Unități de măsură pentru volum. Volumul cubului și al paralelipipedului dreptunghic

Q: Câți litri are un metru cub?

1 L = 1 dm³, iar 1 m³ = 1000 dm³, deci 1 m³ = 1000 L. La fel, 1 mL = 1 cm³.

Q: Care sunt formulele pentru volumul paralelipipedului dreptunghic și al cubului?

Paralelipipedul dreptunghic: V = L · l · h (cele trei dimensiuni, în aceeași unitate). Cubul: V = l · l · l = l³. Ambele vin din numărarea cuburilor-unitate pe straturi.

Ce vei învăța

Înțelegi ce măsoară volumul și de ce unitatea de volum este un cub.
Cunoști unitățile de volum și explici de ce pasul dintre ele este $1000$
Transformi dintr-o unitate de volum în alta, cu numere naturale și zecimale.
Deosebești volumul de capacitate și folosești litrul (L), care este un decimetru cub (dm³), și mililitrul (mL), care este un centimetru cub.
Calculezi volumul paralelipipedului dreptunghic și al cubului și știi de unde vin formulele.
Deosebești volumul de arie și transformi dimensiunile în aceeași unitate înainte de calcul.

Recomandat înainte: Unități de măsură pentru arie. Aria pătratului și a dreptunghiului

Ideea de bază

Volumul unui corp este numărul de cuburi-unitate care îl umplu complet, fără goluri și fără suprapuneri. Cuburile se așază în straturi: numărăm cuburile de pe un strat și înmulțim cu numărul de straturi. Dacă un cub-unitate are muchia de un centimetru, volumul se măsoară în centimetri cubi (cm³).

Cuburi-unitate: pe lungime 4 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.

Aceeași cutie, cu straturile ridicate:

2

straturi a câte

12

cuburi.

Ce este volumul

Gândește-te la o cutie pe care o umpli cu cuburi de zahăr, toate la fel. Pui întâi un rând, apoi completezi fundul cutiei: acesta este primul strat. Peste el pui al doilea strat, identic, și tot așa până se umple cutia. Numărul total de cuburi spune cât spațiu este în cutie.

Exact așa măsurăm volumul unui corp: alegem un cub mic, numit cub-unitate, și numărăm de câte ori încape în corp.

Cuburi-unitate: pe lungime 4 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.

Aceeași cutie, cu straturile ridicate:

2

straturi a câte

12

cuburi.

Fără goluri: dacă ar rămâne spații goale, am număra prea puțin.
Fără suprapuneri: două cuburi nu pot ocupa același loc.
Toate cuburile sunt la fel: altfel numărătoarea nu ar spune nimic.
Numărăm și cuburile din interior, pe care nu le vedem în desen.

Unitatea de volum este un cub

Cubul cu muchia de un centimetru are volumul de un centimetru cub, scris $1$ cm³. Semnul ³ (citit „cub”) ne amintește că unitatea este un cub, cu trei dimensiuni: lungime, lățime și înălțime, fiecare de un centimetru.

Cuburi-unitate: pe lungime 1 cub, pe lățime 1 cub, pe înălțime 1 strat. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.

Cubul cu muchia de

1

cm are volumul de

1

cm³ (un centimetru cub).

Aceeași literă, trei mărimi diferite: exponentul arată câte dimensiuni are unitatea
Unitatea	Ce măsoară	Este
centimetru (cm)	o lungime (o dimensiune)	un segment de $1$ cm
centimetru pătrat (cm²)	o arie (două dimensiuni)	un pătrat cu latura de $1$ cm
centimetru cub (cm³)	un volum (trei dimensiuni)	un cub cu muchia de $1$ cm

Cubul-unitate pentru fiecare unitate de lungime
Muchia cubului	Volumul cubului	Aproximativ cât
un milimetru	un milimetru cub (mm³)	un grăunte de nisip
un centimetru	un centimetru cub (cm³)	un cub de zahăr mic
un decimetru	un decimetru cub (dm³)	o cutie de lapte de un litru
un metru	un metru cub (m³)	o cutie în care încape un copil ghemuit

Unitățile de volum și pasul ×1000

Unitățile de volum sunt, de la mare la mic: kilometrul cub (km³), hectometrul cub (hm³), decametrul cub (dam³), metrul cub (m³), decimetrul cub (dm³), centimetrul cub (cm³) și milimetrul cub (mm³). Fiecare este cubul cu muchia de o unitate de lungime: kilometru (km), hectometru (hm), decametru (dam), metru (m), decimetru (dm), centimetru (cm), milimetru (mm).

Știm că $1$ m $= 10$ dm. Cât este $1$ m³ în dm³? Împărțim cubul cu muchia de $1$ m în cuburi cu muchia de $1$ dm. Pe lungime încap $10$ pe lățime $10$ deci un strat are $10 \cdot 10 = 100$ de cuburi. Straturile sunt și ele $10$ pe înălțime.

