Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 70 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Aria totală și volumul unei piramide regulate

   Pentru aceeași piramidă (baza latura $10$ cm, $A_l=260$ cm², înălțimea $12$ cm), calculează aria totală și volumul.

   Arată rezolvarea

   Aria bazei: $A_b = 10^2 = 100$ cm². $A_t = A_l+A_b = 260+100 = 360$ cm².

   $V = \dfrac{A_b\cdot h}{3} = \dfrac{100\cdot12}{3} = 400$ cm³.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Pânza unui cort piramidal

   Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate, cu baza pătrat latura $4$ m și apotema piramidei $5$ m (fără podea). Câți metri pătrați de pânză sunt necesari pentru pereți?

   Arată rezolvarea

   Pereții cortului sunt fețele laterale ale piramidei: aria laterală.

   Perimetrul bazei: $P_b=4\cdot4=16$ m. $A_l=\dfrac{P_b\cdot a_p}{2}=\dfrac{16\cdot5}{2}=40$ m².

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Înălțimea piramidei, din volum

   O piramidă patrulateră regulată are baza latura $9$ cm și volumul $243$ cm³. Calculează înălțimea piramidei.

   Arată rezolvarea

   Aria bazei: $A_b=9^2=81$ cm².

   Din $V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$, $h = \dfrac{3V}{A_b} = \dfrac{3\cdot243}{81} = \dfrac{729}{81} = 9$ cm.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Eroare: volumul piramidei fără factorul $\frac13$

   Un elev calculează volumul unei piramide cu baza $A_b=50$ cm² și înălțimea $h=9$ cm astfel: $V = A_b\cdot h = 450$ cm³. Este corect?

   Arată rezolvarea

   Nu. Volumul piramidei este $V=\dfrac{A_b\cdot h}{3}$, NU $A_b\cdot h$ (formula pentru prismă).

   Volumul corect: $V = \dfrac{50\cdot9}{3} = \dfrac{450}{3} = 150$ cm³, o treime din calculul elevului.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Apotema trunchiului de piramidă

   Un trunchi de piramidă regulată are bazele pătrate cu laturile $12$ cm și $6$ cm, iar înălțimea $4$ cm. Calculează apotema trunchiului.

   Arată rezolvarea

   Apotemele bazelor: $a_1=6$ cm, $a_2=3$ cm, diferența $3$ cm.

   Apotema trunchiului: $a_p = \sqrt{h^2+(a_1-a_2)^2} = \sqrt{16+9} = 5$ cm.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Aria totală a unui trunchi de piramidă

   Pentru trunchiul de mai sus (baze laturile $12$ cm și $6$ cm, apotema trunchiului $5$ cm), calculează aria totală.

   Arată rezolvarea

   Perimetrele: $P_1=48$ cm, $P_2=24$ cm. Aria laterală: $A_l=\dfrac{48+24}{2}\cdot5=36\cdot5=180$ cm².

   Ariile bazelor: $A_1=144$ cm², $A_2=36$ cm². $A_t=180+144+36=360$ cm².

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Volumul aceluiași trunchi de piramidă

   Pentru trunchiul de mai sus ($A_1=144$ cm², $A_2=36$ cm², $h=4$ cm), calculează volumul.

   Arată rezolvarea

   $\sqrt{A_1\cdot A_2} = \sqrt{144\cdot36} = \sqrt{5184} = 72$ cm².

   $V = \dfrac{h}{3}(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}) = \dfrac{4}{3}(144+36+72) = \dfrac{4}{3}\cdot252 = 336$ cm³.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: prisme și piramide›Aria și volumul prismei, piramidei regulate și trunchiului de piramidă regulată

   Eroare: bazele trunchiului tratate ca la o prismă

   Un elev calculează aria totală a unui trunchi de piramidă adunând aria LATERALĂ cu aria unei SINGURE baze (cea mare), ca și cum cealaltă bază nu ar exista. Ce greșește?

   Arată rezolvarea

   Trunchiul de piramidă are DOUĂ baze, de arii diferite ($A_1$, baza mare, și $A_2$, baza mică), spre deosebire de o piramidă (o singură bază).

