Media aritmetică ponderată și media geometrică

Q: De ce numerele trebuie să fie nenegative?

Pentru ca produsul ab să fie nenegativ și radicalul √(ab) să aibă sens în mulțimea numerelor reale. Cu numere negative, radicalul ar putea cere un radical dintr-un număr negativ.

Ce vei învăța

Calculezi media aritmetică ponderată a unui set de valori cu ponderi diferite.
Explici de ce împarți la suma ponderilor, nu la numărul de valori.
Folosești frecvențele unei valori ca ponderi ale ei.
Calculezi media geometrică a două numere reale nenegative.
Recunoști condiția $a\ge0$ $b\ge0$ necesară pentru media geometrică.
Alegi corect între media aritmetică ponderată și media geometrică, după situație.

Recomandat înainte: Raționalizarea numitorului de forma a√b

Ideea de bază

Media aritmetică a două numere se calculează adunându-le și împărțind suma la 2. Dar dacă una dintre valori are o importanță mai mare (o notă cu pondere dublă, un preț pentru o cantitate mai mare), suma simplă nu mai reflectă corect situația.

Media aritmetică ponderată rezolvă asta: fiecare valoare se înmulțește cu ponderea ei, iar suma acestor produse se împarte la suma ponderilor, nu la numărul de valori.

\bar x = \dfrac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}

Media geometrică este o medie diferită, folosită pentru două numere reale nenegative. Se calculează cu un radical, nu cu o împărțire.

G = \sqrt{ab} \qquad (a\ge0,\ b\ge0)

Recapitulare: media aritmetică a două numere

Media aritmetică a două numere se calculează adunându-le și împărțind suma la 2. Ai mai folosit-o de multe ori.

m = \dfrac{6+10}{2}

suma celor două numere, împărțită la 2

= \dfrac{16}{2}

= 8

Aici cele două numere contează la fel de mult, fiecare cu „greutate” egală în calcul. Ce se întâmplă dacă una dintre valori trebuie să conteze mai mult decât cealaltă?

De ce nu toate valorile contează la fel

Un elev primește nota $8$ la o lucrare mai scurtă și nota $10$ la o lucrare care contează dublu în calculul mediei. Dacă ai aduna simplu și ai împărți la $2$ ai obține $9$ dar asta ar trata cele două note ca și cum ar avea aceeași importanță.

Ponderea arată cât de mult contează o valoare

O pondere mai mare înseamnă că valoarea respectivă influențează mai mult rezultatul final. O pondere egală pentru toate valorile transformă media ponderată înapoi în media aritmetică obișnuită.

Media aritmetică ponderată

Pentru situația de mai sus, nota $10$ trebuie să conteze de două ori mai mult decât nota $8$ Ideea: înmulțești fiecare notă cu ponderea ei, aduni produsele, apoi împarți la suma ponderilor, nu la numărul de note.

\dfrac{8\cdot1+10\cdot2}{1+2}

nota

8

cu ponderea

1

nota

10

cu ponderea

2

= \dfrac{8+20}{3}

= \dfrac{28}{3}

aproximativ

9{,}33

Rezultatul, $\dfrac{28}{3}\approx9{,}33$ este mai apropiat de $10$ decât media simplă $9$ exact pentru că nota $10$ a contat de două ori.

Nu doar note

Ponderile apar oriunde unele valori contează mai mult: cantități diferite dintr-un produs, ore lucrate diferit, măsurători repetate de mai multe ori. Media ponderată se aplică la fel în toate aceste situații, nu doar la note școlare.

Formula generală

Pentru $n$ valori $x_1,x_2,\ldots,x_n$ fiecare cu ponderea ei pozitivă $p_1,p_2,\ldots,p_n$ media aritmetică ponderată este:

\bar x = \dfrac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}

Numărătorul este suma produselor valoare-pondere. Numitorul este suma ponderilor, nu numărul de valori $n$ Când toate ponderile sunt egale, formula se reduce la media aritmetică obișnuită.

Trei valori, nu doar două

Formula funcționează la fel pentru orice număr de valori. Un preț mediu ponderat cu cantități diferite din trei produse se calculează cu exact aceeași idee: sumă de produse, împărțită la suma ponderilor.

Frecvențele ca ponderi

O situație foarte des întâlnită: aceeași valoare apare de mai multe ori. De câte ori apare o valoare se numește frecvența ei, iar frecvența joacă exact rolul unei ponderi.

