUĂ drepte concurente.

Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Dacă dreapta $d$ este concurentă (nu conținută, nu perpendiculară) cu planul $\alpha$ ea formează cu planul un unghi ascuțit, numit UNGHIUL DREAPTĂ–PLAN. Nu se măsoară direct, ci prin proiecția ortogonală a dreptei pe plan.

Construcție prin proiecție ortogonală

Dintr-un punct $M$ al dreptei $d$ dus perpendicular pe $\alpha$ obții piciorul $N$ (proiecția lui $M$ pe $\alpha$ Dacă $P$ este punctul în care $d$ intersectează $\alpha$ dreapta $PN$ este PROIECȚIA ortogonală a lui $d$ pe $\alpha$ Unghiul dintre $d$ și $\alpha$ este unghiul $\widehat{MPN}$ dintre dreapta oblică $d$ și proiecția ei $PN$

Diagonala spațială

AG

este oblică față de planul

(ABCD)

Piciorul perpendicularei din

G

pe plan este vârful

C

GC \perp (ABCD)

deci proiecția lui

AG

pe plan este

AC

Unghiul dintre

AG

și plan este

\widehat{GAC}

Calcul: $AC$ are lungimea $4\sqrt2$ (diagonala pătratului de bază, latură $4$ iar $GC$ are lungimea $4$ (muchia verticală). Triunghiul $ACG$ este dreptunghic în $C$ deci $\text{tg}\,\widehat{GAC} = \dfrac{GC}{AC} = \dfrac{4}{4\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ Măsura nu este una dintre valorile cunoscute $30°$ $45°$ $60°$ așa că răspunsul se dă prin valoarea tangentei lui, $\dfrac{\sqrt2}{2}$

Nu orice unghi desenat este unghiul dreaptă–plan

Unghiul dreaptă–plan este EXACT unghiul dintre dreaptă și PROIECȚIA ei ortogonală, niciun alt unghi desenat la întâmplare în figură. Fără proiecția corectă (piciorul perpendicularei), unghiul „desenat” nu are sens matematic.

Unghiul diedru

Un unghi diedru este format de două semiplane cu o muchie comună (o dreaptă). Pentru a-l măsura, nu alegi un unghi oarecare: construiești unghiul LINIAR corespunzător.

Construcția unghiului liniar al diedrului

Alegi un punct $P$ pe muchia comună $d$ În primul semiplan, construiești, prin $P$ o semidreaptă $PR_1$ perpendiculară pe $d$ În al doilea semiplan, construiești, prin ACELAȘI punct $P$ o semidreaptă $PR_2$ perpendiculară pe $d$ Unghiul $\widehat{R_1PR_2}$ este unghiul diedru.

Muchia comună este

PQ

Semidreptele

PR_1

(în planul

\alpha

și

PR_2

(în planul

\beta

sunt amândouă perpendiculare pe

PQ

în același punct

P

Unghiul diedru are măsura unghiului

\widehat{R_1PR_2}

care în acest exemplu este dat:

60°

Unghiul $\widehat{R_1PR_2}$ este un unghi obișnuit, într-un plan, cu vârful $P$ el este unghiul liniar al diedrului. În figura de mai sus, unghiul construit are $60°$ deci unghiul diedru dintre $\alpha$ și $\beta$ are $60°$ Nu îl măsori pe desen: măsura se obține din datele problemei.

Semidreptele trebuie să fie perpendiculare pe muchie

Doar semidreptele PERPENDICULARE pe muchie măsoară înclinarea semiplanelor. O semidreaptă oarecare dintr-un semiplan, chiar dacă pornește din muchie, nu dă unghiul diedru. Dacă duci perpendicularele în puncte diferite ale muchiei, le poți aduce în același punct cu paralele, iar măsura unghiului nu se schimbă.

Plane perpendiculare

Criteriu

Două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedru format de ele este $90°$ Echivalent, un plan este perpendicular pe altul dacă conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan.