1 \text{ m}^3 = 10 \text{ dm} \cdot 10 \text{ dm} \cdot 10 \text{ dm}

lungimea, lățimea și înălțimea au câte

10

dm

1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3

10

straturi a câte

100

de cuburi

1 \text{ dm}^3 = 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm}

1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3

Cuburi-unitate: pe lungime 10 cuburi, pe lățime 10 cuburi, pe înălțime 10 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.

Cubul cu muchia de

1

dm

= 10

cm:

10

straturi a câte

10 \cdot 10 = 100

de cuburi, deci

1

dm³

= 1000

cm³.

Lungimea s-a mărit de $10$ ori, dar cubul crește în trei direcții: de $10$ ori pe lungime, de $10$ ori pe lățime și de $10$ ori pe înălțime, adică de $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ de ori. Nu trebuie să memorezi „trei zerouri”: cei trei de $10$ vin din cele trei dimensiuni. Compară cu ariile: un metru pătrat are doar $100$ de decimetri pătrați, pentru că pătratul are două dimensiuni.

Pasul dintre unități crește odată cu numărul de dimensiuni
Mărimea	Pasul	Exemplu
lungime (o dimensiune)	$10$	$1$ m $= 10$ dm
arie (două dimensiuni)	$10 \cdot 10 = 100$	$1$ m² $= 100$ dm²
volum (trei dimensiuni)	$10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$	$1$ m³ $= 1000$ dm³

← : 1000← : 1000← : 1000← : 1000← : 1000← : 1000km³hm³dam³m³dm³cm³mm³×1000 →×1000 →×1000 →×1000 →×1000 →×1000 →

Spre dreapta, unitatea este de

1000

de ori mai mică, deci numărul se înmulțește cu

1000

Spre stânga, se împarte la

1000

Pentru că pasul este $1000$ în tabelul pozițional fiecare unitate de volum are trei căsuțe (trei cifre), nu una ca la lungimi și nici două ca la arii.

Transformări între unitățile de volum

Numără câți pași sunt pe scară de la o unitate la cealaltă.
Dacă mergi spre o unitate mai mică (spre dreapta), înmulțești cu $1000$ pentru fiecare pas.
Dacă mergi spre o unitate mai mare (spre stânga), împarți la $1000$ pentru fiecare pas.
Verifică: în unitatea mai mică numărul trebuie să iasă mai mare.

Transformări între unități de volum: ce operație facem
Transformarea	Sensul pe scară	Pași	Operația
m³ în dm³	spre dreapta	$1$	înmulțim cu $1000$
m³ în cm³	spre dreapta	$2$	înmulțim cu $1000 \cdot 1000 = 1\,000\,000$
dm³ în m³	spre stânga	$1$	împărțim la $1000$
cm³ în dm³	spre stânga	$1$	împărțim la $1000$
cm³ în m³	spre stânga	$2$	împărțim la $1\,000\,000$

Exemple: $2$ m³ $= 2000$ dm³, $3{,}5$ dm³ $= 3500$ cm³, $4500$ cm³ $= 4{,}5$ dm³, $6000$ mm³ $= 6$ cm³.

← : 1000dm³cm³×1000 →

dm³			cm³
		3	5	0	0

$3{,}5$ dm³ $=$ $3500$ cm³

Virgula stă după grupul de trei căsuțe al unității în care citim: după dm³ citim

3{,}5

după cm³ citim

3500

La un număr zecimal, virgula se mută cu trei poziții pentru fiecare pas: spre dreapta când trecem la o unitate mai mică, spre stânga când trecem la una mai mare.

Capacitatea și litrul

Volumul unui corp este spațiul pe care îl ocupă. Capacitatea unui recipient (sticlă, găleată, acvariu, rezervor) este cât poate conține, adică volumul spațiului din interiorul lui. Capacitatea se măsoară tot în unități de volum, dar pentru lichide se folosește de obicei litrul.

Litrul (prescurtat L) este capacitatea unui cub cu muchia de $1$ dm. Mililitrul (mL) este a mia parte dintr-un litru și este exact capacitatea unui cub cu muchia de $1$ cm.

Legătura dintre volum și capacitate
Volum	Capacitate	De ce
$1$ dm³	$1$ L	litrul este capacitatea cubului cu muchia de $1$ dm
$1$ cm³	$1$ mL	$1$ L $= 1000$ mL și $1$ dm³ $= 1000$ cm³
$1$ m³	$1000$ L	$1$ m³ $= 1000$ dm³, iar fiecare dm³ este un litru

Unitățile de capacitate sunt: hectolitrul (hL), decalitrul (daL), litrul (L), decilitrul (dL), centilitrul (cL) și mililitrul (mL). Pe scara lor pasul este $10$ nu $1000$ $1$ hL $= 10$ daL $= 100$ L, iar $1$ L $= 10$ dL $= 100$ cL $= 1000$ mL.

