Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 60 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

   Exemplul 3: condiții prin diferență de pătrate

   Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{x+2}{x^2-16}$.

   Arată rezolvarea

   $x^2-16=(x-4)(x+4) \neq 0$

   $x \neq 4, \ x \neq -4$

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

   Exemplul 4: condiții prin factor comun

   Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{x}{x^2+2x}$.

   Arată rezolvarea

   $x^2+2x=x(x+2) \neq 0$

   $x \neq 0, \ x \neq -2$

   Chiar dacă numărătorul este tot $x$, valoarea $x=0$ este interzisă, pentru că anulează numitorul.

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

   Exemplul 5: numitor care nu se anulează

   Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{7}{x^2+9}$.

   Arată rezolvarea

   Pentru orice număr real $x$, $x^2 \geq 0$, deci $x^2+9 \geq 9$. Numitorul nu este niciodată 0, așa că fracția există pentru orice $x$ real.

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

   Exemplul 6: amplificare cu o expresie

   Amplifică fracția $\dfrac{2}{x+3}$ cu $x-3$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)}$

   $= \dfrac{2x-6}{x^2-9}, \quad x \neq 3, \ x \neq -3$

   Amplificarea cu $x-3$ are sens doar dacă $x-3 \neq 0$, de aceea apare și condiția $x \neq 3$.

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

   Exemplul 7: simplificare cu monoame

   Simplifică $\dfrac{6x^2y}{9xy^2}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{6x^2y}{9xy^2}$condiții: $x \neq 0$, $y \neq 0$

   $= \dfrac{3xy \cdot 2x}{3xy \cdot 3y}$factorul comun este $3xy$

   $= \dfrac{2x}{3y}, \quad x \neq 0, \ y \neq 0$

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

   Exemplul 8: factor comun sus și jos

   Simplifică $\dfrac{3x+6}{5x+10}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{3x+6}{5x+10}$condiție: $x \neq -2$

   $= \dfrac{3(x+2)}{5(x+2)}$

   $= \dfrac{3}{5}, \quad x \neq -2$

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

   Exemplul 9: diferență de pătrate

   Simplifică $\dfrac{x^2-9}{x+3}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{x^2-9}{x+3}$condiție: $x \neq -3$

   $= \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}$

   $= x-3, \quad x \neq -3$

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

   Exemplul 10: trinom pătrat perfect

   Simplifică $\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4}$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-4}$condiții: $x \neq 2$, $x \neq -2$

   $= \dfrac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)}$

   $= \dfrac{x+2}{x-2}, \quad x \neq 2, \ x \neq -2$

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

   Exemplul 11: restricția păstrată

   Simplifică $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ și explică de ce rezultatul nu este valabil pentru $x=1$.

   Arată rezolvarea

   $\dfrac{x^2-1}{x-1}$condiție: $x \neq 1$

   $= \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}$

   $= x+1, \quad x \neq 1$

   Pentru $x=1$ fracția inițială are numitorul 0, deci nu există, chiar dacă $x+1$ s-ar putea calcula. Egalitatea este adevărată doar pentru $x \neq 1$.

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

    Exemplul 12: simplificare greșită

    Un elev a scris $\dfrac{x+5}{x+2}=\dfrac{5}{2}$. Este corect?

    Arată rezolvarea

    Nu. $x$ este termen în ambele sume, nu factor, deci nu poate fi „tăiat”. Verificare pentru $x=1$: $\dfrac{6}{3}=2$, iar $\dfrac{5}{2}$ nu este 2. Fracția $\dfrac{x+5}{x+2}$, cu $x \neq -2$, este ireductibilă.

