Probleme de matematică rezolvate

1415 probleme · pagina 59 din 71

1. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Descompunerea în factori: factor comun și grupare

   Exemplul 3: factor comun numeric și literal

   Descompune în factori $15a^2b - 10ab^2$.

   Arată rezolvarea

   $15a^2b - 10ab^2$

   $= 5ab(3a - 2b)$5ab e factorul comun: 5 din coeficienți, a și b la puterea 1

   Vezi lecția
2. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Descompunerea în factori: factor comun și grupare

   Exemplul 4: factor comun negativ

   Descompune în factori $-3x + 6$, folosind un factor comun negativ.

   Arată rezolvarea

   $-3x + 6$

   $= -3(x - 2)$scoți -3, ca primul termen din paranteză să rămână pozitiv

   Vezi lecția
3. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Descompunerea în factori: factor comun și grupare

   Exemplul 5: grupare cu 4 termeni

   Descompune în factori $ax + ay + bx + by$.

   Arată rezolvarea

   $ax + ay + bx + by$

   $= a(x + y) + b(x + y)$

   $= (a + b)(x + y)$

   Vezi lecția
4. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Descompunerea în factori: factor comun și grupare

   Exemplul 6: grupare cu variabile la ambele grupuri

   Descompune în factori $2xy + 2xz + 3wy + 3wz$.

   Arată rezolvarea

   $2xy + 2xz + 3wy + 3wz$

   $= 2x(y + z) + 3w(y + z)$scoți 2x din primii doi termeni, 3w din ultimii doi

   $= (2x + 3w)(y + z)$

   Vezi lecția
5. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Descompunerea în factori: factor comun și grupare

   Exemplul 7: grupare cu factori comuni diferiți

   Descompune în factori $3x + 6 + 2xy + 4y$.

   Arată rezolvarea

   $3x + 6 + 2xy + 4y$

   $= 3(x + 2) + 2y(x + 2)$primul grup: $3x+6=3(x+2)$; al doilea grup: $2xy+4y=2y(x+2)$

   $= (x + 2)(3 + 2y)$

   Vezi lecția
6. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Descompunerea în factori: factor comun și grupare

   Exemplul 8: factor comun, apoi grupare

   Descompune în factori $2ax + 2ay + 2bx + 2by$, scoțând întâi factorul comun 2.

   Arată rezolvarea

   $2ax + 2ay + 2bx + 2by$

   $= 2(ax + ay + bx + by)$2 este factor comun al tuturor celor 4 termeni

   $= 2[a(x + y) + b(x + y)]$grupare în interiorul parantezei

   $= 2(a + b)(x + y)$

   Vezi lecția
7. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Descompunerea în factori: factor comun și grupare

   Exemplul 9: verificare prin dezvoltare

   Verifică prin înmulțire dacă $4x(2x+3) = 8x^2+12x$.

   Arată rezolvarea

   $4x(2x + 3)$

   $= 4x \cdot 2x + 4x \cdot 3$

   $= 8x^2 + 12x$coincide cu expresia dată, descompunerea e corectă

   Vezi lecția
8. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Descompunerea în factori: factor comun și grupare

   Exemplul 10: alegerea metodei potrivite

   Ce metodă folosești pentru $5x^2 - 15x$ și pentru $mx+my+nx+ny$? Descompune ambele.

   Arată rezolvarea

   $5x^2-15x$ are toți termenii cu factor comun $5x$: metoda e factor comun.

   $5x^2 - 15x$

   $= 5x(x - 3)$

   $mx+my+nx+ny$ are 4 termeni, fără un singur factor comun tuturor: metoda e gruparea.

   $mx + my + nx + ny$

   $= m(x + y) + n(x + y)$

   $= (m + n)(x + y)$

   Vezi lecția
9. Clasa a VIII-a

   Calcul algebric›Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

   Exemplul 1: diferență de pătrate simplă

   Descompune în factori $x^2 - 25$.