← : 10← : 10← : 10← : 10← : 10hLdaLLdLcLmL×10 →×10 →×10 →×10 →×10 →

Scara capacităților este separată: aici pasul este doar

10

ca la lungimi.

Două scări, nu una

Nu pune litrii pe scara volumelor. Pe scara volumelor pasul este $1000$ (m³, dm³, cm³), pe scara capacităților pasul este $10$ (L, dL, cL, mL). Cele două scări se leagă doar prin $1$ L $= 1$ dm³ și $1$ mL $= 1$ cm³.

Volumul paralelipipedului dreptunghic

Un paralelipiped dreptunghic are forma unei cutii: are șase fețe dreptunghiulare. Dimensiunile lui sunt lungimea, lățimea și înălțimea.

Luăm paralelipipedul cu $4$ cuburi de $1$ cm pe lungime, $3$ pe lățime și $2$ straturi. Nu numărăm cuburile unul câte unul și nu ne limităm la cele pe care le vedem. Numărăm pe straturi.

Cuburi-unitate: pe lungime 4 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm. Evidențiat: stratul 1, numărat de jos.

Stratul de jos (colorat) are

4 \cdot 3 = 12

cuburi. Deasupra lui mai este un strat la fel.

4 \cdot 3 = 12

cuburi pe un strat

3

rânduri a câte

4

12 \cdot 2 = 24

cuburi în

2

straturi

Volumul este $24$ cm³. Stratul de jos este de fapt aria fundului $12$ cm²), iar numărul de straturi este înălțimea $2$ cm).

Același raționament merge pentru orice paralelipiped dreptunghic: un strat are atâtea cuburi câte arată lungimea înmulțită cu lățimea, iar straturi sunt atâtea câte arată înălțimea. Notăm lungimea cu $L$ lățimea cu $l$ și înălțimea cu $h$ măsurate în aceeași unitate:

V_{\text{paralelipiped}} = L \cdot l \cdot h

Altfel spus, volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea: centimetri pătrați înmulțiți cu centimetri dau centimetri cubi.

Volumul cubului

Cubul este un paralelipiped dreptunghic cu toate muchiile egale. Dacă muchia este $l$ atunci lungimea, lățimea și înălțimea sunt toate $l$

V_{\text{cub}} = l \cdot l \cdot l = l^3

$l^3$ se citește $l$ la cub” și înseamnă $l \cdot l \cdot l$ nu $l \cdot 3$ De exemplu, cubul cu muchia de $3$ cm are $3$ straturi a câte $3 \cdot 3 = 9$ cuburi, deci volumul lui este $3^3 = 27$ cm³, nu $3 \cdot 3 = 9$

Cuburi-unitate: pe lungime 3 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 3 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.

Volum sau arie?

Lungime, arie și volum: ce le deosebește
Criteriul	Lungime	Arie	Volum
Ce măsoară	o linie	o suprafață	un spațiu
Cu ce numărăm	segmente-unitate	pătrate-unitate	cuburi-unitate
Unități	cm, m	cm², m²	cm³, m³, L
Exemplu practic	marginea mesei	fața mesei	apa din acvariu

Unitatea te ajută să verifici rezultatul: $20$ cm²” nu poate fi un volum, pentru că este o arie. Iar $20$ cm³” nu poate fi o arie, pentru că este un volum. La volum se înmulțesc trei lungimi (sau o arie cu o lungime), deci unitatea are exponentul $3$

Întâi aceeași unitate, apoi înmulțirea

Formula $V = L \cdot l \cdot h$ merge doar dacă cele trei dimensiuni sunt în aceeași unitate. Dacă un rezervor are $2$ m pe $50$ cm pe $30$ cm, nu înmulțim $2$ $50$ și $30$ direct. Transformăm întâi, de exemplu totul în decimetri:

2 \text{ m} = 20 \text{ dm}, \quad 50 \text{ cm} = 5 \text{ dm}, \quad 30 \text{ cm} = 3 \text{ dm}

V = 20 \text{ dm} \cdot 5 \text{ dm} \cdot 3 \text{ dm} = 300 \text{ dm}^3 = 300 \text{ L}

Decimetrul este o alegere bună când vrem litri: rezultatul în dm³ este direct în litri.

Exemple rezolvate

Numărarea cuburilor pe straturi

Cutia din figură este umplută cu cuburi de $1$ cm. Câte cuburi are și care este volumul ei?

Vezi rezolvarea

Cuburi-unitate: pe lungime 4 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.

