Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

Q: Care este diferența dintre diagonala unei fețe și diagonala cubului?

Diagonala unei fețe este un segment pe o SINGURĂ față, d=a2. Diagonala cubului trece prin interiorul lui, între două vârfuri care nu sunt pe aceeași față, D=a3, și se obține dintr-un al doilea pas Pitagora, folosind diagonala feței și muchia verticală.

Q: De ce aria totală a paralelipipedului are factorul 2 în față?

Pentru că ab+bc+ac este suma ariilor a trei fețe diferite, iar paralelipipedul are câte DOUĂ fețe congruente din fiecare: toate cele șase fețe însumate dau 2(ab+bc+ac).

Q: Formulele cubului se pot folosi la orice paralelipiped dreptunghic?

Nu. Formulele cubului (A_(t)=6a², V=a³) presupun toate cele trei dimensiuni egale. La un paralelipiped cu dimensiuni diferite se folosesc formulele generale, A_(t)=2(ab+bc+ac) și V=abc.

Ce vei învăța

Calculezi diagonala unei fețe a cubului și a paralelipipedului dreptunghic
Calculezi diagonala cubului și a paralelipipedului dreptunghic, din două aplicări ale teoremei lui Pitagora
Calculezi unghiul dintre diagonala corpului și planul bazei, la un paralelipiped dreptunghic
Calculezi aria totală a cubului și a paralelipipedului dreptunghic
Calculezi volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic
Recunoști și corectezi greșeli frecvente legate de unități și de formule confundate

Recomandat înainte: Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

Ideea de bază

Un cub are muchii, fețe (pătrate congruente) și diagonale de două feluri: diagonala unei fețe (un segment pe o față) și diagonala cubului (un segment prin interiorul cubului, între două vârfuri opuse, care NU sunt pe aceeași față).

Cub cu muchia

4

cm. Triunghiul

ACG

este umbrit. Diagonala feței

AC

este ipotenuza triunghiului dreptunghic

ABC

AB=BC=4

deci

AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2

cm. Diagonala cubului

AG

este ipotenuza triunghiului dreptunghic

ACG

(unghi drept în

C

pentru că

CG\perp

bază):

AG=\sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{32+16}=4\sqrt3

cm.

Același raționament, în doi pași Pitagora, funcționează la orice paralelipiped dreptunghic, nu doar la cub: mai întâi diagonala bazei (dintr-un triunghi dreptunghic pe bază), apoi diagonala corpului (dintr-un triunghi dreptunghic cu catetele diagonala bazei și înălțimea).

Diagonala feței și diagonala corpului

La un cub cu muchia $a$ diagonala unei fețe este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $a$ și $a$ $d = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt2$ Diagonala cubului este ipotenuza unui alt triunghi dreptunghic, cu catetele $d$ (diagonala feței) și $a$ (muchia verticală): $D = \sqrt{d^2+a^2} = \sqrt{2a^2+a^2} = a\sqrt3$

De ce triunghiul $ACG$ este dreptunghic

Muchia verticală $CG$ este perpendiculară pe planul bazei, deci este perpendiculară pe ORICE dreaptă din bază, inclusiv pe diagonala $AC$ Unghiul $ACG$ este, prin urmare, de $90°$ și teorema lui Pitagora se aplică direct în triunghiul $ACG$

La un paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $a$ $b$ (baza) și $c$ (înălțimea), aceeași idee în doi pași: diagonala bazei $d = \sqrt{a^2+b^2}$ apoi diagonala corpului $D = \sqrt{d^2+c^2} = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Paralelipiped dreptunghic

6 \times 8 \times 10

cu triunghiul

ACC_1

umbrit. Diagonala bazei

AC = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10

cm. Diagonala corpului

AC_1 = \sqrt{AC^2+CC_1^2} = \sqrt{100+100} = 10\sqrt2

cm (același paralelipiped e folosit și în secțiunea despre unghi, mai jos).

Unghiul dintre diagonala corpului și planul bazei

Unghiul dintre diagonala corpului $AC_1$ și planul bazei este unghiul dintre $AC_1$ și PROIECȚIA ei pe bază, adică diagonala bazei $AC$ este unghiul $C_1AC$ din triunghiul dreptunghic $ACC_1$ (dreptunghic în $C$ pentru că $CC_1\perp$ bază).