Dacă valoarea $5$ apare de $2$ ori, iar valoarea $7$ apare de $3$ ori, media lor se calculează la fel ca media ponderată, cu frecvențele în locul ponderilor.

\dfrac{5\cdot2+7\cdot3}{2+3}

5

cu frecvența

2

7

cu frecvența

3

= \dfrac{10+21}{5}

= \dfrac{31}{5}

= 6{,}2

Frecvență = câte ori numeri aceeași valoare

La numitor pui suma frecvențelor, adică numărul total de valori numărate $2+3=5$ valori în total), nu numărul de valori distincte $2$

Media geometrică a două numere reale nenegative

Media geometrică este o altă medie, folosită pentru două numere reale nenegative $a$ și $b$ Nu se calculează prin adunare și împărțire la $2$ ci printr-un radical din produsul lor.

G = \sqrt{ab}

G = \sqrt{4\cdot9}

media geometrică a lui

4

și

9

= \sqrt{36}

= 6

G = \sqrt{2\cdot8}

media geometrică a lui

2

și

8

= \sqrt{16}

= 4

Când produsul $ab$ nu este un pătrat perfect, radicalul rămâne sub formă simplificată, folosind regulile deja cunoscute din Modulul 1 (scoaterea factorilor de sub radical).

De ce numerele trebuie să fie nenegative

Media geometrică $G=\sqrt{ab}$ are sens în mulțimea numerelor reale doar dacă produsul $ab$ este nenegativ. La clasa a VII-a lucrezi direct cu condiția $a\ge0$ și $b\ge0$ care garantează că $ab\ge0$ și radicalul este bine definit.

Nu folosi media geometrică pentru numere negative

Dacă unul dintre numere este negativ, $\sqrt{ab}$ poate cere radical dintr-un număr negativ, ceea ce nu are sens în ℝ. Media geometrică, așa cum o înveți acum, rămâne strict pentru $a\ge0$ $b\ge0$

Interpretare geometrică: dreptunghi și pătrat de arie egală

Media geometrică a lui $a$ și $b$ are și o interpretare vizuală. Un dreptunghi cu laturile $a$ și $b$ are aria $a\cdot b$ Un pătrat cu aceeași arie are latura $\sqrt{ab}$ exact media geometrică a lui $a$ și $b$

36

6

Pătratul cu aria

36

are latura

6=\sqrt{36}

adică media geometrică a numerelor

4

și

9

Dreptunghiul cu laturile $4$ și $9$ are aria $36$ Pătratul cu aceeași arie are latura $\sqrt{36}=6$ adică exact media geometrică a lui $4$ și $9$ calculată mai sus.

Care medie o folosești

Alegerea mediei potrivite, după situație
Situația	Media potrivită
Valori care contează diferit (ponderi sau frecvențe diferite)	Media aritmetică ponderată
Toate valorile contează la fel	Media aritmetică obișnuită (caz particular al celei ponderate)
Două numere reale nenegative, context geometric sau numeric	Media geometrică

Media aritmetică ponderată se aplică oricărui set de valori cu ponderi sau frecvențe. Media geometrică se aplică strict la două numere reale nenegative, așa cum o folosești în această lecție.

Media aritmetică și media geometrică, comparate

Pentru aceleași două numere pozitive, media aritmetică și media geometrică dau, de obicei, rezultate diferite. Pentru $4$ și $9$

Media aritmetică și media geometrică a numerelor $4$ și $9$
Medie	Calcul	Rezultat
Aritmetică	$(4+9):2$	$6{,}5$
Geometrică	$\sqrt{4\cdot9}$	$6$

În acest exemplu, media geometrică este mai mică decât media aritmetică $6<6{,}5$ Așa se întâmplă pentru orice două numere pozitive diferite, iar când numerele sunt egale, cele două medii coincid. Aici reții doar observația, fără demonstrație.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: media aritmetică obișnuită, recapitulare

Calculează media aritmetică a numerelor $6$ și $10$

Vezi rezolvarea

m = \dfrac{6+10}{2} = \dfrac{16}{2} = 8

Exemplul 2: media ponderată a două valori

Un elev are nota $8$ cu ponderea $1$ și nota $10$ cu ponderea $2$ Calculează media ponderată.

Vezi rezolvarea

Nota $10$ contează de două ori mai mult, deci apare de două ori la numărător.

