Exemple rezolvate pas cu pas, organizate după clasă și capitol. Citește enunțul, încearcă să rezolvi singur, apoi deschide rezolvarea.
1415 probleme · pagina 65 din 71
Un coleg spune: „Orice trei puncte determină un plan.” Este corectă afirmația?
Nu. Dacă cele trei puncte sunt coliniare, prin ele trece o infinitate de plane, nu unul singur. Condiția de necolinearitate este obligatorie pentru ca trei puncte să determine un plan unic.
Forma corectă: trei puncte necoliniare determină un plan unic.
Câte vârfuri, muchii și fețe are cubul – din figura de deschidere?
Un cub este o prismă patrulateră ( laturi la bază).
Vârfuri: . Muchii: . Fețe: . Corespunde exact celor 8 litere …, celor 12 segmente desenate (unele punctate) și celor 6 pătrate ale cubului.
De ce paralelipipedul dreptunghic – din secțiunea „Cubul și paralelipipedul” nu este un cub?
Cele trei dimensiuni sunt , , , deci diferite. Un cub cere ca toate cele 12 muchii să fie egale.
Este totuși un paralelipiped dreptunghic: toate fețele sunt dreptunghiuri, iar fețele opuse sunt paralele.
Care sunt cele două baze ale prismei – și câte fețe laterale are?
Bazele sunt cele două triunghiuri congruente și paralele: și .
Fețele laterale sunt câte una pentru fiecare latură a bazei: 3 fețe laterale, toate dreptunghiuri, pentru că prisma este dreaptă.
Care este apexul piramidei și câte muchii laterale are?
Apexul este , punctul comun tuturor fețelor laterale, situat în afara planului bazei .
Muchiile laterale sunt , , , : câte una pentru fiecare vârf al bazei, deci 4 muchii laterale, pentru că baza are 4 laturi.
De ce tetraedrul este considerat o piramidă?
Tetraedrul are o bază triunghiulară, de exemplu , și un al patrulea punct, , care nu este în planul bazei și este comun celorlalte trei fețe. Exact structura unei piramide: bază + apex.
Diferența față de o piramidă „obișnuită” e doar forma bazei (un triunghi, cel mai simplu poligon posibil).
O prismă are baza un pentagon ( laturi). Câte fețe are în total?
Fețe = : cele 2 baze pentagonale plus cele 5 fețe laterale.
O piramidă are baza un pentagon ( laturi). Câte fețe are în total?
Fețe = : 1 bază pentagonală plus 5 fețe laterale triunghiulare.
Câte vârfuri și câte muchii are prisma pentagonală de mai sus?
Vârfuri = : câte 5 pe fiecare bază.
Muchii = : câte 5 pe fiecare bază, plus 5 muchii laterale.
Câte vârfuri și câte muchii are piramida pentagonală de mai sus?
Vârfuri = : cele 5 ale bazei plus apexul.
Muchii = : cele 5 ale bazei plus cele 5 muchii laterale (spre apex).
De ce desfășurarea din secțiunea „Desfășurarea unui poliedru” se pliază exact într-un cub?
Are exact 6 pătrate congruente (câte are un cub), așezate astfel încât fiecare latură comună a două pătrate alăturate devine, prin pliere, o muchie a cubului.
Aranjamentul „în cruce” (4 pătrate pe o coloană, plus câte unul de o parte și de alta a celui de-al treilea) este unul dintre aranjamentele care se închid fără goluri și fără suprapuneri, exact peste cele 6 fețe ale unui cub.
Un elev desenează 6 pătrate congruente, așezate într-un dreptunghi de pătrate (2 rânduri, 3 coloane), și spune că e o desfășurare de cub. Este corect?
Nu. Are, e drept, 6 pătrate congruente, dar aranjamentul contează la fel de mult ca numărul lor.
Pliind un dreptunghi de pătrate pe liniile lui interioare, unele pătrate ajung să se suprapună peste altele, în loc să formeze exact cele 6 fețe distincte ale unui cub. Nu orice grup de 6 pătrate congruente este o desfășurare validă de cub.
Una dintre cele două desfășurări din lecție are 3 dreptunghiuri și 2 triunghiuri; cealaltă are 1 pătrat și 4 triunghiuri. Ce poliedru formează fiecare?
3 dreptunghiuri (fețe laterale) + 2 triunghiuri (baze) = o prismă triunghiulară dreaptă: 2 baze congruente și 3 fețe laterale.
1 pătrat (bază) + 4 triunghiuri (fețe laterale, toate întâlnite în același vârf) = o piramidă cu bază pătrată.
Un coleg spune: „Un tetraedru are 4 muchii, câte una pe fiecare față.” Este corectă afirmația?
Nu. Tetraedrul are 6 muchii, nu 4. Greșeala este să numeri o muchie o singură dată „pentru” o singură față, când, de fapt, fiecare muchie este comună la exact două fețe.
Verificare directă: tetraedrul are muchiile , , , , , , adică exact 6.
Ce corp geometric obții rotind complet un dreptunghi în jurul uneia dintre laturile lui?
Un cilindru circular drept. Latura în jurul căreia se rotește devine axa; latura opusă mătură suprafața laterală; celelalte două laturi (perpendiculare pe axă) mătură cele două baze circulare.
Ce corp geometric obții rotind complet un triunghi dreptunghic în jurul uneia dintre catete?
Un con circular drept. Cateta în jurul căreia se rotește devine axa (și înălțimea); cealaltă catetă mătură baza circulară; ipotenuza mătură suprafața laterală și devine generatoarea.
Care sunt bazele, axa și o generatoare ale cilindrului din figura din secțiunea „Cilindrul circular drept: elemente”?
Bazele sunt cele două cercuri, cu centrele și și raza .
Axa este dreapta . O generatoare este segmentul , paralel cu axa.
Un cilindru circular drept are înălțimea cm. Cât este lungimea unei generatoare?
La cilindrul drept, orice generatoare este paralelă cu axa și are exact lungimea înălțimii: generatoarea are cm.
Care sunt baza, vârful și o generatoare ale conului din figura din secțiunea „Conul circular drept: elemente”?
Baza este cercul de centru și rază . Vârful este .
O generatoare este segmentul , unde este un punct de pe cercul bazei.
Un con circular drept are raza cm și înălțimea cm. Calculează generatoarea.