Catetă opusă / catetă alăturată

În triunghiul dreptunghic $ACC_1$ unghiul căutat este în $A$ Cateta opusă lui este $CC_1$ (înălțimea $c$ iar cateta alăturată este $AC$ (diagonala bazei $d$ Deci $\tan(\widehat{C_1AC}) = \dfrac{c}{d}$

La paralelipipedul $6\times8\times10$ de mai sus, diagonala bazei este $AC=10$ cm și înălțimea este $CC_1=10$ cm: cele două catete sunt EGALE, deci triunghiul $ACC_1$ este dreptunghic isoscel, iar unghiul $\widehat{C_1AC}$ este $45°$

Nu confunda cele două unghiuri din triunghiul $ACC_1$

Triunghiul $ACC_1$ are unghiul drept în $C$ și alte două unghiuri, în $A$ și în $C_1$ care sunt complementare (suma lor e $90°$ nu egale. Unghiul dintre diagonala corpului și BAZĂ este cel din $A$ (lângă diagonala bazei); unghiul dintre diagonala corpului și MUCHIA VERTICALĂ este cel din $C_1$

Aria totală a cubului și a paralelipipedului dreptunghic

Cubul are $6$ fețe congruente, fiecare cu aria $a^2$ Aria laterală (cele $4$ fețe din jur, fără cele două baze) este $A_l = 4a^2$ aria totală, cu tot cu cele două baze, este $A_t = 6a^2$

Paralelipipedul dreptunghic cu baza $a\times b$ și înălțimea $c$ are $3$ perechi de fețe congruente: două fețe $a\times b$ (bazele), două fețe $a\times c$ și două fețe $b\times c$ Aria totală este suma tuturor: $A_t = 2(ab+bc+ac)$

Nu uita factorul $2$

$ab+bc+ac$ este suma a trei fețe DIFERITE, câte una din fiecare pereche. Aria totală are toate cele șase fețe, deci întreaga sumă se dublează: $A_t = 2(ab+bc+ac)$ nu $ab+bc+ac$

Aria laterală a paralelipipedului (cu baza $a\times b$ aleasă ca bază, și înălțimea $c$ este $A_l = 2c(a+b)$ adică perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea. Aria totală se obține adunând cele două baze: $A_t = A_l + 2ab = 2c(a+b) + 2ab$ aceeași formulă ca mai sus, scrisă altfel.

Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

Volumul cubului cu muchia $a$ este $V = a^3$ (muchia înmulțită cu ea însăși de trei ori). Volumul paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile $a$ $b$ $c$ este $V = a \cdot b \cdot c$ produsul celor trei dimensiuni.

Unități de arie și de volum

Aria se exprimă în unități PĂTRATE $\text{cm}^2$ $\text{m}^2$ volumul în unități CUBICE $\text{cm}^3$ $\text{m}^3$ Un rezultat numeric fără exponentul potrivit (sau cu exponentul greșit) este incomplet, chiar dacă numărul e corect.

Cele trei dimensiuni ale unui paralelipiped trebuie exprimate în ACEEAȘI unitate înainte de a le înmulți. Dacă una e dată în metri și alta în centimetri, convertești întâi, apoi calculezi volumul.

Exemple rezolvate

Diagonala feței unui cub

Un cub are muchia $9$ cm. Calculează diagonala unei fețe.

Vezi rezolvarea

Diagonala unei fețe este $d = a\sqrt2$

Cu $a=9$ cm, $d = 9\sqrt2$ cm.

Diagonala cubului

Un cub are muchia $10$ cm. Calculează diagonala cubului.

Vezi rezolvarea

Diagonala cubului este $D = a\sqrt3$

Cu $a=10$ cm, $D = 10\sqrt3$ cm.

Muchia, din diagonala cubului

Diagonala unui cub este $7\sqrt3$ cm. Calculează muchia cubului.

Vezi rezolvarea

Din $D = a\sqrt3$ rezultă $a = \dfrac{D}{\sqrt3}$

Cu $D = 7\sqrt3$ cm, $a = \dfrac{7\sqrt3}{\sqrt3} = 7$ cm.

Diagonala bazei unui paralelipiped

Un paralelipiped dreptunghic are baza cu dimensiunile $5$ cm și $12$ cm. Calculează diagonala bazei.

