Las rezultatul cu π sau îl aproximez?

Răspunsul exact se scrie cu π (de exemplu 96π cm³). Aproximezi doar când problema o cere, de obicei cu π ≈ 3,14, și scrii clar că rezultatul este aproximativ.

Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

Q: Care este diferența dintre înălțimea și generatoarea conului?

Înălțimea h coboară din vârf perpendicular pe bază, până în centrul ei. Generatoarea g merge din vârf până la un punct de pe cercul bazei, pe suprafața conului. Generatoarea este mai lungă: g² = r² + h².

Q: Cum calculez generatoarea trunchiului de con?

Din triunghiul dreptunghic cu catetele h și R - r: G = √(h² + (R - r)²).

Q: Pot calcula volumul trunchiului de con ca diferență a două conuri?

Da, dacă știi conul mare și conul mic tăiat. Formula V = π h/3(R² + r² + Rr) dă același rezultat direct, din datele trunchiului.

Ce vei învăța

Calculezi aria laterală, aria totală și volumul unui cilindru circular drept
Deosebești înălțimea $h$ de generatoarea $g$ a conului și le legi prin $g^2 = r^2 + h^2$
Calculezi aria laterală, aria totală și volumul unui con circular drept
Calculezi aria laterală, aria totală și volumul unui trunchi de con
Afli o dimensiune lipsă (raza, înălțimea, generatoarea) dintr-o arie sau dintr-un volum

Recomandat înainte: Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

Ideea de bază

Cilindrul se comportă ca o prismă cu baza un cerc: volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea. Conul se comportă ca o piramidă: volumul este o treime din cel al cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime. Ariile laterale vin din desfășurări: un dreptunghi la cilindru, un sector de cerc la con.

Cilindru circular drept cu raza

r = 4

cm și înălțimea

h = 6

cm. Îl folosim în prima secțiune.

Aria și volumul cilindrului

Baza cilindrului este un disc de rază $r$ deci aria bazei este $A_b = \pi r^2$ Cilindrul are două baze congruente.

Dacă tai suprafața laterală de-a lungul unei generatoare și o întinzi, obții un dreptunghi. O latură are lungimea cercului bazei, $2\pi r$ cealaltă este înălțimea $h$ De aici vine aria laterală.

Desfășurarea cilindrului cu

r = 4

cm,

h = 6

cm: dreptunghiul are laturile

2\pi\cdot4 = 8\pi

cm și

6

cm.

A_l = 2\pi r h

A_t = A_l + 2A_b = 2\pi r h + 2\pi r^2

A_t = 2\pi r(h + r)

V = A_b \cdot h = \pi r^2 h

Pentru cilindrul din figură $r = 4$ cm, $h = 6$ cm): $A_b = 16\pi$ cm², $A_l = 2\pi\cdot4\cdot6 = 48\pi$ cm², $A_t = 48\pi + 2\cdot16\pi = 80\pi$ cm², $V = 16\pi\cdot6 = 96\pi$ cm³.

Două baze la aria totală

Cilindrul are două baze, deci $A_t = A_l + 2\pi r^2$ Dacă vasul este deschis sus (un pahar, o cană), adaugi o singură bază: citește atent ce cere problema.

Aria și volumul conului

La con apar trei segmente diferite: raza bazei $r$ înălțimea $h$ (de la vârf, perpendicular pe bază, până în centrul $O$ și generatoarea $g$ (de la vârf până la un punct de pe cercul bazei). Ele formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $g$ deci $g^2 = r^2 + h^2$

Con cu

r = OA = 6

cm și

h = VO = 8

cm. Generatoarea:

g = VA = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10

cm.

Desfășurată, suprafața laterală a conului este un sector de cerc cu raza $g$ și arcul $2\pi r$ Aria lui este $\pi r g$

Desfășurarea aceluiași con

r = 6

cm,

g = 10

cm): sectorul are raza

10

cm și arcul

2\pi\cdot6 = 12\pi

cm.

A_l = \pi r g

A_t = A_l + A_b = \pi r g + \pi r^2

A_t = \pi r(g + r)

V = \dfrac{A_b \cdot h}{3} = \dfrac{\pi r^2 h}{3}

Pentru conul din figură: $A_b = 36\pi$ cm², $A_l = \pi\cdot6\cdot10 = 60\pi$ cm², $A_t = 60\pi + 36\pi = 96\pi$ cm², $V = \dfrac{36\pi\cdot8}{3} = 96\pi$ cm³.