Fețele

(ABCD)

și

(DCGH)

ale cubului au muchia comună

DC

Unghiul diedru dintre ele, construit cu

DA \perp DC

(în

(ABCD)

și

DH \perp DC

(în

(DCGH)

este

\widehat{ADH} = 90°

Fiind

90°

cele două plane sunt perpendiculare. Echivalent:

DH

este conținută în

(DCGH)

și

DH \perp (ABCD)

deci

(DCGH) \perp (ABCD)

Pe un cub, toate fețele adiacente (care împart o muchie) sunt perpendiculare între ele, pentru că unghiul diedru dintre ele este mereu $90°$ Fețele opuse (fără muchie comună) sunt, în schimb, paralele, nu perpendiculare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: criteriul dreaptă perpendiculară pe plan, pe cub

Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ arată că $AE \perp (ABCD)$

Vezi rezolvarea

Fața $ABFE$ este un pătrat, deci $\widehat{EAB} = 90°$ adică $AE \perp AB$ Fața $ADHE$ este un pătrat, deci $\widehat{EAD} = 90°$ adică $AE \perp AD$

Dreptele $AB$ și $AD$ sunt concurente în $A$ și sunt conținute în planul $(ABCD)$

Fiind perpendiculară pe două drepte concurente ale planului $(ABCD)$ prin piciorul $A$ conform criteriului, $AE \perp (ABCD)$

Exemplul 2: de ce o singură perpendicularitate nu este de ajuns

Un elev verifică doar $AE \perp AB$ și conchide $AE \perp (ABCD)$ Este suficientă verificarea?

Vezi rezolvarea

Nu. O singură dreaptă din plan nu garantează perpendicularitatea pe tot planul; ar fi nevoie să verifici și o a doua dreaptă concurentă, de exemplu $AD$

În acest caz particular, concluzia e totuși adevărată (verificat în exemplul 1), dar raționamentul elevului, cu o singură verificare, este incomplet.

Exemplul 3: $AE$ este perpendiculară pe orice dreaptă a planului prin $A$

Fiind $AE \perp (ABCD)$ ce se poate spune despre $AE$ și diagonala $AC$ a planului?

Vezi rezolvarea

Pentru că $AE \perp (ABCD)$ $AE$ este perpendiculară pe ORICE dreaptă a planului prin $A$ inclusiv diagonala $AC$

Răspuns: $AE \perp AC$

Exemplul 4: construcția unghiului dreaptă–plan, pas cu pas

Determină unghiul dintre diagonala $AG$ și planul $(ABCD)$ ale cubului $ABCD$ – $EFGH$ (latura $4$

Vezi rezolvarea

Pasul 1: piciorul perpendicularei din $G$ pe plan este $C$ (pentru că $GC$ este o muchie verticală, perpendiculară pe planul de jos).

Pasul 2: proiecția lui $AG$ pe plan este $AC$

Pasul 3: unghiul cerut este $\widehat{GAC}$ În triunghiul dreptunghic $ACG$ (drept în $C$ $\text{tg}\,\widehat{GAC} = \dfrac{GC}{AC} = \dfrac{4}{4\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$

Răspuns: unghiul dintre $AG$ și $(ABCD)$ este $\widehat{GAC}$ cu $\text{tg}\,\widehat{GAC} = \dfrac{\sqrt2}{2}$

Exemplul 5: identificarea unui raționament greșit (unghi dreaptă–plan)

Un elev desenează, oriunde în figură, un unghi între $AG$ și o dreaptă a planului, fără să folosească proiecția, și îl numește „unghiul dintre $AG$ și plan”. Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Unghiul dreaptă–plan este definit EXACT ca unghiul dintre dreaptă și proiecția ei ortogonală pe plan, nu un unghi desenat la întâmplare.

Fără piciorul perpendicularei determinat corect, orice alt unghi desenat nu are nicio legătură garantată cu unghiul real dreaptă–plan.

Exemplul 6: dreaptă conținută în plan, unghiul dreaptă–plan

Ce unghi formează cu planul $(ABCD)$ o dreaptă conținută chiar în acest plan, de exemplu $AB$

Vezi rezolvarea

Dacă dreapta este conținută în plan, proiecția ei ortogonală pe plan este ea însăși.

Unghiul dintre dreaptă și proiecția ei (identică) este $0°$

Exemplul 7: dreaptă perpendiculară pe plan, unghiul dreaptă–plan

Ce unghi formează $AE$ cu planul $(ABCD)$ știind că $AE \perp (ABCD)$

Vezi rezolvarea

Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, proiecția ei ortogonală se reduce la un singur punct (piciorul perpendicularei).

