Noțiunea de funcție. Domeniu, codomeniu, notația f(x) și graficul

Q: Ce înseamnă notația f(x)?

f(x) este valoarea funcției f calculată pentru elementul x. Nu este o înmulțire între f și x; f este numele funcției.

Q: Cum arăt grafic o funcție cu domeniu finit?

Calculezi f(x) pentru fiecare element al domeniului, formezi perechile ordonate (x, f(x)) și le desenezi ca puncte pe axe. Punctele rămân izolate, fără linie între ele, pentru că funcția nu are valori între elementele domeniului.

Ce vei învăța

Recunoști dacă o corespondență este o funcție și explici de ce.
Identifici domeniul și codomeniul unei funcții.
Citești și folosești corect notația $f(x)$ fără să o confunzi cu o înmulțire.
Calculezi valorile unei funcții date prin formulă.
Treci de la formulă la tabel, la perechi ordonate și la puncte pe grafic, pentru un domeniu finit.
Citești informații de pe graficul unei funcții cu domeniu finit.

Ideea de bază

Ia mulțimea $\{1, 2, 3\}$ și regula „dublează numărul”. Fiecărui element îi corespunde exact un rezultat:

Corespondența „dublează numărul”, de la $\{1, 2, 3\}$ la numere.
$x$	$f(x)$
$1$	$2$
$2$	$4$
$3$	$6$

Fiecare element din stânga are exact un corespondent în dreapta. Asta este o funcție. Scrii regula ca formulă, $f(x) = 2x$ și citești tabelul ca pe un șir de perechi: $f(1) = 2$ $f(2) = 4$ $f(3) = 6$

Dacă un element ar avea doi corespondenți diferiți, sau dacă un element nu ar avea niciunul, corespondența nu ar mai fi funcție. Restul lecției explică exact această regulă și cum o folosești.

Ce este o funcție

O funcție este o regulă care leagă fiecare element al unei mulțimi $A$ de exact un element al unei mulțimi $B$ Mulțimea $A$ se numește domeniul funcției, iar $B$ se numește codomeniul. Scrii $f: A \to B$ și citești $f$ este o funcție de la $A$ la $B$

Elementul din $B$ care corespunde unui element $x$ din $A$ se numește imaginea lui $x$ Condiția esențială este aceasta: fiecare element al domeniului are exact o imagine. Nu mai puțin de una (fiecare element trebuie să aibă un corespondent) și nu mai mult de una (nu poate avea doi corespondenți diferiți).

O regulă poate fi o formulă, un tabel sau o descriere

Poți da aceeași funcție printr-o diagramă (fiecare element din $A$ legat printr-o săgeată de imaginea lui în $B$ printr-un tabel de valori sau printr-o formulă, precum $f(x) = 2x$ Este aceeași funcție, scrisă în trei feluri.

Când o corespondență este funcție și când nu este

Ca să verifici dacă o corespondență este funcție, te uiți la fiecare element al domeniului și numeri câte imagini are.

Dacă fiecare element are exact o imagine, corespondența este funcție.
Dacă un element are două imagini diferite, NU este funcție.
Dacă un element nu are nicio imagine, corespondența nu este definită pentru el, deci NU este funcție pe acel domeniu.

Exemplu de funcție: $\{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\}$ Fiecare din $1$ $2$ $3$ apare o singură dată în prima poziție.

Contraexemplu: un element cu două imagini

Mulțimea de perechi $\{(1, 4), (2, 5), (2, 8), (3, 6)\}$ NU este funcție. Elementul $2$ apare de două ori, o dată cu imaginea $5$ și o dată cu imaginea $8$ Nu poți ști care este „valoarea” lui $f(2)$

Aceeași valoare a lui

x

x = 2

apare cu două imagini diferite,

1

și

4

Punctele nu pot fi graficul unei funcții.

Contraexemplu: un element fără imagine

Fie $A = \{1, 2, 3\}$ și corespondența $\{(1, 4), (3, 6)\}$ Elementul $2 \in A$ nu are nicio imagine. Corespondența nu este definită pentru tot domeniul $A$ deci nu este funcție pe $A$

Notația f(x)

$f(x)$ se citește $f$ de $x$ și înseamnă valoarea funcției $f$ calculată pentru elementul $x$ $f$ este numele funcției, $x$ este elementul din domeniu, iar $f(x)$ este imaginea lui $x$ adică rezultatul.