Generatoarea la arie, înălțimea la volum

Aria laterală folosește generatoarea: $A_l = \pi r g$ Volumul folosește înălțimea: $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ Dacă problema îți dă doar una dintre ele, o afli pe cealaltă din $g^2 = r^2 + h^2$

Conul are o singură bază

La aria totală a conului adaugi o singură bază, $\pi r^2$ Vârful este un punct, nu o a doua bază.

Aria și volumul trunchiului de con

Trunchiul de con are două baze paralele, discuri de raze diferite: baza mare, de rază $R$ și baza mică, de rază $r$ Înălțimea $h$ este distanța dintre baze $OO'$ iar generatoarea $G$ unește un punct al cercului mare cu punctul corespunzător al cercului mic.

Trunchi de con cu

R = 5

cm,

r = 2

cm și

h = 4

cm. Generatoarea:

G = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5

cm.

Relația dintre $G$ $h$ și razele bazelor vine din trapezul dreptunghic $OAA'O'$ dacă cobori din $A'$ perpendiculara pe $OA$ obții un triunghi dreptunghic cu catetele $h$ și $R - r$ și ipotenuza $G$ Deci $G^2 = h^2 + (R - r)^2$

A_l = \pi G(R + r)

A_t = A_l + \pi R^2 + \pi r^2

V = \dfrac{\pi h}{3}\left(R^2 + r^2 + R r\right)

În formula volumului, $R^2$ și $r^2$ vin din cele două baze, iar $Rr$ este produsul celor două raze (nu un pătrat). Pentru trunchiul din figură: $A_l = \pi\cdot5\cdot(5 + 2) = 35\pi$ cm², $A_t = 35\pi + 25\pi + 4\pi = 64\pi$ cm², $V = \dfrac{4\pi}{3}(25 + 4 + 10) = \dfrac{4\pi}{3}\cdot39 = 52\pi$ cm³.

Verificare: con mare minus con mic

Trunchiul din figură provine dintr-un con cu raza $5$ cm și înălțimea $\dfrac{20}{3}$ cm, din care s-a tăiat un con cu raza $2$ cm și înălțimea $\dfrac{8}{3}$ cm. Diferența volumelor: $\dfrac{\pi\cdot25\cdot\frac{20}{3}}{3} - \dfrac{\pi\cdot4\cdot\frac{8}{3}}{3} = \dfrac{500\pi - 32\pi}{9} = 52\pi$ cm³, același rezultat ca formula.

Unități

Ariile se scriu în unități pătrate (cm², m²), volumele în unități cubice (cm³, m³). Exponentul unității trebuie să se potrivească: o arie înmulțește două lungimi, un volum înmulțește trei.

Exemple rezolvate

Aria laterală a cilindrului

Un cilindru circular drept are raza $5$ cm și înălțimea $8$ cm. Calculează aria laterală.

Vezi rezolvarea

$A_l = 2\pi r h = 2\pi\cdot5\cdot8 = 80\pi$ cm².

Aria totală a cilindrului

Pentru același cilindru $r = 5$ cm, $h = 8$ cm), calculează aria totală.

Vezi rezolvarea

Aria unei baze: $A_b = \pi\cdot5^2 = 25\pi$ cm².

$A_t = A_l + 2A_b = 80\pi + 50\pi = 130\pi$ cm².

Volumul cilindrului

Pentru același cilindru $r = 5$ cm, $h = 8$ cm), calculează volumul.

Vezi rezolvarea

$V = \pi r^2 h = 25\pi\cdot8 = 200\pi$ cm³.

Înălțimea cilindrului, din volum

Un cilindru are raza $3$ cm și volumul $72\pi$ cm³. Calculează înălțimea.

Vezi rezolvarea

Aria bazei: $\pi\cdot3^2 = 9\pi$ cm².

Din $V = A_b\cdot h$ $h = \dfrac{72\pi}{9\pi} = 8$ cm.

Generatoarea conului

Un con circular drept are raza $5$ cm și înălțimea $12$ cm. Calculează generatoarea.

Vezi rezolvarea

$g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm.

Aria laterală și aria totală a conului

Pentru conul de mai sus $r = 5$ cm, $g = 13$ cm), calculează aria laterală și aria totală.

