Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 61 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

   Exemplul 9: împărțire, condiția din împărțitor

   Calculează $\dfrac{x+2}{x-1} : \dfrac{x+2}{3}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{x+2}{x-1} \cdot \dfrac{3}{x+2}$condiții: $x \neq 1$ și, din împărțitor, $x \neq -2$

   $= \dfrac{3}{x-1}, \quad x \neq 1, \ x \neq -2$

   Niciun numitor din enunț nu se anulează pentru $x=-2$, dar atunci împărțitorul $\dfrac{x+2}{3}$ este 0, iar împărțirea la 0 nu are sens.

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

   Exemplul 10: împărțire cu descompuneri

   Calculează $\dfrac{x^2-4}{x^2+x} : \dfrac{x-2}{x}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)} \cdot \dfrac{x}{x-2}$condiții: $x \neq 0$, $x \neq -1$, $x \neq 2$

   $= \dfrac{x+2}{x+1}, \quad x \neq -1, \ x \neq 0, \ x \neq 2$

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

   Exemplul 11: ridicare la puterea a treia, cu două litere

   Calculează $\left(\dfrac{3a}{2b}\right)^3$.

   Arată rezolvarea

   $\left(\dfrac{3a}{2b}\right)^3=\dfrac{(3a)^3}{(2b)^3}$condiție: $b \neq 0$

   $=\dfrac{27a^3}{8b^3}, \quad b \neq 0$$(3a)^3=3^3 \cdot a^3$, $(2b)^3=2^3 \cdot b^3$

   Coeficientul se ridică și el la putere: $3^3=27$, nu $3$.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

   Exemplul 12: baza este o diferență

   Calculează $\left(\dfrac{x-3}{x+4}\right)^2$ și scrie rezultatul și cu numărătorul, și cu numitorul desfăcute.

   Arată rezolvarea

   $\left(\dfrac{x-3}{x+4}\right)^2=\dfrac{(x-3)^2}{(x+4)^2}$condiție: $x+4 \neq 0$, adică $x \neq -4$

   $=\dfrac{x^2-6x+9}{x^2+8x+16}, \quad x \neq -4$$(x-3)^2=x^2-6x+9$, $(x+4)^2=x^2+8x+16$

   Forma $\dfrac{(x-3)^2}{(x+4)^2}$ este suficientă. Dacă desfaci parantezele, folosești formula $(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab+b^2$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

   Exemplul 13: simplificare, apoi putere, cu restricția ascunsă

   Calculează $\left(\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}\right)^2$ și scrie toate condițiile.

   Arată rezolvarea

   $x^2+2x=x(x+2) \neq 0$condiții: $x \neq 0$, $x \neq -2$

   $\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=\dfrac{x-2}{x}$simplifici prin $x+2$

   $\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2=\dfrac{(x-2)^2}{x^2}, \quad x \neq 0, \ x \neq -2$

   Din rezultat se vede doar $x \neq 0$. Condiția $x \neq -2$ vine din numitorul inițial $x^2+2x$ și trebuie scrisă în răspuns, chiar dacă $x+2$ a dispărut prin simplificare.

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

   Exemplul 14: semnul bazei și puterea impară

   Calculează $\left(-\dfrac{2x}{x+1}\right)^3$ și $\left(-\dfrac{2x}{x+1}\right)^2$.

   Arată rezolvarea

   $\left(-\dfrac{2x}{x+1}\right)^3=-\dfrac{(2x)^3}{(x+1)^3}$condiție: $x \neq -1$; putere impară, semnul se păstrează

   $=-\dfrac{8x^3}{(x+1)^3}, \quad x \neq -1$

   $\left(-\dfrac{2x}{x+1}\right)^2=\dfrac{4x^2}{(x+1)^2}, \quad x \neq -1$putere pară, minusul dispare

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

   Exemplul 15: puterea înaintea înmulțirii

   Calculează $\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2 \cdot \dfrac{x-1}{x}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{x^2}{(x-1)^2} \cdot \dfrac{x-1}{x}$condiții: $x \neq 1$ (din prima fracție), $x \neq 0$ (din a doua); întâi puterea

   $=\dfrac{x^2(x-1)}{(x-1)^2 \cdot x}$

   $=\dfrac{x}{x-1}, \quad x \neq 0, \ x \neq 1$simplifici prin $x(x-1)$

   Condiția $x \neq 0$ vine din a doua fracție și rămâne, deși rezultatul $\dfrac{x}{x-1}$ există pentru $x=0$.

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

   Exemplul 16: paranteză, apoi împărțire

   Calculează $\left(\dfrac{x}{x-1}-1\right) : \dfrac{1}{x^2-1}$.

   Arată rezolvarea

   Condiții: $x-1 \neq 0$ și $x^2-1=(x-1)(x+1) \neq 0$, deci $x \neq 1$ și $x \neq -1$. Împărțitorul $\dfrac{1}{x^2-1}$ are numărătorul 1, care nu este niciodată 0.