$f(x)$ NU este o înmulțire

$f(x)$ nu înseamnă $f$ ori $x$ $f$ nu este un număr, este numele funcției. $f(x)$ este rezultatul obținut când aplici regula funcției $f$ elementului $x$

Pentru a calcula o valoare a funcției, înlocuiești $x$ cu numărul dat, peste tot unde apare în formulă.

f(x) = 5x

formula funcției

f(2) = 5 \cdot 2

înlocuiești

x

cu

2

f(2) = 10

Aici, în interiorul formulei, $5x$ chiar este o înmulțire $5$ ori $x$ Dar $f(2)$ nu este $f$ ori $2$ este valoarea pe care o obții după ce calculezi $5 \cdot 2$

Domeniul și codomeniul unei funcții

Pentru o funcție $f: A \to B$ mulțimea $A$ este domeniul (elementele de unde pleci, valorile posibile ale lui $x$ iar mulțimea $B$ este codomeniul (mulțimea în care funcția ia valori).

Fie $f: \{1, 2, 3\} \to \{2, 4, 6, 8\}$ cu $f(1) = 2$ $f(2) = 4$ $f(3) = 6$

Domeniul este $\{1, 2, 3\}$ elementele pentru care funcția are o valoare.
Codomeniul este $\{2, 4, 6, 8\}$ mulțimea declarată în care iau valori $f(1)$ $f(2)$ $f(3)$
Valorile funcției (imaginile efectiv obținute) sunt $2$ $4$ și $6$

Codomeniul poate avea elemente „nefolosite”

În exemplul de mai sus, $8$ face parte din codomeniu, dar nu este imaginea niciunui element din domeniu. Este permis: codomeniul este mulțimea în care funcția POATE lua valori, nu neapărat mulțimea exactă a valorilor obținute.

Reprezentările unei funcții: diagramă, tabel, formulă

Aceeași funcție poate fi dată în mai multe forme, toate echivalente.

Diagramă: fiecare element al domeniului este legat printr-o săgeată de imaginea lui în codomeniu.
Tabel: pe un rând valorile lui $x$ pe rândul de dedesubt valorile corespunzătoare $f(x)$
Formulă: o regulă de calcul, ca $f(x) = 2x - 1$ care spune direct cum obții $f(x)$ din $x$

Fiecare coloană a unui tabel îți dă o pereche ordonată $(x, f(x))$ iar fiecare pereche ordonată devine un punct pe grafic. Acesta este drumul de la formulă la desen: formulă $\to$ tabel $\to$ perechi ordonate $\to$ puncte pe grafic.

Funcția $f(x) = 2x - 1$ pe domeniul $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$
$x$	$f(x)$	perechea $(x, f(x))$
$-2$	$-5$	$(-2, -5)$
$-1$	$-3$	$(-1, -3)$
$0$	$-1$	$(0, -1)$
$1$	$1$	$(1, 1)$
$2$	$3$	$(2, 3)$

Graficul unei funcții cu domeniu finit

Când domeniul unei funcții are un număr finit de elemente, graficul este format din puncte izolate, unul pentru fiecare pereche $(x, f(x))$ Punctele NU se unesc printr-o linie, pentru că funcția nu are valori „între” elementele domeniului.

Fie $f(x) = -x + 3$ pe domeniul $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$

Valorile funcției $f(x) = -x + 3$
$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$

Graficul funcției

f(x) = -x + 3

pe domeniul finit

\{-1, 0, 1, 2, 3\}

cinci puncte izolate, fără linie între ele.

De ce nu unești punctele

Domeniul funcției este doar mulțimea $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$ Funcția nu are o valoare pentru, de exemplu, $x = 0{,}5$ pentru că $0{,}5$ nu face parte din domeniu. O linie continuă ar sugera greșit că funcția există și între aceste puncte.

