Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 64 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

   Exemplul 9: un set fără mod

   Punctajele $60, 70, 80, 90, 100$ au fiecare frecvența 1. Care este modul?

   Arată rezolvarea

   Fiecare valoare apare o singură dată, deci nicio valoare nu este mai frecventă decât celelalte. Setul nu are mod.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

   Exemplul 10: amplitudinea unui set de date

   Temperaturile maxime dintr-o săptămână: $18, 21, 17, 25, 19, 16, 23$. Calculează amplitudinea.

   Arată rezolvarea

   $25 - 16 = 9$Maximul minus minimul.

   Amplitudinea este 9 grade.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

   Exemplul 11: greșeala frecventă, amplitudinea nu este maximul

   Un elev spune că amplitudinea setului $4, 10, 6, 10, 4$ este $10$. Ce a greșit?

   Arată rezolvarea

   A confundat amplitudinea cu valoarea maximă. Amplitudinea este o diferență.

   $10 - 4 = 6$Maximul (10) minus minimul (4).

   Amplitudinea corectă este 6.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

   Exemplul 12: modul confundat cu cea mai mare valoare

   Un elev spune că modul setului $2, 2, 9$ este $9$, „pentru că e cel mai mare”. Este corect?

   Arată rezolvarea

   Nu. Modul este valoarea cea mai frecventă, nu cea mai mare. Valoarea 2 apare de 2 ori, iar 9 apare o singură dată.

   Modul corect este 2.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

   Exemplul 13: greșeala frecventă, împărțirea la numărul de rânduri

   Un tabel arată: nota 7 → frecvență 3, nota 8 → frecvență 5, nota 9 → frecvență 2. Un elev calculează media ca $(7 + 8 + 9) : 3 = 8$. Ce a greșit și care este media corectă?

   Arată rezolvarea

   Elevul a împărțit la numărul de rânduri din tabel (3), nu la numărul de note. Fiecare notă trebuie luată de câte ori apare.

   $7 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 9 \cdot 2 = 21 + 40 + 18 = 79$

   $3 + 5 + 2 = 10$Numărul total de note (suma frecvențelor), nu 3.

   $79 : 10 = 7{,}9$

   Media corectă este 7,9, nu 8.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

   Exemplul 14: aceeași medie, seturi diferite

   Compară punctajele $5, 6, 7$ cu punctajele $1, 6, 11$. Au aceeași medie?

   Arată rezolvarea

   $(5 + 6 + 7) : 3 = 6$

   $(1 + 6 + 11) : 3 = 6$

   Da, ambele au media 6. Dar amplitudinea lor este diferită: $7 - 5 = 2$, respectiv $11 - 1 = 10$. Primul set este strâns în jurul mediei, al doilea este foarte împrăștiat, deși media este identică.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

   Exemplul 15: toți indicatorii dintr-un tabel de frecvențe

   25 de elevi au citit într-o lună un număr de cărți: 0 cărți → 3 elevi, 1 carte → 7 elevi, 2 cărți → 9 elevi, 3 cărți → 4 elevi, 4 cărți → 2 elevi. Calculează media, mediana, modul și amplitudinea.

   Arată rezolvarea

   Cărțile citite de cei 25 de elevi

   Cărți citite	Frecvență
   0	3
   1	7
   2	9
   3	4
   4	2

   $0 \cdot 3 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 0 + 7 + 18 + 12 + 8 = 45$

   $3 + 7 + 9 + 4 + 2 = 25$

   $45 : 25 = 1{,}8$Media.

   Pentru mediană: sunt 25 de valori (impar), deci mediana este valoarea de pe poziția a 13-a din șirul ordonat. Primele 3 valori sunt 0, următoarele 7 (poziții 4-10) sunt 1, următoarele 9 (poziții 11-19) sunt 2. Poziția 13 cade în acest ultim grup, deci mediana este 2.

   Modul este 2 (frecvența cea mai mare, 9). Amplitudinea este $4 - 0 = 4$.

   Media (1,8) este mai mică decât mediana și modul (2): 10 din cei 25 de elevi au citit cel mult o carte, ceea ce trage media în jos, dar cei mai mulți elevi (9 din 25) au citit exact 2 cărți.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

   Exemplul 16: citirea unui grafic cu bare

   Pe graficul de mai jos sunt golurile marcate de o echipă în 7 meciuri. Calculează media, mediana, modul și amplitudinea.

   Arată rezolvarea

   • meci 1: 1
   • meci 2: 2
   • meci 3: 3
   • meci 4: 4
   • meci 5: 3
   • meci 6: 5
   • meci 7: 3

   $1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 5 + 3 = 21$

   $21 : 7 = 3$Media.

   Ordonate: $1, 2, 3, 3, 3, 4, 5$ (7 valori). Mediana (poziția a 4-a) este 3. Valoarea 3 are frecvența cea mai mare (apare de 3 ori): modul este 3. Amplitudinea este $5 - 1 = 4$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

   Exemplul 1: determinarea unui plan prin trei puncte

   Punctele $A$, $B$, $C$ nu sunt coliniare. Câte plane conțin toate cele trei puncte?

   Arată rezolvarea

   Trei puncte necoliniare determină un plan unic: planul $(ABC)$. Dacă ar fi coliniare, prin ele ar trece o infinitate de plane, la fel cum prin ele trece o singură dreaptă, nu un plan unic.

