Sisteme de ecuații liniare. Metoda substituției și metoda reducerii

Q: Ce metodă aleg, substituția sau reducerea?

Alegi substituția dacă o necunoscută are deja coeficient 1 sau -1 într-o ecuație. Alegi reducerea dacă coeficienții sunt deja egali sau opuși, sau dacă devin ușor egali prin înmulțire.

Ce vei învăța

Recunoști un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute și explici ce este soluția lui.
Verifici dacă o pereche de numere este soluția unui sistem.
Rezolvi un sistem prin metoda substituției.
Rezolvi un sistem prin metoda reducerii, inclusiv atunci când trebuie să înmulțești ecuațiile.
Recunoști sistemele fără soluție și cele cu infinit de multe soluții.
Rezolvi o problemă transpunând-o într-un sistem de două ecuații liniare.

Recomandat înainte: Ecuații de gradul I cu o necunoscută. Probleme

Ideea de bază

Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute $x$ și $y$ este format din două ecuații care trebuie verificate în același timp de aceleași valori ale lui $x$ și $y$

\begin{cases} ax+by=c \\ a'x+b'y=c' \end{cases}

A rezolva sistemul înseamnă a găsi perechea de numere $(x,y)$ care verifică deodată ambele ecuații. O pereche care verifică doar una dintre ecuații nu este soluția sistemului.

Există mai multe metode de rezolvare. Metoda substituției scoate o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiește în cealaltă, transformând sistemul într-o singură ecuație cu o necunoscută, pe care deja știi să o rezolvi. Metoda reducerii elimină o necunoscută adunând sau scăzând cele două ecuații, după ce le-ai înmulțit convenabil, astfel încât coeficienții acelei necunoscute să devină opuși sau egali.

Amândouă metodele sunt corecte pentru orice sistem liniar; alegi metoda care cere mai puține calcule pentru sistemul dat.

Ce este un sistem de două ecuații liniare

Un sistem de două ecuații liniare cu necunoscutele $x$ și $y$ este o pereche de ecuații care se rezolvă împreună, nu separat.

\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}

Soluția sistemului este perechea de numere $(x,y)$ pentru care ambele egalități devin adevărate în același timp. Pentru sistemul de mai sus, perechea $(3,1)$ este soluția: verifică asta mai jos.

2\cdot3+1=7

prima ecuație, cu

x=3

y=1

3-1=2

a doua ecuație, cu

x=3

y=1

O pereche care verifică doar o ecuație nu este soluția sistemului

Perechea $(4,-1)$ verifică prima ecuație $2\cdot4+(-1)=7$ dar nu verifică a doua $4-(-1)=5\ne2$ Nu este soluția sistemului, pentru că trebuie verificate ambele ecuații deodată.

Metoda substituției

Metoda substituției funcționează în trei pași: scoți o necunoscută dintr-una din ecuații, o înlocuiești în cealaltă ecuație și rezolvi ecuația cu o singură necunoscută rezultată.

Alegi una dintre ecuații și exprimi o necunoscută în funcție de cealaltă (de obicei cea cu coeficientul cel mai simplu, $1$ sau $-1$
Înlocuiești această expresie în locul necunoscutei respective din CEALALTĂ ecuație.
Obții o ecuație de gradul I cu o singură necunoscută, pe care o rezolvi ca de obicei.
Înlocuiești valoarea găsită în expresia de la pasul 1, ca să afli și cealaltă necunoscută.
Verifici perechea găsită în ambele ecuații inițiale.

De ce funcționează? Pentru că, dacă $y$ trebuie să fie egal cu o anumită expresie în $x$ (din prima ecuație), atunci în orice altă egalitate adevărată poți înlocui $y$ prin acea expresie, fără să schimbi ce este adevărat și ce nu. Nu pierzi nicio soluție, doar o rescrii altfel.

Rezolvăm sistemul de mai sus prin substituție.

\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}

y = 7-2x

scoți

y

din prima ecuație

x-(7-2x)=2

înlocuiești

y

în a doua ecuație

x-7+2x=2

3x=9

x=3

y=7-2\cdot3=1

înlocuiești

x=3

în

y=7-2x

Soluția este perechea $(3,1)$ aceeași pe care ai verificat-o mai sus.

Metoda reducerii

Metoda reducerii elimină o necunoscută adunând sau scăzând cele două ecuații ale sistemului, astfel încât acea necunoscută să dispară din rezultat.

