Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 69 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

   Diagonala feței unui cub

   Un cub are muchia $9$ cm. Calculează diagonala unei fețe.

   Arată rezolvarea

   Diagonala unei fețe este $d = a\sqrt2$.

   Cu $a=9$ cm, $d = 9\sqrt2$ cm.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

   Diagonala cubului

   Un cub are muchia $10$ cm. Calculează diagonala cubului.

   Arată rezolvarea

   Diagonala cubului este $D = a\sqrt3$.

   Cu $a=10$ cm, $D = 10\sqrt3$ cm.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

   Muchia, din diagonala cubului

   Diagonala unui cub este $7\sqrt3$ cm. Calculează muchia cubului.

   Arată rezolvarea

   Din $D = a\sqrt3$, rezultă $a = \dfrac{D}{\sqrt3}$.

   Cu $D = 7\sqrt3$ cm, $a = \dfrac{7\sqrt3}{\sqrt3} = 7$ cm.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

   Diagonala bazei unui paralelipiped

   Un paralelipiped dreptunghic are baza cu dimensiunile $5$ cm și $12$ cm. Calculează diagonala bazei.

   Arată rezolvarea

   Diagonala bazei este ipotenuza triunghiului dreptunghic cu catetele $5$ cm și $12$ cm.

   $d = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ cm.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

   Diagonala corpului unui paralelipiped

   Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $6$ cm, $8$ cm și $10$ cm. Calculează diagonala corpului.

   Arată rezolvarea

   Diagonala bazei (laturile $6$ și $8$): $d = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm.

   Diagonala corpului: $D = \sqrt{d^2+10^2} = \sqrt{100+100} = \sqrt{200} = 10\sqrt2$ cm.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

   Unghiul dintre diagonala corpului și bază

   Pentru paralelipipedul $6\times8\times10$ de mai sus, calculează unghiul dintre diagonala corpului și planul bazei.

   Arată rezolvarea

   Diagonala bazei este $10$ cm, iar înălțimea este tot $10$ cm: triunghiul dreptunghic format de diagonala bazei, înălțime și diagonala corpului are cele două catete egale.

   Un triunghi dreptunghic cu catetele egale este dreptunghic isoscel: unghiurile ascuțite sunt de $45°$ fiecare. Unghiul căutat este $45°$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

   Înălțimea, din unghiul diagonalei

   Un paralelipiped dreptunghic are baza cu diagonala $9$ cm. Unghiul dintre diagonala corpului și bază este $45°$. Calculează înălțimea.

   Arată rezolvarea

   $\tan(45°) = \dfrac{\text{înălțime}}{\text{diagonala bazei}}$, iar $\tan(45°) = 1$.

   Înălțimea $= 1 \cdot 9 = 9$ cm (egală cu diagonala bazei).

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

   Compară ariile totale a două cuburi

   Un cub are muchia $4$ cm, altul are muchia $8$ cm. De câte ori este mai mare aria totală a cubului mare?

   Arată rezolvarea

   Aria totală a cubului mic: $A_1 = 6\cdot4^2 = 96$ cm². Aria totală a cubului mare: $A_2 = 6\cdot8^2 = 384$ cm².

   Raportul $\dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{384}{96} = 4$: aria totală e de $4$ ori mai mare, egal cu pătratul raportului laturilor ($\left(\dfrac{8}{4}\right)^2 = 4$).

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

   Aria totală a unui cub

   Un cub are muchia $7$ cm. Calculează aria lui totală.

   Arată rezolvarea

   $A_t = 6a^2 = 6\cdot7^2 = 6\cdot49 = 294$ cm².

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

    Aria totală a unui paralelipiped

    Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $4$ cm, $5$ cm și $6$ cm. Calculează aria lui totală.

    Arată rezolvarea

    $ab+bc+ac = 4\cdot5 + 5\cdot6 + 4\cdot6 = 20+30+24 = 74$.

    $A_t = 2(ab+bc+ac) = 2\cdot74 = 148$ cm².

