Ecuația x² = a în mulțimea numerelor reale

Q: Câte soluții are ecuația x² = a?

Depinde de semnul lui a: două soluții dacă a>0, o singură soluție (x=0) dacă a=0, și nicio soluție reală dacă a<0.

Q: De ce apar două soluții când a > 0?

Pentru că atât a, cât și opusul lui, - a, ridicate la pătrat, dau exact a. Ambele verifică ecuația.

Q: De ce √25 = 5, dar x² = 25 are două soluții?

√(25) este, prin definiție, un singur număr nenegativ, 5. Ecuația x²=25 pune o altă întrebare: ce numere, ridicate la pătrat, dau 25? Răspunsul include și 5, și -5.

Q: Ce se întâmplă dacă a = 0?

Ecuația x²=0 are o singură soluție, x=0, pentru că 0 nu are un opus diferit de el însuși.

Q: Ce se întâmplă dacă a < 0?

Ecuația nu are nicio soluție reală, pentru că pătratul niciunui număr real nu poate fi negativ. Mulțimea soluțiilor este S=∅.

Q: Cum verific soluțiile ecuației x² = a?

Înlocuiești x cu soluția găsită și ridici la pătrat. Dacă obții exact a, soluția este corectă. Verifici pe rând ambele soluții, când sunt două.

Ce vei învăța

Explici ce cere ecuația $x^2=a$ și de ce numărul de soluții depinde de semnul lui $a$
Rezolvi $x^2=a$ pentru $a>0$ scriind ambele soluții $x=\pm\sqrt a$
Rezolvi $x^2=a$ pentru $a=0$ cu singura soluție $x=0$
Explici de ce $x^2=a$ nu are soluții reale pentru $a<0$
Scrii corect mulțimea soluțiilor, inclusiv $S=\varnothing$
Distingi între $\sqrt a$ (un singur număr, nenegativ) și soluțiile ecuației $x^2=a$ (două numere, când $a>0$
Verifici o soluție a ecuației $x^2=a$ prin ridicare la pătrat.

Recomandat înainte: Media aritmetică ponderată și media geometrică

Ideea de bază

Pentru $a>0$ ecuația $x^2=a$ are exact două soluții reale, opuse una alteia.

x^2=a \ (a>0) \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt a

Pentru $a=0$ singura soluție este $0$ Pentru $a<0$ ecuația nu are nicio soluție reală, pentru că pătratul unui număr real nu poate fi negativ.

Soluțiile ecuației $x^2=a$ după semnul lui $a$
Condiție pe a	Număr de soluții reale	Soluții
$a>0$	$2$	$x=\pm\sqrt a$
$a=0$	$1$	$x=0$
$a<0$	$0$	niciuna în ℝ

Ce înseamnă ecuația x² = a

Ecuația $x^2=a$ te întreabă: ce numere reale, ridicate la pătrat, dau exact $a$ Nu e vorba de un singur număr, ci de toate numerele reale care îndeplinesc condiția.

Ia ecuația $x^2=9$ Care numere reale, ridicate la pătrat, dau $9$

3^2 = 9

3

este o soluție

(-3)^2 = 9

-3

este și el o soluție

Ambele numere ridicate la pătrat dau $9$ deci ambele sunt soluții ale ecuației. Scrii mulțimea soluțiilor așa:

S=\{-3,3\}

Acesta este motivul pentru care, în general, ecuația $x^2=a$ poate avea două soluții, nu una singură: și un număr, și opusul lui, ridicate la pătrat, dau același rezultat.