Cum citești un grafic

Pe graficul unei funcții, valoarea lui $x$ se citește pe axa orizontală (Ox), iar valoarea $f(x)$ se citește pe axa verticală (Oy). Fiecare punct de pe grafic are forma $(x, f(x))$

Folosind graficul funcției $f(x) = -x + 3$ de mai sus: punctul $(1, 2)$ îți spune că $f(1) = 2$ Ca să afli pentru ce $x$ avem $f(x) = 3$ cauți punctul cu înălțimea $3$ este $(0, 3)$ deci $f(x) = 3$ pentru $x = 0$

Pentru „cât este $f(a)$ cauți punctul cu $x = a$ și citești înălțimea lui.
Pentru „pentru ce $x$ avem $f(x) = b$ cauți punctul aflat la înălțimea $b$ și citești poziția lui pe orizontală.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoaște o funcție

Este funcție corespondența $\{(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)\}$

Vezi rezolvarea

Fiecare element din $\{1, 2, 3, 4\}$ apare o singură dată în prima poziție, cu o singură imagine.

Da, este funcție.

Exemplul 2: un element cu două imagini

Este funcție corespondența $\{(1, 4), (2, 5), (2, 8), (3, 6)\}$

Vezi rezolvarea

Elementul $2$ apare de două ori, cu imaginile $5$ și $8$ Fiecare element din domeniu trebuie să aibă exact o imagine.

Nu, nu este funcție.

Exemplul 3: un element fără imagine

Fie $A = \{1, 2, 3\}$ Este funcție corespondența $\{(1, 4), (3, 6)\}$ pe domeniul $A$

Vezi rezolvarea

Elementul $2 \in A$ nu are nicio imagine în corespondența dată.

Nu este funcție pe $A$ pentru că nu orice element al domeniului are o imagine.

Exemplul 4: calculul unor valori

Fie $f(x) = 3x - 2$ Calculează $f(0)$ $f(2)$ și $f(-1)$

Vezi rezolvarea

f(0) = 3 \cdot 0 - 2 = -2

f(2) = 3 \cdot 2 - 2 = 4

f(-1) = 3 \cdot (-1) - 2 = -5

Exemplul 5: valori cu formulă pătratică

Fie $f(x) = x^2 - 1$ Calculează $f(-2)$ $f(0)$ și $f(3)$

Vezi rezolvarea

f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3

f(0) = 0^2 - 1 = -1

f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8

O funcție nu trebuie să fie neapărat dată printr-o formulă de gradul întâi; regula poate fi orice calcul bine definit.

Exemplul 6: f(x) nu este o înmulțire

Fie $f(x) = 5x$ Este adevărat că $f(3) = 5 \cdot 3$

Vezi rezolvarea

Da, dar nu pentru că $f$ ori $3$ ar avea sens. $f(3)$ este valoarea funcției $f$ în $x = 3$ obținută înlocuind $x$ cu $3$ în formula $5x$ Se întâmplă ca formula să fie chiar o înmulțire, dar $f(3)$ rămâne „valoarea lui $f$ în $3$ nu $f$ înmulțit cu $3$

f(3) = 5 \cdot 3 = 15

Exemplul 7: domeniu și codomeniu

Fie $f: \{1, 2, 3\} \to \{2, 4, 6, 8\}$ cu $f(1) = 2$ $f(2) = 4$ $f(3) = 6$ Precizează domeniul și codomeniul.

Vezi rezolvarea

Domeniul este $\{1, 2, 3\}$
Codomeniul este $\{2, 4, 6, 8\}$
Valorile funcției obținute efectiv sunt $2$ $4$ și $6$ $8$ nu este imaginea niciunui element, dar rămâne parte din codomeniu.

Exemplul 8: tabel de valori

Completează tabelul de valori pentru $f(x) = 2x - 1$ cu $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

Vezi rezolvarea

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$-5$	$-3$	$-1$	$1$	$3$

Exemplul 9: de la formulă la puncte pe grafic

Fie $f(x) = -x + 3$ pe domeniul $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$ Scrie perechile ordonate și reprezintă-le grafic.

Vezi rezolvarea

Valorile funcției și perechile ordonate.
$x$	$f(x)$	perechea
$-1$	$4$	$(-1, 4)$
$0$	$3$	$(0, 3)$
$1$	$2$	$(1, 2)$
$2$	$1$	$(2, 1)$
$3$	$0$	$(3, 0)$

Cinci puncte izolate, graficul lui

f(x) = -x + 3

pe domeniul finit dat.