\bar x = \dfrac{8\cdot1+10\cdot2}{1+2} = \dfrac{28}{3} \approx 9{,}33

Exemplul 3: media ponderată a trei valori

Un vânzător a cumpărat mere la trei prețuri diferite: $3$ lei/kg pentru $2$ kg, $4$ lei/kg pentru $3$ kg și $6$ lei/kg pentru $5$ kg. Calculează prețul mediu ponderat pe kilogram.

Vezi rezolvarea

Cantitatea cumpărată la fiecare preț este ponderea acelui preț.

\dfrac{3\cdot2+4\cdot3+6\cdot5}{2+3+5}

preț, ponderat cu cantitatea

= \dfrac{6+12+30}{10}

= \dfrac{48}{10}

= 4{,}8

lei pe kilogram

Exemplul 4: media cu frecvențe

Valoarea $5$ apare de $2$ ori, iar valoarea $7$ apare de $3$ ori. Calculează media lor.

Vezi rezolvarea

Frecvențele joacă rolul ponderilor.

\dfrac{5\cdot2+7\cdot3}{2+3} = \dfrac{31}{5} = 6{,}2

Exemplul 5: găsești o pondere necunoscută

Valoarea $8$ are ponderea $2$ iar valoarea $10$ are ponderea $p$ necunoscută. Media lor ponderată este $9{,}2$ Află $p$

Vezi rezolvarea

Scrii ecuația mediei ponderate cu $p$ necunoscut și o rezolvi.

\dfrac{8\cdot2+10p}{2+p} = 9{,}2

ecuația mediei ponderate

16+10p = 9{,}2(2+p)

16+10p = 18{,}4+9{,}2p

0{,}8p = 2{,}4

p = 3

Exemplul 6: media geometrică a lui $4$ și $9$

Calculează media geometrică a numerelor $4$ și $9$

Vezi rezolvarea

G = \sqrt{4\cdot9} = \sqrt{36} = 6

Exemplul 7: media geometrică a lui $2$ și $8$

Calculează media geometrică a numerelor $2$ și $8$

Vezi rezolvarea

G = \sqrt{2\cdot8} = \sqrt{16} = 4

Exemplul 8: dreptunghi și pătrat de arie egală

Un dreptunghi are laturile $4$ și $9$ Ce latură are un pătrat cu aceeași arie ca acest dreptunghi?

Vezi rezolvarea

Aria dreptunghiului este $4\cdot9=36$ Latura pătratului cu aceeași arie este $\sqrt{36}$

\sqrt{36} = 6

Această latură este exact media geometrică a numerelor $4$ și $9$ calculată mai devreme.

Exemplul 9: ce medie folosești

a) Trei note cu ponderi diferite trebuie mediate. b) Cauți latura unui pătrat cu aceeași arie ca un dreptunghi de laturi $5$ și $20$ Ce medie folosești în fiecare caz?

Vezi rezolvarea

a) Note cu ponderi diferite: media aritmetică ponderată.

b) Latura pătratului de arie egală cu un dreptunghi: media geometrică a celor două laturi.

\sqrt{5\cdot20} = \sqrt{100} = 10

Exemplul 10: provocare mixtă

Pentru numerele $4$ și $9$ cu ponderile $1$ și $3$ calculează media aritmetică ponderată și media geometrică (fără ponderi). Compară rezultatele.

Vezi rezolvarea

Media aritmetică ponderată:

\bar x = \dfrac{4\cdot1+9\cdot3}{1+3} = \dfrac{31}{4} = 7{,}75

Media geometrică (nu ia în calcul ponderi, doar cele două numere):

G = \sqrt{4\cdot9} = 6

Cele două medii măsoară lucruri diferite și dau rezultate diferite: $7{,}75$ față de $6$

