Proporții derivate

Știi deja că, pentru $b \neq 0$ și $d \neq 0$, egalitatea $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ este adevărată exact atunci când $a \times d = b \times c$ (proprietatea fundamentală).

Dintr-o proporție adevărată poți obține alte proporții adevărate, rearanjând termenii într-un mod anume. Aceste noi egalități se numesc proporții derivate.

Nu orice rearanjare a termenilor păstrează proporția. De aceea, pentru fiecare transformare vezi ce se schimbă, ce trebuie să fie nenul și de ce rezultatul rămâne adevărat.

Din lecția anterioară știi ce este un raport, ce este o proporție, care sunt extremii și mezii unei proporții și cum funcționează proprietatea fundamentală: în proporția $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, produsul extremilor $a \times d$ este egal cu produsul mezilor $b \times c$.

Pornim direct de aici, ca să vedem ce alte proporții poți obține dintr-o proporție dată.

În toată lecția pornim de la o proporție adevărată $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, cu $b \neq 0$ și $d \neq 0$. Pentru fiecare transformare, noile rapoarte trebuie să aibă și ele numitorul nenul. Condiția cerută în plus apare lângă fiecare transformare.

O proporție derivată este o proporție nouă, adevărată, obținută prin rearanjarea termenilor unei proporții date, după o regulă fixă.

Pornești de la o proporție cunoscută, aplici o transformare (de exemplu inversarea), și obții o altă egalitate de rapoarte. Dacă transformarea este una dintre cele corecte, egalitatea nou obținută este tot o proporție.

Dacă $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, cu $a \neq 0$ și $c \neq 0$ (în plus față de $b \neq 0$, $d \neq 0$), atunci și rapoartele inversate formează o proporție.

De ce? Din $a \times d = b \times c$ rezultă $b \times c = a \times d$. În proporția $\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}$ extremii sunt $b$ și $c$, iar mezii sunt $a$ și $d$, deci produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.

Exemplu numeric: pornești de la $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$.

$12 = 12$, deci $\dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{4}$ este tot o proporție.

Dacă $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ și $c \neq 0$, atunci poți schimba locul mezilor ($b$ și $c$) între ei și obții tot o proporție.

De ce? În $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$ extremii sunt tot $a$ și $d$, iar mezii sunt tot $b$ și $c$, deci egalitatea produselor este aceeași: $a \times d = c \times b$. Condiția $c \neq 0$ este necesară pentru ca $\dfrac{a}{c}$ să aibă sens.

Exemplu numeric, tot pornind de la $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$: mezii sunt $3$ și $4$, schimbă-le locul.

$12 = 12$, deci $\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6}$ este tot o proporție. De fapt, $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ și $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$: sunt egale.

Dacă $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ și $a \neq 0$, atunci poți schimba locul extremilor ($a$ și $d$) între ei și obții tot o proporție.

De ce? În $\dfrac{d}{b} = \dfrac{c}{a}$ extremii sunt $d$ și $a$, iar mezii sunt $b$ și $c$, deci produsul extremilor este $d \times a$, egal cu produsul mezilor $b \times c$ exact pentru că $a \times d = b \times c$. Condiția $a \neq 0$ este necesară pentru ca $\dfrac{c}{a}$ să aibă sens.

Exemplu numeric: în $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$, extremii sunt $2$ și $6$, schimbă-le locul.

$12 = 12$, deci $\dfrac{6}{3} = \dfrac{4}{2}$ este tot o proporție ($\dfrac{6}{3}=2$ și $\dfrac{4}{2}=2$).

Dacă $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, atunci și proporția obținută prin adunarea fiecărui numărător cu numitorul lui este adevărată. Nu cere nicio condiție în plus față de $b \neq 0$ și $d \neq 0$.

De ce? Un raport $\dfrac{a+b}{b}$ se desparte în $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{b}$, adică $\dfrac{a}{b} + 1$. La fel, $\dfrac{c+d}{d} = \dfrac{c}{d} + 1$. Cum $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, adaugi același număr $1$ la două numere egale, deci rezultatele sunt egale.

Exemplu numeric, tot cu $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$.

$30 = 30$, deci $\dfrac{5}{3} = \dfrac{10}{6}$ este tot o proporție. Aceeași idee funcționează și la scădere: $\dfrac{a-b}{b} = \dfrac{a}{b} - 1 = \dfrac{c}{d} - 1 = \dfrac{c-d}{d}$. Lucrând cu numere naturale, ai nevoie de $a \geq b$, iar atunci și $c \geq d$. De exemplu, din $\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6}$ obții $\dfrac{6-4}{4} = \dfrac{9-6}{6}$, adică $\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6}$.

Toate transformările de mai sus, pornind de la $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$, duc la o proporție adevărată. O rearanjare făcută la întâmplare, în schimb, poate strica egalitatea.

Ultima linie nu este o proporție: $3 \times 6 = 18$, dar $2 \times 4 = 8$, produse diferite. Inversarea se aplică la ambele rapoarte deodată, nu doar la unul.

Pornești de la $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, cu $b \neq 0$ și $d \neq 0$. Tabelul arată ce se obține și ce trebuie să fie nenul în plus.

O proporție derivată poate face o problemă mai ușor de rezolvat, dacă necunoscuta ajunge într-o poziție mai convenabilă. Rezultatul este același ca la proprietatea fundamentală aplicată direct.

Rezolvă $\dfrac{9}{x} = \dfrac{6}{4}$ folosind inversarea. Necunoscuta este la numitor ($x \neq 0$), iar după inversare ajunge la numărător.

Verificare directă în proporția inițială: $\dfrac{9}{6} = \dfrac{6}{4}$, iar $9 \times 4 = 36$ și $6 \times 6 = 36$.

O folosire tipică a adunării termenilor: știi raportul a două numere și suma lor. Două numere $a$ și $b$ au raportul $\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4}$ și suma $a + b = 35$. Le afli astfel.

Verificare: $\dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}$, pentru că $15 \times 4 = 60$ și $20 \times 3 = 60$, iar $15 + 20 = 35$.