Unghiul dintre dreaptă și plan este, în acest caz limită, $90°$

Exemplul 8: construcția unghiului diedru, pas cu pas

Două semiplane $\alpha$ și $\beta$ au muchia comună $PQ$ Cum construiești unghiul diedru dintre ele?

Vezi rezolvarea

Pasul 1: alegi un punct $P$ pe muchia $PQ$

Pasul 2: construiești, prin $P$ o semidreaptă $PR_1$ în $\alpha$ perpendiculară pe $PQ$

Pasul 3: construiești, prin același punct $P$ o semidreaptă $PR_2$ în $\beta$ perpendiculară pe $PQ$

Pasul 4: unghiul diedru este $\widehat{R_1PR_2}$

Exemplul 9: identificarea unui raționament greșit (unghi diedru)

Un elev duce în $\alpha$ semidreapta $PR_1 \perp PQ$ iar în $\beta$ o semidreaptă $PS$ care pornește tot din $P$ dar nu este perpendiculară pe $PQ$ El spune că $\widehat{R_1PS}$ este unghiul diedru. Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Unghiul liniar al diedrului se construiește cu semidrepte PERPENDICULARE pe muchie, câte una în fiecare semiplan.

O semidreaptă $PS$ oarecare din $\beta$ poate fi rotită în jurul lui $P$ iar unghiul $\widehat{R_1PS}$ se schimbă, deși semiplanele rămân aceleași. Un astfel de unghi nu măsoară înclinarea semiplanelor.

Exemplul 10: perpendicularitatea planelor pe cub

Arată că fețele $(ABCD)$ și $(DCGH)$ ale cubului $ABCD$ – $EFGH$ sunt perpendiculare.

Vezi rezolvarea

Muchia comună este $DC$ În $(ABCD)$ $DA \perp DC$ în $(DCGH)$ $DH \perp DC$ amândouă din același punct $D$

Deci unghiul liniar al diedrului este $\widehat{ADH}$ Fața $ADHE$ este un pătrat, așa că $\widehat{ADH} = 90°$

Fiind $90°$ $(ABCD) \perp (DCGH)$

Exemplul 11: criteriul plan–plan prin dreaptă perpendiculară

$DH$ este conținută în planul $(DCGH)$ și $DH \perp (ABCD)$ Ce se poate spune despre $(DCGH)$ și $(ABCD)$ fără să mai construiești unghiul diedru?

Vezi rezolvarea

Criteriul echivalent: dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan, cele două plane sunt perpendiculare.

Răspuns: $(DCGH) \perp (ABCD)$ confirmat și direct prin unghiul diedru calculat în exemplul 10.

Exemplul 12: fețe opuse ale cubului, NU sunt perpendiculare

Fețele opuse $(ABCD)$ și $(EFGH)$ ale cubului sunt perpendiculare?

Vezi rezolvarea

Nu. Fețele opuse nu au muchie comună, deci nu există un unghi diedru de calculat între ele în sensul definiției; de fapt, ele sunt PARALELE (muchia $AE$ este perpendiculară pe amândouă), nu perpendiculare.

Perpendicularitatea de plane se discută doar pentru plane SECANTE, cu dreaptă comună.

Exemplul 13: dreaptă paralelă cu planul

Ce unghi formează muchia $EF$ a cubului $ABCD$ – $EFGH$ cu planul $(ABCD)$

Vezi rezolvarea

$EF \parallel AB$ iar $AB \subset (ABCD)$ deci $EF \parallel (ABCD)$ dreapta nu are niciun punct comun cu planul.

