Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 67 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Exemplul 14: o demonstrație scurtă, prin eliminarea pozițiilor

   Planele $\alpha$ și $\beta$ sunt paralele, iar un al treilea plan $\gamma$ le intersectează după dreptele $a = \gamma \cap \alpha$ și $b = \gamma \cap \beta$. Demonstrează că $a \parallel b$.

   Arată rezolvarea

   Ipoteza: $\alpha \parallel \beta$, $a = \gamma \cap \alpha$, $b = \gamma \cap \beta$. Concluzia de demonstrat: $a \parallel b$.

   Ideea: două drepte sunt paralele dacă sunt în același plan și nu au puncte comune. Verifici pe rând cele două condiții.

   Pasul 1. $a \subset \gamma$ și $b \subset \gamma$, deci $a$ și $b$ sunt coplanare.

   Pasul 2. $a \subset \alpha$ și $b \subset \beta$. Planele paralele $\alpha$ și $\beta$ nu au niciun punct comun, deci nici $a$ și $b$ nu au vreun punct comun.

   Concluzie: $a$ și $b$ sunt coplanare și nu se intersectează, deci $a \parallel b$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Exemplul 1: criteriul dreaptă perpendiculară pe plan, pe cub

   Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, arată că $AE \perp (ABCD)$.

   Arată rezolvarea

   Fața $ABFE$ este un pătrat, deci $\widehat{EAB} = 90°$, adică $AE \perp AB$. Fața $ADHE$ este un pătrat, deci $\widehat{EAD} = 90°$, adică $AE \perp AD$.

   Dreptele $AB$ și $AD$ sunt concurente în $A$ și sunt conținute în planul $(ABCD)$.

   Fiind perpendiculară pe două drepte concurente ale planului $(ABCD)$, prin piciorul $A$, conform criteriului, $AE \perp (ABCD)$.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Exemplul 2: de ce o singură perpendicularitate nu este de ajuns

   Un elev verifică doar $AE \perp AB$ și conchide $AE \perp (ABCD)$. Este suficientă verificarea?

   Arată rezolvarea

   Nu. O singură dreaptă din plan nu garantează perpendicularitatea pe tot planul; ar fi nevoie să verifici și o a doua dreaptă concurentă, de exemplu $AD$.

   În acest caz particular, concluzia e totuși adevărată (verificat în exemplul 1), dar raționamentul elevului, cu o singură verificare, este incomplet.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Exemplul 3: $AE$ este perpendiculară pe orice dreaptă a planului prin $A$

   Fiind $AE \perp (ABCD)$, ce se poate spune despre $AE$ și diagonala $AC$ a planului?

   Arată rezolvarea

   Pentru că $AE \perp (ABCD)$, $AE$ este perpendiculară pe ORICE dreaptă a planului prin $A$, inclusiv diagonala $AC$.

   Răspuns: $AE \perp AC$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Exemplul 4: construcția unghiului dreaptă–plan, pas cu pas

   Determină unghiul dintre diagonala $AG$ și planul $(ABCD)$ ale cubului $ABCD$–$EFGH$ (latura $4$).

   Arată rezolvarea

   Pasul 1: piciorul perpendicularei din $G$ pe plan este $C$ (pentru că $GC$ este o muchie verticală, perpendiculară pe planul de jos).

   Pasul 2: proiecția lui $AG$ pe plan este $AC$.

   Pasul 3: unghiul cerut este $\widehat{GAC}$. În triunghiul dreptunghic $ACG$ (drept în $C$), $\text{tg}\,\widehat{GAC} = \dfrac{GC}{AC} = \dfrac{4}{4\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

   Răspuns: unghiul dintre $AG$ și $(ABCD)$ este $\widehat{GAC}$, cu $\text{tg}\,\widehat{GAC} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Exemplul 5: identificarea unui raționament greșit (unghi dreaptă–plan)

   Un elev desenează, oriunde în figură, un unghi între $AG$ și o dreaptă a planului, fără să folosească proiecția, și îl numește „unghiul dintre $AG$ și plan”. Este corect?