Vezi rezolvarea

$A_l = \pi r g = \pi\cdot5\cdot13 = 65\pi$ cm².

$A_t = A_l + \pi r^2 = 65\pi + 25\pi = 90\pi$ cm².

Volumul conului

Pentru același con $r = 5$ cm, $h = 12$ cm), calculează volumul.

Vezi rezolvarea

$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{25\pi\cdot12}{3} = 100\pi$ cm³.

Din aria laterală la volum

Un con are raza $4$ cm și aria laterală $20\pi$ cm². Calculează generatoarea, înălțimea și volumul.

Vezi rezolvarea

Din $\pi r g = 20\pi$ $4g = 20$ deci $g = 5$ cm.

$h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$ cm.

$V = \dfrac{\pi\cdot16\cdot3}{3} = 16\pi$ cm³.

Generatoarea trunchiului de con

Un trunchi de con are razele bazelor $R = 7$ cm și $r = 3$ cm și înălțimea $h = 3$ cm. Calculează generatoarea.

Vezi rezolvarea

Diferența razelor: $R - r = 4$ cm.

$G = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ cm.

Aria laterală și aria totală a trunchiului de con

Pentru trunchiul de mai sus $R = 7$ cm, $r = 3$ cm, $G = 5$ cm), calculează aria laterală și aria totală.

Vezi rezolvarea

$A_l = \pi G(R + r) = \pi\cdot5\cdot10 = 50\pi$ cm².

Bazele: $\pi\cdot7^2 = 49\pi$ cm² și $\pi\cdot3^2 = 9\pi$ cm². $A_t = 50\pi + 49\pi + 9\pi = 108\pi$ cm².

Volumul trunchiului de con

Pentru același trunchi $R = 7$ cm, $r = 3$ cm, $h = 3$ cm), calculează volumul.

Vezi rezolvarea

$R^2 + r^2 + Rr = 49 + 9 + 21 = 79$

$V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr) = \dfrac{3\pi}{3}\cdot79 = 79\pi$ cm³.

O cutie de conserve

O cutie de conserve are forma unui cilindru cu raza $4$ cm și înălțimea $10$ cm. Cât lichid încape în ea, aproximativ, în litri? Folosește $\pi \approx 3{,}14$

Vezi rezolvarea

$V = \pi r^2 h = \pi\cdot16\cdot10 = 160\pi$ cm³.

Cu $\pi \approx 3{,}14$ $V \approx 502{,}4$ cm³. Cum $1$ litru $= 1\,000$ cm³, în cutie încap aproximativ $0{,}5$ litri.

Eroare: înălțimea în locul generatoarei

Un con are $r = 6$ cm și $h = 8$ cm. Un elev calculează aria laterală astfel: $A_l = \pi\cdot6\cdot8 = 48\pi$ cm². Este corect?

Vezi rezolvarea

Nu. Aria laterală folosește generatoarea, nu înălțimea.

$g = \sqrt{36 + 64} = 10$ cm, deci $A_l = \pi\cdot6\cdot10 = 60\pi$ cm².

Eroare: volumul conului fără factorul $\frac13$

Un elev calculează volumul unui con cu $r = 3$ cm și $h = 7$ cm astfel: $V = \pi\cdot9\cdot7 = 63\pi$ cm³. Ce a greșit?

Vezi rezolvarea

A calculat volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime.

Volumul conului este o treime din acesta: $V = \dfrac{63\pi}{3} = 21\pi$ cm³.

Greșeli frecvente

Aria laterală a conului este $\pi r h$
Aria laterală a conului folosește generatoarea: $A_l = \pi r g$ Înălțimea apare doar în volum. Dacă știi doar $h$ afli $g$ din $g^2 = r^2 + h^2$
Volumul conului este $\pi r^2 h$ ca la cilindru.
Volumul conului este $\dfrac{\pi r^2 h}{3}$ o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime.
Aria totală a cilindrului este $2\pi r h + \pi r^2$
Cilindrul închis are două baze: $A_t = 2\pi r h + 2\pi r^2$ O singură bază se adaugă doar dacă problema spune explicit că vasul e deschis.
Aria totală a conului este $\pi r g + 2\pi r^2$
Conul are o singură bază: $A_t = \pi r g + \pi r^2$
Aria laterală și aria totală sunt același lucru.
Aria laterală este doar suprafața dintre baze (sau de la vârf la bază). Aria totală adaugă bazele.
La trunchiul de con, $G = \sqrt{h^2 + R^2}$ sau $G = \sqrt{h^2 + r^2}$
În triunghiul dreptunghic din secțiunea axială, catetele sunt $h$ și diferența razelor: $G = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$
În volumul trunchiului de con, termenul din mijloc este $(R + r)^2$ sau $2Rr$
Paranteza este $R^2 + r^2 + Rr$ pătratele celor două raze și produsul lor, o singură dată.
Volumul se poate scrie în cm², dacă numărul e corect.
Volumul se scrie în unități cubice (cm³, m³), aria în unități pătrate (cm², m²). Un rezultat cu unitatea greșită este greșit.