Proiecția lui $EF$ pe plan este $AB$ paralelă cu $EF$ Unghiul dintre două drepte paralele este $0°$ deci $EF$ formează cu planul unghiul $0°$

Greșeli frecvente

„Dacă o dreaptă este perpendiculară pe O SINGURĂ dreaptă a unui plan, este perpendiculară pe tot planul.”
Fals. Este nevoie de perpendicularitate pe DOUĂ drepte concurente ale planului, prin picior. O singură dreaptă nu exclude existența altei direcții, în același plan, pe care dreapta să nu fie perpendiculară.
„Unghiul dintre o dreaptă și un plan este orice unghi desenat între dreaptă și o dreaptă a planului.”
Unghiul dreaptă–plan este definit strict ca unghiul dintre dreaptă și PROIECȚIA ei ortogonală pe plan, nu un unghi ales arbitrar din figură.
„Unghiul diedru este unghiul dintre două semidrepte oarecare, câte una în fiecare semiplan.”
Fals. Semidreptele trebuie să fie perpendiculare pe muchie, duse în același punct al ei. Două semidrepte oarecare, cu același vârf, pot forma unghiuri diferite pentru aceleași semiplane, deci nu măsoară înclinarea lor.
„Dacă două fețe ale unui corp arată «drepte» (pe desen), sunt automat perpendiculare.”
Aspectul desenului nu decide. Perpendicularitatea planelor se stabilește fie prin unghiul diedru $90°$ fie prin criteriul cu o dreaptă perpendiculară conținută într-unul dintre plane, niciodată „din priviri”.
„Fețele opuse ale unui cub sunt perpendiculare, pentru că toate fețele unui cub sunt perpendiculare între ele.”
Fals. Fețele opuse (fără muchie comună) ale unui cub sunt PARALELE. Doar fețele ADIACENTE (care împart o muchie) sunt perpendiculare.
„Dacă o dreaptă este conținută într-un plan, unghiul ei cu planul este $90°$
Fals. O dreaptă conținută în plan coincide cu propria proiecție ortogonală pe plan, deci unghiul ei cu planul este $0°$ nu $90°$

Exerciții

Ușor

Câte drepte concurente ale unui plan trebuie verificate pentru criteriul dreaptă perpendiculară pe plan?
Arată răspunsul
Răspuns: Două.
Dacă $d \perp \alpha$ ce unghi formează $d$ cu $\alpha$
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$
Dacă o dreaptă este conținută într-un plan, ce unghi formează cu el?
Arată răspunsul
Răspuns: $0°$
Cum se numește piciorul perpendicularei dintr-un punct al unei drepte pe un plan?
Arată răspunsul
Răspuns: Proiecția ortogonală a punctului pe plan.
Un unghi diedru este format de ce două obiecte?
Arată răspunsul
Răspuns: Două semiplane cu o muchie comună.
Cum trebuie să fie, față de muchia comună, cele două semidrepte folosite la construcția unghiului diedru?
Arată răspunsul
Răspuns: Perpendiculare pe muchie, duse în același punct al ei.
Două plane sunt perpendiculare dacă unghiul lor diedru are ce măsură?
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$
Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ ce poziție au fețele opuse $(ABCD)$ și $(EFGH)$ perpendiculare sau paralele?
Arată răspunsul
Răspuns: Paralele.
Unghiul dintre o dreaptă și proiecția ei ortogonală pe un plan se numește...?
Arată răspunsul
Răspuns: Unghiul dintre dreaptă și plan.
Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ verifică dacă $AE \perp AB$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.