   Arată rezolvarea

   Nu. Unghiul dreaptă–plan este definit EXACT ca unghiul dintre dreaptă și proiecția ei ortogonală pe plan, nu un unghi desenat la întâmplare.

   Fără piciorul perpendicularei determinat corect, orice alt unghi desenat nu are nicio legătură garantată cu unghiul real dreaptă–plan.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Exemplul 6: dreaptă conținută în plan, unghiul dreaptă–plan

   Ce unghi formează cu planul $(ABCD)$ o dreaptă conținută chiar în acest plan, de exemplu $AB$?

   Arată rezolvarea

   Dacă dreapta este conținută în plan, proiecția ei ortogonală pe plan este ea însăși.

   Unghiul dintre dreaptă și proiecția ei (identică) este $0°$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Exemplul 7: dreaptă perpendiculară pe plan, unghiul dreaptă–plan

   Ce unghi formează $AE$ cu planul $(ABCD)$, știind că $AE \perp (ABCD)$?

   Arată rezolvarea

   Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, proiecția ei ortogonală se reduce la un singur punct (piciorul perpendicularei).

   Unghiul dintre dreaptă și plan este, în acest caz limită, $90°$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

   Exemplul 8: construcția unghiului diedru, pas cu pas

   Două semiplane $\alpha$ și $\beta$ au muchia comună $PQ$. Cum construiești unghiul diedru dintre ele?

   Arată rezolvarea

   Pasul 1: alegi un punct $P$ pe muchia $PQ$.

   Pasul 2: construiești, prin $P$, o semidreaptă $PR_1$ în $\alpha$, perpendiculară pe $PQ$.

   Pasul 3: construiești, prin același punct $P$, o semidreaptă $PR_2$ în $\beta$, perpendiculară pe $PQ$.

   Pasul 4: unghiul diedru este $\widehat{R_1PR_2}$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Exemplul 9: identificarea unui raționament greșit (unghi diedru)

    Un elev duce în $\alpha$ semidreapta $PR_1 \perp PQ$, iar în $\beta$ o semidreaptă $PS$ care pornește tot din $P$, dar nu este perpendiculară pe $PQ$. El spune că $\widehat{R_1PS}$ este unghiul diedru. Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu. Unghiul liniar al diedrului se construiește cu semidrepte PERPENDICULARE pe muchie, câte una în fiecare semiplan.

    O semidreaptă $PS$ oarecare din $\beta$ poate fi rotită în jurul lui $P$, iar unghiul $\widehat{R_1PS}$ se schimbă, deși semiplanele rămân aceleași. Un astfel de unghi nu măsoară înclinarea semiplanelor.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Exemplul 10: perpendicularitatea planelor pe cub

    Arată că fețele $(ABCD)$ și $(DCGH)$ ale cubului $ABCD$–$EFGH$ sunt perpendiculare.

    Arată rezolvarea

    Muchia comună este $DC$. În $(ABCD)$, $DA \perp DC$; în $(DCGH)$, $DH \perp DC$; amândouă din același punct $D$.

    Deci unghiul liniar al diedrului este $\widehat{ADH}$. Fața $ADHE$ este un pătrat, așa că $\widehat{ADH} = 90°$.

    Fiind $90°$, $(ABCD) \perp (DCGH)$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Exemplul 11: criteriul plan–plan prin dreaptă perpendiculară

    $DH$ este conținută în planul $(DCGH)$ și $DH \perp (ABCD)$. Ce se poate spune despre $(DCGH)$ și $(ABCD)$, fără să mai construiești unghiul diedru?

    Arată rezolvarea

    Criteriul echivalent: dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan, cele două plane sunt perpendiculare.

    Răspuns: $(DCGH) \perp (ABCD)$, confirmat și direct prin unghiul diedru calculat în exemplul 10.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Exemplul 12: fețe opuse ale cubului, NU sunt perpendiculare

    Fețele opuse $(ABCD)$ și $(EFGH)$ ale cubului sunt perpendiculare?

    Arată rezolvarea

    Nu. Fețele opuse nu au muchie comună, deci nu există un unghi diedru de calculat între ele în sensul definiției; de fapt, ele sunt PARALELE (muchia $AE$ este perpendiculară pe amândouă), nu perpendiculare.