Alegi o necunoscută pe care vrei să o elimini.
Dacă e nevoie, înmulțești una sau ambele ecuații cu numere potrivite, astfel încât coeficienții necunoscutei alese să devină egali (o scazi) sau opuși (o aduni).
Aduni sau scazi cele două ecuații, membru cu membru, obținând o ecuație de gradul I cu o singură necunoscută.
Rezolvi această ecuație.
Înlocuiești valoarea găsită într-una din ecuațiile inițiale, ca să afli și cealaltă necunoscută.
Verifici perechea găsită în ambele ecuații inițiale.

De ce funcționează? Dacă doi membri stângi sunt egali cu doi membri drepți (fiecare ecuație e o egalitate adevărată), atunci suma membrilor stângi este egală cu suma membrilor drepți, la fel și diferența lor. Egalitatea rezultată rămâne adevărată pentru aceeași soluție.

Rezolvăm din nou sistemul de mai sus, de data aceasta prin reducere, eliminând $y$

\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}

(2x+y)+(x-y)=7+2

aduni cele două ecuații: coeficienții lui y sunt deja opuși

1

și

-1

3x=9

x=3

2\cdot3+y=7

înlocuiești

x=3

în prima ecuație

y=1

Obții aceeași soluție, $(3,1)$ ca prin substituție. Când niciun coeficient nu se potrivește direct, înmulțești mai întâi ecuațiile.

Rezolvăm sistemul $\begin{cases} 3x+2y=16 \\ 2x+5y=17 \end{cases}$ eliminând $x$ Înmulțim prima ecuație cu $2$ și a doua cu $3$ ca coeficientul lui $x$ să devină $6$ în ambele.

\begin{cases} 3x+2y=16 & |\cdot2 \\ 2x+5y=17 & |\cdot3 \end{cases}

\begin{cases} 6x+4y=32 \\ 6x+15y=51 \end{cases}

(6x+15y)-(6x+4y)=51-32

scazi prima din a doua, ca să elimini

x

11y=19

y=\dfrac{19}{11}

Alegi numerele cu care înmulțești în funcție de coeficienți

Cel mai simplu este să înmulțești fiecare ecuație cu coeficientul necunoscutei din cealaltă ecuație (ca mai sus, $2$ și $3$ astfel încât ambele ecuații să aibă același coeficient la necunoscuta pe care vrei să o elimini.

Ce metodă alegi

Ambele metode sunt corecte pentru orice sistem liniar; alegi metoda care cere mai puține calcule pentru sistemul dat.

Alegerea metodei de rezolvare, după coeficienți
Situație	Metodă recomandată
O necunoscută are deja coeficientul $1$ sau $-1$ într-o ecuație	substituție
Coeficienții unei necunoscute sunt deja egali sau opuși în cele două ecuații	reducere
Coeficienții nu sunt simpli în nicio ecuație	reducere, după înmulțirea ecuațiilor

Sisteme fără soluție și cu infinit de multe soluții

La fel ca la ecuațiile de gradul I, un sistem liniar poate avea exact o soluție, nicio soluție sau infinit de multe soluții. Situația apare atunci când, prin reducere, dispare complet și cealaltă necunoscută, nu doar cea vizată.

Sisteme fără soluție și cu infinit de multe soluții
Rezultat după reducerea completă	Ce înseamnă	Mulțimea soluțiilor
$0 = 0$ (propoziție adevărată)	cele două ecuații descriu aceeași relație între $x$ și $y$	infinit de multe soluții
$0 = k$ $k\ne0$ (propoziție falsă)	cele două ecuații se contrazic	nicio soluție $\varnothing$

Sistemul $\begin{cases} x+y=5 \\ 2x+2y=10 \end{cases}$ a doua ecuație este prima înmulțită cu $2$ deci spune exact același lucru.

\begin{cases} x+y=5 & |\cdot2 \\ 2x+2y=10 \end{cases}

\begin{cases} 2x+2y=10 \\ 2x+2y=10 \end{cases}

(2x+2y)-(2x+2y)=10-10

scazi cele două ecuații

0=0

propoziție adevărată, indiferent de

x

și

y

Sistemul are infinit de multe soluții: orice pereche $(x,y)$ cu $x+y=5$ verifică ambele ecuații.