Aceeași cutie, cu straturile ridicate:

2

straturi a câte

12

cuburi.

Un strat are $3$ rânduri a câte $4$ cuburi, iar straturile sunt $2$

4 \cdot 3 \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24

cuburi

Volumul cutiei este $24$ cm³.

Stratul din mijloc

Corpul din figură este format din cuburi de $1$ cm. Câte cuburi are stratul colorat? Câte are tot corpul?

Vezi rezolvarea

Cuburi-unitate: pe lungime 5 cuburi, pe lățime 2 cuburi, pe înălțime 3 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm. Evidențiat: stratul 2, numărat de jos.

Fiecare strat are $2$ rânduri a câte $5$ cuburi, deci $5 \cdot 2 = 10$ cuburi, inclusiv stratul colorat. Straturile sunt $3$

10 \cdot 3 = 30

cuburi, deci

30

cm³

Un cub din cuburi-unitate

Din câte cuburi de $1$ cm este format cubul cu muchia de $3$ cm?

Vezi rezolvarea

Cuburi-unitate: pe lungime 3 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 3 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.

Fiecare strat este un pătrat de $3$ pe $3$ cuburi, adică $9$ cuburi. Sunt $3$ straturi.

3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27

cuburi, deci

27

cm³

Atenție: dacă numeri doar cuburile care se văd în desenul întreg, obții mai puțin. Cubul din mijloc nu se vede, dar ocupă și el loc.

Metri cubi în decimetri cubi

Transformă $2$ m³ în dm³.

Vezi rezolvarea

← : 1000m³dm³×1000 →

m³			dm³
		2	0	0	0

$2$ m³ $=$ $2000$ dm³

Fiecare unitate de volum are trei căsuțe. Cifra

2

stă la m³, iar cele trei căsuțe ale dm³ se completează cu zerouri.

2 \text{ m}^3 = 2 \cdot 1000 \text{ dm}^3 = 2000 \text{ dm}^3

Un pas spre dreapta înseamnă $\cdot 1000$ pentru că $1$ m³ $= 1000$ dm³.

Număr zecimal: dm³ în cm³

Transformă $3{,}5$ dm³ în cm³.

Vezi rezolvarea

← : 1000dm³cm³×1000 →

dm³			cm³
		3	5	0	0

$3{,}5$ dm³ $=$ $3500$ cm³

Virgula stă după grupul de trei căsuțe al unității în care citim: după dm³ citim

3{,}5

după cm³ citim

3500

3{,}5 \text{ dm}^3 = 3{,}5 \cdot 1000 \text{ cm}^3 = 3500 \text{ cm}^3

Virgula se mută trei poziții spre dreapta; lipsesc cifre, așa că punem zerouri.

Centimetri cubi în decimetri cubi

Transformă $4500$ cm³ în dm³.

Vezi rezolvarea

← : 1000dm³cm³×1000 →

dm³			cm³
		4	5	0	0

$4500$ cm³ $=$ $4{,}5$ dm³

Ultimele trei cifre sunt centimetrii cubi. Ce este în stânga lor sunt decimetrii cubi.

4500 \text{ cm}^3 = (4500 : 1000) \text{ dm}^3 = 4{,}5 \text{ dm}^3

Verificare: dm³ este unitatea mai mare, deci numărul a ieșit mai mic.

Doi pași: metri cubi în centimetri cubi

Transformă $7$ m³ în cm³.

Vezi rezolvarea

← : 1000← : 1000m³dm³cm³×1000 →×1000 →

m³			dm³			cm³
		7	0	0	0	0	0	0

$7$ m³ $=$ $7000$ dm³ $=$ $7\,000\,000$ cm³

Doi pași spre dreapta: câte trei căsuțe pentru fiecare pas.

7 \text{ m}^3 = 7000 \text{ dm}^3

primul pas:

\cdot 1000

7000 \text{ dm}^3 = 7\,000\,000 \text{ cm}^3

al doilea pas: încă

\cdot 1000

Decimetri cubi în litri

O cutie are volumul interior de $2$ dm³. Câți litri de apă încap în ea?

Vezi rezolvarea

Fiecare decimetru cub este un litru
Volum	Capacitate
$1$ dm³	$1$ L
$2$ dm³	$2$ L

Fiecare decimetru cub este exact un litru. Două cuburi cu muchia de $1$ dm înseamnă doi litri: $2$ dm³ $= 2$ L.

Centimetri cubi în mililitri

Un pahar are capacitatea de $750$ cm³. Câți mililitri de suc încap în el? Dar câți litri?

Vezi rezolvarea

← : 10← : 10← : 10← : 10← : 10hLdaLLdLcLmL×10 →×10 →×10 →×10 →×10 →

Scara capacităților este separată: aici pasul este doar

10

ca la lungimi.