Greșeli frecvente

Împart suma ponderată la numărul de valori, nu la suma ponderilor.
La $\dfrac{8\cdot1+10\cdot2}{1+2}$ împarți la $1+2=3$ (suma ponderilor), nu la $2$ (numărul de valori).
Uit ponderea uneia dintre valori și o tratez ca și cum ar avea pondere $1$
Fiecare valoare se înmulțește cu ponderea ei reală înainte de a fi adunată. O pondere uitată schimbă rezultatul.
Pun ponderea doar la numitor, nu și înmulțită cu valoarea ei la numărător.
Ponderea apare de două ori în calcul: o dată înmulțită cu valoarea, la numărător, și o dată adunată la celelalte ponderi, la numitor.
Confund media aritmetică ponderată cu media geometrică și le aplic una în locul celeilalte.
Media aritmetică ponderată folosește ponderi și se calculează prin sumă și împărțire. Media geometrică se calculează strict pentru două numere, cu un radical din produsul lor.
Calculez media geometrică a lui $a$ și $b$ ca $\sqrt{a+b}$
Media geometrică folosește produsul, nu suma: $G=\sqrt{ab}$ nu $\sqrt{a+b}$
Aplic media geometrică unor numere fără să verific dacă sunt nenegative.
Media geometrică, așa cum o înveți acum, cere $a\ge0$ și $b\ge0$ Fără această condiție, radicalul poate să nu aibă sens în ℝ.
Greșesc calculul de sub radical, de exemplu scriu $\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{13}$
Calculezi întâi produsul corect: $4\cdot9=36$ apoi radicalul: $\sqrt{36}=6$ O eroare de calcul sub radical schimbă tot rezultatul.
Cred că media ponderată cu ponderi diferite se află la mijlocul dintre valori, ca media obișnuită.
Media ponderată se apropie de valoarea cu pondere mai mare. La $8$ cu ponderea $1$ și $10$ cu ponderea $2$ rezultatul $\dfrac{28}{3}\approx9{,}33$ este mai aproape de $10$ decât de $8$

Exerciții

Ușor

Calculează media ponderată a valorilor $6$ (pondere $1$ și $10$ (pondere $1$
Arată răspunsul
Răspuns: $8$
Ponderi egale, deci media ponderată coincide cu media aritmetică obișnuită: $\dfrac{6+10}{2}=8$
Calculează media ponderată a valorilor $5$ (pondere $2$ și $8$ (pondere $3$
Arată răspunsul
Răspuns: $6{,}8$
$\dfrac{5\cdot2+8\cdot3}{2+3}=\dfrac{34}{5}=6{,}8$
Calculează media geometrică a numerelor $9$ și $16$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$
$\sqrt{9\cdot16}=\sqrt{144}=12$
Are sens media geometrică a numerelor $-4$ și $9$ așa cum ai învățat-o acum? De ce?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Media geometrică cere $a\ge0$ și $b\ge0$ $-4$ este negativ, deci condiția nu este îndeplinită.
Valoarea $3$ apare de $4$ ori, iar valoarea $6$ apare o singură dată. Calculează media lor.
Arată răspunsul
Răspuns: $3{,}6$
$\dfrac{3\cdot4+6\cdot1}{4+1}=\dfrac{18}{5}=3{,}6$

Mediu

Calculează media ponderată a valorilor $7$ (pondere $2$ $8$ (pondere $3$ și $10$ (pondere $5$
Arată răspunsul
Răspuns: $8{,}8$
$\dfrac{7\cdot2+8\cdot3+10\cdot5}{2+3+5}=\dfrac{88}{10}=8{,}8$
Valoarea $6$ are ponderea $w$ iar valoarea $9$ are ponderea $2$ Media lor ponderată este $8$ Află $w$
Arată răspunsul
Răspuns: $w=1$
$\dfrac{6w+18}{w+2}=8 \Rightarrow 6w+18=8w+16 \Rightarrow 2=2w \Rightarrow w=1$
Calculează media geometrică a numerelor $3$ și $27$
Arată răspunsul
Răspuns: $9$
$\sqrt{3\cdot27}=\sqrt{81}=9$
Un dreptunghi are laturile $2$ și $32$ Ce latură are un pătrat cu aceeași arie?
Arată răspunsul
Răspuns: $8$
Latura pătratului este media geometrică a laturilor: $\sqrt{2\cdot32}=\sqrt{64}=8$
Ai măsurat de trei ori lungimea unei scânduri: $152$ mm, $150$ mm și $151$ mm, cu aceeași importanță. Ce medie folosești și cât obții?
Arată răspunsul
Răspuns: Media aritmetică (ponderi egale), $151$ mm.
Toate măsurătorile contează la fel, deci ponderile sunt egale: $\dfrac{152+150+151}{3}=151$
Calculează media geometrică a numerelor $6$ și $24$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$
$\sqrt{6\cdot24}=\sqrt{144}=12$