Sistemul $\begin{cases} x+y=5 \\ 2x+2y=8 \end{cases}$ dacă ar exista o soluție comună, ar verifica $x+y=5$ deci $2x+2y=10$ dar a doua ecuație cere $2x+2y=8$ Contradicție.

\begin{cases} x+y=5 & |\cdot2 \\ 2x+2y=8 \end{cases}

\begin{cases} 2x+2y=10 \\ 2x+2y=8 \end{cases}

(2x+2y)-(2x+2y)=10-8

0=2

propoziție falsă, indiferent de

x

și

y

Sistemul nu are nicio soluție: nu există nicio pereche $(x,y)$ care să verifice ambele ecuații deodată.

Verificarea soluției

Verifici o soluție înlocuind perechea găsită în AMBELE ecuații inițiale, nu doar în una. Dacă și numai dacă ambele egalități devin adevărate, perechea este soluția sistemului.

Verificăm soluția $(15,9)$ a sistemului $\begin{cases} x+y=24 \\ x-y=6 \end{cases}$

15+9=24

prima ecuație, adevărat

15-9=6

a doua ecuație, adevărat

Ambele egalități sunt adevărate, deci $(15,9)$ este soluția sistemului. Dacă doar una dintre ele ar fi falsă, ai ști sigur că ai greșit undeva la rezolvare și ar trebui să reiei calculul.

Probleme rezolvate cu sisteme de ecuații

La o problemă cu două necunoscute, notezi fiecare mărime necunoscută cu o literă, traduci cele două relații din enunț în două ecuații, rezolvi sistemul și interpretezi rezultatul.

Problema 1. Suma a două numere este 24, iar diferența lor este 6. Care sunt cele două numere?

\begin{cases} x+y=24 \\ x-y=6 \end{cases}

(x+y)+(x-y)=24+6

aduni cele două ecuații,

y

dispare

2x=30

x=15

15+y=24

înlocuiești

x=15

în prima ecuație

y=9

Verific: $15+9=24$ și $15-9=6$ ambele adevărate. Numerele sunt $15$ și $9$

Problema 2. Într-o clasă sunt 28 de elevi. Numărul fetelor este cu 4 mai mare decât numărul băieților. Câte fete și câți băieți sunt în clasă?

x = \text{numărul fetelor}, \quad y = \text{numărul băieților}

\begin{cases} x+y=28 \\ x-y=4 \end{cases}

(x+y)+(x-y)=28+4

2x=32

x=16

16+y=28

y=12

Verific: $16+12=28$ și $16-12=4$ ambele adevărate. Sunt $16$ fete și $12$ băieți.

Problema 3. Un caiet și un pix costă împreună 12 lei. Trei caiete și două pixuri costă împreună 31 lei. Cât costă un caiet și cât costă un pix?

x = \text{prețul unui caiet, } y = \text{prețul unui pix, în lei}

\begin{cases} x+y=12 \\ 3x+2y=31 \end{cases}

y=12-x

scoți

y

din prima ecuație

3x+2(12-x)=31

înlocuiești

y

în a doua ecuație

3x+24-2x=31

x+24=31

x=7

y=12-7=5

Verific: $7+5=12$ și $3\cdot7+2\cdot5=21+10=31$ ambele adevărate. Caietul costă $7$ lei, iar pixul $5$ lei.

Metodă de lucru

Alegi metoda: substituție dacă o necunoscută are deja coeficient $1$ sau $-1$ într-o ecuație, reducere altfel.
La substituție: scoți o necunoscută dintr-o ecuație, o înlocuiești în cealaltă, rezolvi ecuația cu o singură necunoscută rezultată.
La reducere: dacă e nevoie, înmulțești ecuațiile astfel încât coeficienții necunoscutei alese să devină egali sau opuși, apoi aduni sau scazi ecuațiile.
Afli a doua necunoscută înlocuind valoarea găsită într-una din ecuațiile inițiale.
Dacă necunoscuta aleasă dispare complet din amândouă ecuații: $0=0$ înseamnă infinit de multe soluții, $0=k$ $k\ne0$ înseamnă nicio soluție.
Verifici perechea găsită în AMBELE ecuații inițiale.
La o problemă, interpretezi soluția în contextul enunțului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: verificarea unei soluții

Este perechea $(3,1)$ soluția sistemului $\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}$

Vezi rezolvarea

Înlocuiești $x=3$ $y=1$ în ambele ecuații.

2\cdot3+1=7

adevărat

3-1=2

adevărat

Ambele egalități sunt adevărate, deci $(3,1)$ este soluția sistemului.

Exemplul 2: substituție, formă de bază

Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}$ prin metoda substituției.