Fiecare centimetru cub este exact un mililitru, deci $750$ cm³ $= 750$ mL.

750 \text{ mL} = (750 : 1000) \text{ L} = 0{,}75 \text{ L}

de la mL la L sunt

3

pași de

10

Metri cubi în litri

O piscină mică are volumul interior de $1{,}5$ m³. Câți litri de apă încap în ea?

Vezi rezolvarea

Metri cubi în litri, în doi pași
Pasul	De ce
$1{,}5$ m³ $= 1500$ dm³	de la m³ la dm³: $\cdot 1000$
$1500$ dm³ $= 1500$ L	fiecare dm³ este un litru

1{,}5 \text{ m}^3 = 1500 \text{ dm}^3 = 1500 \text{ L}

Atenție: un metru cub nu este un litru, ci o mie de litri. De aceea numărul de litri iese de o mie de ori mai mare.

Volumul unei cutii

O cutie are lungimea de $6$ cm, lățimea de $4$ cm și înălțimea de $5$ cm. Află volumul ei.

Vezi rezolvarea

Cuburi-unitate: pe lungime 6 cuburi, pe lățime 4 cuburi, pe înălțime 5 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.

Un strat are $6 \cdot 4 = 24$ de cuburi de $1$ cm, iar straturile sunt $5$

V = L \cdot l \cdot h = 6 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 120 \text{ cm}^3

O ladă, în decimetri cubi și în litri

O ladă are $8$ dm pe $5$ dm pe $4$ dm. Care este volumul ei? Câți litri de grâu încap în ea?

Vezi rezolvarea

Cuburi-unitate: pe lungime 8 cuburi, pe lățime 5 cuburi, pe înălțime 4 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 dm.

V = 8 \text{ dm} \cdot 5 \text{ dm} \cdot 4 \text{ dm} = 160 \text{ dm}^3 = 160 \text{ L}

Pentru că dimensiunile sunt în decimetri, volumul iese în dm³, adică direct în litri.

Volumul cubului

Află volumul cubului cu muchia de $5$ cm.

Vezi rezolvarea

Cuburi-unitate: pe lungime 5 cuburi, pe lățime 5 cuburi, pe înălțime 5 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.

V = l^3 = 5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 125 \text{ cm}^3

$5^3$ înseamnă $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ nu $5 \cdot 3 = 15$

Un recipient în formă de cub

Un recipient în formă de cub are muchia interioară de $2$ dm. Câți litri încap în el?

Vezi rezolvarea

Cuburi-unitate: pe lungime 2 cuburi, pe lățime 2 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 dm.

V = (2 \text{ dm})^3 = 8 \text{ dm}^3 = 8 \text{ L}

Dublarea muchiei nu dublează volumul: cubul cu muchia de $2$ dm are $8$ cuburi de $1$ dm, nu $2$

Câți litri încap în acvariu

Un acvariu are lungimea de $60$ cm, lățimea de $30$ cm și înălțimea de $40$ cm. Câți litri de apă încap în el?

Vezi rezolvarea

Cuburi-unitate: pe lungime 6 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 4 straturi. Un cub-unitate are muchia de 10 cm.

Fiecare cub are muchia de

10

cm

= 1

dm, deci încape în el exact

1

L de apă.

Vrem litri, deci lucrăm în decimetri: $60$ cm $= 6$ dm, $30$ cm $= 3$ dm, $40$ cm $= 4$ dm.

V = 6 \text{ dm} \cdot 3 \text{ dm} \cdot 4 \text{ dm} = 72 \text{ dm}^3 = 72 \text{ L}

Verificare în centimetri: $60 \cdot 30 \cdot 40 = 72\,000$ adică $72\,000$ cm³, iar $72\,000$ cm³ $= 72$ dm³.

Dimensiuni în unități diferite

Un rezervor dreptunghiular are $2$ m lungime, $50$ cm lățime și $30$ cm înălțime. Câți litri de apă încap în el?

Vezi rezolvarea

Dimensiunile rezervorului, aduse la aceeași unitate
Dimensiunea	Dată	În decimetri
lungimea	$2$ m	$20$ dm
lățimea	$50$ cm	$5$ dm
înălțimea	$30$ cm	$3$ dm

V = 20 \text{ dm} \cdot 5 \text{ dm} \cdot 3 \text{ dm} = 300 \text{ dm}^3 = 300 \text{ L}

Greșit ar fi să înmulțim $2$ $50$ și $30$ direct: am amesteca metri cu centimetri.