Exemplul 10: citirea graficului

Folosind graficul din exemplul anterior, spune cât este $f(1)$ și pentru ce $x$ avem $f(x) = 3$

Vezi rezolvarea

Punctul $(1, 2)$ are $x = 1$ și înălțimea $2$ deci $f(1) = 2$

Punctul cu înălțimea $3$ este $(0, 3)$ deci $f(x) = 3$ pentru $x = 0$

f(1) = 2 \qquad f(x) = 3 \text{ pentru } x = 0

Exemplul 11: recunoaște o non-funcție pe grafic

Punctele $(2, 1)$ și $(2, 4)$ sunt pe un grafic. Pot fi amândouă pe graficul aceleiași funcții?

Vezi rezolvarea

Amândouă punctele au $x = 2$ dar înălțimi diferite, $1$ și $4$ Asta ar însemna că $f(2)$ are două valori diferite, ceea ce încalcă definiția funcției.

Nu, cele două puncte nu pot fi pe graficul aceleiași funcții.

Exemplul 12: o funcție din viața de zi cu zi

Prețul unui bilet la muzeu depinde de vârstă: până la 6 ani este gratuit, între 7 și 17 ani costă 10 lei, iar de la 18 ani costă 15 lei. Este aceasta o funcție? Care este domeniul?

Vezi rezolvarea

Fiecare vârstă are exact un preț asociat (nu poți avea două prețuri diferite la aceeași vârstă). Este o funcție de la vârstă la preț.

Câteva valori ale funcției „preț în funcție de vârstă”.
vârstă (ani)	$5$	$10$	$15$	$20$
preț (lei)	$0$	$10$	$10$	$15$

Domeniul este mulțimea vârstelor posibile (numere naturale de la $0$ în sus); codomeniul poate fi luat ca mulțimea prețurilor posibile, $\{0, 10, 15\}$

Exemplul 13: domeniul și codomeniul din perechi ordonate

Se dau perechile ordonate $(1, 2)$ $(2, 4)$ $(3, 6)$ $(4, 8)$ Reprezintă ele o funcție? Care este domeniul și care sunt valorile obținute? Ce se poate spune despre codomeniu?

Vezi rezolvarea

Valorile lui $x$ sunt $1$ $2$ $3$ $4$ fără repetări. Fiecare are exact o imagine.

Da, este funcție.

Domeniul este $\{1, 2, 3, 4\}$
Valorile obținute sunt $2$ $4$ $6$ $8$
Perechile nu precizează codomeniul. Poate fi orice mulțime care conține aceste valori, de exemplu $\{2, 4, 6, 8\}$ sau $\mathbb{N}$

Greșeli frecvente

Cred că $f(x)$ înseamnă $f$ înmulțit cu $x$
$f(x)$ este valoarea funcției $f$ calculată în $x$ nu un produs. $f$ este numele funcției, nu un număr.
Accept ca funcție o corespondență în care un element are două imagini diferite.
Fiecare element din domeniu trebuie să aibă EXACT o imagine. Dacă un element are două imagini diferite, nu este funcție.
Cred că nu contează dacă un element din domeniu nu are nicio imagine.
Orice element al domeniului trebuie să aibă o imagine. Dacă lipsește, corespondența nu este definită pe tot domeniul, deci nu este funcție pe acel domeniu.
Confund domeniul cu codomeniul.
Domeniul este mulțimea de unde pleci (valorile posibile ale lui $x$ Codomeniul este mulțimea în care funcția ia valori (unde ajung imaginile).
Pe grafic, pun valoarea lui $x$ pe verticală și $f(x)$ pe orizontală.
Convenția este $x$ pe axa orizontală (Ox) și $f(x)$ pe axa verticală (Oy). Punctul se scrie $(x, f(x))$ în această ordine.
Cred că orice mulțime de perechi $(x, y)$ este automat o funcție.
Verifici întâi dacă vreo valoare a lui $x$ se repetă cu $y$ diferit. Dacă da, nu este funcție.

