Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 66 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Corpuri geometrice›Cilindrul și conul circular drept

   Exemplul 7: înălțimea conului, cunoscând raza și generatoarea

   Un con circular drept are raza $r = 6$ cm și generatoarea $g = 10$ cm. Calculează înălțimea.

   Arată rezolvarea

   $$h^2 = g^2 - r^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$$

   $$h = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Corpuri geometrice›Cilindrul și conul circular drept

   Exemplul 8: raza conului, cunoscând înălțimea și generatoarea

   Un con circular drept are înălțimea $h = 12$ cm și generatoarea $g = 13$ cm. Calculează raza.

   Arată rezolvarea

   $$r^2 = g^2 - h^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$$

   $$r = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Corpuri geometrice›Cilindrul și conul circular drept

   Exemplul 9: lățimea dreptunghiului din desfășurarea cilindrului

   Un cilindru circular drept are raza $r = 5$ cm. Calculează lățimea dreptunghiului din desfășurarea lui.

   Arată rezolvarea

   Lățimea dreptunghiului lateral este lungimea cercului bazei, $2\pi r$.

   $$2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi \text{ cm}$$

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Corpuri geometrice›Cilindrul și conul circular drept

   Exemplul 10: raza cilindrului, cunoscând lățimea dreptunghiului

   Desfășurarea unui cilindru are un dreptunghi lateral cu lățimea $12\pi$ cm. Calculează raza cilindrului.

   Arată rezolvarea

   $$2\pi r = 12\pi \Rightarrow r = 6 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Corpuri geometrice›Cilindrul și conul circular drept

   Exemplul 11: unghiul sectorului din desfășurarea conului

   Un con circular drept are raza $r = 3$ cm și generatoarea $g = 9$ cm. Calculează unghiul sectorului din desfășurare.

   Arată rezolvarea

   Unghiul sectorului se calculează din raportul dintre rază și generatoare.

   $$\theta = \dfrac{r}{g} \cdot 360° = \dfrac{3}{9} \cdot 360° = 120°$$

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Corpuri geometrice›Cilindrul și conul circular drept

   Exemplul 12: raza conului, cunoscând unghiul sectorului

   Desfășurarea unui con circular drept este exact un semicerc ($180°$) de rază $g = 8$ cm. Calculează raza bazei conului.

   Arată rezolvarea

   $$\theta = \dfrac{r}{g} \cdot 360° \Rightarrow 180° = \dfrac{r}{8} \cdot 360°$$

   $$r = \dfrac{180 \cdot 8}{360} = 4 \text{ cm}$$

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Corpuri geometrice›Cilindrul și conul circular drept

   Exemplul 13: corectarea unei confuzii cilindru–prismă

   Un coleg spune: „Cilindrul este o prismă cu foarte multe laturi la bază.” Ce e corect și ce e greșit în afirmația asta?

   Arată rezolvarea

   Corect: analogia cu generatoarele, care sunt paralele cu axa și congruente, la fel ca muchiile laterale ale unei prisme drepte.

   Greșit: baza cilindrului este un cerc, nu un poligon, iar suprafața lui laterală este curbă, nu formată din dreptunghiuri plane. Cilindrul nu este, de fapt, o prismă, oricâte laturi „ai imagina” la bază.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Exemplul 1: aplicarea directă a criteriului dreaptă–plan

   Dreapta $d$ este paralelă cu dreapta $AB$, conținută în planul $\alpha$. Dreapta $d$ nu este conținută în $\alpha$. Ce poziție are $d$ față de $\alpha$?

   Arată rezolvarea

   Se aplică direct criteriul: $d \parallel AB$, $AB \subset \alpha$, $d \not\subset \alpha$.

   Răspuns: $d \parallel \alpha$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

   Exemplul 2: de ce nu este de ajuns o singură dreaptă pentru plan–plan

   Planul $\alpha$ conține o dreaptă $d$ paralelă cu planul $\beta$. Este suficient acest fapt ca să concluzionezi $\alpha \parallel \beta$?

   Arată rezolvarea

   Nu. Planul $\alpha$ poate conține și altă dreaptă, cu altă direcție, care să taie $\beta$. O singură direcție paralelă nu fixează orientarea întregului plan $\alpha$.

   Ai nevoie de o a doua dreaptă din $\alpha$, concurentă cu prima (deci cu altă direcție), tot paralelă cu $\beta$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Exemplul 3: criteriul plan–plan aplicat

    Dreptele $AB$ și $AC$, concurente în $A$, sunt conținute în planul $\alpha$. Amândouă sunt paralele cu planul $\beta$. Ce relație au $\alpha$ și $\beta$?

    Arată rezolvarea

    Două drepte concurente ale lui $\alpha$, fiecare paralelă cu $\beta$: criteriul plan–plan se aplică direct.

    Răspuns: $\alpha \parallel \beta$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Exemplul 4: unghiul a două drepte concurente

    Dreptele $OP$ și $OQ$ se intersectează în $O$, formând un unghi de $45°$ (vezi figura). Care este unghiul lor?

    Arată rezolvarea

    Fiind concurente, unghiul lor este exact unghiul obișnuit măsurat în $O$: $45°$.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Exemplul 5: unghiul a două drepte necoplanare, pas cu pas

    Dreptele $AF$ și $DH$ ale cubului $ABCD$–$EFGH$ sunt necoplanare. Determină unghiul dintre ele.

    Arată rezolvarea

    Pasul 1: observi că $AE \parallel DH$ (ambele muchii verticale ale cubului).