Vezi rezolvarea

Scoți $y$ din prima ecuație și îl înlocuiești în a doua.

y=7-2x

x-(7-2x)=2

3x=9

x=3

y=7-2\cdot3=1

Exemplul 3: substituție, necunoscuta cu coeficient $-1$

Rezolvă sistemul $\begin{cases} 3x-y=5 \\ x+2y=11 \end{cases}$ prin metoda substituției.

Vezi rezolvarea

Scoți $y$ din prima ecuație (coeficientul lui $y$ este $-1$

y=3x-5

x+2(3x-5)=11

x+6x-10=11

7x=21

x=3

y=3\cdot3-5=4

Exemplul 4: reducere, coeficienți deja opuși

Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2x+y=7 \\ x-y=2 \end{cases}$ prin metoda reducerii.

Vezi rezolvarea

Coeficienții lui $y$ sunt $1$ și $-1$ deja opuși: aduni cele două ecuații.

(2x+y)+(x-y)=7+2

3x=9

x=3

2\cdot3+y=7

y=1

Exemplul 5: reducere, coeficienți deja egali

Rezolvă sistemul $\begin{cases} 4x+3y=18 \\ 4x-y=2 \end{cases}$ prin metoda reducerii.

Vezi rezolvarea

Coeficienții lui $x$ sunt deja egali $4$ scazi ecuațiile ca $x$ să dispară.

(4x+3y)-(4x-y)=18-2

4y=16

y=4

4x-4=2

x=\dfrac{3}{2}

Exemplul 6: reducere cu înmulțirea unei singure ecuații

Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+2y=8 \\ 3x-y=3 \end{cases}$ prin metoda reducerii.

Vezi rezolvarea

Înmulțești a doua ecuație cu $2$ ca și coeficientul lui $y$ să devină opus celui din prima.

\begin{cases} x+2y=8 \\ 6x-2y=6 \end{cases}

(x+2y)+(6x-2y)=8+6

7x=14

x=2

2+2y=8

y=3

Exemplul 7: reducere cu înmulțirea ambelor ecuații

Rezolvă sistemul $\begin{cases} 3x+2y=16 \\ 2x+5y=17 \end{cases}$ prin metoda reducerii.

Vezi rezolvarea

Înmulțești prima ecuație cu $2$ și a doua cu $3$ ca $x$ să aibă același coeficient.

\begin{cases} 6x+4y=32 \\ 6x+15y=51 \end{cases}

(6x+15y)-(6x+4y)=51-32

11y=19

y=\dfrac{19}{11}

3x+2\cdot\dfrac{19}{11}=16

x=\dfrac{46}{11}

Exemplul 8: coeficienți negativi

Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2x-3y=-1 \\ x+y=3 \end{cases}$

Vezi rezolvarea

Scoți $x$ din a doua ecuație și îl înlocuiești în prima.

x=3-y

2(3-y)-3y=-1

6-2y-3y=-1

-5y=-7

y=\dfrac{7}{5}

x=3-\dfrac{7}{5}=\dfrac{8}{5}

Exemplul 9: sistem cu paranteze

Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2(x+y)=10 \\ x-2y=1 \end{cases}$

Vezi rezolvarea

Desfaci mai întâi paranteza din prima ecuație.

2x+2y=10

x=2y+1

din a doua ecuație

2(2y+1)+2y=10

4y+2+2y=10

6y=8

y=\dfrac{4}{3}

x=2\cdot\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{11}{3}

Exemplul 10: sistem cu infinit de multe soluții

Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+y=5 \\ 2x+2y=10 \end{cases}$

Vezi rezolvarea

A doua ecuație este prima înmulțită cu $2$ spun exact același lucru.

\begin{cases} 2x+2y=10 \\ 2x+2y=10 \end{cases}

(2x+2y)-(2x+2y)=10-10

0=0

Propoziție adevărată pentru orice $x,y$ care verifică $x+y=5$ sistemul are infinit de multe soluții.

Exemplul 11: sistem fără soluție

Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+y=5 \\ 2x+2y=8 \end{cases}$

Vezi rezolvarea

Înmulțești prima ecuație cu $2$ și compari cu a doua.

\begin{cases} 2x+2y=10 \\ 2x+2y=8 \end{cases}

(2x+2y)-(2x+2y)=10-8

0=2

Propoziție falsă pentru orice $x,y$ sistemul nu are nicio soluție.

Exemplul 12: problemă cu sumă și diferență

Suma a două numere este 24, iar diferența lor este 6. Care sunt cele două numere?

