Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 68 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Exemplul 7: distanța de la un punct la o dreaptă, pas cu pas

   Determină distanța de la punctul $P$ la dreapta $m$, folosind piciorul perpendicularei $F$, cu $PF = 4$.

   Arată rezolvarea

   Pasul 1: identifică piciorul perpendicularei $F$ pe $m$ ($F \in m$, $PF \perp m$).

   Pasul 2: distanța de la $P$ la $m$ este $PF = 4$.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Exemplul 8: identificarea unui raționament greșit (distanță punct-dreaptă)

   Un elev alege un punct OARECARE $Q$ pe $m$ (nu piciorul $F$) și declară $PQ$ drept „distanța de la $P$ la $m$”. Este corect?

   Arată rezolvarea

   Nu, în general. $PQ \geq PF$ pentru orice $Q$ pe $m$, cu egalitate doar când $Q = F$ (piciorul perpendicularei). Doar segmentul perpendicular este distanța.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Exemplul 9: distanța de la un punct la un plan, pe cub

   Determină distanța de la vârful $G$ la planul bazei $(ABCD)$ ale cubului $ABCD$–$EFGH$, de latură $4$.

   Arată rezolvarea

   Piciorul perpendicularei din $G$ pe $(ABCD)$ este $C$ (muchia verticală $GC$).

   Distanța este $GC = 4$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Exemplul 10: distanța punct-plan NU este orice segment oblic

   Un elev calculează lungimea diagonalei spațiale $GA$ ($4\sqrt3$, cunoscută din Modulul 7) și o declară „distanța de la $G$ la plan”. Este corect?

   Arată rezolvarea

   Nu. $GA$ este oblica, nu perpendiculara; $GA > GC$. Distanța de la $G$ la $(ABCD)$ este $GC = 4$, segmentul perpendicular, nu oblica $GA$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Exemplul 11: distanța dintre două plane paralele, pe cub

   Determină distanța dintre fețele paralele $(ABCD)$ și $(EFGH)$ ale cubului de latură $4$.

   Arată rezolvarea

   Muchia $AE$ este perpendiculară pe $(ABCD)$, cu $E \in (EFGH)$; $(EFGH) \parallel (ABCD)$, deci $AE$ este perpendiculară și pe $(EFGH)$.

   Distanța dintre cele două plane este $AE = 4$.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Exemplul 12: alegerea segmentului perpendicular comun

   Un elev alege muchia $BF$ (nu $AE$) ca să calculeze distanța dintre $(ABCD)$ și $(EFGH)$. Obține același rezultat?

   Arată rezolvarea

   Da. $BF$ este tot o muchie verticală, perpendiculară pe amândouă fețele, de aceeași lungime $4$. Distanța dintre două plane paralele nu depinde de care segment perpendicular comun îl alegi.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Teorema celor trei perpendiculare. Distanțe în spațiu

   Exemplul 13: aplicație mixtă, teoremă + distanță

   Pe cub, folosind $GC \perp (ABCD)$ (piciorul $C$), ce distanță reprezintă segmentul $GC$ și cu ce rol apare el în teorema celor trei perpendiculare (aplicată cu $M=G$, $\alpha=(ABCD)$)?

   Arată rezolvarea

   $GC$ reprezintă distanța de la $G$ la planul $(ABCD)$.

   În teoremă, $GC$ joacă rolul perpendicularei pe plan ($MK$, cu $M=G$, $K=C$), exact segmentul din care se construiește toată configurația teoremei.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

   Secțiunea unui cub printr-un colț

   Un cub cu muchia $6$ cm are un plan secant care trece exact prin cele trei vârfuri vecine unui colț (ca $A$, $F$, $H$ în figura de mai sus). Ce formă are secțiunea și ce lungime au laturile ei?

   Arată rezolvarea

   Fiecare latură a secțiunii este diagonala unei fețe a cubului (de exemplu $AF$ este diagonala feței $ABFE$). Toate fețele cubului sunt pătrate congruente, deci toate diagonalele lor au aceeași lungime.

   Diagonala unui pătrat cu latura $6$ cm este $6\sqrt{2}$ cm. Secțiunea este un triunghi echilateral cu latura $6\sqrt{2}$ cm.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

   Ce tip de secțiune este?

   Un plan secant trece printr-o piramidă patrulateră, paralel cu baza, la o treime din înălțime, numărând de la apex. Ce tip de secțiune este și ce formă are?

   Arată rezolvarea

   Este o secțiune paralelă cu baza (planul este paralel cu planul bazei). La o piramidă, secțiunea paralelă cu baza este un poligon asemenea cu baza.

   Pentru că baza este un patrulater, secțiunea este tot un patrulater, asemenea cu baza, dar mai mic (piramida mică de deasupra secțiunii are înălțimea $1/3$ din înălțimea totală, deci raportul de asemănare este $1/3$).

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

    Latura secțiunii paralele cu baza

    O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat cu latura $12$ cm și înălțimea $9$ cm. Un plan paralel cu baza taie piramida la $3$ cm de apex. Calculează latura secțiunii.

    Arată rezolvarea

    Piramida mică de deasupra planului este asemenea cu piramida întreagă. Raportul de asemănare este raportul înălțimilor: $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.

