Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 63 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

   Exemplul 2: grafic pe domeniu finit

   Reprezintă grafic $f(x) = 3x + 1$ pe domeniul $\{-2, -1, 0, 1\}$.

   Arată rezolvarea

   Valorile funcției $f(x) = 3x + 1$

   $x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$
   $f(x)$	$-5$	$-2$	$1$	$4$

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

   Exemplul 3: grafic pe un interval

   Reprezintă grafic $f(x) = 2x - 3$ pe intervalul $[-1, 3]$.

   Arată rezolvarea

   $f(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -5$

   $f(3) = 2 \cdot 3 - 3 = 3$

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

   Exemplul 4: grafic pe ℝ, funcție crescătoare

   Reprezintă grafic $f(x) = x + 2$ pe $\mathbb{R}$.

   Arată rezolvarea

   $f(0) = 2$

   $f(2) = 4$

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

   Exemplul 5: grafic pe ℝ, funcție descrescătoare

   Reprezintă grafic $f(x) = -3x + 1$ pe $\mathbb{R}$.

   Arată rezolvarea

   $f(0) = 1$

   $f(1) = -3 + 1 = -2$

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

   Exemplul 6: intersecția cu Oy

   Găsește intersecția cu axa Oy a graficului lui $f(x) = 5x - 3$.

   Arată rezolvarea

   $$f(0) = 5 \cdot 0 - 3 = -3 \Rightarrow (0, -3)$$

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

   Exemplul 7: intersecția cu Ox

   Găsește intersecția cu axa Ox a graficului lui $f(x) = 2x - 8$.

   Arată rezolvarea

   $2x - 8 = 0$

   $2x = 8$

   $x = 4$

   Intersecția cu Ox este punctul $(4, 0)$.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

   Exemplul 8: ambele intersecții și graficul

   Găsește intersecțiile cu axele pentru $f(x) = -x + 3$ și reprezintă graficul.

   Arată rezolvarea

   $\text{Oy: } f(0) = 3 \Rightarrow (0, 3)$

   $\text{Ox: } -x + 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow (3, 0)$

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

   Exemplul 9: citirea unui grafic dat

   Pe graficul lui $f(x) = -x + 3$ sunt marcate punctele $(1, 2)$ și $(2, 1)$ (vezi figura). Citește $f(1)$ și găsește $x$ pentru care $f(x) = 1$.

   Arată rezolvarea

   Punctul $(1, 2)$ are înălțimea $2$, deci $f(1) = 2$.

   Punctul de la înălțimea $1$ este $(2, 1)$, deci $f(x) = 1$ pentru $x = 2$.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

   Exemplul 10: coeficient fracționar, domeniu finit

   Completează tabelul pentru $f(x) = \dfrac{1}{2}x - 2$, cu $x \in \{-2, 0, 2, 4\}$.

   Arată rezolvarea

   Valorile funcției $f(x) = \dfrac{1}{2}x - 2$

   $x$	$-2$	$0$	$2$	$4$
   $f(x)$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

    Exemplul 11: funcție constantă negativă

    Reprezintă grafic funcția constantă $f(x) = -2$ pe $\mathbb{R}$.

    Arată rezolvarea

    $a = 0$, $b = -2$: fiecare $x$ are imaginea $-2$. Graficul este o dreaptă orizontală, sub axa Ox.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

    Exemplul 12: monotonia din formulă

    Spune dacă fiecare funcție este crescătoare, descrescătoare sau constantă, doar din formulă: $f_1(x) = 5x - 1$, $f_2(x) = -x + 10$, $f_3(x) = 7$.

    Arată rezolvarea

    • $f_1(x) = 5x - 1$: $a = 5 > 0$, crescătoare.
    • $f_2(x) = -x + 10$: $a = -1 < 0$, descrescătoare.
    • $f_3(x) = 7$: $a = 0$, constantă.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

    Exemplul 13: problemă aplicată

    Un abonament telefonic costă 20 de lei pe lună, plus 3 lei pentru fiecare minut peste limita inclusă. Scrie funcția care dă costul total în funcție de numărul de minute suplimentare și calculează costul pentru 0, 5 și 10 minute suplimentare.