Vezi rezolvarea

Notezi numerele cu $x$ și $y$ și traduci enunțul în sistem.

\begin{cases} x+y=24 \\ x-y=6 \end{cases}

(x+y)+(x-y)=24+6

2x=30

x=15

y=24-15=9

Verific: $15+9=24$ și $15-9=6$ ambele adevărate. Numerele sunt $15$ și $9$

Exemplul 13: problemă cu prețuri

Un caiet și un pix costă împreună 12 lei. Trei caiete și două pixuri costă împreună 31 lei. Cât costă un caiet și cât costă un pix?

Vezi rezolvarea

Notezi prețurile cu $x$ (caiet) și $y$ (pix) și traduci enunțul în sistem.

\begin{cases} x+y=12 \\ 3x+2y=31 \end{cases}

y=12-x

3x+2(12-x)=31

x=7

y=5

Verific: $7+5=12$ și $3\cdot7+2\cdot5=31$ ambele adevărate. Caietul costă $7$ lei, pixul $5$ lei.

Exemplul 14: problemă de vârste

Vârsta unui tată și vârsta fiului său însumează 45 de ani. Tatăl are cu 25 de ani mai mult decât fiul. Ce vârstă are fiecare?

Vezi rezolvarea

Notezi vârsta tatălui cu $x$ și a fiului cu $y$

\begin{cases} x+y=45 \\ x-y=25 \end{cases}

(x+y)+(x-y)=45+25

2x=70

x=35

y=45-35=10

Verific: $35+10=45$ și $35-10=25$ ambele adevărate. Tatăl are $35$ de ani, fiul $10$ ani.

Exemplul 15: problemă de geometrie

Un dreptunghi are perimetrul 36 cm, iar lungimea este cu 4 cm mai mare decât lățimea. Află dimensiunile dreptunghiului.

Vezi rezolvarea

Notezi lungimea cu $x$ și lățimea cu $y$ perimetrul este $2(x+y)$

\begin{cases} 2(x+y)=36 \\ x-y=4 \end{cases}

x+y=18

împarți prima ecuație la 2

(x+y)+(x-y)=18+4

2x=22

x=11

y=18-11=7

Verific: $2(11+7)=36$ și $11-7=4$ ambele adevărate. Lungimea este $11$ cm, lățimea $7$ cm.

Greșeli frecvente

Verific o soluție doar în una din ecuațiile sistemului și conclud că e corectă.
Soluția trebuie să verifice AMBELE ecuații deodată. O pereche care verifică doar o ecuație nu este soluția sistemului.
La substituție, scot $y$ din prima ecuație și îl înlocuiesc tot în prima ecuație.
Expresia găsită pentru $y$ se înlocuiește în CEALALTĂ ecuație, ca sistemul să se reducă la o singură ecuație cu o singură necunoscută.
La reducere, adun cele două ecuații fără să verific dacă necunoscuta pe care vreau să o elimin chiar dispare.
Reducerea funcționează doar dacă, după adunare sau scădere, coeficientul necunoscutei alese devine exact $0$ Verifici coeficienții înainte de a aduna sau a scădea.
La $\begin{cases} 3x+2y=16 \\ 2x+5y=17 \end{cases}$ înmulțesc doar prima ecuație, nu și a doua.
Ca metoda reducerii să funcționeze, trebuie să înmulțești ecuațiile astfel încât coeficienții necunoscutei eliminate să devină egali sau opuși în AMBELE ecuații, nu doar în una.
Găsesc valoarea lui $x$ și uit să calculez și valoarea lui $y$
Riscant. Soluția unui sistem cu două necunoscute este întotdeauna o PERECHE de numere, $(x,y)$ nu un singur număr.
La $\begin{cases} x+y=5 \\ 2x+2y=10 \end{cases}$ ajung la $0=0$ și conclud că sistemul nu are soluție.
$0=0$ este o propoziție adevărată pentru orice $x,y$ deci sistemul are infinit de multe soluții, nu zero soluții.
La $\begin{cases} x+y=5 \\ 2x+2y=8 \end{cases}$ ajung la $0=2$ și încerc să continui rezolvarea.
$0=2$ este o propoziție falsă, indiferent de $x$ și $y$ Rezolvarea se oprește aici: sistemul nu are nicio soluție.
Când desfac paranteza $2(x+y)=10$ scriu $2x+y=10$
Distributivitatea înmulțește $2$ cu FIECARE termen din paranteză: $2x+2y=10$