    Latura secțiunii este $\dfrac{1}{3}$ din latura bazei: $\dfrac{1}{3}\cdot 12 = 4$ cm.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

    Diagonala secțiunii diagonale a unei piramide

    O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat cu latura $5$ cm. Secțiunea diagonală a piramidei are o latură pe baza piramidei. Calculează lungimea acestei laturi.

    Arată rezolvarea

    Latura secțiunii diagonale din planul bazei este chiar diagonala bazei. Diagonala unui pătrat cu latura $a$ este $a\sqrt{2}$.

    Cu $a = 5$ cm, diagonala este $5\sqrt{2}$ cm.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

    Secțiunea diagonală a unei prisme

    O prismă patrulateră dreaptă are baza un dreptunghi cu laturile $4$ cm și $3$ cm, iar înălțimea prismei este $6$ cm. Ce formă are secțiunea diagonală și ce dimensiuni are?

    Arată rezolvarea

    Secțiunea diagonală trece prin două muchii laterale neadiacente și prin diagonala corespunzătoare a fiecărei baze. La o prismă dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, deci secțiunea diagonală este un dreptunghi.

    O latură a dreptunghiului este diagonala bazei, $\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5$ cm; cealaltă latură este înălțimea prismei, $6$ cm. Secțiunea diagonală are dimensiunile $5$ cm și $6$ cm.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

    Secțiunea axială a unui con

    Un con circular drept are raza $r = 6$ cm și înălțimea $h = 8$ cm. Calculează laturile secțiunii axiale.

    Arată rezolvarea

    Secțiunea axială este un triunghi isoscel: baza este diametrul, $2r = 12$ cm, iar cele două laturi oblice sunt generatoare, $g = \sqrt{r^2+h^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm.

    Triunghiul secțiunii axiale are laturile $12$ cm, $10$ cm și $10$ cm.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

    Secțiunea axială a unui cilindru

    Un cilindru circular drept are raza $r = 5$ cm și înălțimea $h = 14$ cm. Ce formă și ce dimensiuni are secțiunea axială?

    Arată rezolvarea

    Secțiunea axială a unui cilindru este un dreptunghi, cu o latură egală cu diametrul bazei și cealaltă egală cu înălțimea.

    Dimensiunile sunt $2r = 10$ cm și $h = 14$ cm.

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

    Elementele unui trunchi de piramidă hexagonală

    Un trunchi de piramidă are bazele hexagoane. Câte fețe laterale și câte muchii laterale are?

    Arată rezolvarea

    Numărul de fețe laterale (trapeze) este egal cu numărul de laturi ale unei baze: $6$ fețe laterale.

    Numărul de muchii laterale este tot $6$, câte una pentru fiecare pereche de vârfuri corespunzătoare de pe cele două baze.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

    Trunchi de piramidă sau prismă?

    Un elev vede un corp cu două baze paralele, pătrate, și spune „este o prismă”. Bazele au laturile $8$ cm și $5$ cm. Are dreptate?

    Arată rezolvarea

    Nu are dreptate. O prismă are cele două baze CONGRUENTE (aceeași mărime). Aici bazele au laturi diferite ($8$ cm și $5$ cm), deci nu sunt congruente.

    Corpul este un trunchi de piramidă: bazele sunt asemenea, dar nu congruente, iar fețele laterale sunt trapeze, nu paralelograme (ca la prismă).

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

    Generatoarea unui trunchi de con

    Un trunchi de con are bazele cu razele $R = 9$ cm și $r = 5$ cm, iar înălțimea $h = 3$ cm. Calculează generatoarea.

    Arată rezolvarea

    Generatoarea, înălțimea și diferența razelor formează un triunghi dreptunghic: $G^2 = h^2 + (R-r)^2$.

    $G^2 = 3^2 + (9-5)^2 = 9 + 16 = 25$, deci $G = 5$ cm.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

    Trunchi de con sau cilindru?

    Un corp are două baze circulare paralele, cu razele $7$ cm și $7$ cm, unite prin generatoare paralele cu axa. Este un trunchi de con?

    Arată rezolvarea

    Nu. La un trunchi de con, cele două raze sunt diferite ($R \neq r$). Aici razele sunt egale ($7$ cm și $7$ cm), deci corpul este un cilindru, nu un trunchi de con.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

    Eroare: „orice secțiune paralelă cu baza e congruentă cu baza”

    Un elev spune: „Orice secțiune paralelă cu baza unui corp este congruentă cu baza.” Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu, în general. Este adevărat la o prismă (fețele laterale sunt paralelograme, deci secțiunea paralelă cu baza este mereu congruentă cu baza).

    Este FALS la o piramidă: acolo secțiunea paralelă cu baza este doar asemenea cu baza, de obicei mai mică, pentru că piramida se „îngustează” spre apex.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Secțiuni și trunchiuri›Secțiuni în corpuri geometrice. Trunchiul de piramidă și trunchiul de con

    Eroare: „orice plan prin vârf dă o secțiune diagonală”

    Un elev spune: „Orice plan secant care trece prin apexul unei piramide este o secțiune diagonală.” Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu. O secțiune diagonală trebuie să treacă prin apex ȘI printr-o diagonală a bazei (deci prin două vârfuri neadiacente ale bazei).

    Un plan care trece prin apex și printr-un singur vârf al bazei (sau printr-un punct oarecare de pe o latură) nu este o secțiune diagonală, chiar dacă trece prin apex.

    Vezi lecția