   Aria totală corectă adună amândouă: $A_t = A_l + A_1 + A_2$, nu doar $A_l+A_1$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

   Aria laterală a cilindrului

   Un cilindru circular drept are raza $5$ cm și înălțimea $8$ cm. Calculează aria laterală.

   Arată rezolvarea

   $A_l = 2\pi r h = 2\pi\cdot5\cdot8 = 80\pi$ cm².

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Aria totală a cilindrului

    Pentru același cilindru ($r = 5$ cm, $h = 8$ cm), calculează aria totală.

    Arată rezolvarea

    Aria unei baze: $A_b = \pi\cdot5^2 = 25\pi$ cm².

    $A_t = A_l + 2A_b = 80\pi + 50\pi = 130\pi$ cm².

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Volumul cilindrului

    Pentru același cilindru ($r = 5$ cm, $h = 8$ cm), calculează volumul.

    Arată rezolvarea

    $V = \pi r^2 h = 25\pi\cdot8 = 200\pi$ cm³.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Înălțimea cilindrului, din volum

    Un cilindru are raza $3$ cm și volumul $72\pi$ cm³. Calculează înălțimea.

    Arată rezolvarea

    Aria bazei: $\pi\cdot3^2 = 9\pi$ cm².

    Din $V = A_b\cdot h$: $h = \dfrac{72\pi}{9\pi} = 8$ cm.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Generatoarea conului

    Un con circular drept are raza $5$ cm și înălțimea $12$ cm. Calculează generatoarea.

    Arată rezolvarea

    $g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Aria laterală și aria totală a conului

    Pentru conul de mai sus ($r = 5$ cm, $g = 13$ cm), calculează aria laterală și aria totală.

    Arată rezolvarea

    $A_l = \pi r g = \pi\cdot5\cdot13 = 65\pi$ cm².

    $A_t = A_l + \pi r^2 = 65\pi + 25\pi = 90\pi$ cm².

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Volumul conului

    Pentru același con ($r = 5$ cm, $h = 12$ cm), calculează volumul.

    Arată rezolvarea

    $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3} = \dfrac{25\pi\cdot12}{3} = 100\pi$ cm³.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Din aria laterală la volum

    Un con are raza $4$ cm și aria laterală $20\pi$ cm². Calculează generatoarea, înălțimea și volumul.

    Arată rezolvarea

    Din $\pi r g = 20\pi$: $4g = 20$, deci $g = 5$ cm.

    $h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$ cm.

    $V = \dfrac{\pi\cdot16\cdot3}{3} = 16\pi$ cm³.

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Generatoarea trunchiului de con

    Un trunchi de con are razele bazelor $R = 7$ cm și $r = 3$ cm și înălțimea $h = 3$ cm. Calculează generatoarea.

    Arată rezolvarea

    Diferența razelor: $R - r = 4$ cm.

    $G = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ cm.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Aria laterală și aria totală a trunchiului de con

    Pentru trunchiul de mai sus ($R = 7$ cm, $r = 3$ cm, $G = 5$ cm), calculează aria laterală și aria totală.

    Arată rezolvarea

    $A_l = \pi G(R + r) = \pi\cdot5\cdot10 = 50\pi$ cm².

    Bazele: $\pi\cdot7^2 = 49\pi$ cm² și $\pi\cdot3^2 = 9\pi$ cm². $A_t = 50\pi + 49\pi + 9\pi = 108\pi$ cm².

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    Volumul trunchiului de con

    Pentru același trunchi ($R = 7$ cm, $r = 3$ cm, $h = 3$ cm), calculează volumul.

    Arată rezolvarea

    $R^2 + r^2 + Rr = 49 + 9 + 21 = 79$.

    $V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr) = \dfrac{3\pi}{3}\cdot79 = 79\pi$ cm³.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

    O cutie de conserve

    O cutie de conserve are forma unui cilindru cu raza $4$ cm și înălțimea $10$ cm. Cât lichid încape în ea, aproximativ, în litri? Folosește $\pi \approx 3{,}14$.

    Arată rezolvarea

    $V = \pi r^2 h = \pi\cdot16\cdot10 = 160\pi$ cm³.

    Cu $\pi \approx 3{,}14$: $V \approx 502{,}4$ cm³. Cum $1$ litru $= 1\,000$ cm³, în cutie încap aproximativ $0{,}5$ litri.

    Vezi lecția