Vezi rezolvarea

Diagonala bazei este ipotenuza triunghiului dreptunghic cu catetele $5$ cm și $12$ cm.

$d = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ cm.

Diagonala corpului unui paralelipiped

Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $6$ cm, $8$ cm și $10$ cm. Calculează diagonala corpului.

Vezi rezolvarea

Diagonala bazei (laturile $6$ și $8$ $d = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm.

Diagonala corpului: $D = \sqrt{d^2+10^2} = \sqrt{100+100} = \sqrt{200} = 10\sqrt2$ cm.

Unghiul dintre diagonala corpului și bază

Pentru paralelipipedul $6\times8\times10$ de mai sus, calculează unghiul dintre diagonala corpului și planul bazei.

Vezi rezolvarea

Diagonala bazei este $10$ cm, iar înălțimea este tot $10$ cm: triunghiul dreptunghic format de diagonala bazei, înălțime și diagonala corpului are cele două catete egale.

Un triunghi dreptunghic cu catetele egale este dreptunghic isoscel: unghiurile ascuțite sunt de $45°$ fiecare. Unghiul căutat este $45°$

Înălțimea, din unghiul diagonalei

Un paralelipiped dreptunghic are baza cu diagonala $9$ cm. Unghiul dintre diagonala corpului și bază este $45°$ Calculează înălțimea.

Vezi rezolvarea

$\tan(45°) = \dfrac{\text{înălțime}}{\text{diagonala bazei}}$ iar $\tan(45°) = 1$

Înălțimea $= 1 \cdot 9 = 9$ cm (egală cu diagonala bazei).

Compară ariile totale a două cuburi

Un cub are muchia $4$ cm, altul are muchia $8$ cm. De câte ori este mai mare aria totală a cubului mare?

Vezi rezolvarea

Aria totală a cubului mic: $A_1 = 6\cdot4^2 = 96$ cm². Aria totală a cubului mare: $A_2 = 6\cdot8^2 = 384$ cm².

Raportul $\dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{384}{96} = 4$ aria totală e de $4$ ori mai mare, egal cu pătratul raportului laturilor $\left(\dfrac{8}{4}\right)^2 = 4$

Aria totală a unui cub

Un cub are muchia $7$ cm. Calculează aria lui totală.

Vezi rezolvarea

$A_t = 6a^2 = 6\cdot7^2 = 6\cdot49 = 294$ cm².

Aria totală a unui paralelipiped

Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $4$ cm, $5$ cm și $6$ cm. Calculează aria lui totală.

Vezi rezolvarea

$ab+bc+ac = 4\cdot5 + 5\cdot6 + 4\cdot6 = 20+30+24 = 74$

$A_t = 2(ab+bc+ac) = 2\cdot74 = 148$ cm².

Latura și aria, din volum

Volumul unui cub este $125$ cm³. Calculează muchia și aria totală a cubului.

Vezi rezolvarea

Din $V=a^3$ $a = \sqrt[3]{125} = 5$ cm (pentru că $5^3=125$

Aria totală: $A_t = 6a^2 = 6\cdot25 = 150$ cm².

Volumul unui acvariu, în litri

Un acvariu are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $50$ cm, $30$ cm și $40$ cm. Calculează volumul lui, în litri.

Vezi rezolvarea

$V = 50\cdot30\cdot40 = 60\,000$ cm³.

$1$ litru $= 1\,000$ cm³, deci $V = \dfrac{60\,000}{1\,000} = 60$ litri.

Eroare: aria totală fără factorul $2$

Un elev calculează aria totală a unui paralelipiped cu dimensiunile $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm astfel: $A = ab+bc+ac = 12+20+15=47$ cm². Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Elevul a calculat aria a DOAR trei fețe (câte una din fiecare pereche), nu a tuturor celor șase.

Aria totală corectă este $A_t = 2(ab+bc+ac) = 2\cdot47 = 94$ cm², dublul calculului elevului.

Câte cuburi mici încap într-un cub mare

Un cub cu muchia $20$ cm este umplut complet cu cuburi mici, cu muchia $5$ cm. Câte cuburi mici încap?

Vezi rezolvarea

Volumul cubului mare: $V_1 = 20^3 = 8\,000$ cm³. Volumul unui cub mic: $V_2 = 5^3 = 125$ cm³.