Greșeli frecvente

$1$ m³ $= 100$ dm³, ca la arii.
La volum pasul este $1000$ $1 \text{ m}^3 = 10 \text{ dm} \cdot 10 \text{ dm} \cdot 10 \text{ dm} = 1000 \text{ dm}^3$ pentru că un cub are trei dimensiuni.
Volumul cutiei de $4$ cm pe $3$ cm pe $2$ cm este $24$ cm².
cm² este o unitate de arie. Trei lungimi înmulțite dau un volum: $24$ cm³.
$1$ m³ $= 1$ L.
Litrul este decimetrul cub: $1$ L $= 1$ dm³. Un metru cub are $1000$ dm³, deci $1$ m³ $= 1000$ L.
$1$ L $= 1$ cm³.
$1$ L $= 1$ dm³ $= 1000$ cm³. Centimetrului cub îi corespunde mililitrul: $1$ mL $= 1$ cm³.
Corpul de $4$ pe $3$ pe $2$ cuburi are $18$ cuburi: le-am numărat pe cele din desen.
În desen nu se văd cuburile din spate și din interior. Numărăm pe straturi: $4 \cdot 3 = 12$ pe strat, $2$ straturi, deci $24$ de cuburi.
Corpul de $4$ pe $3$ pe $2$ cuburi are $12$ cuburi: $3$ rânduri a câte $4$
Acesta este un singur strat. Straturile sunt $2$ deci $12 \cdot 2 = 24$ de cuburi.
Acvariul de $60$ cm pe $30$ cm pe $40$ cm are volumul $60 \cdot 30 = 1800$ cm³.
Am calculat doar aria fundului și am uitat înălțimea: $V = 60 \cdot 30 \cdot 40 = 72\,000$ cm³, adică $72$ L.
Rezervorul de $2$ m pe $50$ cm pe $30$ cm are volumul $2 \cdot 50 \cdot 30 = 3000$ m³.
Întâi aceeași unitate: $20$ dm, $5$ dm, $3$ dm, iar $V = 20 \cdot 5 \cdot 3 = 300$ dm³ $= 300$ L.
Ca să aflu câtă apă încape în acvariu, calculez aria fundului lui.
Apa ocupă un spațiu, deci trebuie volumul: aria fundului înmulțită cu înălțimea. Aria spune doar cât loc ocupă acvariul pe masă.
Cubul cu muchia de $4$ cm are volumul $4^3 = 4 \cdot 3 = 12$ cm³.
$4^3$ înseamnă $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ deci volumul este $64$ cm³.

Exerciții

Ușor

Ce măsoară fiecare: $5$ cm, $5$ cm², $5$ cm³?
Arată răspunsul
Răspuns: $5$ cm este o lungime, $5$ cm² este o arie, $5$ cm³ este un volum.
Transformă: $3$ m³ $= \ldots$ dm³.
Arată răspunsul
Răspuns: $3000$ dm³
Transformă: $5$ dm³ $= \ldots$ cm³.
Arată răspunsul
Răspuns: $5000$ cm³
Transformă: $8000$ cm³ $= \ldots$ dm³.
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ dm³
Transformă: $2000$ mm³ $= \ldots$ cm³.
Arată răspunsul
Răspuns: $2$ cm³
Corpul este format din cuburi de $1$ cm. Câte cuburi are? Care este volumul lui?
Cuburi-unitate: pe lungime 3 cuburi, pe lățime 2 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $12$ cuburi, deci $12$ cm³.
Un strat are $3 \cdot 2 = 6$ cuburi, iar straturile sunt $2$ $6 \cdot 2 = 12$
Corpul este format din cuburi de $1$ cm. Află volumul lui numărând pe straturi.
Cuburi-unitate: pe lungime 4 cuburi, pe lățime 2 cuburi, pe înălțime 3 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $24$ cm³
$4 \cdot 2 = 8$ cuburi pe strat, $3$ straturi: $8 \cdot 3 = 24$
Câte cuburi are stratul colorat? Câte straturi are corpul? Câte cuburi are în total?
Cuburi-unitate: pe lungime 5 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm. Evidențiat: stratul 2, numărat de jos.
Arată răspunsul
Răspuns: $15$ cuburi pe strat, $2$ straturi, $30$ de cuburi în total.
Din câte cuburi de $1$ cm este format cubul din figură?
Cuburi-unitate: pe lungime 2 cuburi, pe lățime 2 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ cuburi
$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Cubul din figură are straturile ridicate. Câte cuburi are un strat? Câte are cubul întreg?
Cuburi-unitate: pe lungime 3 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 3 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $9$ cuburi pe strat, $27$ de cuburi în total.

Mediu

Află volumul cubului din figură.
Cuburi-unitate: pe lungime 4 cuburi, pe lățime 4 cuburi, pe înălțime 4 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $64$ cm³
$V = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ cm³.
Află volumul cubului din figură, în dm³ și în litri.
Cuburi-unitate: pe lungime 5 cuburi, pe lățime 5 cuburi, pe înălțime 5 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 dm.
Arată răspunsul
Răspuns: $125$ dm³ $= 125$ L
Află volumul paralelipipedului dreptunghic din figură.
Cuburi-unitate: pe lungime 7 cuburi, pe lățime 5 cuburi, pe înălțime 3 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $105$ cm³
$V = 7 \cdot 5 \cdot 3 = 105$ cm³.
Află volumul cutiei din figură.
Cuburi-unitate: pe lungime 6 cuburi, pe lățime 4 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $48$ cm³
$V = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$ cm³.
Transformă: $3$ L $= \ldots$ dm³ $= \ldots$ cm³.
Arată răspunsul
Răspuns: $3$ dm³ $= 3000$ cm³
Transformă: $250$ mL $= \ldots$ cm³.
Arată răspunsul
Răspuns: $250$ cm³
Transformă: $4$ dm³ $= \ldots$ L.
Arată răspunsul
Răspuns: $4$ L
Transformă: $2{,}5$ L $= \ldots$ mL.
Arată răspunsul
Răspuns: $2500$ mL
$1$ L $= 1000$ mL, deci $2{,}5 \cdot 1000 = 2500$
Completează: $1$ L $= \ldots$ dL $= \ldots$ cL.
Arată răspunsul
Răspuns: $10$ dL $= 100$ cL
Transformă: $6$ hL $= \ldots$ L.
Arată răspunsul
Răspuns: $600$ L
Transformă: $0{,}4$ m³ $= \ldots$ L.
Arată răspunsul
Răspuns: $400$ L
$0{,}4$ m³ $= 400$ dm³ $= 400$ L.

Provocare

Paralelipipedul din figură are volumul de $60$ cm³. Cât este înălțimea lui? Verifică numărând straturile.
Cuburi-unitate: pe lungime 5 cuburi, pe lățime 4 cuburi, pe înălțime un număr necunoscut de straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $3$ cm
Un strat are $5 \cdot 4 = 20$ de cuburi, iar $60 : 20 = 3$ straturi, deci înălțimea este $3$ cm.
Un cub are volumul de $27$ cm³. Cât este muchia lui?
Arată răspunsul
Răspuns: $3$ cm
Căutăm numărul care înmulțit de trei ori cu el însuși dă $27$ $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
Câți litri de apă încap în acvariul din figură?
Cuburi-unitate: pe lungime 5 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 4 straturi. Un cub-unitate are muchia de 10 cm.
Arată răspunsul
Răspuns: $60$ L
$50$ cm $= 5$ dm, $30$ cm $= 3$ dm, $40$ cm $= 4$ dm; $V = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60$ dm³ $= 60$ L.
O ladă are $1$ m lungime, $40$ cm lățime și $50$ cm înălțime. Care este volumul ei în m³? Câți litri încap în ea?
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}2$ m³ $= 200$ L
În decimetri: $10 \cdot 4 \cdot 5 = 200$ dm³ $= 200$ L, iar $200$ dm³ $= 0{,}2$ m³.
Ana scrie: $1$ m³ are $100$ dm³, pentru că $1$ m are $10$ dm.” Unde a greșit?
Arată răspunsul
Răspuns: A folosit pasul de la arii. Cubul are trei dimensiuni: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ deci $1$ m³ $= 1000$ dm³.
Mihai spune că volumul corpului din figură este $4 \cdot 3 = 12$ cm³. Ce a uitat? Care este volumul corect?
Cuburi-unitate: pe lungime 4 cuburi, pe lățime 3 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm. Evidențiat: stratul 1, numărat de jos.
Arată răspunsul
Răspuns: A numărat un singur strat (a uitat înălțimea). Volumul este $12 \cdot 2 = 24$ cm³.
Un rezervor dreptunghiular are $2$ m pe $1$ m pe $1{,}5$ m. Câți litri de apă încap în el? Câte găleți de $10$ L sunt necesare ca să-l umplem?
Cuburi-unitate: pe lungime 4 cuburi, pe lățime 2 cuburi, pe înălțime 3 straturi. Un cub-unitate are muchia de 0,5 m.
Arată răspunsul
Răspuns: $3000$ L; $300$ de găleți.
$V = 2 \cdot 1 \cdot 1{,}5 = 3$ m³, iar $3$ m³ $= 3000$ L. Apoi $3000 : 10 = 300$ de găleți.
O cutie de lapte are capacitatea de $1$ L. Fundul ei este un dreptunghi de $10$ cm pe $5$ cm. Ce înălțime are cutia?
Arată răspunsul
Răspuns: $20$ cm
$1$ L $= 1000$ cm³. Aria fundului este $10 \cdot 5 = 50$ cm², deci înălțimea este $1000 : 50 = 20$ cm.