Cazul a > 0

Dacă $a>0$ ecuația $x^2=a$ are exact două soluții reale, opuse una alteia: $\sqrt a$ și $-\sqrt a$

\begin{aligned} &x^2=a \ (a>0) \\ \Longrightarrow\ &x=\sqrt a \ \text{sau} \ x=-\sqrt a \end{aligned}

Se scrie compact $x=\pm\sqrt a$ iar mulțimea soluțiilor este $S=\{-\sqrt a,\sqrt a\}$

x^2=16

16

este pătrat perfect

x=\pm\sqrt{16}

x=\pm4

x^2=2

2

nu este pătrat perfect

x=\pm\sqrt2

Nu orice rezultat este întreg

Când $a$ nu este pătrat perfect, soluțiile rămân sub formă de radical, ca $\pm\sqrt2$ Nu trebuie să obții mereu un număr întreg.

De ce este necesar ±

O greșeală frecventă: la $x^2=25$ mulți scriu doar $x=5$ și uită cealaltă soluție.

Incomplet: x = 5

Răspunsul $x=5$ este incomplet. Ecuația $x^2=25$ are DOUĂ soluții reale, nu una singură.

Verifici de ce ambele numere sunt soluții:

5^2 = 25

5

este soluție

(-5)^2 = 25

-5

este și el soluție, la fel de valabilă

Semnul $\pm$ este o prescurtare pentru „ambele soluții”, nu un semn opțional. Îl folosești ca să nu scrii de fiecare dată două rânduri separate.

x=\pm5 \quad\text{înseamnă}\quad x=5 \ \text{sau} \ x=-5

√a nu este același lucru cu soluțiile ecuației x² = a

Aceasta este o distincție importantă, ușor de confundat cu explicația de mai sus.

Simbolul radical $\sqrt{\ }$ înseamnă întotdeauna un singur număr: rădăcina pătrată nenegativă. De exemplu, $\sqrt{25}=5$ nu $\pm5$ Radicalul unui număr nenegativ este el însuși nenegativ, prin definiție (Modulul 1).

\sqrt{25}=5

Dar ecuația $x^2=25$ are DOUĂ soluții, pentru că întrebarea e alta: „ce numere, ridicate la pătrat, dau $25$ nu „care este rădăcina pătrată a lui $25$

x^2=25 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm5

Nu scrie √25 = ±5

$\sqrt{25}$ este un singur număr, $5$ Semnul $\pm$ apare la soluțiile ecuației $x^2=25$ nu la valoarea radicalului $\sqrt{25}$ Nu confunda simbolul radical cu mulțimea soluțiilor unei ecuații.

Radicalul $\sqrt{25}$ și ecuația $x^2=25$
Expresie	Ce înseamnă	Rezultat
$\sqrt{25}$	un singur număr, rădăcina pătrată nenegativă	$5$
$x^2=25$	o ecuație, cu toate soluțiile ei reale	$x=\pm5$ adică $S=\{-5,5\}$

Cazul a = 0

Dacă $a=0$ ecuația $x^2=0$ are o singură soluție reală: $x=0$

x^2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0

De ce o singură soluție, nu două? Pentru cazul $a>0$ soluțiile erau $\sqrt a$ și $-\sqrt a$ două numere diferite. Aici, $\sqrt0=0$ și $-\sqrt0=-0$ dar $0$ și $-0$ sunt exact același număr.

+0 și −0 sunt același număr

Spre deosebire de $\sqrt a$ și $-\sqrt a$ pentru $a>0$ (două numere distincte), $0$ nu are un opus diferit de el însuși. De aceea ecuația $x^2=0$ are o singură soluție, nu două.

S=\{0\}

Cazul a < 0

În mulțimea numerelor reale, pătratul oricărui număr real este nenegativ, indiferent dacă numărul e pozitiv, negativ sau $0$

3^2=9 \ge 0

(-3)^2=9 \ge 0

0^2=0 \ge 0

Deci un pătrat de număr real nu poate fi niciodată negativ. Dacă $a<0$ nu există niciun număr real $x$ pentru care $x^2=a$

x^2=-4 \quad\Longrightarrow\quad \text{niciun } x \in \mathbb R

Scrii mulțimea soluțiilor ca mulțimea vidă:

S=\varnothing

Punct-cheie: fără soluții reale pentru a < 0

Nu există niciun număr real care, ridicat la pătrat, să dea un rezultat negativ. Ecuația $x^2=-4$ nu are nicio soluție în ℝ, iar $S=\varnothing$ este răspunsul complet și corect, nu un răspuns lipsă.