    Pasul 2: $AE$ trece prin $A$, care este deja pe $AF$, deci $AE$ este paralela la $DH$ dusă prin $A$.

    Pasul 3: în pătratul $ABFE$, diagonala $AF$ formează cu latura $AE$ un unghi de $45°$ (triunghiul $AEF$ este dreptunghic isoscel), deci $\widehat{FAE} = 45°$.

    Răspuns: unghiul dintre $AF$ și $DH$ este $45°$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Exemplul 6: alegerea punctului de translație

    Pentru unghiul dintre dreptele necoplanare $d$ și $e$, trebuie neapărat construită paralela la $e$ printr-un punct al lui $d$?

    Arată rezolvarea

    Nu neapărat. Poți construi paralela la $e$ (sau la $d$) printr-UN PUNCT OARECARE din spațiu, nu doar printr-un punct de pe cealaltă dreaptă. Alegerea unui punct comun existent (ca $A$ în exemplul anterior) este doar o comoditate, pentru că evită un punct auxiliar nou.

    Rezultatul (măsura unghiului) este același indiferent de punctul ales, pentru că translația paralelă nu schimbă direcția dreptei.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Exemplul 7: recunoașterea unei perechi de muchii perpendiculare pe cub

    Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, ce unghi au muchiile concurente $AB$ și $AE$?

    Arată rezolvarea

    $AB$ și $AE$ se intersectează în $A$ și sunt laturi consecutive ale pătratului $ABFE$, deci $\widehat{BAE} = 90°$.

    Răspuns: $90°$ (perpendiculare).

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Exemplul 8: identificarea unui raționament greșit (criteriul dreaptă–plan)

    Un elev spune: „Dreapta $d$ este paralelă cu un punct al planului $\alpha$, deci $d \parallel \alpha$.” Este corect raționamentul?

    Arată rezolvarea

    Nu. „Paralelă cu un punct” nu are sens: paralelismul se definește între două drepte (sau o dreaptă și un plan), nu între o dreaptă și un punct.

    Forma corectă a criteriului cere o DREAPTĂ conținută în plan, paralelă cu $d$, nu un simplu punct.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Exemplul 9: identificarea unui raționament greșit (unghiul dintre drepte)

    Un elev măsoară cu raportorul, direct pe desenul în proiecție, unghiul dintre două drepte necoplanare ale unui cub, și obține $70°$. Este validă această măsurare?

    Arată rezolvarea

    Nu. Desenul este o proiecție; unghiul „văzut” pe proiecție nu este unghiul real dintre drepte, pentru că proiecția deformează unghiurile (vezi lecția despre desen ca proiecție, Modulul 7).

    Unghiul corect se obține doar prin construcția translației paralele și calcul în triunghiul obținut (folosind proprietățile corpului), nu prin măsurare pe desen.

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Exemplul 10: plan determinat de criteriul dreaptă–plan, aplicație inversă

    Dreapta $d$ este paralelă cu planul $\alpha$. Alegi orice plan $\beta$ care conține $d$ și intersectează $\alpha$. Ce se poate spune despre dreapta de intersecție a lui $\alpha$ și $\beta$?

    Arată rezolvarea

    Dreapta de intersecție dintre $\alpha$ și $\beta$ este paralelă cu $d$. Argument: dreapta de intersecție și $d$ sunt amândouă în planul $\beta$, deci sunt fie secante, fie paralele. Dacă ar fi secante, punctul lor comun ar fi un punct al lui $d$ aflat în $\alpha$, dar $d$ nu are niciun punct comun cu $\alpha$ (fiind paralelă cu el), contradicție.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Exemplul 11: aplicație pe cub pentru criteriul plan–plan

    Pe cubul $ABCD$–$EFGH$, fața de jos $(ABCD)$ conține dreptele concurente $AB$ și $AD$. Amândouă sunt paralele cu fața de sus $(EFGH)$. Ce poziție au cele două fețe?

    Arată rezolvarea

    $AB$ și $AD$ sunt concurente în $A$ și fiecare este paralelă cu planul $(EFGH)$.

    Prin criteriul plan–plan, $(ABCD) \parallel (EFGH)$, fapt deja cunoscut, dar verificat acum printr-un argument, nu doar prin aspect.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Exemplul 12: unghiul dintre o diagonală de față și o muchie, pe cub

    Determină unghiul dintre diagonala $AF$ și muchia $AB$ ale cubului $ABCD$–$EFGH$.

    Arată rezolvarea

    $AF$ și $AB$ sunt concurente în $A$, deci unghiul lor este chiar $\angle FAB$.

    Ambele drepte sunt în fața $ABFE$, care este un pătrat, iar $AF$ este o diagonală a lui. Diagonala unui pătrat este bisectoarea unghiului drept, deci $\angle FAB = 90° : 2 = 45°$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Paralelism și perpendicularitate în spațiu›Paralelism în spațiu. Unghiul a două drepte

    Exemplul 13: distincția dintre „nu se intersectează” și „paralele”, aplicată la unghi

    Dreptele $d$ și $e$ nu au niciun punct comun. Poți calcula direct unghiul lor ca unghi între drepte concurente?

    Arată rezolvarea

    Nu direct. Trebuie întâi să stabilești dacă $d$ și $e$ sunt paralele (unghi $0°$) sau necoplanare (unghi obținut prin translație paralelă). Fără a determina acest lucru, nu ai punctul de plecare corect pentru calcul.

    Vezi lecția