   $\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{x-(x-1)}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}$întâi paranteza

   $\dfrac{1}{x-1} \cdot \dfrac{(x-1)(x+1)}{1}$înmulțești cu inversa

   $= x+1, \quad x \neq 1, \ x \neq -1$

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

   Exemplul 17: înmulțirea înaintea adunării

   Calculează $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{x}{x+1}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+1}$condiții: $x \neq 0$, $x \neq -1$; întâi înmulțirea

   $= \dfrac{2(x+1)+3x}{x(x+1)}$

   $= \dfrac{5x+2}{x(x+1)}, \quad x \neq 0, \ x \neq -1$

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

    Exemplul 18: analiză de erori la adunare

    Un elev a scris $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{x+y}$. Găsește greșeala.

    Arată rezolvarea

    Elevul a adunat numărătorii între ei și numitorii între ei. Verificare pentru $x=y=1$: stânga este $1+1=2$, dreapta este $\dfrac{2}{2}=1$. Calculul corect, cu $x \neq 0$, $y \neq 0$:

    $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{y}{xy}+\dfrac{x}{xy}=\dfrac{x+y}{xy}$$

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

    Exemplul 19: analiză de erori la împărțire

    Un elev a calculat $\dfrac{x}{x-3} : \dfrac{x-3}{x}=\dfrac{x}{x-3} \cdot \dfrac{x-3}{x}=1$. Găsește greșeala.

    Arată rezolvarea

    Elevul a înmulțit cu împărțitorul, nu cu inversa lui. Condițiile sunt $x \neq 3$ (numitorul primei fracții și numărătorul împărțitorului) și $x \neq 0$ (numitorul împărțitorului). Calculul corect:

    $\dfrac{x}{x-3} \cdot \dfrac{x}{x-3}$

    $= \dfrac{x^2}{(x-3)^2}, \quad x \neq 0, \ x \neq 3$

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

    Exemplul 1: recunoașterea unei ecuații de gradul II

    Care dintre ecuațiile de mai jos este de gradul al II-lea? a) $3x^2-5x+1=0$ b) $2x-7=0$ c) $x^2-4=x^2+1$

    Arată rezolvarea

    a) Are termenul $3x^2$, cu $a=3 \neq 0$: este de gradul al II-lea. b) Nu are niciun termen cu $x^2$: este de gradul I. c) Simplificând $x^2$ de pe cele două părți rămâne $-4=1$, o afirmație falsă, fără necunoscută: nu este o ecuație de gradul al II-lea în $x$.

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

    Exemplul 2: forma standard, coeficienți negativi

    Scrie sub formă standard și precizează $a$, $b$, $c$: $5x^2=3x-7$.

    Arată rezolvarea

    $5x^2-3x+7=0$muți termenii din dreapta în stânga

    $a=5,\ b=-3,\ c=7$

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

    Exemplul 3: forma standard, termeni neordonați

    Scrie sub formă standard: $-2x+3x^2-8=0$.

    Arată rezolvarea

    $3x^2-2x-8=0$rearanjezi termenii

    $a=3,\ b=-2,\ c=-8$

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

    Exemplul 4: ecuație incompletă $ax^2=0$

    Rezolvă $5x^2=0$.

    Arată rezolvarea

    $x^2=0$împarți prin 5

    $x=0$soluție dublă

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

    Exemplul 5: ecuație incompletă $ax^2+bx=0$

    Rezolvă $2x^2-8x=0$.

    Arată rezolvarea

    $2x(x-4)=0$scoți factorul comun $2x$

    $2x=0 \ \text{sau} \ x-4=0$

    $x=0 \ \text{sau} \ x=4$

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

    Exemplul 6: ecuație incompletă $ax^2+c=0$, cu două soluții

    Rezolvă $x^2-16=0$.

    Arată rezolvarea

    $x^2=16$izolezi $x^2$

    $x=4 \ \text{sau} \ x=-4$

    Poți verifica și prin diferența de pătrate: $x^2-16=(x-4)(x+4)=0$ dă exact aceleași soluții.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

    Exemplul 7: ecuație incompletă fără soluții reale

    Rezolvă $x^2+9=0$.

    Arată rezolvarea

    $x^2=-9$

    $\text{fără soluții reale}$niciun pătrat de număr real nu este negativ

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

    Exemplul 8: pătrat perfect

    Rezolvă $x^2-6x+9=0$.

    Arată rezolvarea

    $(x-3)^2=0$

    $x-3=0 \ \Rightarrow \ x=3$soluție dublă

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Ecuații de gradul II›Ecuații de gradul al II-lea

    Exemplul 9: diferență de pătrate cu coeficient

    Rezolvă $9x^2-25=0$.

    Arată rezolvarea

    $(3x-5)(3x+5)=0$

    $x=\dfrac{5}{3} \ \text{sau} \ x=-\dfrac{5}{3}$

    Vezi lecția