Sinteza celor trei cazuri

Toată discuția de mai sus se rezumă la trei cazuri, după semnul lui $a$

Cele trei cazuri ale ecuației $x^2=a$
Condiție pe a	Număr de soluții reale	Soluții
$a>0$	$2$	$x=\pm\sqrt a$
$a=0$	$1$	$x=0$
$a<0$	$0$	niciuna în ℝ $S=\varnothing$

Primul pas la rezolvarea oricărei ecuații $x^2=a$ este să te uiți la semnul lui $a$ asta îți spune imediat câte soluții cauți, înainte să faci vreun calcul.

Soluții iraționale, fracționare și zecimale

Regula $x=\pm\sqrt a$ funcționează la fel indiferent dacă $\sqrt a$ este un număr întreg, o fracție, un număr zecimal sau un radical care nu se simplifică la un întreg.

x^2=3

3

nu este pătrat perfect

x=\pm\sqrt3

Legătură cu Modulul 1

$\sqrt3$ este un număr real irațional, exact ca în Modulul 1. Nu e nevoie să-l aproximezi cu zecimale, decât dacă problema cere explicit o valoare aproximativă.

Pentru un $a$ scris ca fracție, radicalul se aplică atât numărătorului, cât și numitorului:

x^2=\dfrac{9}{16}

atât

9

cât și

16

sunt pătrate perfecte

x=\pm\sqrt{\dfrac{9}{16}}

x=\pm\dfrac{3}{4}

Regula funcționează la fel și pentru un $a$ scris ca număr zecimal:

x^2=0{,}25

x=\pm\sqrt{0{,}25}

x=\pm0{,}5

Verificarea soluțiilor

O soluție se verifică prin ridicare la pătrat: dacă înlocuiești $x$ cu soluția găsită, trebuie să obții exact $a$

Pentru $x^2=12$ soluțiile candidate sunt $x=\pm\sqrt{12}$ Verifici pe rând ambele:

(\sqrt{12})^2 = 12

verificare pentru soluția pozitivă

(-\sqrt{12})^2 = 12

verificare pentru soluția negativă, la fel de valabilă

Nu pierde semnul minus la verificare

La ridicarea la pătrat a lui $-\sqrt{12}$ semnul minus dispare pentru că $(-\sqrt{12})^2=(-1)^2\cdot(\sqrt{12})^2=12$ nu pentru că l-ai omis din calcul. Rescrie complet pasul, nu sări peste el.

Reprezentare pe axa numerelor

Cele două soluții ale ecuației $x^2=9$ adică $x=\pm3$ sunt simetrice față de $0$ pe axa numerelor.

-3

-2

-1

0

1

2

3

x=-3

și

x=3

sunt cele două soluții ale ecuației

x^2=9

puncte simetrice pe axă, la aceeași distanță de

0

nu un interval.

Aceste două puncte sunt soluții individuale ale ecuației, nu capetele unui interval de numere.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: x² = 9

Rezolvă ecuația $x^2=9$

Vezi rezolvarea

x=\pm\sqrt9=\pm3

$S=\{-3,3\}$

Exemplul 2: x² = 18, cu radicalul simplificat

Rezolvă ecuația $x^2=18$ și simplifică radicalul rezultat.

Vezi rezolvarea

x=\pm\sqrt{18}

Scoți factorul de sub radical (Modulul 1): $18 = 9\cdot 2$ iar $9$ este pătrat perfect.

