Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 6 din 71

1. Clasa a V-a

   Fracții ordinare›Fracții echivalente. Amplificare și simplificare

   Exemplul 3: amplifică până la un numitor dat

   Scrie o fracție echivalentă cu $\dfrac{4}{5}$, care să aibă numitorul 20.

   Arată rezolvarea

   Numitorul trebuie să devină 20, iar $5 \times 4 = 20$, deci amplifici cu 4.

   $$\dfrac{4}{5} = \dfrac{4 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{16}{20}$$

   Vezi lecția
2. Clasa a V-a

   Fracții ordinare›Fracții echivalente. Amplificare și simplificare

   Exemplul 4: simplifică o fracție

   Simplifică $\dfrac{10}{15}$.

   Arată rezolvarea

   10 și 15 au divizorul comun 5.

   $$\dfrac{10}{15} = \dfrac{10 \div 5}{15 \div 5} = \dfrac{2}{3}$$

   Vezi lecția
3. Clasa a V-a

   Fracții ordinare›Fracții echivalente. Amplificare și simplificare

   Exemplul 5: simplifică în mai mulți pași

   Simplifică $\dfrac{24}{36}$ până la forma ireductibilă.

   Arată rezolvarea

   24 și 36 au divizorul comun 2.

   $$\dfrac{24}{36} = \dfrac{24 \div 2}{36 \div 2} = \dfrac{12}{18}$$

   12 și 18 au din nou divizorul comun 2.

   $$\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 2}{18 \div 2} = \dfrac{6}{9}$$

   6 și 9 au divizorul comun 3.

   $$\dfrac{6}{9} = \dfrac{6 \div 3}{9 \div 3} = \dfrac{2}{3}$$

   $\dfrac{2}{3}$ este ireductibilă, pentru că 2 și 3 nu mai au divizor comun mai mare decât 1.

   Vezi lecția
4. Clasa a V-a

   Fracții ordinare›Fracții echivalente. Amplificare și simplificare

   Exemplul 6: recunoaște fracția ireductibilă

   Care dintre fracțiile $\dfrac{9}{12}$ și $\dfrac{7}{10}$ este ireductibilă?

   Arată rezolvarea

   9 și 12 au divizorul comun 3, deci $\dfrac{9}{12}$ nu este ireductibilă ($\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$).

   7 și 10 nu au niciun divizor comun mai mare decât 1, deci $\dfrac{7}{10}$ este ireductibilă.

   Vezi lecția
5. Clasa a V-a

   Fracții ordinare›Aducerea fracțiilor la același numitor

   Exemplul 1: numitori fără divizori comuni (2 și 3)

   Adu $\dfrac{1}{2}$ și $\dfrac{2}{3}$ la același numitor.

   Arată rezolvarea

   Multiplii lui 2: $2, 4, 6, \ldots$. Multiplii lui 3: $3, 6, 9, \ldots$. Primul multiplu comun este 6.

   $$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}$$

   $$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}$$

   Verificare: simplifici înapoi rezultatele. $\dfrac{3}{6}$ simplificată dă $\dfrac{1}{2}$, iar $\dfrac{4}{6}$ simplificată dă $\dfrac{2}{3}$. Transformarea e corectă.

   Vezi lecția
6. Clasa a V-a

   Fracții ordinare›Aducerea fracțiilor la același numitor

   Exemplul 2: un numitor îl divide pe celălalt

   Adu $\dfrac{2}{5}$ și $\dfrac{7}{10}$ la același numitor.

   Arată rezolvarea

   10 este multiplu de 5 ($5 \times 2 = 10$), deci numitorul comun este 10.

   $$\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{4}{10}$$

   $\dfrac{7}{10}$ are deja numitorul 10 și rămâne neschimbată.

   Vezi lecția
7. Clasa a V-a

   Fracții ordinare›Aducerea fracțiilor la același numitor

   Exemplul 3: numitorul comun, mai mic decât produsul (4 și 6)

   Adu $\dfrac{1}{4}$ și $\dfrac{5}{6}$ la același numitor.

   Arată rezolvarea

   Multiplii lui 4: $4, 8, 12, \ldots$. Multiplii lui 6: $6, 12, 18, \ldots$. Primul multiplu comun este 12, nu $4 \times 6 = 24$. Și 24 ar fi un numitor comun corect, dar cu 12 calculele sunt mai simple.

   $$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$$

   $$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}$$

   Vezi lecția
8. Clasa a V-a

   Fracții ordinare›Aducerea fracțiilor la același numitor

   Exemplul 4: comparație după aducerea la același numitor

   Care este mai mică, $\dfrac{2}{3}$ sau $\dfrac{3}{5}$?

   Arată rezolvarea

   Multiplii lui 3: $3, 6, 9, 12, 15, \ldots$. Multiplii lui 5: $5, 10, 15, \ldots$. Primul multiplu comun este 15.

   $$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 5} = \dfrac{10}{15}$$

   $$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \times 3}{5 \times 3} = \dfrac{9}{15}$$

   $9 < 10$, deci $\dfrac{9}{15} < \dfrac{10}{15}$, adică $\dfrac{3}{5} < \dfrac{2}{3}$.

   Vezi lecția
9. Clasa a V-a

   Fracții ordinare›Aducerea fracțiilor la același numitor

   Exemplul 5: trei fracții

   Adu $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$ și $\dfrac{1}{4}$ la același numitor.