Exerciții

Ușor

Scrie formula ariei laterale a unui cilindru cu raza $r$ și înălțimea $h$
Arată răspunsul
Răspuns: $A_l = 2\pi r h$
Scrie formula volumului unui con cu raza $r$ și înălțimea $h$
Arată răspunsul
Răspuns: $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$
Un cilindru are raza $2$ cm și înălțimea $7$ cm. Calculează aria laterală.
Arată răspunsul
Răspuns: $28\pi$ cm².
$A_l = 2\pi\cdot2\cdot7 = 28\pi$ cm².
Un cilindru are raza $3$ cm și înălțimea $4$ cm. Calculează volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $36\pi$ cm³.
$V = \pi\cdot9\cdot4 = 36\pi$ cm³.
Un con are raza $3$ cm și generatoarea $5$ cm. Calculează aria laterală.
Arată răspunsul
Răspuns: $15\pi$ cm².
$A_l = \pi\cdot3\cdot5 = 15\pi$ cm².
Un con are raza $3$ cm și înălțimea $4$ cm. Calculează volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $12\pi$ cm³.
$V = \dfrac{\pi\cdot9\cdot4}{3} = 12\pi$ cm³.
Un con are raza $7$ cm și înălțimea $24$ cm. Calculează generatoarea.
Arată răspunsul
Răspuns: $25$ cm.
$g = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ cm.
Câte baze au un cilindru, un con și un trunchi de con?
Arată răspunsul
Răspuns: Cilindrul are două baze congruente, conul are o bază, trunchiul de con are două baze de raze diferite.
Calculează aria bazei unui cilindru cu raza $6$ cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $36\pi$ cm².
$A_b = \pi\cdot6^2 = 36\pi$ cm².