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

    Latura și aria, din volum

    Volumul unui cub este $125$ cm³. Calculează muchia și aria totală a cubului.

    Arată rezolvarea

    Din $V=a^3$, $a = \sqrt[3]{125} = 5$ cm (pentru că $5^3=125$).

    Aria totală: $A_t = 6a^2 = 6\cdot25 = 150$ cm².

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

    Volumul unui acvariu, în litri

    Un acvariu are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $50$ cm, $30$ cm și $40$ cm. Calculează volumul lui, în litri.

    Arată rezolvarea

    $V = 50\cdot30\cdot40 = 60\,000$ cm³.

    $1$ litru $= 1\,000$ cm³, deci $V = \dfrac{60\,000}{1\,000} = 60$ litri.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

    Eroare: aria totală fără factorul $2$

    Un elev calculează aria totală a unui paralelipiped cu dimensiunile $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm astfel: $A = ab+bc+ac = 12+20+15=47$ cm². Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu. Elevul a calculat aria a DOAR trei fețe (câte una din fiecare pereche), nu a tuturor celor șase.

    Aria totală corectă este $A_t = 2(ab+bc+ac) = 2\cdot47 = 94$ cm², dublul calculului elevului.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: prisme și piramide›Distanțe și unghiuri în cub și paralelipiped. Aria și volumul lor

    Câte cuburi mici încap într-un cub mare

    Un cub cu muchia $20$ cm este umplut complet cu cuburi mici, cu muchia $5$ cm. Câte cuburi mici încap?

    Arată rezolvarea

    Volumul cubului mare: $V_1 = 20^3 = 8\,000$ cm³. Volumul unui cub mic: $V_2 = 5^3 = 125$ cm³.

    Numărul de cuburi mici: $\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{8\,000}{125} = 64$.

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Aria laterală a unei prisme drepte

    O prismă dreaptă are baza un triunghi dreptunghic cu catetele $6$ cm și $8$ cm, iar înălțimea prismei este $5$ cm. Calculează aria laterală.

    Arată rezolvarea

    Ipotenuza bazei: $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ cm. Perimetrul bazei: $P_b=6+8+10=24$ cm.

    Aria laterală: $A_l = P_b\cdot h = 24\cdot5 = 120$ cm².

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Aria totală a unei prisme drepte

    Pentru prisma de mai sus ($P_b=24$ cm, $h=5$ cm, baza cu catetele $6$ cm și $8$ cm), calculează aria totală.

    Arată rezolvarea

    Aria bazei: $A_b = \dfrac{6\cdot8}{2} = 24$ cm².

    $A_t = A_l + 2A_b = 120 + 2\cdot24 = 120+48 = 168$ cm².

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Volumul unei prisme drepte

    Pentru aceeași prismă ($A_b=24$ cm², $h=5$ cm), calculează volumul.

    Arată rezolvarea

    $V = A_b\cdot h = 24\cdot5 = 120$ cm³.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Înălțimea prismei, din volum

    O prismă dreaptă are baza cu aria $15$ cm² și volumul $180$ cm³. Calculează înălțimea prismei.

    Arată rezolvarea

    Din $V=A_b\cdot h$, $h = \dfrac{V}{A_b} = \dfrac{180}{15} = 12$ cm.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Apotema piramidei, din înălțime și apotema bazei

    O piramidă patrulateră regulată are baza latura $10$ cm și înălțimea $12$ cm. Calculează apotema piramidei.

    Arată rezolvarea

    Apotema bazei: $a_b = \dfrac{10}{2} = 5$ cm.

    Apotema piramidei: $a_p = \sqrt{h^2+a_b^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$ cm.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

    Aria laterală a unei piramide regulate

    Pentru piramida de mai sus (baza latura $10$ cm, apotema piramidei $13$ cm), calculează aria laterală.

    Arată rezolvarea

    Perimetrul bazei: $P_b = 4\cdot10 = 40$ cm.

    $A_l = \dfrac{P_b\cdot a_p}{2} = \dfrac{40\cdot13}{2} = 260$ cm².

    Vezi lecția