   Arată rezolvarea

   Multiplii lui 4: $4, 8, 12, \ldots$. 4 nu se împarte la 3, nici 8 nu se împarte la 3, dar 12 se împarte la 3 și la 2. Numitorul comun al celor trei fracții este 12.

   $$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 6}{2 \times 6} = \dfrac{6}{12}$$

   $$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{4}{12}$$

   $$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$$

   Vezi lecția
10. Clasa a V-a

    Fracții ordinare›Aducerea fracțiilor la același numitor

    Exemplul 6: același numărător

    Care este mai mare, $\dfrac{4}{9}$ sau $\dfrac{4}{5}$?

    Arată rezolvarea

    Fracțiile au același numărător, $4$. Compari numitorii: $5 < 9$, deci o cincime este mai mare decât o noime.

    $$\dfrac{4}{5} > \dfrac{4}{9}$$

    Patru părți mari înseamnă mai mult decât patru părți mici din același întreg.

    Vezi lecția
11. Clasa a V-a

    Fracții ordinare›Aducerea fracțiilor la același numitor

    Exemplul 7: fracții pe axă

    Reprezintă pe axă fracțiile $\dfrac{2}{3}$ și $\dfrac{4}{3}$ și compară-le cu $1$.

    Arată rezolvarea

    Numitorul este $3$, deci împarți fiecare unitate în $3$ părți egale. $\dfrac{2}{3}$ este al doilea marcaj după $0$. $\dfrac{4}{3} = 1 + \dfrac{1}{3}$ este primul marcaj după $1$.

    $\frac{2}{3}$$\frac{4}{3}$$0$$\frac{1}{3}$$\frac{2}{3}$$1$$\frac{4}{3}$$\frac{5}{3}$$2$

    $\dfrac{2}{3}$ este la stânga lui $1$, iar $\dfrac{4}{3}$ la dreapta lui, deci $\dfrac{2}{3} < 1 < \dfrac{4}{3}$.

    Vezi lecția
12. Clasa a V-a

    Fracții ordinare›Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

    Exemplul 1: adunare, același numitor

    Calculează $\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10}$.

    Arată rezolvarea

    $$\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10} = \dfrac{3 + 4}{10} = \dfrac{7}{10}$$

    7 și 10 nu au alt divizor comun în afară de 1, deci $\dfrac{7}{10}$ este forma finală.

    Vezi lecția
13. Clasa a V-a

    Fracții ordinare›Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

    Exemplul 2: scădere, același numitor

    Calculează $\dfrac{11}{15} - \dfrac{2}{15}$.

    Arată rezolvarea

    $$\dfrac{11}{15} - \dfrac{2}{15} = \dfrac{11 - 2}{15} = \dfrac{9}{15}$$

    9 și 15 au divizorul comun 3.

    $$\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$$

    Vezi lecția
14. Clasa a V-a

    Fracții ordinare›Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

    Exemplul 3: adunare cu numitori diferiți

    Calculează $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$.

    Arată rezolvarea

    Numitorul comun pentru 4 și 3 este 12.

    $$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$$

    $$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$$

    $$\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{11}{12}$$

    Verificare: $\dfrac{11}{12}$ este mai mare decât $\dfrac{1}{4}$ și decât $\dfrac{2}{3}$, ceea ce e de așteptat la o adunare.

    Vezi lecția
15. Clasa a V-a

    Fracții ordinare›Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

    Exemplul 4: scădere cu numitori diferiți

    Calculează $\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{4}$.

    Arată rezolvarea

    Numitorul comun pentru 6 și 4 este 12.

    $$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}$$

    $$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}$$

    $$\dfrac{10}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{1}{12}$$

    Vezi lecția
16. Clasa a V-a

    Fracții ordinare›Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

    Exemplul 5: rezultat care se simplifică

    Calculează $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}$.

    Arată rezolvarea

    Primele două au deja același numitor.

    $$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4}$$

    $\dfrac{1}{2}$ are numitorul comun cu $\dfrac{2}{4}$: 4 este multiplu de 2.

    $$\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$$

    $$\dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$$

    Rezultatul este exact întregul, 1.

    Vezi lecția
17. Clasa a V-a

    Fracții ordinare›Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

    Exemplul 6: un numitor îl divide pe celălalt

    Calculează $\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{4}$.

    Arată rezolvarea

    8 este multiplu de 4, deci numitorul comun este chiar 8, fără să înmulțești cei doi numitori între ei.

    $$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8}$$

    $$\dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{8}$$

    Vezi lecția
18. Clasa a V-a

    Fracții ordinare›Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

    Exemplul 7: problemă scurtă

    Ana mănâncă $\dfrac{1}{3}$ dintr-o pizza, iar fratele ei mănâncă $\dfrac{1}{6}$ din aceeași pizza. Ce fracție din pizza au mâncat împreună?

    Arată rezolvarea

    Trebuie să aduni $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}$. Numitorul comun este 6, pentru că 6 este multiplu de 3.

    $$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6}$$

    $$\dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

    Împreună au mâncat $\dfrac{1}{2}$ din pizza.

    Vezi lecția
19. Clasa a V-a

    Fracții ordinare›Înmulțirea, puterile și împărțirea fracțiilor ordinare

    Exemplul 1: înmulțire simplă

    Calculează $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{7}$.

    Arată rezolvarea

    $$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 7} = \dfrac{3}{14}$$

    3 și 14 nu au alt divizor comun în afară de 1, deci $\dfrac{3}{14}$ este forma finală.

    Vezi lecția
20. Clasa a V-a

    Fracții ordinare›Înmulțirea, puterile și împărțirea fracțiilor ordinare

    Exemplul 2: înmulțire cu simplificare finală

    Calculează $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$.

    Arată rezolvarea

    $$\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{4 \times 3}{9 \times 8} = \dfrac{12}{72}$$

    12 și 72 au divizorul comun 12.

    $$\dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}$$

    Vezi lecția