Mediu

Un cilindru are raza $5$ cm și înălțimea $3$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $A_l = 30\pi$ cm², $A_t = 80\pi$ cm², $V = 75\pi$ cm³.
$A_l = 2\pi\cdot5\cdot3 = 30\pi$ $A_t = 30\pi + 2\cdot25\pi = 80\pi$ $V = 25\pi\cdot3 = 75\pi$
Un con are raza $9$ cm și înălțimea $12$ cm. Calculează generatoarea, aria laterală, aria totală și volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $g = 15$ cm, $A_l = 135\pi$ cm², $A_t = 216\pi$ cm², $V = 324\pi$ cm³.
$g = \sqrt{81 + 144} = 15$ $A_l = \pi\cdot9\cdot15 = 135\pi$ $A_t = 135\pi + 81\pi = 216\pi$ $V = \dfrac{81\pi\cdot12}{3} = 324\pi$
Un cilindru are diametrul bazei $10$ cm și înălțimea $6$ cm. Calculează volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $150\pi$ cm³.
Raza este jumătate din diametru: $r = 5$ cm. $V = 25\pi\cdot6 = 150\pi$ cm³.
Un cilindru are volumul $128\pi$ cm³ și înălțimea $8$ cm. Calculează raza.
Arată răspunsul
Răspuns: $4$ cm.
$\pi r^2\cdot8 = 128\pi$ deci $r^2 = 16$ și $r = 4$ cm.
Un con are raza $4$ cm și aria laterală $24\pi$ cm². Calculează generatoarea și înălțimea.
Arată răspunsul
Răspuns: $g = 6$ cm, $h = 2\sqrt5$ cm.
$4g = 24$ deci $g = 6$ $h = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt5$ cm.
Un trunchi de con are $R = 6$ cm, $r = 2$ cm și $h = 3$ cm. Calculează generatoarea și aria laterală.
Arată răspunsul
Răspuns: $G = 5$ cm, $A_l = 40\pi$ cm².
$G = \sqrt{9 + 16} = 5$ $A_l = \pi\cdot5\cdot(6 + 2) = 40\pi$ cm².
Pentru trunchiul de mai sus $R = 6$ cm, $r = 2$ cm, $h = 3$ cm, $A_l = 40\pi$ cm²), calculează aria totală și volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $A_t = 80\pi$ cm², $V = 52\pi$ cm³.
$A_t = 40\pi + 36\pi + 4\pi = 80\pi$ $V = \dfrac{3\pi}{3}(36 + 4 + 12) = 52\pi$ cm³.
Secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat cu latura $8$ cm. Calculează aria laterală și volumul cilindrului.
Arată răspunsul
Răspuns: $A_l = 64\pi$ cm², $V = 128\pi$ cm³.
Latura pătratului este diametrul bazei și înălțimea: $r = 4$ $h = 8$ $A_l = 2\pi\cdot4\cdot8 = 64\pi$ $V = 16\pi\cdot8 = 128\pi$
Un rezervor cilindric are raza $1$ m și înălțimea $2$ m. Câți litri încap în el, aproximativ? Folosește $\pi \approx 3{,}14$
Arată răspunsul
Răspuns: Aproximativ $6\,280$ litri.
$V = \pi\cdot1\cdot2 = 2\pi$ m³ $\approx 6{,}28$ m³; $1$ m³ $= 1\,000$ litri.
Un elev scrie aria totală a unui con astfel: $A_t = \pi r g + 2\pi r^2$ Explică greșeala.
Arată răspunsul
Răspuns: Conul are o singură bază, deci $A_t = \pi r g + \pi r^2$
Secțiunea axială a unui con este un triunghi echilateral cu latura $6$ cm. Calculează aria laterală și volumul conului.
Arată răspunsul
Răspuns: $A_l = 18\pi$ cm², $V = 9\sqrt3\,\pi$ cm³.
$g = 6$ $r = 3$ $h = \sqrt{36 - 9} = 3\sqrt3$ $A_l = \pi\cdot3\cdot6 = 18\pi$ $V = \dfrac{9\pi\cdot3\sqrt3}{3} = 9\sqrt3\,\pi$ cm³.
Un elev scrie: „volumul cilindrului este $50\pi$ cm²”. Ce trebuie corectat?
Arată răspunsul
Răspuns: Unitatea: volumul se măsoară în cm³, deci $50\pi$ cm³.