\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt2

$S=\{-3\sqrt2,\,3\sqrt2\}$

Exemplul 3: x² = 2, soluție irațională

Rezolvă ecuația $x^2=2$

Vezi rezolvarea

$2$ nu este pătrat perfect, deci soluțiile rămân sub formă de radical. $\sqrt2$ este un număr real irațional (Modulul 1), deci nu e nevoie de nicio aproximare.

x=\pm\sqrt2

Exemplul 4: x² = 0

Rezolvă ecuația $x^2=0$

Vezi rezolvarea

O singură soluție, pentru că $0$ nu are un opus diferit de el însuși.

x=0, \quad S=\{0\}

Exemplul 5: x² = −4

Rezolvă ecuația $x^2=-4$

Vezi rezolvarea

Pătratul unui număr real nu poate fi negativ, deci nu există nicio soluție reală.

S=\varnothing

Exemplul 6: x² = 25, cu accent pe ±

Rezolvă ecuația $x^2=25$ Verifică de ce ambele soluții sunt valabile.

Vezi rezolvarea

x=\pm5

5^2=25

prima soluție verificată

(-5)^2=25

a doua soluție, la fel de valabilă

$S=\{-5,5\}$ Scrierea $x=5$ singură este incompletă.

Exemplul 7: x² = 9/16, soluție fracționară

Rezolvă ecuația $x^2=\dfrac{9}{16}$

Vezi rezolvarea

x=\pm\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\pm\dfrac{3}{4}

Exemplul 8: x² = 0,25, soluție zecimală

Rezolvă ecuația $x^2=0{,}25$

Vezi rezolvarea

x=\pm\sqrt{0{,}25}=\pm0{,}5

Exemplul 9: detectarea unei erori

Un elev a rezolvat $x^2=12$ și a scris răspunsul $x=\sqrt{12}$ Este complet? Verifică ambele soluții.

Vezi rezolvarea

Nu, răspunsul e incomplet: lipsește soluția negativă.

x=\pm\sqrt{12}

(\sqrt{12})^2=12

verificare soluție pozitivă

(-\sqrt{12})^2=12

verificare soluție negativă

Ambele verifică ecuația, deci $S=\{-\sqrt{12},\sqrt{12}\}$

Greșeli frecvente

Scriu doar $x=\sqrt a$ pentru $a>0$ și uit soluția negativă $-\sqrt a$
Pentru $a>0$ ecuația $x^2=a$ are DOUĂ soluții: $x=\sqrt a$ și $x=-\sqrt a$ scrise compact $x=\pm\sqrt a$
Scriu $\sqrt{25}=\pm5$
$\sqrt{25}$ este un singur număr, $5$ (rădăcina pătrată nenegativă). Semnul $\pm$ apare la soluțiile ecuației $x^2=25$ nu la valoarea radicalului $\sqrt{25}$
Cred că ecuația $x^2=-4$ are o soluție reală.
Pătratul unui număr real nu poate fi negativ. $x^2=-4$ nu are nicio soluție reală: $S=\varnothing$
Scriu două soluții pentru $x^2=0$ de exemplu $x=0$ și $x=-0$
$0$ și $-0$ sunt exact același număr. Ecuația $x^2=0$ are o singură soluție: $x=0$
Uit să scriu mulțimea soluțiilor $S$ și dau doar valorile numerice, fără notație.
Scrie explicit mulțimea soluțiilor, de exemplu $S=\{-3,3\}$ $S=\{0\}$ sau $S=\varnothing$ nu doar valorile izolate.
La verificarea soluției negative, pierd semnul minus, de exemplu scriu $(-\sqrt{12})^2=-12$
$(-\sqrt{12})^2=(-1)^2\cdot(\sqrt{12})^2=1\cdot12=12$ Ridicarea la pătrat a unui număr negativ dă un rezultat pozitiv, nu negativ.
Aproximez inutil o soluție irațională, de exemplu scriu $x=\pm\sqrt3\approx\pm1{,}73$ când nu e cerut.
Lași soluția sub formă de radical, $x=\pm\sqrt3$ decât dacă problema cere explicit o valoare aproximativă.
La $x^2=16$ scriu $x=16:2=8$ ca și cum $x^2$ ar însemna $2x$
$x^2$ înseamnă $x\cdot x$ nu $2\cdot x$ Cauți numerele care, înmulțite cu ele însele, dau $16$ $x=\pm\sqrt{16}=\pm4$