Provocare

Valoarea $2$ apare de $3$ ori, valoarea $5$ apare de $2$ ori, iar valoarea $8$ apare de $5$ ori. Calculează media lor.
Arată răspunsul
Răspuns: $5{,}6$
$\dfrac{2\cdot3+5\cdot2+8\cdot5}{3+2+5}=\dfrac{56}{10}=5{,}6$
Pentru numerele $4$ și $25$ calculează atât media lor aritmetică, cât și media lor geometrică. Care este mai mare?
Arată răspunsul
Răspuns: Aritmetică $14{,}5$ geometrică $10$ Aritmetica este mai mare.
$\dfrac{4+25}{2}=14{,}5$ și $\sqrt{4\cdot25}=\sqrt{100}=10$ $10<14{,}5$ deci media geometrică este mai mică.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Care este formula corectă a mediei aritmetice ponderate pentru $n$ valori?
1. $\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}$
2. $\dfrac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{n}$
3. $\dfrac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}$
4. $x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}{p_1+p_2+\cdots+p_n}$
Numărătorul este suma produselor valoare-pondere; numitorul este suma ponderilor.
2. La media aritmetică ponderată, cu ce împarți suma ponderată?
1. Cu numărul de valori
2. Cu suma ponderilor
3. Cu cea mai mare pondere
4. Cu $2$ întotdeauna
Arată răspunsul
Răspuns: Cu suma ponderilor
Numitorul mediei ponderate este suma ponderilor, nu numărul de valori.
3. Care este formula mediei geometrice a numerelor $a$ și $b$
1. $\sqrt{a+b}$
2. $\dfrac{a+b}{2}$
3. $\dfrac{ab}{2}$
4. $\sqrt{ab}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{ab}$
Media geometrică folosește produsul $ab$ sub radical, nu suma.
4. Ce condiție trebuie să îndeplinească $a$ și $b$ pentru media geometrică $\sqrt{ab}$
1. $a\ge0$ și $b\ge0$
2. $a>b$
3. $a$ și $b$ întregi
4. Nicio condiție
Arată răspunsul
Răspuns: $a\ge0$ și $b\ge0$
Fără $a\ge0$ și $b\ge0$ produsul $ab$ ar putea fi negativ, iar radicalul nu ar avea sens în ℝ.
5. Calculează media ponderată a valorilor $4$ (pondere $1$ și $12$ (pondere $3$
Arată răspunsul
Răspuns: $10$
$\dfrac{4\cdot1+12\cdot3}{1+3}=\dfrac{40}{4}=10$
6. Calculează media geometrică a numerelor $4$ și $36$
Arată răspunsul
Răspuns: $12$
$\sqrt{4\cdot36}=\sqrt{144}=12$
7. Ai trei prețuri diferite pentru aceeași marfă, cumpărate în cantități diferite. Ce medie folosești ca să afli prețul mediu pe unitate?
Arată răspunsul
Răspuns: Media aritmetică ponderată, cu cantitățile drept ponderi.
Cantitățile cumpărate la fiecare preț sunt exact ponderile din formula mediei ponderate.

Întrebări frecvente

Ce este media aritmetică ponderată?

Este media unui set de valori în care unele valori contează mai mult decât altele. Fiecare valoare se înmulțește cu ponderea ei, iar suma acestor produse se împarte la suma ponderilor.

Ce înseamnă pondere?

Ponderea arată cât de mult contează o valoare în calculul mediei. O pondere mai mare înseamnă că valoarea respectivă influențează mai mult rezultatul final.

Cu ce împart suma ponderată?

Cu suma ponderilor, nu cu numărul de valori. Dacă toate ponderile sunt egale, cele două lucruri coincid, dar în general sunt diferite.

Ce este media geometrică?

Este o medie pentru două numere reale nenegative, calculată ca $\sqrt{ab}$ radical din produsul lor, nu din suma lor.

De ce numerele trebuie să fie nenegative?

Pentru ca produsul $ab$ să fie nenegativ și radicalul $\sqrt{ab}$ să aibă sens în mulțimea numerelor reale. Cu numere negative, radicalul ar putea cere un radical dintr-un număr negativ.

Care este diferența dintre media aritmetică ponderată și media geometrică?

Media aritmetică ponderată lucrează cu oricâte valori, folosind ponderi și o sumă. Media geometrică lucrează strict cu două numere nenegative, folosind un radical din produsul lor.

Media aritmetică ponderată și media geometrică

Ce vei învăța

Ideea de bază

Recapitulare: media aritmetică a două numere

De ce nu toate valorile contează la fel

Media aritmetică ponderată

Formula generală

Frecvențele ca ponderi

Media geometrică a două numere reale nenegative

De ce numerele trebuie să fie nenegative

Interpretare geometrică: dreptunghi și pătrat de arie egală

Care medie o folosești

Media aritmetică și media geometrică, comparate

Exemple rezolvate

Exemplul 1: media aritmetică obișnuită, recapitulare

Exemplul 2: media ponderată a două valori