Exerciții

Ușor

Este perechea $(2,3)$ soluția sistemului $\begin{cases} x+y=5 \\ x-y=-1 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$2+3=5$ și $2-3=-1$ ambele adevărate.
Este perechea $(2,2)$ soluția sistemului $\begin{cases} 2x+y=6 \\ x+2y=9 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$2\cdot2+2=6$ adevărat, dar $2+2\cdot2=6\ne9$ fals. Verifică doar prima ecuație, nu și a doua, deci nu este soluția sistemului.
Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+y=9 \\ x-y=3 \end{cases}$ prin metoda reducerii.
Arată răspunsul
Răspuns: $(6,3)$
Aduni ecuațiile: $2x=12$ $x=6$ $y=9-6=3$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+2y=8 \\ x-y=2 \end{cases}$ prin metoda substituției.
Arată răspunsul
Răspuns: $(4,2)$
$x=y+2$ $(y+2)+2y=8$ $3y=6$ $y=2$ $x=4$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 3x+y=11 \\ x-y=1 \end{cases}$ prin metoda substituției.
Arată răspunsul
Răspuns: $(3,2)$
$x=y+1$ $3(y+1)+y=11$ $4y=8$ $y=2$ $x=3$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2x+3y=13 \\ 2x-y=1 \end{cases}$ prin metoda reducerii.
Arată răspunsul
Răspuns: $(2,3)$
Scazi ecuațiile: $4y=12$ $y=3$ $2x=1+3=4$ $x=2$

Mediu

Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+3y=10 \\ 2x-y=-1 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: $(1,3)$
$x=10-3y$ $2(10-3y)-y=-1$ $20-7y=-1$ $y=3$ $x=1$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 4x-3y=1 \\ x+3y=14 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: $(3,\dfrac{11}{3})$
Aduni ecuațiile: $5x=15$ $x=3$ $3y=14-3=11$ $y=\dfrac{11}{3}$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2x+y=13 \\ 3x+2y=22 \end{cases}$ prin metoda reducerii.
Arată răspunsul
Răspuns: $(4,5)$
Înmulțești prima cu 2: $4x+2y=26$ scazi a doua: $x=4$ $y=13-8=5$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 5x+2y=19 \\ 3x+4y=17 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: $(3,2)$
Înmulțești prima cu 2: $10x+4y=38$ scazi a doua: $7x=21$ $x=3$ $y=(19-15)/2=2$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2x-5y=1 \\ 3x+2y=30 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: $(8,3)$
Înmulțești prima cu 2, a doua cu 5: $4x-10y=2$ $15x+10y=150$ aduni: $19x=152$ $x=8$ $y=(2\cdot8-1)/5=3$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 3(x+y)=21 \\ x-y=1 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: $(4,3)$
$x+y=7$ aduni cu $x-y=1$ $2x=8$ $x=4$ $y=3$
Stabilește dacă sistemul $\begin{cases} 2x+4y=6 \\ x+2y=3 \end{cases}$ are o soluție, nicio soluție sau infinit de multe soluții.
Arată răspunsul
Răspuns: Infinit de multe soluții.
A doua ecuație este prima împărțită la 2: spun același lucru, deci $0=0$ după reducere.
Stabilește dacă sistemul $\begin{cases} x+2y=4 \\ 2x+4y=9 \end{cases}$ are o soluție, nicio soluție sau infinit de multe soluții.
Arată răspunsul
Răspuns: Nicio soluție.
Înmulțești prima cu 2: $2x+4y=8$ dar a doua cere $2x+4y=9$ contradicție, $0=1$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 0{,}5x+y=4 \\ x-y=2 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: $(4,2)$
Aduni ecuațiile: $1{,}5x=6$ $x=4$ $y=4-2=2$
Verifică dacă $(2,-1)$ este soluția sistemului $\begin{cases} 3x-y=7 \\ x+2y=0 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
$3\cdot2-(-1)=6+1=7$ adevărat; $2+2\cdot(-1)=2-2=0$ adevărat. Ambele egalități sunt adevărate.
Suma a două numere este 48, iar unul este de trei ori mai mare decât celălalt. Care sunt cele două numere?
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ și $36$
$x+y=48$ $x=3y$ $3y+y=48$ $4y=48$ $y=12$ $x=36$
Într-o livadă sunt 120 de pomi, meri și peri. Numărul merilor este de două ori numărul perilor. Câți meri și câți peri sunt?
Arată răspunsul
Răspuns: 80 de meri și 40 de peri.
$x+y=120$ $x=2y$ $2y+y=120$ $y=40$ $x=80$
Perimetrul unui dreptunghi este 40 cm, iar lungimea este cu 6 cm mai mare decât lățimea. Află aria dreptunghiului.
Arată răspunsul
Răspuns: $91\text{ cm}^2$
$x+y=20$ $x-y=6$ $2x=26$ $x=13$ $y=7$ aria $13\cdot7=91\text{ cm}^2$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+y=3 \\ 3x+3y=10 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: Nicio soluție.
Înmulțești prima cu $3$ $3x+3y=9$ dar a doua cere $3x+3y=10$ $0=1$ fals.