Exerciții

Ușor

Rezolvă ecuația $x^2=4$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\pm2$ $S=\{-2,2\}$
$4$ este pătrat perfect: $x=\pm\sqrt4=\pm2$
Rezolvă ecuația $x^2=49$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\pm7$ $S=\{-7,7\}$
$49$ este pătrat perfect: $x=\pm\sqrt{49}=\pm7$
Rezolvă ecuația $x^2=36$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=-6$ sau $x=6$ $S=\{-6,6\}$
Numerele reale al căror pătrat este $36$ sunt $-6$ și $6$
Rezolvă ecuația $x^2=-9$
Arată răspunsul
Răspuns: $S=\varnothing$
Pătratul unui număr real nu poate fi negativ, deci nu există nicio soluție reală.
Rezolvă ecuația $x^2=\dfrac{1}{4}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\pm\dfrac{1}{2}$
$x=\pm\sqrt{\dfrac14}=\pm\dfrac12$

Mediu

Rezolvă ecuația $x^2=5$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\pm\sqrt5$
$5$ nu este pătrat perfect, soluțiile rămân sub formă de radical: $x=\pm\sqrt5$
Rezolvă ecuația $x^2=20$ și simplifică radicalul rezultat.
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\pm2\sqrt5$
$x=\pm\sqrt{20}=\pm\sqrt{4\cdot5}=\pm2\sqrt5$ (scoaterea unui factor, Modulul 1).
Rezolvă ecuația $x^2=0{,}36$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\pm0{,}6$
$x=\pm\sqrt{0{,}36}=\pm0{,}6$
Un elev a rezolvat $x^2=36$ și a scris răspunsul $x=6$ Este complet? Corectează, dacă e cazul.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. Răspunsul corect este $x=\pm6$ $S=\{-6,6\}$
$(-6)^2=36$ la fel ca $6^2=36$ deci lipsește soluția negativă din răspunsul elevului.
Rezolvă ecuația $x^2=\dfrac{16}{25}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\pm\dfrac{4}{5}$
$x=\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\pm\dfrac{4}{5}$

Provocare

Rezolvă ecuația $x^2=48$ și simplifică radicalul rezultat.
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\pm4\sqrt3$
$x=\pm\sqrt{48}=\pm\sqrt{16\cdot3}=\pm4\sqrt3$
Rezolvă ecuația $x^2=-\dfrac{1}{9}$ și explică de ce mulțimea soluțiilor este vidă.
Arată răspunsul
Răspuns: $S=\varnothing$
Membrul drept este negativ. Pătratul unui număr real nu poate fi negativ, deci nu există niciun $x$ real care să verifice ecuația.
Pentru ecuația $x^2=7$ verifică prin ridicare la pătrat dacă $x=-\sqrt7$ este soluție, apoi scrie mulțimea completă a soluțiilor.
Arată răspunsul
Răspuns: Da, este soluție. $S=\{-\sqrt7,\sqrt7\}$
$(-\sqrt7)^2=(-1)^2\cdot(\sqrt7)^2=1\cdot7=7$ deci $-\sqrt7$ verifică ecuația.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Câte soluții reale are ecuația $x^2=a$ atunci când $a>0$
1. $1$
2. $0$
3. $2$
4. Depinde de $a$ poate fi orice număr
Arată răspunsul
Răspuns: $2$
Pentru $a>0$ soluțiile sunt $\sqrt a$ și $-\sqrt a$ două numere distincte.
2. Care este mulțimea soluțiilor ecuației $x^2=11$
1. $S=\varnothing$
2. $S=\{-\sqrt{11},\sqrt{11}\}$
3. $S=\{\sqrt{11}\}$
4. $S=\{-11,11\}$
Arată răspunsul
Răspuns: $S=\{-\sqrt{11},\sqrt{11}\}$
$11 > 0$ deci ecuația are două soluții opuse: $x=\pm\sqrt{11}$
3. Pentru ce valoare a lui $a$ are ecuația $x^2=a$ exact o soluție reală?
1. pentru orice $a > 0$
2. pentru $a = 1$
3. pentru $a = 0$
4. pentru orice $a < 0$
Arată răspunsul
Răspuns: pentru $a = 0$
Pentru $a > 0$ sunt două soluții opuse, pentru $a < 0$ niciuna. Doar pentru $a = 0$ soluția este unică: $x = 0$ care este propriul opus.
4. Care afirmație este corectă?
1. $\sqrt{25}=\pm5$
2. $\sqrt{25}=5$ dar ecuația $x^2=25$ are două soluții, $x=\pm5$
3. Ecuația $x^2=25$ are o singură soluție, $x=5$
4. $\sqrt{25}$ și soluțiile lui $x^2=25$ sunt exact același lucru
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{25}=5$ dar ecuația $x^2=25$ are două soluții, $x=\pm5$
Radicalul $\sqrt{25}$ e un singur număr nenegativ; ecuația $x^2=25$ are două soluții reale.
5. Rezolvă ecuația $x^2=81$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\pm9$
$81$ este pătrat perfect: $x=\pm\sqrt{81}=\pm9$
6. Rezolvă ecuația $x^2=-16$
Arată răspunsul
Răspuns: $S=\varnothing$
Membrul drept este negativ, deci nu există nicio soluție reală.
7. Rezolvă ecuația $x^2=\dfrac{4}{9}$
Arată răspunsul
Răspuns: $x=\pm\dfrac{2}{3}$
$x=\pm\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\pm\dfrac{2}{3}$