    Arată rezolvarea

    $$f(x) = 3x + 20$$

    $f(0) = 3 \cdot 0 + 20 = 20$

    $f(5) = 3 \cdot 5 + 20 = 35$

    $f(10) = 3 \cdot 10 + 20 = 50$

    $a = 3 > 0$: costul crește pe măsură ce vorbești mai multe minute suplimentare. $b = 20$ este costul fix, cel pe care îl plătești chiar dacă nu depășești limita.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

    Exemplul 1: verifică un tabel de frecvențe

    Notele a 20 de elevi au fost organizate astfel: nota 6 → frecvență 2, nota 7 → frecvență 5, nota 8 → frecvență 7, nota 9 → frecvență 4, nota 10 → frecvență 2. Este tabelul corect?

    Arată rezolvarea

    $2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20$Suma frecvențelor.

    Suma este 20, exact numărul de elevi. Tabelul este corect.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

    Exemplul 2: media dintr-un tabel de frecvențe

    Calculează media notelor din tabelul de mai sus.

    Arată rezolvarea

    $6 \cdot 2 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 7 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 2 = 159$Fiecare notă, de câte ori apare.

    $159 : 20 = 7{,}95$

    Media este 7,95, între cea mai mică notă (6) și cea mai mare (10).

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

    Exemplul 3: frecvența relativă

    Într-un set de 25 de valori, valoarea $3$ apare de $5$ ori. Care este frecvența ei relativă, ca fracție, ca număr zecimal și ca procent?

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\%$Frecvența absolută (5) împărțită la numărul total de valori (25).

    Valoarea $3$ reprezintă $20\%$ din setul de date.

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

    Exemplul 4: mediana pentru un număr impar de valori

    Calculează mediana timpilor (secunde) $142, 150, 138, 145, 160, 138, 149$.

    Arată rezolvarea

    $138, 138, 142, 145, 149, 150, 160$Ordonare crescătoare.

    Sunt 7 valori (impar). Mediana este valoarea de pe poziția a 4-a: 145.

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

    Exemplul 5: mediana pentru un număr par de valori

    Calculează mediana paginilor citite $12, 20, 15, 18, 25, 10, 22, 16$.

    Arată rezolvarea

    $10, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 25$Ordonare crescătoare.

    $(16 + 18) : 2 = 17$Media celor două valori din mijloc (pozițiile 4 și 5).

    Mediana este 17.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

    Exemplul 6: greșeala frecventă, mediana fără sortare

    Un elev calculează mediana setului $8, 3, 10, 5, 7$ luând valoarea de pe poziția a treia din enunț, $10$. Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu. Mediana se calculează pe șirul ordonat, nu pe cel din enunț.

    $3, 5, 7, 8, 10$Ordonare crescătoare.

    Mediana corectă este 7, valoarea din mijlocul șirului ordonat, nu 10.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

    Exemplul 7: modul unui set de date

    Numerele de pantofi a 10 persoane: $38, 39, 38, 40, 41, 38, 39, 42, 38, 40$. Care este modul?

    Arată rezolvarea

    Frecvența fiecărui număr de pantofi

    Număr	Frecvență
    38	4
    39	2
    40	2
    41	1
    42	1

    Numărul 38 are frecvența cea mai mare, 4. Modul este 38.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Statistică›Elemente de statistică: frecvență, medie, mediană, mod, amplitudine

    Exemplul 8: un set cu mai multe moduri

    Numărul de frați ai 12 elevi: $0, 1, 1, 2, 0, 3, 2, 1, 0, 2, 1, 2$. Are acest set un singur mod?

    Arată rezolvarea

    Numărul de frați ai celor 12 elevi

    Frați	Frecvență
    0	3
    1	4
    2	4
    3	1

    Valorile 1 și 2 au amândouă frecvența maximă, 4. Setul este multimodal: are două moduri, 1 și 2.

    Vezi lecția