Provocare

Un bilet la cinema pentru adult costă cu 5 lei mai mult decât unul pentru copil. Două bilete de adult și trei de copil costă 65 lei. Cât costă fiecare bilet?
Arată răspunsul
Răspuns: Adult 16 lei, copil 11 lei.
$x=y+5$ $2(y+5)+3y=65$ $2y+10+3y=65$ $5y=55$ $y=11$ $x=16$ Verific: $2\cdot16+3\cdot11=32+33=65$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 4x+3y=2 \\ 2x-y=6 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: $(2,-2)$
Din a doua: $y=2x-6$ $4x+3(2x-6)=2$ $10x-18=2$ $10x=20$ $x=2$ $y=2\cdot2-6=-2$
Rezolvă sistemul $\begin{cases} 2(x-1)+y=8 \\ x+3(y+1)=18 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: $(3,4)$
Desfaci parantezele: $2x+y=10$ $x+3y=15$ din prima $y=10-2x$ $x+3(10-2x)=15$ $x+30-6x=15$ $-5x=-15$ $x=3$ $y=10-6=4$
Un elev rezolvă sistemul $\begin{cases} x+y=6 \\ 2x+2y=12 \end{cases}$ și scrie „soluția este $(3,3)$ Explică de ce răspunsul este incomplet.
Arată răspunsul
Răspuns: Sistemul are infinit de multe soluții, nu doar $(3,3)$
A doua ecuație este prima înmulțită cu 2, deci după reducere se obține $0=0$ Orice pereche cu $x+y=6$ este soluție, nu doar $(3,3)$
Vârsta unei mame este de patru ori vârsta fiicei. Peste 6 ani, vârsta mamei va fi de trei ori vârsta fiicei. Ce vârstă are acum fiecare?
Arată răspunsul
Răspuns: Fiica 12 ani, mama 48 ani.
$x=4y$ $x+6=3(y+6)$ $4y+6=3y+18$ $y=12$ $x=48$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce este soluția unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute?
Arată răspunsul
Răspuns: O pereche de numere $(x,y)$
Soluția este perechea de valori care verifică ambele ecuații ale sistemului în același timp.
2. Perechea $(2,1)$ verifică prima ecuație a unui sistem, dar nu și a doua. Este $(2,1)$ soluția sistemului?
1. Da, e suficient să verifice o ecuație
2. Nu, trebuie să verifice ambele ecuații
3. Da, dacă e ecuația mai importantă
4. Depinde de metoda de rezolvare folosită
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, trebuie să verifice ambele ecuații
Soluția unui sistem trebuie să verifice AMBELE ecuații deodată, nu doar una.
3. Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+y=10 \\ x-y=2 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: $(6,4)$
Aduni ecuațiile: $2x=12$ $x=6$ $y=10-6=4$
4. Rezolvă sistemul $\begin{cases} x+3y=11 \\ x-y=3 \end{cases}$ prin substituție.
Arată răspunsul
Răspuns: $(5,2)$
$x=y+3$ $(y+3)+3y=11$ $4y=8$ $y=2$ $x=5$
5. La sistemul $\begin{cases} 5x+4y=14 \\ 3x-2y=4 \end{cases}$ ce faci ca să elimini $y$ prin reducere?
1. Înmulțești ambele ecuații cu $2$
2. Aduni direct cele două ecuații
3. Înmulțești a doua ecuație cu $2$ apoi aduni ecuațiile
4. Scazi direct cele două ecuații
Arată răspunsul
Răspuns: Înmulțești a doua ecuație cu $2$ apoi aduni ecuațiile
Coeficienții lui $y$ sunt $4$ și $-2$ Înmulțind a doua ecuație cu $2$ obții $6x-4y=8$ la adunare, $4y$ și $-4y$ se reduc.
6. Sistemul $\begin{cases} x+y=4 \\ 2x+2y=8 \end{cases}$ are o soluție, nicio soluție sau infinit de multe soluții?
Arată răspunsul
Răspuns: Infinit de multe soluții
A doua ecuație este prima înmulțită cu $2$ spun același lucru, deci $0=0$ după reducere.
7. Sistemul $\begin{cases} x+y=4 \\ 2x+2y=9 \end{cases}$ are o soluție, nicio soluție sau infinit de multe soluții?
Arată răspunsul
Răspuns: Nicio soluție
Înmulțind prima cu $2$ obții $2x+2y=8$ care contrazice $2x+2y=9$ $0=1$ fals.
8. Suma a două numere este 20, iar diferența lor este 4. Care este numărul mai mare?
Arată răspunsul
Răspuns: 12
$x+y=20$ $x-y=4$ $2x=24$ $x=12$
9. Verifică dacă $(1,2)$ este soluția sistemului $\begin{cases} 2x+y=4 \\ x+y=3 \end{cases}$
Arată răspunsul
Răspuns: Da
$2\cdot1+2=4$ adevărat; $1+2=3$ adevărat.