Exerciții

Ușor

Este funcție corespondența $\{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\}$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Fiecare element din $\{1, 2, 3\}$ are exact o imagine.
Este funcție corespondența $\{(1, 2), (1, 5), (2, 3)\}$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Elementul $1$ are două imagini diferite, $2$ și $5$
Fie $f(x) = 2x + 1$ Calculează $f(3)$
Arată răspunsul
Răspuns: $f(3) = 7$
Fie $f(x) = -4x + 9$ Calculează $f(0)$
Arată răspunsul
Răspuns: $f(0) = 9$
Care este domeniul funcției $f: \{1, 2, 3, 4\} \to \mathbb{R}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\{1, 2, 3, 4\}$
Înseamnă $f(x)$ $f$ înmulțit cu $x$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$f(x)$ este valoarea funcției $f$ calculată în $x$
Completează tabelul pentru $f(x) = x + 5$ cu $x \in \{-1, 0, 1\}$
Arată răspunsul
Răspuns: $f(-1) = 4$ $f(0) = 5$ $f(1) = 6$
Scrie perechea ordonată corespunzătoare lui $f(2) = 7$
Arată răspunsul
Răspuns: $(2, 7)$
Pe grafic, valoarea lui $x$ se citește pe axa Ox sau pe axa Oy?
Arată răspunsul
Răspuns: Pe axa Ox.

Mediu

Este funcție mulțimea de perechi $\{(1, 3), (2, 3), (3, 3)\}$ De ce?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Fiecare element din domeniu are exact o imagine. Faptul că toate imaginile sunt egale (toate $3$ nu contează.
Fie $f(x) = x^2$ Calculează $f(-3)$ și $f(3)$
Arată răspunsul
Răspuns: $f(-3) = 9$ și $f(3) = 9$
Fie $f: \{1, 2, 3\} \to \{5, 6, 7, 8\}$ cu $f(1) = 5$ $f(2) = 6$ $f(3) = 8$ Care este domeniul și care este codomeniul?
Arată răspunsul
Răspuns: Domeniul este $\{1, 2, 3\}$ codomeniul este $\{5, 6, 7, 8\}$
Elementul $4$ din domeniul lui $f$ nu apare în tabelul de valori dat. Este $f$ o funcție pe domeniul care include $4$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Fiecare element al domeniului trebuie să aibă exact o imagine; dacă lipsește, nu e funcție pe acel domeniu.
Completează tabelul de valori pentru $f(x) = 3x - 2$ $x \in \{-1, 0, 1, 2\}$ și scrie perechile ordonate.
Arată răspunsul
Răspuns: $f(-1) = -5 \to (-1, -5)$ $f(0) = -2 \to (0, -2)$ $f(1) = 1 \to (1, 1)$ $f(2) = 4 \to (2, 4)$
Pe un grafic apar punctele $(1, 2)$ și $(1, 5)$ Reprezintă ele o funcție?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Aceeași valoare a lui $x$ $1$ are două imagini diferite, $2$ și $5$
Fie $f(x) = 2x$ Este adevărat că $f(3) = 2 \cdot 3$
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Aici formula chiar este o înmulțire, dar $f(3)$ este valoarea funcției obținută prin înlocuirea lui $x$ cu $3$ nu $f$ ori $3$
Fie corespondența dată prin tabelul $x: 0, 1, 2, 3$ și $y: 1, 1, 1, 1$ Este funcție? Ce observi despre valorile obținute?
Arată răspunsul
Răspuns: Da, este funcție. Toate valorile obținute sunt egale cu $1$
Pentru $f(x) = 5 - x$ scrie toate perechile $(x, f(x))$ pe domeniul $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
Arată răspunsul
Răspuns: $(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0)$
Un caiet costă $4$ lei, iar un elev cumpără între $1$ și $5$ caiete. Prețul plătit este dat de funcția $f: \{1, 2, 3, 4, 5\} \to \mathbb{N}$ $f(x) = 4x$ unde $x$ este numărul de caiete. a) Fă tabelul de valori al funcției. b) Există $x$ în domeniu pentru care $f(x) = 18$ Ce înseamnă răspunsul în contextul problemei?
Arată răspunsul
Răspuns: a) $f(1)=4$ $f(2)=8$ $f(3)=12$ $f(4)=16$ $f(5)=20$ b) nu: nu poți plăti exact $18$ lei pe caiete întregi.
a) Înlocuiești fiecare element al domeniului: $4 \cdot 1 = 4$ $4 \cdot 2 = 8$ $4 \cdot 3 = 12$ $4 \cdot 4 = 16$ $4 \cdot 5 = 20$ b) $18$ nu apare în tabel, deci nu este imaginea niciunui element al domeniului $4x = 18$ ar da $x = 4{,}5$ care nu este în domeniu). În context: nu se poate cumpăra un număr de caiete care să coste exact $18$ lei.

