Ecuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme

O ecuație de gradul I cu necunoscuta $x$ se poate aduce mereu la forma $ax+b=0$, cu $a$ și $b$ numere reale. Rezolvarea ei înseamnă găsirea valorii lui $x$ pentru care egalitatea devine adevărată.

Ideea din spatele oricărei rezolvări: dacă faci aceeași operație în ambii membri ai unei ecuații (aduni același număr, scazi același număr, înmulțești sau împarți cu același număr nenul), obții o ecuație echivalentă, adică o ecuație cu exact aceeași soluție. Nu „muți” nimic dintr-o parte în alta ca prin magie, doar aplici aceeași operație peste tot.

Din acest principiu rezultă și regula practică pe care probabil ai văzut-o deja: un termen care se adună într-un membru poate „trece” în celălalt membru scăzându-se, și invers. Este doar o prescurtare pentru „scad același termen din ambii membri”, nu o regulă separată.

Nu orice ecuație de gradul I are exact o soluție. Uneori, după ce rezolvi, obții o propoziție mereu adevărată (ecuația are infinit de multe soluții) sau mereu falsă (ecuația nu are nicio soluție).

Din clasa a VI-a știi să rezolvi ecuații ca acestea, cu numere întregi sau raționale, prin operații inverse aplicate în ambele părți.

În clasa a VII-a rezolvi în plus ecuații cu paranteze, ecuații cu necunoscuta în ambii membri și descoperi ce se întâmplă când o ecuație nu are exact o soluție.

Orice ecuație de gradul I cu o necunoscută poate fi adusă, după calcule, la forma generală $ax+b=0$, cu $a,b\in\mathbb{R}$. Dacă $a\ne0$, ecuația are exact o soluție.

Două ecuații sunt echivalente dacă au exact aceeași mulțime de soluții. Ecuația $x=3$ și ecuația $3x+5=14$ sunt echivalente, pentru că ambele au soluția unică $x=3$.

De ce funcționează metoda de rezolvare? Pentru că fiecare pas pe care îl faci (adunare, scădere, înmulțire sau împărțire cu același număr nenul, în ambii membri) transformă ecuația într-una echivalentă cu ea. Nu pierzi și nu adaugi soluții pe parcurs, dacă respecți regula.

Când o ecuație are paranteze, primul pas este să le desfaci, folosind proprietatea de distributivitate. Abia după aceea rezolvi ecuația ca de obicei.

Când $x$ apare în ambele părți ale ecuației, aduci toți termenii cu $x$ într-un singur membru și toți termenii numerici în celălalt, apoi rezolvi ca la forma $ax+b=0$.

Nu contează în care membru rămâne $x$ la final, atâta timp cât ecuația e corect rezolvată. Poți alege membrul în care coeficientul lui $x$ rămâne pozitiv, ca să lucrezi mai comod.

Ecuațiile de gradul I pot avea coeficienți fracționari sau zecimali, la fel ca în clasa a VI-a. Când există mai multe fracții cu numitori diferiți, poți elimina numitorii, înmulțind fiecare termen din ambii membri cu un multiplu comun al lor.

După ce muți toți termenii cu $x$ într-un membru, uneori coeficientul lui $x$ devine $0$. Atunci ecuația nu mai are forma $ax+b=0$ cu $a\ne0$, ci rămâne o propoziție numerică, fără necunoscută. Ce se întâmplă depinde de acea propoziție.

Ecuația $2(x+3) = 2x+1$ nu este verificată de niciun număr real, pentru că $0=-5$ este mereu falsă. Ecuația nu are nicio soluție.

Verifici o soluție înlocuind valoarea găsită în locul lui $x$, în ecuația inițială (înainte de orice transformare), și calculezi separat cei doi membri. Dacă obții aceeași valoare, soluția este corectă.

O problemă rezolvată cu ajutorul unei ecuații se traduce prin recunoașterea relației dintre necunoscută și mărimile date.

• „Un număr mărit cu 7 este egal cu dublul lui” $\to x + 7 = 2x$
• „Suma a trei numere consecutive este 39” $\to x + (x+1) + (x+2) = 39$
• „Dublul unui număr, micșorat cu 5, este egal cu numărul mărit cu 10” $\to 2x - 5 = x + 10$

La o problemă, urmezi mereu aceiași pași: notezi necunoscuta, construiești ecuația, o rezolvi, verifici soluția și interpretezi rezultatul în context.

Problema 1. Un număr mărit cu 7 este egal cu dublul lui. Care este numărul?

Verific: $7 + 7 = 14$ și $2 \cdot 7 = 14$, egalitate adevărată. Numărul este $7$.

Problema 2. Suma a trei numere naturale consecutive este 39. Care sunt cele trei numere?

Verific: $12 + 13 + 14 = 39$, egalitate adevărată. Numerele sunt $12$, $13$ și $14$.

Problema 3. Un teren dreptunghiular are lungimea cu 5 m mai mare decât lățimea. Perimetrul terenului este 50 m. Care sunt dimensiunile terenului?

Verific: lățimea $10$ m, lungimea $15$ m, perimetrul $2(10+15)=50$ m, egalitate adevărată. Terenul are lățimea $10$ m și lungimea $15$ m.

1. Dacă ecuația are paranteze, le desfaci prin distributivitate, cu atenție la semnul din fața fiecărei paranteze.
2. Dacă ecuația are mai multe fracții cu numitori diferiți, poți elimina numitorii, înmulțind fiecare termen din ambii membri cu un multiplu comun al lor.
3. Muți toți termenii cu $x$ într-un membru și toți termenii numerici în celălalt, schimbând semnul termenilor mutați.
4. Reduci termenii asemenea din fiecare membru.
5. Dacă mai rămâne $x$ cu coeficient nenul, împarți ambii membri la acel coeficient.
6. Dacă rămâne o propoziție numerică fără $x$: dacă e adevărată, ecuația are infinit de multe soluții; dacă e falsă, ecuația nu are nicio soluție.
7. Verifici soluția prin înlocuire în ecuația inițială.
8. La o problemă, interpretezi soluția în contextul enunțului.