Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 62 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

   Exemplul 10: ecuație reductibilă, de forma $(x+m)^2=k$

   Rezolvă $(x+1)^2=4$.

   Arată rezolvarea

   $x+1=2 \ \text{sau} \ x+1=-2$un pătrat egal cu 4 înseamnă bază $\pm 2$

   $x=1 \ \text{sau} \ x=-3$

   Verificare prin forma standard: $(x+1)^2=4 \Rightarrow x^2+2x+1-4=0 \Rightarrow x^2+2x-3=0$. Prin grupare: $x^2+3x-x-3=x(x+3)-1(x+3)=(x+3)(x-1)=0$, deci $x=-3$ sau $x=1$, aceleași soluții.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

   Exemplul 11: ecuație reductibilă, termeni pe ambele părți

   Rezolvă $3x^2-2x=2x^2+4x$.

   Arată rezolvarea

   $3x^2-2x-2x^2-4x=0$muți totul în stânga

   $x^2-6x=0$

   $x(x-6)=0$

   $x=0 \ \text{sau} \ x=6$

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

   Exemplul 12: descompunere prin grupare

   Rezolvă $x^2-x-6=0$.

   Arată rezolvarea

   $x^2-3x+2x-6=0$spargi $-x$ în $-3x+2x$

   $x(x-3)+2(x-3)=0$

   $(x-3)(x+2)=0$

   $x=3 \ \text{sau} \ x=-2$

   Verificare: pentru $x=3$, $9-3-6=0$ ✓. Pentru $x=-2$, $4+2-6=0$ ✓.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

   Exemplul 13: aplicație cu aria unui pătrat

   Aria unui pătrat cu latura $x$ cm este 49 cm². Află lungimea laturii.

   Arată rezolvarea

   $x^2=49$

   $x=7 \ \text{sau} \ x=-7$

   $x=7 \ \text{cm}$o latură are lungime pozitivă

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

   Exemplul 14: aplicație cu numere

   Pătratul unui număr natural este egal cu triplul lui. Află numărul.

   Arată rezolvarea

   $x^2=3x$$x$ este numărul căutat

   $x^2-3x=0$

   $x(x-3)=0$

   $x=0 \ \text{sau} \ x=3$

   Ambele soluții sunt numere naturale, deci problema are două răspunsuri: 0 și 3. Verificare: $0^2=3 \cdot 0$ ✓ și $3^2=9=3 \cdot 3$ ✓.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

   Exemplul 15: găsește greșeala, soluție uitată

   Un elev a rezolvat $x^2=9$ și a scris doar $x=3$. Este soluția completă?

   Arată rezolvarea

   Nu. Și $(-3)^2=9$, deci ecuația are două soluții: $x=3$ sau $x=-3$. Elevul a uitat rădăcina negativă.

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

   Exemplul 1: recunoaște o funcție

   Este funcție corespondența $\{(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)\}$?

   Arată rezolvarea

   Fiecare element din $\{1, 2, 3, 4\}$ apare o singură dată în prima poziție, cu o singură imagine.

   Da, este funcție.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

   Exemplul 2: un element cu două imagini

   Este funcție corespondența $\{(1, 4), (2, 5), (2, 8), (3, 6)\}$?

   Arată rezolvarea

   Elementul $2$ apare de două ori, cu imaginile $5$ și $8$. Fiecare element din domeniu trebuie să aibă exact o imagine.

   Nu, nu este funcție.

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

   Exemplul 3: un element fără imagine

   Fie $A = \{1, 2, 3\}$. Este funcție corespondența $\{(1, 4), (3, 6)\}$ pe domeniul $A$?

   Arată rezolvarea

   Elementul $2 \in A$ nu are nicio imagine în corespondența dată.

   Nu este funcție pe $A$, pentru că nu orice element al domeniului are o imagine.

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

    Exemplul 4: calculul unor valori

    Fie $f(x) = 3x - 2$. Calculează $f(0)$, $f(2)$ și $f(-1)$.

    Arată rezolvarea

    $f(0) = 3 \cdot 0 - 2 = -2$

    $f(2) = 3 \cdot 2 - 2 = 4$

    $f(-1) = 3 \cdot (-1) - 2 = -5$

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

    Exemplul 5: valori cu formulă pătratică

    Fie $f(x) = x^2 - 1$. Calculează $f(-2)$, $f(0)$ și $f(3)$.

    Arată rezolvarea

    $f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

    $f(0) = 0^2 - 1 = -1$

    $f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$

    O funcție nu trebuie să fie neapărat dată printr-o formulă de gradul întâi; regula poate fi orice calcul bine definit.

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

    Exemplul 6: f(x) nu este o înmulțire

    Fie $f(x) = 5x$. Este adevărat că $f(3) = 5 \cdot 3$?