Provocare

Un cilindru și un con au aceeași rază și aceeași înălțime. De câte ori este mai mare volumul cilindrului?
Arată răspunsul
Răspuns: De $3$ ori.
$\pi r^2 h : \dfrac{\pi r^2 h}{3} = 3$
Raza unui cilindru se dublează, iar înălțimea rămâne aceeași. De câte ori cresc volumul și aria laterală?
Arată răspunsul
Răspuns: Volumul de $4$ ori, aria laterală de $2$ ori.
$V = \pi r^2 h$ depinde de $r^2$ $A_l = 2\pi r h$ depinde de $r$
Un trunchi de con are $R = 10$ cm, $r = 4$ cm și $G = 10$ cm. Calculează înălțimea și volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $h = 8$ cm, $V = 416\pi$ cm³.
$h = \sqrt{100 - 36} = 8$ $V = \dfrac{8\pi}{3}(100 + 16 + 40) = \dfrac{8\pi}{3}\cdot156 = 416\pi$ cm³.
Un con are raza $8$ cm și aria totală $200\pi$ cm². Calculează înălțimea și volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $h = 15$ cm, $V = 320\pi$ cm³.
$\pi\cdot8(8 + g) = 200\pi$ deci $8 + g = 25$ și $g = 17$ $h = \sqrt{289 - 64} = 15$ $V = \dfrac{64\pi\cdot15}{3} = 320\pi$ cm³.
Un con cu raza $6$ cm și înălțimea $8$ cm este tăiat cu un plan paralel cu baza, la jumătatea înălțimii. Calculează volumul trunchiului de con obținut, în două moduri.
Arată răspunsul
Răspuns: $84\pi$ cm³.
Conul mic are $r = 3$ $h = 4$ Diferența: $\dfrac{36\pi\cdot8}{3} - \dfrac{9\pi\cdot4}{3} = 96\pi - 12\pi = 84\pi$ Cu formula, $R = 6$ $r = 3$ $h = 4$ $\dfrac{4\pi}{3}(36 + 9 + 18) = \dfrac{4\pi}{3}\cdot63 = 84\pi$ cm³.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Care este aria laterală a unui con cu raza $r$ înălțimea $h$ și generatoarea $g$
1. $\pi r h$
2. $\pi r g$
3. $2\pi r g$
4. $\pi r^2 g$
Arată răspunsul
Răspuns: $\pi r g$
Aria laterală a conului este $\pi r g$ folosește generatoarea, nu înălțimea.
2. Care este volumul unui cilindru cu raza $r$ și înălțimea $h$
1. $2\pi r h$
2. $\dfrac{\pi r^2 h}{3}$
3. $\pi r^2 h$
4. $\pi r h^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $\pi r^2 h$
Volumul cilindrului este aria bazei, $\pi r^2$ înmulțită cu înălțimea.
3. Care este aria laterală a unui trunchi de con cu razele $R$ și $r$ și generatoarea $G$
1. $\pi G(R + r)$
2. $\pi G(R - r)$
3. $2\pi G(R + r)$
4. $\pi(R^2 + r^2)$
Arată răspunsul
Răspuns: $\pi G(R + r)$
$A_l = \pi G(R + r)$
4. Care este volumul unui trunchi de con cu razele $R$ $r$ și înălțimea $h$
1. $\pi h(R^2 + r^2)$
2. $\dfrac{\pi h}{3}(R + r)^2$
3. $\dfrac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr)$
4. $\dfrac{\pi G}{3}(R^2 + r^2 + Rr)$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr)$
$V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr)$ cu înălțimea $h$ nu cu generatoarea.
5. Ce relație leagă raza $r$ înălțimea $h$ și generatoarea $g$ a unui con?
1. $g = r + h$
2. $g^2 = r^2 + h^2$
3. $h^2 = r^2 + g^2$
4. $r^2 = g^2 + h^2$
Arată răspunsul
Răspuns: $g^2 = r^2 + h^2$
Generatoarea este ipotenuza triunghiului dreptunghic cu catetele $r$ și $h$
6. Un cilindru are $r = 2$ cm și $h = 5$ cm. Calculează volumul.
Arată răspunsul
Răspuns: $20\pi$ cm³.
7. Un con are $r = 4$ cm și $g = 7$ cm. Calculează aria laterală.
Arată răspunsul
Răspuns: $28\pi$ cm².
8. Un con are $r = 20$ cm și $h = 21$ cm. Calculează generatoarea.
Arată răspunsul
Răspuns: $29$ cm.
$g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ cm.
9. Un trunchi de con are $R = 4$ cm, $r = 1$ cm și $G = 5$ cm. Calculează aria laterală.
Arată răspunsul
Răspuns: $25\pi$ cm².

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre înălțimea și generatoarea conului?

Înălțimea $h$ coboară din vârf perpendicular pe bază, până în centrul ei. Generatoarea $g$ merge din vârf până la un punct de pe cercul bazei, pe suprafața conului. Generatoarea este mai lungă: $g^2 = r^2 + h^2$

De unde vine formula ariei laterale a cilindrului?

Suprafața laterală desfășurată este un dreptunghi cu o latură egală cu lungimea cercului bazei, $2\pi r$ și cealaltă egală cu înălțimea $h$ Aria dreptunghiului este $2\pi r h$

De ce volumul conului are factorul

\frac13

Conul ocupă o treime din cilindrul cu aceeași bază și aceeași înălțime, exact cum piramida ocupă o treime din prisma corespunzătoare.

Las rezultatul cu

\pi

sau îl aproximez?

Răspunsul exact se scrie cu $\pi$ (de exemplu $96\pi$ cm³). Aproximezi doar când problema o cere, de obicei cu $\pi \approx 3{,}14$ și scrii clar că rezultatul este aproximativ.

Cum calculez generatoarea trunchiului de con?

Din triunghiul dreptunghic cu catetele $h$ și $R - r$ $G = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$

Pot calcula volumul trunchiului de con ca diferență a două conuri?

Da, dacă știi conul mare și conul mic tăiat. Formula $V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr)$ dă același rezultat direct, din datele trunchiului.

Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

Ce vei învăța

Ideea de bază

Aria și volumul cilindrului

Aria și volumul conului

Aria și volumul trunchiului de con