   Arată rezolvarea

   $x^2 - 25$

   $= x^2 - 5^2$

   $= (x-5)(x+5)$

   Vezi lecția
10. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

    Exemplul 2: diferență de pătrate cu coeficienți

    Descompune în factori $9x^2 - 16$.

    Arată rezolvarea

    $9x^2 - 16$

    $= (3x)^2 - 4^2$

    $= (3x-4)(3x+4)$

    Vezi lecția
11. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

    Exemplul 3: trinom pătrat perfect, semn plus

    Descompune în factori $x^2 + 6x + 9$.

    Arată rezolvarea

    $x^2 + 6x + 9$

    $= x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2$

    $= (x+3)^2$

    Vezi lecția
12. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

    Exemplul 4: trinom pătrat perfect, semn minus

    Descompune în factori $x^2 - 10x + 25$.

    Arată rezolvarea

    $x^2 - 10x + 25$

    $= x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2$

    $= (x-5)^2$

    Vezi lecția
13. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

    Exemplul 5: trinom pătrat perfect cu coeficient

    Descompune în factori $4x^2 + 12x + 9$.

    Arată rezolvarea

    $4x^2 + 12x + 9$

    $= (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2$

    $= (2x+3)^2$

    Vezi lecția
14. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

    Exemplul 6: factor comun + diferență de pătrate

    Descompune în factori $2x^3 - 18x$.

    Arată rezolvarea

    $2x^3 - 18x$

    $= 2x(x^2 - 9)$

    $= 2x(x-3)(x+3)$

    Vezi lecția
15. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

    Exemplul 7: factor comun + trinom pătrat perfect

    Descompune în factori $3x^2 + 6x + 3$.

    Arată rezolvarea

    $3x^2 + 6x + 3$

    $= 3(x^2 + 2x + 1)$

    $= 3(x+1)^2$

    Vezi lecția
16. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

    Exemplul 8: grupare + factor comun + diferență de pătrate

    Descompune în factori $x^3 + x^2 - 4x - 4$.

    Arată rezolvarea

    $x^3 + x^2 - 4x - 4$

    $= x^2(x+1) - 4(x+1)$

    $= (x+1)(x^2-4)$

    $= (x+1)(x-2)(x+2)$

    Vezi lecția
17. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

    Exemplul 9: continuă descompunerea după primul pas

    Descompune complet în factori $x^3 - 9x$.

    Arată rezolvarea

    $x^3 - 9x$

    $= x(x^2 - 9)$nu e gata: $x^2-9$ mai poate fi descompus

    $= x(x-3)(x+3)$

    Vezi lecția
18. Clasa a VIII-a

    Calcul algebric›Descompunerea în factori folosind formule de calcul prescurtat

    Exemplul 10: alege metoda potrivită, descompunere completă

    Descompune complet în factori $5x^2 - 45$.

    Arată rezolvarea

    Verifici întâi factorul comun: $5$ divide ambii termeni.

    $5x^2 - 45$

    $= 5(x^2 - 9)$factor comun 5

    $= 5(x-3)(x+3)$$x^2-9$ este diferență de pătrate

    Vezi lecția
19. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

    Exemplul 1: numărătorul și numitorul

    Pentru fracția algebrică $\dfrac{x^2-4}{3x+6}$, scrie numărătorul și numitorul și calculează valoarea fracției pentru $x=0$.

    Arată rezolvarea

    Numărătorul este $x^2-4$, iar numitorul este $3x+6$. Pentru $x=0$ numitorul este $6 \neq 0$, deci valoarea există și este $\dfrac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}$.

    Vezi lecția
20. Clasa a VIII-a

    Fracții algebrice›Fracții algebrice. Amplificare, simplificare, condiții de existență

    Exemplul 2: condiție de existență simplă

    Stabilește condițiile de existență pentru $\dfrac{2x+1}{x-5}$.

    Arată rezolvarea

    $x-5 \neq 0$

    $x \neq 5$

    Vezi lecția