    Arată rezolvarea

    Da, dar nu pentru că „$f$ ori $3$” ar avea sens. $f(3)$ este valoarea funcției $f$ în $x = 3$, obținută înlocuind $x$ cu $3$ în formula $5x$. Se întâmplă ca formula să fie chiar o înmulțire, dar $f(3)$ rămâne „valoarea lui $f$ în $3$”, nu „$f$ înmulțit cu $3$”.

    $$f(3) = 5 \cdot 3 = 15$$

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

    Exemplul 7: domeniu și codomeniu

    Fie $f: \{1, 2, 3\} \to \{2, 4, 6, 8\}$, cu $f(1) = 2$, $f(2) = 4$, $f(3) = 6$. Precizează domeniul și codomeniul.

    Arată rezolvarea

    • Domeniul este $\{1, 2, 3\}$.
    • Codomeniul este $\{2, 4, 6, 8\}$.
    • Valorile funcției obținute efectiv sunt $2$, $4$ și $6$; $8$ nu este imaginea niciunui element, dar rămâne parte din codomeniu.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

    Exemplul 8: tabel de valori

    Completează tabelul de valori pentru $f(x) = 2x - 1$, cu $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

    Arată rezolvarea

    $x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
    $f(x)$	$-5$	$-3$	$-1$	$1$	$3$

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

    Exemplul 9: de la formulă la puncte pe grafic

    Fie $f(x) = -x + 3$ pe domeniul $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$. Scrie perechile ordonate și reprezintă-le grafic.

    Arată rezolvarea

    Valorile funcției și perechile ordonate.

    $x$	$f(x)$	perechea
    $-1$	$4$	$(-1, 4)$
    $0$	$3$	$(0, 3)$
    $1$	$2$	$(1, 2)$
    $2$	$1$	$(2, 1)$
    $3$	$0$	$(3, 0)$

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

    Exemplul 10: citirea graficului

    Folosind graficul din exemplul anterior, spune cât este $f(1)$ și pentru ce $x$ avem $f(x) = 3$.

    Arată rezolvarea

    Punctul $(1, 2)$ are $x = 1$ și înălțimea $2$, deci $f(1) = 2$.

    Punctul cu înălțimea $3$ este $(0, 3)$, deci $f(x) = 3$ pentru $x = 0$.

    $$f(1) = 2 \qquad f(x) = 3 \text{ pentru } x = 0$$

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

    Exemplul 11: recunoaște o non-funcție pe grafic

    Punctele $(2, 1)$ și $(2, 4)$ sunt pe un grafic. Pot fi amândouă pe graficul aceleiași funcții?

    Arată rezolvarea

    Amândouă punctele au $x = 2$, dar înălțimi diferite, $1$ și $4$. Asta ar însemna că $f(2)$ are două valori diferite, ceea ce încalcă definiția funcției.

    Nu, cele două puncte nu pot fi pe graficul aceleiași funcții.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

    Exemplul 12: o funcție din viața de zi cu zi

    Prețul unui bilet la muzeu depinde de vârstă: până la 6 ani este gratuit, între 7 și 17 ani costă 10 lei, iar de la 18 ani costă 15 lei. Este aceasta o funcție? Care este domeniul?

    Arată rezolvarea

    Fiecare vârstă are exact un preț asociat (nu poți avea două prețuri diferite la aceeași vârstă). Este o funcție de la vârstă la preț.

    Câteva valori ale funcției „preț în funcție de vârstă”.

    vârstă (ani)	$5$	$10$	$15$	$20$
    preț (lei)	$0$	$10$	$10$	$15$

    Domeniul este mulțimea vârstelor posibile (numere naturale de la $0$ în sus); codomeniul poate fi luat ca mulțimea prețurilor posibile, $\{0, 10, 15\}$.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Funcții›Noțiunea de funcție. Graficul unei funcții

    Exemplul 13: domeniul și codomeniul din perechi ordonate

    Se dau perechile ordonate $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 6)$, $(4, 8)$. Reprezintă ele o funcție? Care este domeniul și care sunt valorile obținute? Ce se poate spune despre codomeniu?

    Arată rezolvarea

    Valorile lui $x$ sunt $1$, $2$, $3$, $4$, fără repetări. Fiecare are exact o imagine.

    Da, este funcție.

    • Domeniul este $\{1, 2, 3, 4\}$.
    • Valorile obținute sunt $2$, $4$, $6$, $8$.
    • Perechile nu precizează codomeniul. Poate fi orice mulțime care conține aceste valori, de exemplu $\{2, 4, 6, 8\}$ sau $\mathbb{N}$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Funcții›Funcția liniară f(x) = ax + b

    Exemplul 1: identifică a și b

    Identifică $a$ și $b$ pentru $f(x) = -4x + 7$.

    Arată rezolvarea

    $a = -4$, $b = 7$.

    Vezi lecția