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

    Exemplul 13: factori opuși

    Simplifică $\dfrac{4-x}{x^2-16}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{4-x}{x^2-16}$condiții: $x \neq 4$, $x \neq -4$

    $= \dfrac{-(x-4)}{(x-4)(x+4)}$$4-x=-(x-4)$

    $= -\dfrac{1}{x+4}, \quad x \neq 4, \ x \neq -4$

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

    Exemplul 14: descompuneri combinate

    Simplifică $\dfrac{2x^2-8}{x^2-4x+4}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{2x^2-8}{x^2-4x+4}$numitorul este $(x-2)^2$, deci $x \neq 2$

    $= \dfrac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}$factor comun 2, apoi diferență de pătrate

    $= \dfrac{2(x+2)}{x-2}, \quad x \neq 2$

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

    Exemplul 1: adunare cu același numitor

    Calculează $\dfrac{2x+1}{x-3}+\dfrac{x-4}{x-3}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{2x+1+x-4}{x-3}$condiție: $x \neq 3$

    $= \dfrac{3x-3}{x-3}=\dfrac{3(x-1)}{x-3}, \quad x \neq 3$

    Numărătorul are factorul $x-1$, numitorul are factorul $x-3$, deci fracția nu se mai simplifică.

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

    Exemplul 2: scădere cu același numitor

    Calculează $\dfrac{5x+2}{x+1}-\dfrac{3x-4}{x+1}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{5x+2-(3x-4)}{x+1}$condiție: $x \neq -1$

    $= \dfrac{5x+2-3x+4}{x+1}$minusul schimbă ambele semne din paranteză

    $= \dfrac{2(x+3)}{x+1}, \quad x \neq -1$

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

    Exemplul 3: simplificare după scădere

    Calculează $\dfrac{x^2}{x-2}-\dfrac{4}{x-2}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{x^2-4}{x-2}$condiție: $x \neq 2$

    $= \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}$

    $= x+2, \quad x \neq 2$

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

    Exemplul 4: numitori fără factori comuni

    Calculează $\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x+1}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{3(x+1)}{x(x+1)}+\dfrac{2x}{x(x+1)}$condiții: $x \neq 0$, $x \neq -1$

    $= \dfrac{3x+3+2x}{x(x+1)}$

    $= \dfrac{5x+3}{x(x+1)}, \quad x \neq 0, \ x \neq -1$

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

    Exemplul 5: numitor comun prin descompunere

    Calculează $\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{6}{x^2-9}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{x+3}{(x-3)(x+3)}-\dfrac{6}{(x-3)(x+3)}$condiții: $x \neq 3$, $x \neq -3$

    $= \dfrac{x-3}{(x-3)(x+3)}$

    $= \dfrac{1}{x+3}, \quad x \neq 3, \ x \neq -3$

    Factorul $x-3$ a dispărut din rezultat, dar $x=3$ rămâne interzis, pentru că anulează numitorii din enunț.

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

    Exemplul 6: scădere cu numitori diferiți

    Calculează $\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x+2}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{x(x+2)-2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$condiții: $x \neq 2$, $x \neq -2$

    $= \dfrac{x^2+2x-2x+4}{(x-2)(x+2)}$$-2(x-2)=-2x+4$

    $= \dfrac{x^2+4}{x^2-4}, \quad x \neq 2, \ x \neq -2$

    $x^2+4$ nu se descompune, deci rezultatul nu se mai simplifică.

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

    Exemplul 7: înmulțire cu simplificare

    Calculează $\dfrac{x^2-9}{4x} \cdot \dfrac{2x}{x+3}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{(x-3)(x+3) \cdot 2x}{4x(x+3)}$condiții: $x \neq 0$, $x \neq -3$

    $= \dfrac{x-3}{2}, \quad x \neq 0, \ x \neq -3$

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Operații cu fracții algebrice

    Exemplul 8: înmulțire cu rezultat 1

    Calculează $\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \dfrac{x+1}{x-1}$.

    Arată rezolvarea

    $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} \cdot \dfrac{x+1}{x-1}$condiții: $x \neq -1$, $x \neq 1$

    $= \dfrac{(x-1)(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)}$

    $= 1, \quad x \neq -1, \ x \neq 1$

    Rezultatul este 1, dar doar pentru valorile admise. Pentru $x=1$ sau $x=-1$ expresia din enunț nu există.

    Vezi lecția