   Răspuns: exact un singur plan, $(ABC)$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

    Exemplul 2: dreaptă și punct exterior

    Dreapta $d$ trece prin $P$ și $Q$. Punctul $R$ nu se află pe $d$. Ce determină $d$ împreună cu $R$?

    Arată rezolvarea

    O dreaptă și un punct exterior ei determină un plan unic: cel care conține toată dreapta $d$ și punctul $R$.

    Răspuns: planul $(PQR)$.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

    Exemplul 3: două drepte paralele determină un plan

    Dreptele $d$ și $e$ sunt paralele. De ce se poate spune că determină un plan?

    Arată rezolvarea

    Fiind paralele, $d$ și $e$ sunt automat coplanare: există un plan care le conține pe amândouă. Pentru că sunt distincte și au aceeași direcție, acel plan este unic.

    Răspuns: planul comun al celor două drepte paralele, unic determinat.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

    Exemplul 4: două drepte concurente determină un plan

    Dreptele $d$ și $e$ se intersectează în punctul $M$. Ce plan determină?

    Arată rezolvarea

    Fiind concurente, $d$ și $e$ au un punct comun, deci sunt coplanare. Planul lor comun este unic determinat de cele două direcții diferite care se întâlnesc în $M$.

    Răspuns: planul comun al celor două drepte concurente.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

    Exemplul 5: recunoașterea a două drepte secante

    Dreptele $d$ și $e$ au un singur punct comun, $M$. Ce poziție relativă au?

    Arată rezolvarea

    Un singur punct comun înseamnă secante (concurente).

    Fiind secante, sunt automat coplanare: există un plan comun care le conține.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

    Exemplul 6: recunoașterea a două drepte paralele

    Dreptele $d$ și $e$ nu au niciun punct comun, dar au aceeași direcție. Ce poziție au?

    Arată rezolvarea

    Fără punct comun, dar cu aceeași direcție: sunt paralele. Ca și dreptele secante, sunt coplanare.

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

    Exemplul 7: muchii necoplanare pe un cub

    Pe cubul $ABCD$–$EFGH$ (vezi figura din secțiunea de aplicație), ce poziție au muchiile $AB$ și $DH$? Ele nu se ating pe desen.

    Arată rezolvarea

    Verifici întâi dacă au aceeași direcție: $AB$ merge de-a lungul muchiei feței din față, $DH$ merge de-a lungul unei muchii verticale, în spate. Direcțiile sunt diferite, deci nu sunt paralele.

    Cum nu au niciun punct comun (verificat direct pe cub) și nu sunt paralele, $AB$ și $DH$ sunt necoplanare. Nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă.

    Atenție la desen

    Pe unele unghiuri de desenare, două muchii necoplanare ale unui cub pot părea că „aproape” se ating. Aparența nu contează: contează dacă au sau nu un punct comun real și dacă au sau nu aceeași direcție.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

    Exemplul 8: dreaptă conținută într-un plan

    Punctele $L_1$ și $L_2$ aparțin ambele planului $\alpha$. Ce poziție are dreapta $L_1L_2$ față de $\alpha$?

    Arată rezolvarea

    Dacă două puncte ale unei drepte aparțin unui plan, atunci toată dreapta este conținută în acel plan: orice alt punct al ei se obține tot din combinația celor două, rămânând în plan.

    Răspuns: dreapta $L_1L_2$ este conținută în $\alpha$.

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

    Exemplul 9: dreaptă concurentă cu un plan

    Dreapta $e$ are un punct deasupra planului $\alpha$ și un punct dedesubtul lui. Ce se poate spune despre poziția ei față de $\alpha$?

    Arată rezolvarea

    Dacă dreapta trece de o parte și de alta a planului, ea îl străpunge undeva pe drum. Punctul acela este exact un singur punct comun.

    Răspuns: $e$ este concurentă (secantă) cu $\alpha$.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

    Exemplul 10: dreaptă paralelă cu un plan

    Dreapta $f$ nu are niciun punct comun cu planul $\alpha$. Ce poziție are?

    Arată rezolvarea

    Fără niciun punct comun cu planul, dreapta nu poate fi nici conținută în el, nici concurentă cu el. Rămâne paralelă.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

    Exemplul 11: două fețe paralele ale unui cub

    La cubul $ABCD$–$EFGH$, ce poziție relativă au fața de jos $(ABCD)$ și fața de sus $(EFGH)$?

    Arată rezolvarea

    Cele două fețe nu au niciun punct comun: una se află în planul de jos, cealaltă în planul de sus, la 4 unități deasupra.

    Răspuns: plane paralele.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Introducere în geometria în spațiu›Puncte, drepte și plane în spațiu

    Exemplul 12: două fețe secante ale unui cub, cu dreapta lor comună

    La același cub, fețele $(ABFE)$ (față) și $(EFGH)$ (sus) au un punct comun, $E$. Ce se poate spune despre poziția lor și care este dreapta comună?

    Arată rezolvarea

    Dacă două plane au un punct comun, ele au automat o dreaptă comună întreagă, nu doar un punct. Cele două fețe împart muchia $EF$.

    Răspuns: plane secante, cu dreapta comună $EF$.

    Vezi lecția