Numărul de cuburi mici: $\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{8\,000}{125} = 64$

Greșeli frecvente

Diagonala cubului este $a\sqrt2$
$a\sqrt2$ este diagonala unei FEȚE a cubului. Diagonala cubului (prin interior, între două vârfuri opuse) este $a\sqrt3$ obținută dintr-un al doilea pas Pitagora (diagonala feței și muchia verticală).
Un rezultat de arie sau de volum e corect dacă numărul e corect, indiferent de unitate.
Aria se exprimă în unități pătrate $\text{cm}^2$ volumul în unități cubice $\text{cm}^3$ Un răspuns fără exponentul potrivit (sau cu exponentul greșit, ex. $\text{cm}^3$ la o arie) este incomplet sau greșit, chiar dacă numărul e corect.
Formula cubului $A_t=6a^2$ $V=a^3$ se poate folosi la orice paralelipiped dreptunghic.
Formulele cubului presupun toate laturile egale $a=b=c$ La un paralelipiped cu dimensiuni diferite se folosesc $A_t=2(ab+bc+ac)$ și $V=abc$
Aria totală a paralelipipedului este $ab+bc+ac$
$ab+bc+ac$ este suma ariilor a trei fețe diferite, câte una din fiecare pereche de fețe congruente. Aria totală are toate cele șase fețe, deci se dublează: $A_t=2(ab+bc+ac)$
Unghiul dintre diagonala corpului și bază este același cu unghiul dintre diagonala corpului și muchia verticală.
Sunt cele două unghiuri ascuțite ale aceluiași triunghi dreptunghic, deci sunt complementare (suma $90°$ nu egale, decât în cazul particular în care triunghiul e isoscel (catete egale, ambele unghiuri $45°$
Dimensiunile pot fi înmulțite direct, chiar dacă sunt date în unități diferite.
Toate dimensiunile folosite într-un calcul de arie sau de volum trebuie exprimate în ACEEAȘI unitate. Dacă una e în metri și alta în centimetri, se convertește întâi.
Orice corp cu fețe dreptunghiulare este un cub.
Un cub este un caz PARTICULAR de paralelipiped dreptunghic, cu toate cele trei dimensiuni egale. Un paralelipiped cu dimensiuni diferite are fețe dreptunghiulare, dar nu e cub.

Exerciții

Ușor

Scrie formula diagonalei unei fețe a cubului cu muchia $a$
Arată răspunsul
Răspuns: $d = a\sqrt2$
Scrie formula diagonalei cubului cu muchia $a$
Arată răspunsul
Răspuns: $D = a\sqrt3$
Un cub are muchia $3$ cm. Calculează diagonala unei fețe.
Arată răspunsul
Răspuns: $3\sqrt2$ cm.
Un cub are muchia $5$ cm. Calculează diagonala cubului.
Arată răspunsul
Răspuns: $5\sqrt3$ cm.
Scrie formula ariei totale a cubului cu muchia $a$
Arată răspunsul
Răspuns: $A_t = 6a^2$
Scrie formula volumului cubului cu muchia $a$
Arată răspunsul
Răspuns: $V = a^3$
Un paralelipiped dreptunghic are toate cele trei dimensiuni egale cu $1$ cm. Ce corp este, de fapt?
Arată răspunsul
Răspuns: Un cub.
Un paralelipiped dreptunghic cu $a=b=c$ este exact un cub.
Calculează volumul unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $2$ cm, $3$ cm și $4$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $24$ cm³.
$V = 2\cdot3\cdot4 = 24$ cm³.
Aria se măsoară în unități pătrate, iar volumul în unități... (completează).
Arată răspunsul
Răspuns: Cubice.

