Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 71 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

   Eroare: înălțimea în locul generatoarei

   Un con are $r = 6$ cm și $h = 8$ cm. Un elev calculează aria laterală astfel: $A_l = \pi\cdot6\cdot8 = 48\pi$ cm². Este corect?

   Arată rezolvarea

   Nu. Aria laterală folosește generatoarea, nu înălțimea.

   $g = \sqrt{36 + 64} = 10$ cm, deci $A_l = \pi\cdot6\cdot10 = 60\pi$ cm².

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Aria și volumul cilindrului, conului și trunchiului de con

   Eroare: volumul conului fără factorul $\frac13$

   Un elev calculează volumul unui con cu $r = 3$ cm și $h = 7$ cm astfel: $V = \pi\cdot9\cdot7 = 63\pi$ cm³. Ce a greșit?

   Arată rezolvarea

   A calculat volumul cilindrului cu aceeași bază și aceeași înălțime.

   Volumul conului este o treime din acesta: $V = \dfrac{63\pi}{3} = 21\pi$ cm³.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

   Aria unei sfere

   Calculează aria unei sfere cu raza $5$ cm.

   Arată rezolvarea

   $A = 4\pi r^2 = 4\pi\cdot25 = 100\pi$ cm².

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

   Volumul unui corp sferic

   Calculează volumul unui corp sferic cu raza $3$ cm.

   Arată rezolvarea

   $V = \dfrac{4\pi\cdot3^3}{3} = \dfrac{4\pi\cdot27}{3} = 36\pi$ cm³.

   Observație: aria sferei cu aceeași rază este tot $4\pi\cdot9 = 36\pi$, dar în cm². Numerele coincid doar pentru $r = 3$; mărimile sunt diferite.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

   Din diametru, volumul

   Un corp sferic are diametrul $10$ cm. Calculează volumul.

   Arată rezolvarea

   Raza: $r = \dfrac{10}{2} = 5$ cm.

   $V = \dfrac{4\pi\cdot125}{3} = \dfrac{500\pi}{3}$ cm³.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

   Din diametru, aria

   O sferă are diametrul $8$ cm. Calculează aria.

   Arată rezolvarea

   $r = 4$ cm, deci $A = 4\pi\cdot16 = 64\pi$ cm².

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

   Raza, din arie

   Aria unei sfere este $196\pi$ cm². Calculează raza.

   Arată rezolvarea

   $4\pi r^2 = 196\pi$, deci $r^2 = 49$.

   $r = 7$ cm (raza este pozitivă).

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

   Raza, din volum

   Volumul unui corp sferic este $972\pi$ cm³. Calculează raza.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{4\pi r^3}{3} = 972\pi$, deci $4r^3 = 2\,916$ și $r^3 = 729$.

   $r = 9$ cm, pentru că $9^3 = 729$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

   Compararea a două sfere

   O sferă are raza $2$ cm, alta are raza $4$ cm. Compară ariile și volumele corpurilor sferice.

   Arată rezolvarea

   Ariile: $4\pi\cdot4 = 16\pi$ cm² și $4\pi\cdot16 = 64\pi$ cm², raport $4$.

   Volumele: $\dfrac{4\pi\cdot8}{3} = \dfrac{32\pi}{3}$ cm³ și $\dfrac{4\pi\cdot64}{3} = \dfrac{256\pi}{3}$ cm³, raport $8$.

   Raza s-a dublat: aria crește de $2^2 = 4$ ori, volumul de $2^3 = 8$ ori.

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

    Câtă piele pentru o minge

    O minge are diametrul $24$ cm. Aproximativ câți centimetri pătrați de material acoperă suprafața ei? Folosește $\pi \approx 3{,}14$.

    Arată rezolvarea

    Raza: $12$ cm. Suprafața mingii este o sferă: $A = 4\pi\cdot144 = 576\pi$ cm².

    Cu $\pi \approx 3{,}14$: $A \approx 1\,808{,}64$ cm².

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

    Un corp sferic topit și turnat într-un cilindru

    Un corp sferic de metal cu raza $3$ cm este topit, iar metalul este turnat într-o formă cilindrică cu raza $3$ cm. Ce înălțime are cilindrul obținut?

    Arată rezolvarea

    Volumul se păstrează. Corpul sferic: $V = 36\pi$ cm³.

    Cilindrul: $\pi\cdot9\cdot h = 36\pi$, deci $h = 4$ cm.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

    Raportul volumelor

    Raza unui corp sferic este de $3$ ori mai mare decât raza altuia. De câte ori este mai mare volumul?

    Arată rezolvarea

    Volumul depinde de $r^3$: $3^3 = 27$. Volumul este de $27$ ori mai mare.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

    Eroare: diametrul folosit drept rază

    O sferă are diametrul $6$ cm. Un elev calculează $A = 4\pi\cdot6^2 = 144\pi$ cm². Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu. În formulă intră raza, nu diametrul: $r = 3$ cm.

    $A = 4\pi\cdot9 = 36\pi$ cm², de $4$ ori mai puțin decât rezultatul elevului.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

    Eroare: exponentul greșit la volum

    Un elev calculează volumul unui corp sferic cu raza $4$ cm astfel: $V = \dfrac{4\pi\cdot4^2}{3} = \dfrac{64\pi}{3}$ cm³. Ce a greșit?

    Arată rezolvarea

    La volum raza este la puterea a treia: $4^3 = 64$, nu $4^2 = 16$.

    $V = \dfrac{4\pi\cdot64}{3} = \dfrac{256\pi}{3}$ cm³.

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Arii și volume: corpuri rotunde și sfera›Sfera: aria și volumul

    Eroare: „volumul sferei” în cm²

    Un elev scrie: „volumul sferei cu raza $1$ cm este $4\pi$ cm²”. Ce trebuie corectat?

    Arată rezolvarea

    A folosit formula ariei. $4\pi\cdot1^2 = 4\pi$ cm² este aria sferei.

    Volumul corpului sferic este $\dfrac{4\pi\cdot1^3}{3} = \dfrac{4\pi}{3}$ cm³, în unități cubice.

    Vezi lecția