Provocare

O corespondență are domeniul $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ și fiecare element are exact o imagine, dar două elemente diferite au aceeași imagine. Este funcție?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Condiția funcției cere o singură imagine pentru fiecare element al domeniului, nu imagini diferite pentru elemente diferite.
Fie $f(x) = x^2 - 4$ Găsește toate valorile lui $x$ din $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ pentru care $f(x) = 0$
Arată răspunsul
Răspuns: $x = -2$ și $x = 2$
$f(-2) = 4 - 4 = 0$ și $f(2) = 4 - 4 = 0$
O funcție are domeniul $\{a, b, c\}$ și codomeniul $\{1, 2, 3, 4\}$ Câte imagini diferite poate avea cel mult funcția?
Arată răspunsul
Răspuns: Cel mult $3$
Fiecare din cele trei elemente ale domeniului dă cel mult o imagine, deci nu pot fi mai mult de $3$ imagini diferite, chiar dacă codomeniul are $4$ elemente.
Pe grafic, punctele $(-2, 3)$ $(0, 3)$ $(2, 3)$ sunt la aceeași înălțime. Reprezintă o funcție? Ce observi despre imagini?
Arată răspunsul
Răspuns: Da.
Fiecare valoare a lui $x$ $-2$ $0$ $2$ are exact o imagine, $3$ Faptul că imaginile sunt egale nu contrazice definiția funcției; ar fi o problemă doar dacă același $x$ ar avea imagini diferite.
Un elev scrie $f(5) = 5 \cdot f$ ca și cum $f$ ar fi un număr necunoscut. Ce este greșit?
Arată răspunsul
Răspuns: $f$ nu este un număr, este numele funcției.
$f(5)$ se obține înlocuind $x$ cu $5$ în formula funcției, nu înmulțind $5$ cu ceva numit $f$
Fie $f(x) = 2x + 1$ pe domeniul $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ Există vreun $x$ pentru care $f(x)$ este număr par?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
$f(0)=1$ $f(1)=3$ $f(2)=5$ $f(3)=7$ $f(4)=9$ toate valorile obținute sunt impare.
Se dau perechile $(1, 2)$ $(2, 4)$ $(3, 6)$ $(2, 9)$ Este funcție? Dacă nu, ce ar trebui schimbat?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Elementul $2$ are două imagini, $4$ și $9$ Ar trebui eliminată sau schimbată una dintre cele două perechi cu $x = 2$
Dă un exemplu de funcție al cărei codomeniu are un element care nu este imaginea niciunui element din domeniu.
Arată răspunsul
Răspuns: De exemplu, $f: \{1, 2\} \to \{3, 4, 5\}$ cu $f(1) = 3$ $f(2) = 4$ elementul $5$ nu este imaginea niciunui element.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce înseamnă $f(x)$
1. produsul dintre $f$ și $x$
2. numele funcției
3. valoarea funcției $f$ calculată în $x$
4. domeniul funcției
Arată răspunsul
Răspuns: valoarea funcției $f$ calculată în $x$
$f$ este numele funcției; $f(x)$ este valoarea (imaginea) obținută pentru elementul $x$
2. O corespondență este funcție dacă:
1. fiecare element din domeniu are exact o imagine
2. fiecare element din codomeniu are o imagine
3. toate imaginile sunt diferite între ele
4. domeniul și codomeniul au același număr de elemente
Arată răspunsul
Răspuns: fiecare element din domeniu are exact o imagine
Condiția funcției privește domeniul: fiecare element al lui are exact o imagine.
3. Dacă $f(x) = 4x - 3$ atunci $f(2) =$
1. $8$
2. $1$
3. $11$
4. $5$
Arată răspunsul
Răspuns: $5$
$f(2) = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5$
4. Punctele $(3, 1)$ și $(3, 5)$ aflate pe un grafic arată că:
1. este o funcție cu domeniul $\{3\}$
2. nu este graficul unei funcții, pentru că $x = 3$ are două imagini
3. este o funcție constantă
4. codomeniul este $\{1, 5\}$
Arată răspunsul
Răspuns: nu este graficul unei funcții, pentru că $x = 3$ are două imagini
Aceeași valoare a lui $x$ nu poate avea două imagini diferite pe graficul unei funcții.
5. Calculează $f(-2)$ dacă $f(x) = x^2 + 1$
Arată răspunsul
Răspuns: $f(-2) = 5$
$(-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$
6. Scrie domeniul funcției $f: \{2, 4, 6\} \to \{1, 2, 3\}$ cu $f(2) = 1$ $f(4) = 2$ $f(6) = 3$
Arată răspunsul
Răspuns: $\{2, 4, 6\}$
7. Este funcție mulțimea $\{(6, 1), (7, 1), (6, 2)\}$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Elementul $6$ are două imagini, $1$ și $2$ Faptul că $6$ și $7$ au aceeași imagine nu ar fi o problemă.
8. Pe grafic, un punct $(x, f(x))$ are:
1. $x$ pe verticală, $f(x)$ pe orizontală
2. ambele pe orizontală
3. $x$ pe orizontală, $f(x)$ pe verticală
4. ambele pe verticală
Arată răspunsul
Răspuns: $x$ pe orizontală, $f(x)$ pe verticală
Convenția este $x$ pe axa Ox (orizontală) și $f(x)$ pe axa Oy (verticală).
9. Dacă domeniul unei funcții este $\{1, 2, 3\}$ și fiecare element are o imagine, câte puncte are graficul?
Arată răspunsul
Răspuns: $3$
Un punct pentru fiecare element al domeniului, câte o pereche $(x, f(x))$