Întrebări frecvente

Câte soluții are ecuația x² = a?

Depinde de semnul lui $a$ două soluții dacă $a>0$ o singură soluție $x=0$ dacă $a=0$ și nicio soluție reală dacă $a<0$

De ce apar două soluții când a > 0?

Pentru că atât $\sqrt a$ cât și opusul lui, $-\sqrt a$ ridicate la pătrat, dau exact $a$ Ambele verifică ecuația.

De ce √25 = 5, dar x² = 25 are două soluții?

$\sqrt{25}$ este, prin definiție, un singur număr nenegativ, $5$ Ecuația $x^2=25$ pune o altă întrebare: ce numere, ridicate la pătrat, dau $25$ Răspunsul include și $5$ și $-5$

Ce se întâmplă dacă a = 0?

Ecuația $x^2=0$ are o singură soluție, $x=0$ pentru că $0$ nu are un opus diferit de el însuși.

Ce se întâmplă dacă a < 0?

Ecuația nu are nicio soluție reală, pentru că pătratul niciunui număr real nu poate fi negativ. Mulțimea soluțiilor este $S=\varnothing$

Cum verific soluțiile ecuației x² = a?

Înlocuiești $x$ cu soluția găsită și ridici la pătrat. Dacă obții exact $a$ soluția este corectă. Verifici pe rând ambele soluții, când sunt două.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce înseamnă ecuația x² = a

Cazul a > 0

De ce este necesar ±

√a nu este același lucru cu soluțiile ecuației x² = a

Cazul a = 0

Cazul a < 0

Sinteza celor trei cazuri

Soluții iraționale, fracționare și zecimale

Verificarea soluțiilor

Reprezentare pe axa numerelor

Exemple rezolvate

Exemplul 1: x² = 9

Exemplul 2: x² = 18, cu radicalul simplificat

Exemplul 3: x² = 2, soluție irațională

Exemplul 4: x² = 0

Exemplul 5: x² = −4

Exemplul 6: x² = 25, cu accent pe ±

Exemplul 7: x² = 9/16, soluție fracționară

Exemplul 8: x² = 0,25, soluție zecimală

Exemplul 9: detectarea unei erori

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VII-a, Partea I

Matematică. Clasa a VII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor