Lecția 1 din 4 · Măsurare

Simetrie. Figuri congruente

Q: Câte axe de simetrie are pătratul și câte are dreptunghiul?

Pătratul are 4: două prin mijloacele laturilor opuse și cele două diagonale. Dreptunghiul care nu este pătrat are 2, prin mijloacele laturilor opuse.

Două figuri sunt congruente dacă se pot suprapune perfect. O figură are o axă de simetrie dacă, pliată pe acea dreaptă, cele două jumătăți ale ei se suprapun perfect. În ambele cazuri verificarea este aceeași: suprapunerea exactă.

~ 20 min de citit

Ce vei învăța

Recunoști două figuri congruente: aceeași formă, aceeași mărime, suprapunere exactă.
Știi că mutarea sau rotirea unei figuri nu îi schimbă mărimea și forma.
Găsești prin pliere axele de simetrie ale pătratului $4$ și ale dreptunghiului $2$
Explici de ce diagonala unui dreptunghi nu este axă de simetrie.
Construiești pe caroiaj simetricul unui punct față de o dreaptă și completezi o figură simetrică.

Recomandat înainte: Lungimea segmentului. Segmente congruente. Mijloc. Simetricul unui punct față de un punct

Ideea de bază

Două figuri sunt congruente dacă au aceeași formă și aceeași mărime, adică se pot așeza una peste alta astfel încât să se suprapună perfect. Nu contează unde sunt desenate sau cum sunt întoarse.

EFGH

este

ABCD

rotit. Dacă îl rotim înapoi și îl mutăm, se suprapune exact peste

ABCD

O dreaptă este axă de simetrie a unei figuri dacă, pliind figura pe acea dreaptă, cele două părți se suprapun perfect.

Pliem foaia pe dreapta

d

A

ajunge peste

B

D

peste

C

iar cele două jumătăți se suprapun perfect.

Figuri congruente

Două figuri sunt congruente dacă îndeplinesc toate trei condițiile:

au aceeași formă;
au aceeași mărime;
se pot suprapune perfect: fiecare punct al uneia ajunge peste un punct al celeilalte, fără să rămână ceva pe dinafară.

Ca să verifici, imaginează-ți că decupezi o figură și o așezi peste cealaltă. Ai voie să o muți, să o rotești sau să o întorci pe partea cealaltă. Nu ai voie să o întinzi, să o micșorezi sau să o îndoi.

Dacă mutăm pătratul

ABCD

peste

EFGH

se suprapun perfect: sunt congruente.

EFGH

este

ABCD

rotit. Dacă îl rotim înapoi și îl mutăm, se suprapune exact peste

ABCD

Aceeași formă nu este de ajuns

Un pătrat cu latura de $2$ cm și unul cu latura de $3$ cm au aceeași formă, dar nu se suprapun: cel mare iese în afară. Nu sunt congruente.

Ambele sunt pătrate (aceeași formă), dar au mărimi diferite: NU sunt congruente.

Ai întâlnit deja segmente congruente: două segmente sunt congruente dacă au aceeași lungime. Este aceeași idee: se suprapun exact.

Axa de simetrie: plierea

Desenează o figură pe o foaie, decupeaz-o și pliaz-o pe o dreaptă. Dacă cele două părți se suprapun perfect, dreapta pe care ai pliat este o axă de simetrie a figurii. Figura are atunci o parte în stânga axei și „oglinda” ei în dreapta.

Pliem foaia pe dreapta

d

A

ajunge peste

B

D

peste

C

iar cele două jumătăți se suprapun perfect.

Plierea arată de ce cele două jumătăți sunt congruente: se suprapun perfect. Fiecare punct al figurii are, de cealaltă parte a axei, un punct pereche peste care ajunge la pliere.

Pe desen

Axa de simetrie se desenează de obicei cu o linie întreruptă de forma linie-punct. În lecție o vezi colorată în violet.

Oricum am plia această figură, cele două părți nu se suprapun: nu are nicio axă de simetrie.

Nu orice figură are axă de simetrie. Paralelogramul de mai sus, oricum l-ai plia, nu se suprapune peste el însuși.

Axele de simetrie ale pătratului

Pătratul are toate laturile egale și toate unghiurile drepte. De aceea îl poți plia în patru feluri diferite astfel încât părțile să se suprapună:

pe dreapta care trece prin mijloacele laturilor $AB$ și $CD$ (verticala);
pe dreapta care trece prin mijloacele laturilor $AD$ și $BC$ (orizontala);
pe diagonala $AC$ $B$ ajunge peste $D$
pe diagonala $BD$ $A$ ajunge peste $C$

La pătrat, plierea pe diagonala

AC

aduce

B

exact peste

D

diagonala este axă de simetrie.

Pătratul are

4

axe de simetrie:

2

prin mijloacele laturilor opuse și

2

diagonale.

De reținut

Pătratul are exact $4$ axe de simetrie: $2$ prin mijloacele laturilor opuse și cele $2$ diagonale.

Axele de simetrie ale dreptunghiului

Un dreptunghi care nu este pătrat are laturile lungi mai mari decât cele scurte. El are doar $2$ axe de simetrie: dreptele care trec prin mijloacele laturilor opuse.

Dreptunghiul (care nu este pătrat) are exact

2

axe de simetrie, prin mijloacele laturilor opuse.

Diagonala pare o axă, pentru că împarte dreptunghiul în două triunghiuri congruente. Dar axa de simetrie cere mai mult: la pliere, fiecare parte trebuie să cadă exact peste cealaltă. Să pliem pe diagonala $AC$

Pliat pe diagonala

AC

colțul

B

ajunge în

B'

în afara dreptunghiului. Părțile nu se suprapun: diagonala NU este axă de simetrie.

Diagonala dreptunghiului NU este axă de simetrie

Cele două triunghiuri sunt congruente, dar plierea pe diagonală nu le așază unul peste altul: colțul $B$ iese în afara dreptunghiului. Doar la pătrat diagonalele sunt axe.

Simetricul unui punct față de o axă

Punctul $P'$ este simetricul lui $P$ față de dreapta $d$ dacă, la plierea pe $d$ $P$ ajunge exact peste $P'$ Pe caroiaj îl găsești așa:

Pornești din $P$ spre axă, pe linia caroiajului perpendiculară pe axă, și numeri pătrățelele până la axă.
Treci de axă și numeri același număr de pătrățele, pe aceeași linie.
Punctul la care ai ajuns este $P'$

PK = KP' = 2

pătrățele și

PP'

este perpendicular pe

d

P'

este simetricul lui

P

față de

d

Deci $P$ și $P'$ sunt de părți diferite ale axei, pe aceeași perpendiculară pe axă și la aceeași distanță de ea. Un punct aflat chiar pe axă rămâne pe loc: este propriul lui simetric.

Nu te muta de-a lungul axei

Dacă urci sau cobori un pătrățel după ce ai trecut de axă, punctul nu mai este simetric, chiar dacă distanța până la axă este aceeași.

Completarea unei figuri simetrice

Când ai jumătate dintr-o figură și axa de simetrie, construiești simetricul fiecărui vârf, apoi unești punctele în aceeași ordine.

Completează figura astfel încât dreapta

d

să fie axă de simetrie.

Fiecare vârf are simetricul lui la aceeași distanță de

d

de cealaltă parte.

D

este pe axă, deci rămâne pe loc.

Figura obținută de cealaltă parte a axei este congruentă cu cea dată: la pliere, cele două se suprapun perfect.

Simetrie față de o dreaptă și simetrie față de un punct

În lecția despre mijlocul segmentului ai construit simetricul față de un punct $O$ $O$ este mijlocul lui $[AA']$ Acum simetria este față de o dreaptă: dreapta $d$ trece prin mijlocul lui $[BB']$ și este perpendiculară pe el.

Față de un punct:

O

este mijlocul lui

[AA']

Față de o dreaptă:

d

este perpendiculară pe

BB'

și trece prin mijlocul lui.

Simetria față de un punct înseamnă o „întoarcere” în jurul punctului. Simetria față de o dreaptă înseamnă o pliere pe acea dreaptă.

Exemple rezolvate

Pătrate mutate

Sunt congruente pătratele $ABCD$ și $EFGH$

Vezi rezolvarea

Dacă mutăm pătratul

ABCD

peste

EFGH

se suprapun perfect: sunt congruente.

Da. Au aceeași formă și aceeași latură, $2$ cm. Mutăm $ABCD$ până peste $EFGH$ și se suprapun perfect.

Dreptunghi rotit

Dreptunghiul $EFGH$ este desenat înclinat. Este congruent cu $ABCD$

Vezi rezolvarea

EFGH

este

ABCD

rotit. Dacă îl rotim înapoi și îl mutăm, se suprapune exact peste

ABCD

Da. Rotirea nu schimbă nici forma, nici mărimea. Dacă îl rotim înapoi și îl mutăm, $EFGH$ se suprapune exact peste $ABCD$

Aceeași formă, altă mărime

Un pătrat are latura de $2$ cm, altul de $3$ cm. Sunt congruente?

Vezi rezolvarea

Ambele sunt pătrate (aceeași formă), dar au mărimi diferite: NU sunt congruente.

Nu. Au aceeași formă, dar pătratul mare nu încape sub cel mic: nu se suprapun. Congruența cere și aceeași mărime.

Figuri pe caroiaj

Sunt congruente cele două figuri în formă de L?

Vezi rezolvarea

Figura din dreapta este cea din stânga, rotită și mutată: sunt congruente.

Da. Numărăm pătrățelele: ambele au un braț de $3$ pătrățele, celălalt braț de $3$ pătrățele și grosimea de $1$ pătrățel. A doua este prima, rotită cu un sfert de tură.

Plierea dreptunghiului

$M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $CD$ Este dreapta $MN$ axă de simetrie a dreptunghiului?

Vezi rezolvarea

Pliem foaia pe dreapta

d

A

ajunge peste

B

D

peste

C

iar cele două jumătăți se suprapun perfect.

Da. La plierea pe $MN$ $A$ ajunge peste $B$ și $D$ peste $C$ Cele două jumătăți se suprapun perfect.

Toate axele pătratului

Câte axe de simetrie are pătratul? Care sunt ele?

Vezi rezolvarea

Pătratul are

4

axe de simetrie:

2

prin mijloacele laturilor opuse și

2

diagonale.

$4$ axe: cele două drepte prin mijloacele laturilor opuse și cele două diagonale, $AC$ și $BD$

Toate axele dreptunghiului

Câte axe de simetrie are un dreptunghi care nu este pătrat?

Vezi rezolvarea

Dreptunghiul (care nu este pătrat) are exact

2

axe de simetrie, prin mijloacele laturilor opuse.

$2$ axe, ambele prin mijloacele laturilor opuse.

Contraexemplu: diagonala dreptunghiului

Radu spune că diagonala $AC$ este axă de simetrie a dreptunghiului $ABCD$ pentru că îl împarte în două triunghiuri egale. Are dreptate?

Vezi rezolvarea

Pliat pe diagonala

AC

colțul

B

ajunge în

B'

în afara dreptunghiului. Părțile nu se suprapun: diagonala NU este axă de simetrie.

Nu. Triunghiurile sunt congruente, dar la plierea pe $AC$ colțul $B$ ajunge în $B'$ în afara dreptunghiului. Părțile nu se suprapun, deci $AC$ nu este axă de simetrie.

O figură fără axă

Are paralelogramul $ABCD$ o axă de simetrie?

Vezi rezolvarea

Oricum am plia această figură, cele două părți nu se suprapun: nu are nicio axă de simetrie.

Nu. Nicio pliere nu suprapune cele două părți, pentru că figura este înclinată.

Simetricul unui punct pe caroiaj

Construiește simetricul punctului $P$ față de axa $d$

Vezi rezolvarea

PK = KP' = 2

pătrățele și

PP'

este perpendicular pe

d

P'

este simetricul lui

P

față de

d

$P$ este la $2$ pătrățele în stânga axei. Mergem pe aceeași orizontală $2$ pătrățele în dreapta axei și obținem $P'$

Completează figura

Completează figura astfel încât dreapta $d$ să fie axă de simetrie.

Vezi rezolvarea

Completează figura astfel încât dreapta

d

să fie axă de simetrie.

Construim simetricele: $A$ este la $2$ pătrățele de axă, deci $A'$ la $2$ pătrățele în dreapta; $B$ la $2$ deci $B'$ la $2$ $C$ la $3$ deci $C'$ la $3$ $D$ și $M$ sunt pe axă și rămân pe loc.

Fiecare vârf are simetricul lui la aceeași distanță de

d

de cealaltă parte.

D

este pe axă, deci rămâne pe loc.

Simetricul unui triunghi

Desenează simetricul triunghiului $ABC$ față de dreapta $d$

Vezi rezolvarea

Desenează simetricul triunghiului

ABC

față de dreapta

d

Construim simetricul fiecărui vârf: $A$ este la $3$ pătrățele de $d$ $B$ și $C$ la câte $1$ pătrățel. Apoi unim $A'$ $B'$ $C'$

A

este la

3

pătrățele de

d

deci

A'

este la

3

pătrățele în dreapta. La fel pentru

B

și

C

Triunghiul $A'B'C'$ este congruent cu $ABC$ la plierea pe $d$ cele două se suprapun.

Simetric greșit

Ioana spune că $Q$ este simetricul lui $P$ față de $d$ pentru că ambele sunt la $2$ pătrățele de axă. Are dreptate?

Vezi rezolvarea

Ioana spune că

Q

este simetricul lui

P

față de

d

Nu. Distanțele până la axă sunt egale, dar $Q$ este cu un pătrățel mai sus: $PQ$ nu este perpendicular pe axă. Simetricul corect este $P'$ pe aceeași orizontală cu $P$

Simetricul corect este

P'

pe aceeași orizontală cu

P

Q

este cu un pătrățel prea sus.

Față de o dreaptă sau față de un punct?

Care este diferența dintre simetricul unui punct față de un punct și simetricul față de o dreaptă?

Vezi rezolvarea

Față de un punct:

O

este mijlocul lui

[AA']

Față de o dreaptă:

d

este perpendiculară pe

BB'

și trece prin mijlocul lui.

Față de punctul $O$ $A'$ este pe dreapta $AO$ iar $O$ este mijlocul lui $[AA']$ Față de dreapta $d$ $B'$ este pe perpendiculara din $B$ pe $d$ la aceeași distanță de $d$ de cealaltă parte.

Greșeli frecvente

Două pătrate sunt mereu congruente, pentru că au aceeași formă.
Trebuie să aibă și aceeași latură. Un pătrat de $2$ cm și unul de $3$ cm nu se suprapun.
O figură rotită nu mai este congruentă cu cea inițială.
Rotirea și mutarea nu schimbă forma și mărimea. Figura rotită se suprapune exact peste cea inițială.
Diagonala dreptunghiului este axă de simetrie.
Nu. La plierea pe diagonală, părțile nu se suprapun. Doar la pătrat diagonalele sunt axe.
Dreptunghiul are $4$ axe de simetrie, ca pătratul.
Dreptunghiul care nu este pătrat are doar $2$ axe, prin mijloacele laturilor opuse.
Pentru simetric, număr pătrățelele până la axă, apoi pun punctul oriunde la aceeași distanță.
Punctul simetric este pe aceeași perpendiculară pe axă, de cealaltă parte, la aceeași distanță.

Exerciții

Ușor

Ce mișcare simplă poate suprapune pătratul $ABCD$ peste pătratul $EFGH$ din figură?
Arată răspunsul
Răspuns: O translație (mutare).
Ambele dreptunghiuri au lungimea de două ori cât lățimea. Sunt congruente? Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu: au aceeași formă, dar mărimi diferite $3$ cm pe $1{,}5$ cm și $4$ cm pe $2$ cm).
Dreptunghiul mic nu acoperă dreptunghiul mare, deci nu se suprapun. Congruența cere și aceeași mărime.
Rotirea dreptunghiului $EFGH$ schimbă lungimile laturilor lui?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu.
Rotirea păstrează lungimile și unghiurile.
Câte axe de simetrie are figura în formă de T de pe caroiaj? Descrie-le.
Arată răspunsul
Răspuns: $1$ dreapta verticală care trece prin mijlocul barei și al piciorului.
La plierea pe verticala din mijloc, cele două jumătăți se suprapun. Plierea pe o orizontală nu merge: bara de sus nu ajunge peste picior. Nici diagonalele nu sunt axe.
Dreptunghiul $KLMN$ are $6$ pătrățele lungime și $2$ pătrățele lățime. Unde trec axele lui de simetrie?
Arată răspunsul
Răspuns: Are $2$ axe: o dreaptă verticală, la $3$ pătrățele de $KN$ și de $LM$ și o dreaptă orizontală, la $1$ pătrățel de $KL$ și de $NM$
Axele trec prin mijloacele laturilor opuse: $6 : 2 = 3$ pătrățele și $2 : 2 = 1$ pătrățel. Diagonalele nu sunt axe, pentru că dreptunghiul nu este pătrat.
Completează: două figuri sunt congruente dacă au aceeași $\ldots$ aceeași $\ldots$ și se pot $\ldots$ perfect.
Arată răspunsul
Răspuns: formă; mărime; suprapune.
Care dintre cele două figuri de pe caroiaj are axă de simetrie: cea din stânga sau cea din dreapta? Câte axe are?
Arată răspunsul
Răspuns: Doar figura din dreapta (casa), cu o singură axă: verticala prin vârful acoperișului. Figura din stânga nu are nicio axă.
Casa, pliată pe verticala prin vârf, are cele două jumătăți suprapuse. Figura în formă de Z, oricum ar fi pliată, are părți care nu se suprapun.
Un punct se află chiar pe axa de simetrie $d$ Unde este simetricul lui față de $d$
Arată răspunsul
Răspuns: În același loc: punctul este propriul lui simetric.

Mediu

Care dintre dreptele $a$ și $b$ este axă de simetrie a dreptunghiului?
Arată răspunsul
Răspuns: $a$ Dreapta $b$ este diagonala, care nu este axă la dreptunghi.
Care dintre dreptele $a$ $b$ $c$ sunt axe de simetrie ale pătratului?
Arată răspunsul
Răspuns: $a$ și $b$ Dreapta $c$ nu trece prin mijlocul laturilor.
Sunt congruente cele două figuri în formă de L? Numără pătrățelele.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. A doua are brațul vertical de $2$ pătrățele, prima de $3$
Prin ce mișcare poate fi adusă prima figură în formă de L peste a doua?
Arată răspunsul
Răspuns: Printr-o rotire urmată de o mutare.
Desenează pe caroiaj simetricul punctului $P$ față de axa $d$
Arată răspunsul
Răspuns: $P'$ este pe aceeași verticală cu $P$ la $2$ pătrățele sub axă.
$P$ este la $2$ pătrățele deasupra axei, deci $P'$ este la $2$ pătrățele dedesubt.
De ce parte a axei $d$ trebuie să se afle punctele $A'$ $B'$ $C'$ față de $A$ $B$ $C$
Arată răspunsul
Răspuns: De partea opusă a axei, pe perpendicularele corespunzătoare.
Fiecare punct și simetricul său sunt de o parte și de alta a axei, la distanțe egale.
Dacă punctul $A$ este la 2 pătrățele de axa $d$ la ce distanță de $d$ trebuie plasat simetricul $A'$
Arată răspunsul
Răspuns: La 2 pătrățele, de cealaltă parte a axei.
Un dreptunghi are laturile de $6$ cm și $3$ cm. O axă de simetrie trece prin mijloacele laturilor de $6$ cm. Ce lungime are fiecare dintre cele două jumătăți ale laturii de $6$ cm?
Arată răspunsul
Răspuns: $3$ cm
Axa trece prin mijlocul laturii, care se împarte în două părți egale: $6 : 2 = 3$ cm.
Punctul $P$ este la $4$ pătrățele de axa $d$ La câte pătrățele de $P$ se află simetricul lui, $P'$
Arată răspunsul
Răspuns: $8$ pătrățele
$4$ pătrățele până la axă și încă $4$ după ea: $4 + 4 = 8$

Provocare

Andrei spune că $Q$ este simetricul lui $P$ față de axa orizontală $d$ Are dreptate? Unde este simetricul corect?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. $Q$ este cu un pătrățel mai la stânga; simetricul corect este pe verticala lui $P$ la $2$ pătrățele sub axă.
$P$ și $Q$ sunt la câte $2$ pătrățele de axă, dar $PQ$ nu este perpendicular pe $d$ Simetricul lui $P$ este pe perpendiculara din $P$ pe $d$ adică pe verticala lui $P$
Este $Q$ simetricul lui $P$ față de $d$ Justifică.
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. $P$ este la $2$ pătrățele de axă, iar $Q$ doar la $1$
Maria spune că dreapta $d$ prin mijloacele $M$ și $N$ ale laturilor $PQ$ și $RS$ este axă de simetrie a paralelogramului $PQRS$ pentru că îl împarte în două paralelograme congruente. Are dreptate?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. Cele două părți sunt congruente (una se suprapune peste cealaltă prin mutare), dar la plierea pe $d$ nu se suprapun: $P$ nu ajunge peste $Q$
Pentru o axă trebuie ca părțile să se suprapună prin pliere, nu doar să fie congruente. Pliat pe $d$ colțul $P$ ajunge sub latura $PQ$ în afara paralelogramului.
Un dreptunghi are $4$ axe de simetrie. Ce fel de dreptunghi este?
Arată răspunsul
Răspuns: Un pătrat.
Un dreptunghi care nu este pătrat are doar $2$ axe; diagonalele devin axe numai când laturile sunt egale.
Pe caroiaj, axa $d$ este verticală. Punctul $A'$ este simetricul lui $A$ și se află la $3$ pătrățele în dreapta axei. Unde este $A$
Arată răspunsul
Răspuns: Pe aceeași orizontală, la $3$ pătrățele în stânga axei.
Simetria se citește în ambele sensuri: dacă $A'$ este simetricul lui $A$ atunci și $A$ este simetricul lui $A'$
Un dreptunghi culcat are laturile de $4$ cm și $2$ cm. Alt dreptunghi, desenat în picioare, are laturile de $2$ cm și $4$ cm. Sunt congruente?
Arată răspunsul
Răspuns: Da. Au aceleași laturi; dacă îl rotim pe al doilea cu un sfert de tură, se suprapune exact peste primul.
Desenezi pe caroiaj un pătrat și îl pliezi pe diagonală. Unde ajunge fiecare vârf?
Arată răspunsul
Răspuns: $A$ și $C$ rămân pe loc (sunt pe axă), $B$ ajunge peste $D$ și $D$ peste $B$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Când sunt două figuri congruente?
1. Când au aceeași formă
2. Când au aceeași formă și aceeași mărime și se pot suprapune perfect
3. Când sunt desenate una lângă alta
4. Când au aceeași culoare
Arată răspunsul
Răspuns: Când au aceeași formă și aceeași mărime și se pot suprapune perfect
2. Sunt congruente pătratele $KLMN$ și $PQRS$
1. Da, au laturile egale; unul este doar rotit
2. Nu, unul este întors
3. Nu, sunt în locuri diferite
4. Nu se poate ști
Arată răspunsul
Răspuns: Da, au laturile egale; unul este doar rotit
Ambele sunt pătrate cu latura de $2{,}5$ cm. Rotit înapoi și mutat, $PQRS$ se suprapune exact peste $KLMN$
3. Dreptunghiul $TUVW$ este desenat înclinat. Sunt congruente $ABCD$ și $TUVW$
1. Da, unul este doar rotit
2. Nu, au lățimi diferite
3. Da, au aceeași lungime
4. Nu se poate ști
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, au lățimi diferite
Rotirea nu contează, dar lățimile diferă: $1{,}5$ cm și $2$ cm. Dreptunghiurile nu se pot suprapune.
4. Câte axe de simetrie are un dreptunghi cu lungimea de $6$ cm și lățimea de $6$ cm?
Arată răspunsul
Răspuns: 4
Laturile sunt toate egale, deci dreptunghiul este un pătrat: are $4$ axe, două prin mijloacele laturilor opuse și cele două diagonale.
5. Ana pliază o foaie dreptunghiulară de $20$ cm pe $12$ cm, așa încât cele două jumătăți să se suprapună exact. Pe câte drepte diferite poate face plierea?
Arată răspunsul
Răspuns: 2
Plierea trebuie făcută pe o axă de simetrie. Foaia este un dreptunghi care nu este pătrat, deci are $2$ axe, prin mijloacele laturilor opuse. Diagonalele nu sunt axe.
6. Care dreaptă este axă de simetrie a dreptunghiului $EFGH$
1. $a$
2. $b$
3. ambele
4. niciuna
Arată răspunsul
Răspuns: $b$
$b$ trece prin mijloacele laturilor $EH$ și $FG$ la pliere, jumătățile se suprapun. $a$ este verticală, dar nu trece prin mijloacele laturilor lungi, deci părțile nu se suprapun.
7. Este diagonala unui dreptunghi (care nu este pătrat) axă de simetrie?
1. Da, întotdeauna
2. Nu, părțile nu se suprapun la pliere
3. Da, dacă dreptunghiul este mare
4. Doar diagonala $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: Nu, părțile nu se suprapun la pliere
8. Este $Q$ simetricul lui $P$ față de $d$
1. Da: $PQ$ este perpendicular pe axă și distanțele până la axă sunt egale
2. Nu, $Q$ este prea departe de axă
3. Nu, $PQ$ nu este perpendicular pe axă
4. Nu se poate ști fără riglă
Arată răspunsul
Răspuns: Da: $PQ$ este perpendicular pe axă și distanțele până la axă sunt egale
$P$ și $Q$ sunt pe aceeași verticală, deci $PQ$ este perpendicular pe $d$ și fiecare este la $3$ pătrățele de axă.
9. Punctul $P$ este la $3$ pătrățele de axa $d$ La câte pătrățele de axă este simetricul lui?
Arată răspunsul
Răspuns: 3
10. Ce se întâmplă cu un punct aflat chiar pe axa de simetrie?
1. Dispare
2. Rămâne pe loc: este propriul lui simetric
3. Se mută la dublul distanței
4. Ajunge în alt punct al axei
Arată răspunsul
Răspuns: Rămâne pe loc: este propriul lui simetric

Întrebări frecvente

Ce înseamnă figuri congruente?

Figuri care au aceeași formă și aceeași mărime, astfel încât se pot suprapune perfect. Mutarea sau rotirea uneia nu schimbă congruența.

Ce este axa de simetrie a unei figuri?

O dreaptă pe care, dacă pliezi figura, cele două părți se suprapun perfect.

Câte axe de simetrie are pătratul și câte are dreptunghiul?

Pătratul are $4$ două prin mijloacele laturilor opuse și cele două diagonale. Dreptunghiul care nu este pătrat are $2$ prin mijloacele laturilor opuse.

De ce diagonala dreptunghiului nu este axă de simetrie?

Pentru că, la plierea pe diagonală, cele două triunghiuri nu cad unul peste altul: un colț iese în afara dreptunghiului.

Cum găsesc simetricul unui punct față de o dreaptă pe caroiaj?

Numeri pătrățelele de la punct până la axă, pe linia perpendiculară pe axă, apoi numeri același număr de pătrățele de cealaltă parte, pe aceeași linie.

Resurse utile

Ai terminat lecția

Simetrie. Figuri congruente

Ai parcurs această lecție. Poți continua folosind navigarea de mai jos.

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Vezi toate culegerile pentru clasa a V-a

Simetrie. Figuri congruente

Ce vei învăța

Ideea de bază

Figuri congruente

Axa de simetrie: plierea

Axele de simetrie ale pătratului

Axele de simetrie ale dreptunghiului

Simetricul unui punct față de o axă

Completarea unei figuri simetrice

Simetrie față de o dreaptă și simetrie față de un punct

Exemple rezolvate

Pătrate mutate

Dreptunghi rotit

Aceeași formă, altă mărime

Figuri pe caroiaj

Plierea dreptunghiului

Toate axele pătratului

Toate axele dreptunghiului

Contraexemplu: diagonala dreptunghiului

O figură fără axă

Simetricul unui punct pe caroiaj

Completează figura

Simetricul unui triunghi

Simetric greșit

Față de o dreaptă sau față de un punct?

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a V-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a V-a

Matematică. Clasa a V-a. Partea a II-a. Clubul Matematicienilor

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 5-a

Culegere de matematică - clasa a V-a, volumul 2

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a V-a

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a V-a, Partea a II-a