Mediu

Dreapta $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente, $m$ și $n$ ale planului $\alpha$ prin același punct. Ce se poate concluziona?
Arată răspunsul
Răspuns: $d \perp \alpha$
Criteriul dreaptă perpendiculară pe plan se aplică direct.
$AE \perp (ABCD)$ Ce unghi are $AE$ cu diagonala $AC$ a planului?
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$
Fiind perpendiculară pe plan, $AE$ este perpendiculară pe orice dreaptă a planului prin $A$ inclusiv $AC$
Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ determină unghiul dintre diagonala de față $AF$ și planul $(ABCD)$
Arată răspunsul
Răspuns: $45°$
$FB \perp (ABCD)$ (muchie a cubului), deci proiecția lui $AF$ pe plan este $AB$ iar unghiul cerut este $\widehat{FAB}$ Triunghiul $ABF$ este dreptunghic în $B$ și isoscel $AB = BF$ deci $\widehat{FAB} = 45°$
Un elev calculează unghiul dintre $AG$ și plan folosind triunghiul $ABG$ în loc de $ACG$ Este corect?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Piciorul perpendicularei din $G$ pe plan este $C$ nu $B$ proiecția corectă a lui $AG$ este $AC$ nu $AB$
Două semiplane au muchia comună $d$ Un elev duce, dintr-un punct $P \in d$ semidreapta $PR_1 \perp d$ în primul semiplan și o semidreaptă $PS$ oblică față de $d$ în al doilea. Este $\widehat{R_1PS}$ unghiul diedru?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$PS$ nu este perpendiculară pe muchie. Unghiul liniar al diedrului cere semidrepte perpendiculare pe muchie în ambele semiplane.
Arată, folosind criteriul cu dreaptă perpendiculară, că fețele $(ABFE)$ și $(ABCD)$ ale cubului sunt perpendiculare, fără calculul explicit al unghiului diedru.
Arată răspunsul
Răspuns: $(ABFE)$ conține $AE$ iar $AE \perp (ABCD)$ deci $(ABFE) \perp (ABCD)$
Criteriul echivalent: un plan care conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan este perpendicular pe el. Aici $AE \perp AB$ și $AE \perp AD$ (laturi ale pătratelor fețelor), deci $AE \perp (ABCD)$
Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ ce unghi diedru au fețele adiacente $(ABCD)$ și $(BCGF)$
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$
Toate fețele adiacente ale cubului formează unghiuri diedre drepte.
Dreapta $d$ este perpendiculară doar pe dreapta $m$ a planului $\alpha$ fără altă verificare. Poți conchide $d \perp \alpha$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
O singură dreaptă nu este suficientă; e nevoie de o a doua dreaptă concurentă cu $m$ prin același punct.
Un elev spune: $AE \perp (ABCD)$ ȘI $AE \perp (EFGH)$ deci $(ABCD)$ nu poate fi paralel cu $(EFGH)$ Este corect?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, concluzia e falsă.
Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două plane diferite, acele plane sunt chiar paralele între ele (nu contrariul); $(ABCD) \parallel (EFGH)$ confirmat deja în Modulul 7.
Două semiplane au muchia comună $d$ Prin punctul $P \in d$ se construiesc $PA \perp d$ în primul semiplan și $PB \perp d$ în al doilea semiplan. Dacă $\widehat{APB} = 60°$ care este măsura unghiului diedru?
Arată răspunsul
Răspuns: $60°$
$PA$ și $PB$ sunt perpendiculare pe muchie, în același punct $P$ câte una în fiecare semiplan, deci $\widehat{APB}$ este unghiul liniar al diedrului.
O dreaptă $d$ este conținută într-un plan $\beta$ perpendicular pe un plan $\alpha$ Este $d$ neapărat perpendiculară pe $\alpha$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu neapărat.
Doar dreapta din $\beta$ perpendiculară pe muchia comună cu $\alpha$ este, ea, perpendiculară pe $\alpha$ o dreaptă oarecare din $\beta$ nu este automat perpendiculară pe $\alpha$