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. $1$ m³ $= \ldots$ dm³
1. $10$
2. $100$
3. $1000$
4. $10\,000$
Arată răspunsul
Răspuns: $1000$
Trei dimensiuni: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$
2. Câți dm³ sunt în $7000$ cm³?
Arată răspunsul
Răspuns: 7
3. Un litru este egal cu:
1. $1$ cm³
2. $1$ m³
3. $10$ dm³
4. $1$ dm³
Arată răspunsul
Răspuns: $1$ dm³
Litrul este capacitatea cubului cu muchia de $1$ dm.
4. Câți mililitri sunt în $1{,}5$ L?
Arată răspunsul
Răspuns: 1500
5. Corpul este format din cuburi de $1$ cm. Câte cuburi are?
Cuburi-unitate: pe lungime 5 cuburi, pe lățime 2 cuburi, pe înălțime 2 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm.
Arată răspunsul
Răspuns: 20
Un strat are $2$ rânduri a câte $5$ cuburi, adică $10$ cuburi; sunt $2$ straturi: $10 \cdot 2 = 20$
6. Câte cuburi are stratul colorat?
Cuburi-unitate: pe lungime 7 cuburi, pe lățime 2 cuburi, pe înălțime 3 straturi. Un cub-unitate are muchia de 1 cm. Evidențiat: stratul 3, numărat de jos.
Arată răspunsul
Răspuns: 14
Stratul are $2$ rânduri a câte $7$ cuburi: $7 \cdot 2 = 14$
7. Care este volumul (în cm³) al paralelipipedului dreptunghic de $6$ cm pe $5$ cm pe $2$ cm?
Arată răspunsul
Răspuns: 60
8. Care este volumul (în cm³) al cubului cu muchia de $6$ cm?
Arată răspunsul
Răspuns: 216
$V = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$ cm³.
9. O cutie are $2$ m pe $50$ cm pe $10$ cm. Volumul ei este:
1. $1000$ m³
2. $0{,}1$ m³
3. $10$ m³
4. $62$ m³
Arată răspunsul
Răspuns: $0{,}1$ m³
În decimetri: $20 \cdot 5 \cdot 1 = 100$ dm³, adică $0{,}1$ m³.
10. Un acvariu are $40$ cm pe $25$ cm pe $30$ cm. Câți litri de apă încap în el?
Arată răspunsul
Răspuns: 30
$4 \cdot 2{,}5 \cdot 3 = 30$ dm³, adică $30$ L.

Întrebări frecvente

Ce este volumul unui corp?

Volumul arată cât spațiu ocupă corpul: câte cuburi-unitate îl umplu complet, fără goluri și fără suprapuneri.

De ce la volum transformăm cu 1000, nu cu 10 sau cu 100?

Pentru că unitatea de volum este un cub, cu trei dimensiuni. $1$ m $= 10$ dm, iar cubul cu muchia de $1$ m are $10$ straturi a câte $10 \cdot 10$ cuburi de $1$ dm³, deci $1$ m³ $= 1000$ dm³.

Câți litri are un metru cub?

$1$ L $= 1$ dm³, iar $1$ m³ $= 1000$ dm³, deci $1$ m³ $= 1000$ L. La fel, $1$ mL $= 1$ cm³.

Care sunt formulele pentru volumul paralelipipedului dreptunghic și al cubului?

Paralelipipedul dreptunghic: $V = L \cdot l \cdot h$ (cele trei dimensiuni, în aceeași unitate). Cubul: $V = l \cdot l \cdot l = l^3$ Ambele vin din numărarea cuburilor-unitate pe straturi.

Care este diferența dintre volum și capacitate?

Volumul este spațiul pe care îl ocupă un corp. Capacitatea este cât poate conține un recipient, adică volumul spațiului din interiorul lui. Capacitatea se exprimă de obicei în litri.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce este volumul

Unitatea de volum este un cub

Unitățile de volum și pasul ×1000

Transformări între unitățile de volum

Capacitatea și litrul

Volumul paralelipipedului dreptunghic

Volumul cubului

Volum sau arie?

Întâi aceeași unitate, apoi înmulțirea

Exemple rezolvate

Numărarea cuburilor pe straturi

Stratul din mijloc

Un cub din cuburi-unitate

Metri cubi în decimetri cubi

Număr zecimal: dm³ în cm³

Centimetri cubi în decimetri cubi

Doi pași: metri cubi în centimetri cubi

Decimetri cubi în litri

Centimetri cubi în mililitri

Metri cubi în litri

Volumul unei cutii

O ladă, în decimetri cubi și în litri

Volumul cubului

Un recipient în formă de cub

Câți litri încap în acvariu

Dimensiuni în unități diferite

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a V-a

Matematică. Clasa a V-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 2

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea a II-a