Mediu

Diagonala unei fețe a unui cub este $6\sqrt2$ cm. Calculează muchia cubului.
Arată răspunsul
Răspuns: $6$ cm.
Din $d=a\sqrt2$ $a = \dfrac{6\sqrt2}{\sqrt2} = 6$ cm.
Diagonala unui cub este $12\sqrt3$ cm. Calculează aria totală a cubului.
Arată răspunsul
Răspuns: $864$ cm².
Din $D=a\sqrt3$ $a=12$ cm; $A_t=6\cdot12^2=864$ cm².
Baza unui paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $9$ cm și $12$ cm. Calculează diagonala bazei.
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ cm.
$d = \sqrt{9^2+12^2} = \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15$ cm.
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $9$ cm, $12$ cm și $20$ cm. Calculează diagonala corpului.
Arată răspunsul
Răspuns: $25$ cm.
Diagonala bazei: $15$ cm (exercițiul anterior). Diagonala corpului: $\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$ cm.
Diagonala bazei unui paralelipiped dreptunghic este $8$ cm, iar unghiul dintre diagonala corpului și bază este $45°$ Calculează înălțimea.
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ cm.
$\tan(45°)=1=\dfrac{\text{înălțime}}{8}$ deci înălțimea $=8$ cm.
Calculează aria totală a unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $3$ cm, $5$ cm și $7$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $142$ cm².
$ab+bc+ac=15+35+21=71$ $A_t=2\cdot71=142$ cm².
Aria totală a unui cub este $96$ cm². Calculează muchia și volumul cubului.
Arată răspunsul
Răspuns: $a=4$ cm, $V=64$ cm³.
$6a^2=96 \Rightarrow a^2=16 \Rightarrow a=4$ cm; $V=4^3=64$ cm³.
Un cub are muchia $2a$ altul are muchia $a$ De câte ori este mai mare volumul cubului mare?
Arată răspunsul
Răspuns: De $8$ ori.
$\dfrac{(2a)^3}{a^3} = \dfrac{8a^3}{a^3} = 8$
O cameră are forma unui cub cu muchia $3$ m. Câți metri cubi de aer conține?
Arată răspunsul
Răspuns: $27$ m³.
$V = 3^3 = 27$ m³.
Un elev spune: „diagonala cubului este $a\sqrt2$ Explică greșeala și scrie formula corectă.
Arată răspunsul
Răspuns: $a\sqrt2$ este diagonala unei fețe, nu a cubului; diagonala cubului este $D=a\sqrt3$

Provocare

Diagonala corpului unui paralelipiped dreptunghic este $13$ cm, iar baza are dimensiunile $3$ cm și $4$ cm. Calculează înălțimea.
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ cm.
$D^2=a^2+b^2+c^2 \Rightarrow 169=9+16+c^2 \Rightarrow c^2=144 \Rightarrow c=12$ cm.
Pentru ce valoare a muchiei $a$ volumul unui cub (în cm³) este egal, ca număr, cu aria lui totală (în cm²)?
Arată răspunsul
Răspuns: $a=6$ cm.
$a^3=6a^2 \Rightarrow a=6$ (pentru $a\neq0$ verificare: $V=216$ $A_t=216$
Un paralelipiped dreptunghic are baza fixă, iar înălțimea se dublează. De câte ori se schimbă volumul? Dar aria totală?
Arată răspunsul
Răspuns: Volumul se dublează; aria totală NU se dublează (crește mai puțin, pentru că aria bazelor rămâne neschimbată).
$V=abc$ deci dublarea lui $c$ dublează $V$ $A_t=2(ab+bc+ac)$ termenul $2ab$ (bazele) rămâne constant, doar $2c(a+b)$ se dublează, deci $A_t$ crește, dar nu se dublează.
O piscină are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $25$ m, $10$ m și $2$ m. Calculează volumul ei, în m³ și în litri.
Arată răspunsul
Răspuns: $500$ m³ $= 500\,000$ litri.
$V=25\cdot10\cdot2=500$ m³; $1$ m³ $=1\,000$ litri, deci $500\,000$ litri.
Arată că unghiul dintre diagonala unui cub și planul bazei NU depinde de lungimea muchiei (calculează pentru $a=1$ cm și pentru $a=10$ cm, și compară).
Arată răspunsul
Răspuns: În ambele cazuri, $\tan(\text{unghi}) = \dfrac{1}{\sqrt2}$ același unghi (≈ $35°16'$ indiferent de $a$
Unghiul e dat de $\tan = \dfrac{a}{a\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}$ (înălțimea $a$ diagonala bazei $a\sqrt2$ $a$ se simplifică, deci raportul, și unghiul, nu depind de $a$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Un cub are muchia $2$ cm. Cât este diagonala cubului?
1. $2\sqrt2$ cm
2. $4$ cm
3. $6$ cm
4. $2\sqrt3$ cm
Arată răspunsul
Răspuns: $2\sqrt3$ cm
$D = a\sqrt3 = 2\sqrt3$ cm. $2\sqrt2$ cm este diagonala unei fețe.
2. Un cub are muchia $11$ cm. Cât este aria totală?
1. $121$ cm²
2. $484$ cm²
3. $726$ cm²
4. $1331$ cm²
Arată răspunsul
Răspuns: $726$ cm²
$A_t = 6a^2 = 6\cdot121 = 726$ cm². $484$ este aria a doar patru fețe, iar $1331$ este volumul.
3. Care este formula volumului unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $a$ $b$ $c$
1. $2(ab+bc+ac)$
2. $abc$
3. $a+b+c$
4. $2(a+b+c)$
Arată răspunsul
Răspuns: $abc$
Volumul paralelipipedului dreptunghic este produsul celor trei dimensiuni: $V=abc$
4. Care este formula corectă a ariei totale a paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile $a$ $b$ $c$
1. $2(ab+bc+ac)$
2. $ab+bc+ac$
3. $2abc$
4. $2(a+b+c)$
Arată răspunsul
Răspuns: $2(ab+bc+ac)$
$ab+bc+ac$ este suma a trei fețe diferite; aria totală are toate cele șase fețe, deci se dublează.
5. Unghiul dintre diagonala unui cub și planul bazei...
1. Depinde de lungimea muchiei
2. Este întotdeauna $90°$
3. Este același, indiferent de lungimea muchiei
4. Nu se poate calcula
Arată răspunsul
Răspuns: Este același, indiferent de lungimea muchiei
Unghiul e dat de raportul $\tan = \dfrac{a}{a\sqrt2}$ în care $a$ se simplifică: nu depinde de muchie.
6. Diagonala unei fețe a unui cub este $7\sqrt2$ cm. Cât este muchia cubului?
Arată răspunsul
Răspuns: $7$ cm.
Diagonala feței este $a\sqrt2$ deci $a\sqrt2 = 7\sqrt2$ și $a = 7$ cm.
7. Calculează volumul unui cub cu muchia $13$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $2197$ cm³.
$V = a^3 = 13^3 = 169\cdot13 = 2197$ cm³.
8. Calculează aria totală a unui cub cu muchia $3$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $54$ cm².