Întrebări frecvente

Ce este o funcție?

O funcție este o regulă care leagă fiecare element al unei mulțimi $A$ (domeniul) de exact un element al unei mulțimi $B$ (codomeniul). O poți da printr-o diagramă, printr-un tabel sau printr-o formulă.

Ce înseamnă notația

f(x)

$f(x)$ este valoarea funcției $f$ calculată pentru elementul $x$ Nu este o înmulțire între $f$ și $x$ $f$ este numele funcției.

Care este diferența dintre domeniu și codomeniu?

Domeniul este mulțimea de unde pleci, adică valorile posibile ale lui $x$ Codomeniul este mulțimea în care funcția ia valori. Codomeniul poate avea elemente care nu sunt imaginea niciunui $x$

Cum știu dacă o corespondență NU este o funcție?

Verifici dacă vreun element din domeniu are două imagini diferite, sau dacă vreun element din domeniu nu are nicio imagine. Oricare dintre cele două situații înseamnă că nu este funcție.

Cum arăt grafic o funcție cu domeniu finit?

Calculezi $f(x)$ pentru fiecare element al domeniului, formezi perechile ordonate $(x, f(x))$ și le desenezi ca puncte pe axe. Punctele rămân izolate, fără linie între ele, pentru că funcția nu are valori între elementele domeniului.

De ce codomeniul poate avea elemente care nu sunt imaginea niciunui element din domeniu?

Codomeniul este mulțimea declarată în care POT să apară valorile funcției, nu neapărat mulțimea exactă a valorilor obținute. De exemplu, pentru $f: \{1, 2\} \to \{3, 4, 5\}$ cu $f(1) = 3$ și $f(2) = 4$ elementul $5$ rămâne în codomeniu fără să fie imaginea vreunui element.

Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este o funcție

Când o corespondență este funcție și când nu este

Notația f(x)

Domeniul și codomeniul unei funcții

Reprezentările unei funcții: diagramă, tabel, formulă

Graficul unei funcții cu domeniu finit

Cum citești un grafic

Exemple rezolvate

Exemplul 1: recunoaște o funcție

Exemplul 2: un element cu două imagini

Exemplul 3: un element fără imagine

Exemplul 4: calculul unor valori

Exemplul 5: valori cu formulă pătratică

Exemplul 6: f(x) nu este o înmulțire

Exemplul 7: domeniu și codomeniu

Exemplul 8: tabel de valori

Exemplul 9: de la formulă la puncte pe grafic

Exemplul 10: citirea graficului

Exemplul 11: recunoaște o non-funcție pe grafic

Exemplul 12: o funcție din viața de zi cu zi

Exemplul 13: domeniul și codomeniul din perechi ordonate

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VIII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VIII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VIII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Matematică. Clasa a VIII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 8-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VIII-a, Partea I

Matematică – Exerciții și probleme pentru clasa a VIII-a