Provocare

Demonstrează, folosind criteriul dreaptă perpendiculară pe plan, de ce $AE$ perpendiculară pe $(ABCD)$ este automat perpendiculară și pe orice paralelă a lui $AB$ sau $AD$ din plan, nu doar pe ele însele.
Arată răspunsul
Răspuns: $AE \perp AB$ și $AE \perp AD$ două drepte concurente ale planului, deci $AE \perp (ABCD)$ Prin definiție, $AE$ este atunci perpendiculară pe orice dreaptă a planului care trece prin $A$ o paralelă $m$ la $AB$ din plan are, prin $A$ paralela $AB$ deci unghiul dintre $AE$ și $m$ este egal cu unghiul dintre $AE$ și $AB$ adică $90°$
Pasul 1: criteriul dă $AE \perp (ABCD)$ Pasul 2: unghiul dintre $AE$ și o dreaptă $m$ a planului se citește la dreapta paralelă cu $m$ prin $A$ care este tot o dreaptă a planului prin $A$ deci perpendiculară pe $AE$
Două plane $\alpha$ și $\beta$ sunt amândouă perpendiculare pe un al treilea plan $\gamma$ Sunt $\alpha$ și $\beta$ neapărat perpendiculare între ele?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu neapărat.
Contraexemplu pe cub: $(ABCD)$ și $(EFGH)$ (fețe opuse, paralele) sunt amândouă perpendiculare pe $(ABFE)$ dar nu sunt perpendiculare între ele (sunt paralele).
Pe cubul de latură $4$ este unghiul dintre $AG$ și planul $(ABCD)$ la fel de mare ca unghiul dintre $AG$ și planul $(ABFE)$ Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Da, pentru că tangenta este $\dfrac{\sqrt2}{2}$ în ambele cazuri.
Pentru $(ABCD)$ proiecția lui $G$ este $C$ deci $\text{tg}\,\widehat{GAC} = \dfrac{GC}{AC} = \dfrac{4}{4\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ Pentru $(ABFE)$ $GF \perp (ABFE)$ proiecția lui $AG$ este $AF$ iar $\text{tg}\,\widehat{GAF} = \dfrac{GF}{AF} = \dfrac{4}{4\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$
Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ determină unghiul dintre diagonala de față $BD$ și planul $(ABFE)$
Arată răspunsul
Răspuns: $45°$
Piciorul perpendicularei din $D$ pe planul $(ABFE)$ este $A$ (pentru că $DA \perp AB$ și $DA \perp AE$ deci $DA \perp (ABFE)$ proiecția lui $BD$ pe $(ABFE)$ este $BA$ triunghiul $ABD$ dreptunghic în $A$ cu $AB=AD=4$ dă $\widehat{DBA}=45°$
Un elev afirmă: „Dacă unghiul dintre o dreaptă și un plan este $0°$ dreapta este perpendiculară pe plan.” Corectează afirmația.
Arată răspunsul
Răspuns: Fals; invers: $0°$ înseamnă dreaptă conținută în plan (sau paralelă cu el), iar $90°$ înseamnă dreaptă perpendiculară pe plan.
Elevul a inversat cele două cazuri limită ale unghiului dreaptă–plan.
Arată că cele două criterii echivalente de perpendicularitate a planelor (unghi diedru $90°$ și dreaptă perpendiculară conținută) dau același rezultat pe exemplul $(DCGH)$ – $(ABCD)$
Arată răspunsul
Răspuns: Ambele dau $(DCGH) \perp (ABCD)$ unghiul diedru calculat direct este $90°$ (exemplul 10), iar $DH \subset (DCGH)$ cu $DH \perp (ABCD)$ (criteriul echivalent, exemplul 11).
Cele două criterii sunt legate: dreapta perpendiculară din criteriu, $DH$ este chiar una dintre cele două semidrepte ale unghiului liniar al diedrului.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe:
1. o singură dreaptă a planului
2. două drepte concurente ale planului, prin picior
3. toate diagonalele planului
4. o dreaptă paralelă cu planul
Arată răspunsul
Răspuns: două drepte concurente ale planului, prin picior
Criteriul practic cere exact două drepte concurente, prin același punct.
2. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ ce unghi formează diagonala $EG$ cu planul $(EFGH)$
1. $0°$
2. $45°$
3. $90°$
4. nedefinit
Arată răspunsul
Răspuns: $0°$
$EG$ este conținută în planul $(EFGH)$ deci coincide cu propria proiecție: unghiul este $0°$
3. Unghiul dreaptă–plan se construiește folosind:
1. distanța de la un punct la plan
2. un unghi oarecare din figură
3. paralela dusă prin picior
4. proiecția ortogonală a dreptei pe plan
Arată răspunsul
Răspuns: proiecția ortogonală a dreptei pe plan
Este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei ortogonală pe plan.
4. Unghiul liniar al unui diedru se construiește cu două semidrepte, câte una în fiecare semiplan, care sunt:
1. paralele cu muchia
2. egale ca lungime
3. perpendiculare pe muchie, în același punct al ei
4. oarecare, cu vârful pe muchie
Arată răspunsul
Răspuns: perpendiculare pe muchie, în același punct al ei
Doar semidreptele perpendiculare pe muchie, duse în același punct, măsoară înclinarea semiplanelor.
5. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ cât măsoară unghiul diedru dintre planul bazei $(ABCD)$ și planul diagonal $(ABGH)$
1. $0°$
2. $45°$
3. $60°$
4. $90°$
Arată răspunsul
Răspuns: $45°$
Muchia comună este $AB$ În $(ABCD)$ $AD \perp AB$ în $(ABGH)$ $AH \perp AB$ Unghiul diedru este $\angle DAH = 45°$ unghiul dintre latura și diagonala pătratului $ADHE$
6. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ ce poziție au planele $(ABFE)$ și $(DCGH)$
Arată răspunsul
Răspuns: Paralele.
Sunt fețe opuse ale cubului, fără muchie comună: planele lor sunt paralele.
7. Cum se numește piciorul perpendicularei dintr-un punct al dreptei pe plan, folosit la construcția unghiului dreaptă–plan?
Arată răspunsul
Răspuns: Proiecția ortogonală a acelui punct pe plan.
Proiecția dreptei pe plan unește punctul în care dreapta înțeapă planul cu piciorul perpendicularei dintr-un alt punct al dreptei.
8. Pe cubul $ABCD$ – $EFGH$ ce unghi formează muchia $BF$ cu planul $(EFGH)$
Arată răspunsul
Răspuns: $90°$
$BF$ este perpendiculară pe $FE$ și pe $FG$ două drepte concurente din $(EFGH)$ deci $BF \perp (EFGH)$ unghiul este $90°$
9. Ce criteriu echivalent (fără calculul unghiului diedru) poți folosi pentru a arăta că două plane sunt perpendiculare?
Arată răspunsul
Răspuns: Unul dintre plane conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan.
Este criteriul alternativ, direct legat de dreapta perpendiculară pe plan.