    Perpendicularitatea de plane se discută doar pentru plane SECANTE, cu dreaptă comună.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Perpendicularitate în spațiu. Unghiul dreaptă–plan. Unghiul diedru

    Exemplul 13: dreaptă paralelă cu planul

    Ce unghi formează muchia $EF$ a cubului $ABCD$–$EFGH$ cu planul $(ABCD)$?

    Arată rezolvarea

    $EF \parallel AB$, iar $AB \subset (ABCD)$, deci $EF \parallel (ABCD)$: dreapta nu are niciun punct comun cu planul.

    Proiecția lui $EF$ pe plan este $AB$, paralelă cu $EF$. Unghiul dintre două drepte paralele este $0°$, deci $EF$ formează cu planul unghiul $0°$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Exemplul 1: identificarea rolurilor din teoremă

    În configurația $M$, $K$, $N$, $d$ din figura principală, numește piciorul perpendicularei, oblica, proiecția și dreapta din plan.

    Arată rezolvarea

    Piciorul perpendicularei: $K$ (din $MK \perp \alpha$). Oblica: $MN$. Proiecția oblicei pe plan: $KN$. Dreapta din plan, din ipoteza teoremei: $d$.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Exemplul 2: aplicarea directă a teoremei

    Cu $MK \perp \alpha$, $K$ piciorul, $N \in \alpha$, și $d \subset \alpha$ prin $N$ cu $d \perp KN$, ce poți conchide despre $d$ și oblica $MN$?

    Arată rezolvarea

    Teorema celor trei perpendiculare se aplică direct: $d \perp MN$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Exemplul 3: de ce demonstrația funcționează (rezumat)

    Explică, în 2 pași, de ce $d \perp KN$ și $MK \perp \alpha$ implică $d \perp MN$.

    Arată rezolvarea

    Pasul 1: $MK \perp \alpha$, deci $MK \perp d$ (perpendiculara pe plan este perpendiculară pe orice dreaptă a lui, inclusiv $d$).

    Pasul 2: $d$ este perpendiculară pe $KN$ (ipoteză) și pe $MK$ (pasul 1), două drepte concurente ale planului $(MKN)$, deci $d \perp (MKN)$, deci $d \perp MN$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Exemplul 4: identificarea unui raționament greșit (oblică vs. proiecție)

    Un elev verifică $d \perp MN$ (oblica) direct, din figură, și spune că astfel teorema e „aplicată”. Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu. Ipoteza teoremei cere $d \perp KN$ (proiecția), nu $d \perp MN$ (oblica). Oblica este ceea ce se DEDUCE, nu ceea ce se verifică la ipoteză.

    Dacă elevul verifică direct oblica, nu mai are nevoie de teoremă, dar, în general, perpendicularitatea pe proiecție este mult mai simplă de verificat (e în plan) decât direct pe oblică (în spațiu).

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Exemplul 5: aplicarea teoremei pe cub

    Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, arată că dreapta $d$ prin $A$, paralelă cu $BD$, este perpendiculară pe diagonala spațială $GA$.

    Arată rezolvarea

    Piciorul perpendicularei din $G$ pe $(ABCD)$ este $C$ ($GC \perp (ABCD)$), deci proiecția oblicei $GA$ pe plan este $CA$.

    Diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare, deci $BD \perp CA$; $d \parallel BD$, deci $d \perp CA$ (proiecția).

    Prin teorema celor trei perpendiculare, $d \perp GA$ (oblica).

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

    Exemplul 6: un contraexemplu, dacă ipoteza nu e verificată

    Un elev alege, pe cub, o dreaptă $d'$ prin $A$ care NU este paralelă cu $BD$ (de exemplu $AB$). Poate aplica teorema ca să conchidă $d' \perp GA$?

    Arată rezolvarea

    Nu, nu fără verificare. Teorema cere, ca ipoteză, $d' \perp CA$ (proiecția). $AB$ nu este perpendiculară pe diagonala $CA$ a pătratului (unghiul dintre o latură și o diagonală a pătratului nu este $90°$), deci ipoteza nu este satisfăcută și teorema NU garantează $d' \perp GA$.

    Vezi lecția