Întrebări frecvente

Ce este un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute?

Sunt două ecuații care se rezolvă împreună, nu separat. Soluția este perechea de numere $(x,y)$ care verifică ambele ecuații în același timp.

De ce nu e suficient ca o pereche de numere să verifice doar o ecuație din sistem?

Pentru că soluția sistemului trebuie să respecte ambele condiții date, nu doar una. O pereche care verifică o singură ecuație rezolvă doar acea ecuație, nu sistemul.

Cum funcționează metoda substituției?

Exprimi o necunoscută în funcție de cealaltă, folosind una din ecuații, apoi o înlocuiești în CEALALTĂ ecuație. Obții o ecuație cu o singură necunoscută, pe care o rezolvi normal.

Cum funcționează metoda reducerii?

Aduni sau scazi cele două ecuații, membru cu membru, după ce le-ai înmulțit (dacă e nevoie) astfel încât coeficienții unei necunoscute să devină egali sau opuși. Necunoscuta respectivă dispare, iar restul e o ecuație cu o singură necunoscută.

Ce metodă aleg, substituția sau reducerea?

Alegi substituția dacă o necunoscută are deja coeficient $1$ sau $-1$ într-o ecuație. Alegi reducerea dacă coeficienții sunt deja egali sau opuși, sau dacă devin ușor egali prin înmulțire.

Ce înseamnă că un sistem nu are soluție?

Înseamnă că, după ce elimini o necunoscută, obții o propoziție numerică falsă, cum ar fi $0=2$ Nicio pereche $(x,y)$ nu verifică ambele ecuații deodată.

Ce înseamnă că un sistem are infinit de multe soluții?

Înseamnă că, după ce elimini o necunoscută, obții o propoziție numerică adevărată, cum ar fi $0=0$ Cele două ecuații descriu de fapt aceeași relație între $x$ și $y$

Cum transform o problemă cu două necunoscute într-un sistem?

Notezi fiecare mărime necunoscută cu o literă, traduci fiecare din cele două relații ale enunțului într-o ecuație, rezolvi sistemul obținut și interpretezi rezultatul în context.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este un sistem de două ecuații liniare

Metoda substituției

Metoda reducerii

Ce metodă alegi

Sisteme fără soluție și cu infinit de multe soluții

Verificarea soluției

Probleme rezolvate cu sisteme de ecuații

Metodă de lucru

Exemple rezolvate

Exemplul 1: verificarea unei soluții

Exemplul 2: substituție, formă de bază

Exemplul 3: substituție, necunoscuta cu coeficient −1-1−1

Exemplul 4: reducere, coeficienți deja opuși

Exemplul 5: reducere, coeficienți deja egali

Exemplul 6: reducere cu înmulțirea unei singure ecuații

Exemplul 7: reducere cu înmulțirea ambelor ecuații

Exemplul 8: coeficienți negativi

Exemplul 9: sistem cu paranteze

Exemplul 10: sistem cu infinit de multe soluții

Exemplul 11: sistem fără soluție

Exemplul 12: problemă cu sumă și diferență

Exemplul 13: problemă cu prețuri

Exemplul 14: problemă de vârste

Exemplul 15: problemă de geometrie

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VII-a, Partea I

Matematică. Clasa a VII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Exemplul 3: substituție, necunoscuta cu coeficient $-1$