Întrebări frecvente

De ce este nevoie de DOUĂ drepte concurente, și nu una, pentru criteriul dreaptă perpendiculară pe plan?

Pentru că o singură direcție perpendiculară nu garantează perpendicularitatea pe toate direcțiile posibile ale planului prin acel punct. Criteriul cu două drepte concurente este o teoremă: dacă dreapta este perpendiculară pe două drepte concurente ale planului, prin picior, atunci este perpendiculară pe orice dreaptă a planului.

Unghiul dreaptă–plan poate fi mai mare de

90°

Nu. Prin convenție, se alege unghiul dintre $0°$ și $90°$ între dreaptă și proiecția ei, exact ca la unghiul dintre două drepte.

De ce semidreptele unghiului liniar al diedrului trebuie să fie perpendiculare pe muchie?

Pentru că doar așa unghiul lor depinde exclusiv de înclinarea semiplanelor. Dacă perpendicularele sunt duse în același punct al muchiei, obții un unghi obișnuit, cu vârf comun. Dacă le duci în puncte diferite, le poți aduce în același punct cu paralele, iar măsura rămâne aceeași: unghiul diedru nu depinde de punctul ales pe muchie.

Toate fețele unui cub sunt perpendiculare între ele?

Nu toate: doar fețele ADIACENTE (care împart o muchie) sunt perpendiculare. Fețele OPUSE (fără muchie comună) sunt paralele.

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două plane diferite, ce se poate spune despre cele două plane?

Sunt paralele între ele (sau coincid). Prin fiecare punct al dreptei trece un singur plan perpendicular pe ea, deci două plane distincte perpendiculare pe aceeași dreaptă nu au niciun punct comun.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a VIII-a

Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

Ce vei învăța

Ideea de bază

Dreapta perpendiculară pe un plan

Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Unghiul diedru

Plane perpendiculare

Exemple rezolvate

Exemplul 1: criteriul dreaptă perpendiculară pe plan, pe cub

Exemplul 2: de ce o singură perpendicularitate nu este de ajuns

Exemplul 3: $AE$ este perpendiculară pe orice dreaptă a planului prin $A$

Exemplul 4: construcția unghiului dreaptă–plan, pas cu pas

Exemplul 5: identificarea unui raționament greșit (unghi dreaptă–plan)

Exemplul 6: dreaptă conținută în plan, unghiul dreaptă–plan

Exemplul 7: dreaptă perpendiculară pe plan, unghiul dreaptă–plan

Exemplul 8: construcția unghiului diedru, pas cu pas

Exemplul 9: identificarea unui raționament greșit (unghi diedru)

Exemplul 10: perpendicularitatea planelor pe cub

Exemplul 11: criteriul plan–plan prin dreaptă perpendiculară