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre diagonala unei fețe și diagonala cubului?

Diagonala unei fețe este un segment pe o SINGURĂ față, $d=a\sqrt2$ Diagonala cubului trece prin interiorul lui, între două vârfuri care nu sunt pe aceeași față, $D=a\sqrt3$ și se obține dintr-un al doilea pas Pitagora, folosind diagonala feței și muchia verticală.

De ce triunghiul folosit la diagonala corpului este dreptunghic?

Pentru că muchia verticală este perpendiculară pe planul bazei, deci este perpendiculară pe orice dreaptă din bază, inclusiv pe diagonala bazei. Unghiul dintre ele este, prin urmare, de $90°$

Cum calculez unghiul dintre diagonala corpului și planul bazei?

Este unghiul, din triunghiul dreptunghic format de diagonala bazei, înălțime și diagonala corpului, aflat lângă diagonala bazei: $\tan(\text{unghi}) = \dfrac{\text{înălțime}}{\text{diagonala bazei}}$

De ce aria totală a paralelipipedului are factorul

2

în față?

Pentru că $ab+bc+ac$ este suma ariilor a trei fețe diferite, iar paralelipipedul are câte DOUĂ fețe congruente din fiecare: toate cele șase fețe însumate dau $2(ab+bc+ac)$

Formulele cubului se pot folosi la orice paralelipiped dreptunghic?

Nu. Formulele cubului $A_t=6a^2$ $V=a^3$ presupun toate cele trei dimensiuni egale. La un paralelipiped cu dimensiuni diferite se folosesc formulele generale, $A_t=2(ab+bc+ac)$ și $V=abc$

De ce trebuie să am grijă la unitatea de măsură a rezultatelor?

Pentru că o lungime (cm), o arie (cm²) și un volum (cm³) sunt mărimi diferite, chiar dacă vin din aceeași figură. Un rezultat numeric corect, dar scris cu unitatea greșită, descrie o altă mărime.

Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

Ce vei învăța

Ideea de bază

Diagonala feței și diagonala corpului

Unghiul dintre diagonala corpului și planul bazei

Aria totală a cubului și a paralelipipedului dreptunghic

Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic